Masarykova univerzita PRÍRODOVEDECKÁ FAKULTA Rigorózni práce HISTORIE PRAVIDELNÝCH MNOHOSTĚNŮ Veronika Svobodová Brno 2006 Prohlašuji, že jsem zadanou rigorózní práci vypracovala samostatně s použitím uvedené literatury. V Brně dne 26. 9. 2006 Děkuji doc. RNDr. Eduardu Fuchsovi, CSc, Mgr. Janě Borkovcové a Mgr. Lence Lomtatidze, Ph.D. za pročtení práce a cenné připomínky, RNDr. Pavlu Sišmovi, Dr. za cenné odkazy na literaturu, Mgr. Janě Mikulove, Ph.D. za pomoc s překladem latinského textu, Ing. Ondřeji Váchovi za správnou instalaci EXTgXu pod systémem Windows a Ing. Janu Svobodovi za podporu a trpělivost. Obsah Úvod 9 1 Starověk — krása a elegance 11 1.1 První zmínka o pravidelných mnohostěnech........... 11 1.2 Pravidelné mnohostěny u řeckých filosofů............ 14 1.3 Pravidelné mnohostěny v Základech............... 15 1.4 První zmínka o polopravidelných mnohostěnech........ 19 2 Mnohostěny v období renesance 22 2.1 Mnohostěny v Keplerově filosofickém bádání.......... 22 2.2 Keplerovy mnohostěnné objevy................. 26 2.2.1 Hvězdicové mnohostěny ................. 26 2.2.2 Souvislosti mezi pravidelnými mnohostěny....... 29 2.2.3 Kosočtverečné mnohostěny................ 30 2.2.4 Polopravidelné mnohostěny ............... 31 2.3 Mnohostěny v umění do počátku 17. stol............. 44 3 Hledání vztahů mezi mnohostěny 50 3.1 Descartes ............................. 50 3.2 Euler................................ 52 3.3 Poinsot............................... 60 3.4 Mnohostěny a grafy........................ 71 3.5 Schläfli............................... 72 3.6 Mnohostěny v krystalografii................... 74 4 Mnohostěny ve 20. stol. 76 4.1 Pravidelné mnohostěny kolem nás................ 76 4.2 Další zobecnění pojmu pravidelného mnohostěnu........ 78 4.3 Mnohostěny v umění....................... 79 Literatura 82 7 8 Úvod Ten, kdo se vydává po stopách konkrétní myšlenky otiskující se v běhu věků v různých podobách, může zažít neobyčejné putování. Tato práce si klade za cíl provést čtenáře jednou z těchto cest — tou, kterou v matematice a umění zanechaly pravidelné mnohostěny. Nejprve se zastavíme v Řecku, kde krása a elegance pravidelných mnohostěnů udivovala a inspirovala nemálo filosofů, a kde také byla tato tělesa poprvé matematicky popsána. Překročíme období středověku, neboť toto nemá k našemu tématu mnoho co říci. Znovu objevenou krásu mnohostěnů uvidíme v nových pohledech renesančních umělců. Navštívíme Johannese Keplera a podíváme se, jak se v jeho díle odrazila fascinace pravidelnými mnohostěny. Za přelom starého a nového myšlení budeme brát okamžik, kdy začnou matematikové hledat obecné zákonitosti, seznámíme se tedy s mno-hostěnnou tvorbou Descartesovou a Eulerovou. Uvidíme, že mnohostěny lze zařadit do širokého kontextu matematiky, která pracuje se strukturami a operacemi v čistě abstraktním světě. Nahlédneme také, že dávné přání nalézt pravidelné mnohostěny ve stvořeném světě bylo splněno s objevem prvních mikroskopů. Na závěr se zastavíme u novodobých uměleckých děl, jejichž autoři se mnohostěnnou tematikou nechali oslovit. Věřím, že čtenář v práci uvidí geometrii v celé její harmonii, matematické i estetické. 9 10 Kapitola 1 Starověk — krása a elegance Pátrání po historických prvenstvích v objevech pravidelných mnohostěnů je spojeno s určitou mírou nejistoty a spekulací. Nemůžeme vědět, kdo sestrojil tato tělesa poprvé, či zda nebylo více učenců, kteří by je v přibližně stejné době popsali. V této kapitole se nejprve budeme věnovat nejstarším nálezům pravidelných mnohostěnů a uvedeme, kteří myslitelé již pravidelné mnohostěny znali. Dále zmíníme Platónovo filosofické bádání, které úzce souviselo s pravidelnými mnohostěny. Rozebereme první systematické pojednání o pravidelných mnohostěnech obsažené v díle Elementa. V závěru kapitoly zmíníme, kdy se poprvé objevují některé z polopravidelných mnohostěnů. 1.1. Definice. Pravidelným mnohostěnem (nebo též platónským tělesem) rozumíme konvexní mnohostěn, jehož všechny stěny jsou shodné pravidelné mnohoúhelníky, kterých se sbíhá v každém vrcholu stejný počet. 1.1 První zmínka o pravidelných mnohostěnech Považujeme-li za první zmínky i nálezy modelů připomínajících pravidelné mnohostěny, bude historie sledované problematiky sahat hluboko před náš letopočet, přibližně do doby 2000 let př. Kr., ze které pochází kamenné modely ze Skotska na obrázku l.l.1 Pět pravidelných mnohostěnů (obr. 1.2) — čtyřstěn, šestistěn, osmistěn, dvanáctistěn a dvacetistěn (nazvaných podle počtu stěn, které tvoří jejich 1 [wwwGe] 11 Obr. 1.1: Kamenné mnohostěny ze Skotska povrchy) — bylo velmi pravděpodobně známo již pythagorejcům.2 Jak říká Proclus (411-485), pythagorejci zastávali názor, že geometrie, která si zasluhuje být studována, je ta, která povznáší duši (namísto té, která se jen snaží usnadnit život). PYTHAGORAS ZE SÁMU (569-475 př. Kr.) už definuje pojmy kvůli matematickému charakteru zkoumaných objektů, utváří tedy první kroky k systematizaci geometrie.3 Obr. 1.2: Pět pravidelných mnohostěnů Nevíme, zda pythagorejci znali pravidelný dvanáctistěn, pravděpodobné je, že byl objeven z pravidelných mnohostěnů nejpozději. Povrch dvanáctistěnu je totiž tvořen pravidelnými pětiúhelníky, jejichž konstrukce je nejsložitější a dvanáctistěnu také nebyl přiřazen žádný živel (viz odstavec 1.2). Těleso ve tvaru tohoto mnohostěnu však bylo zkonstruováno již okolo roku 500 př. Kr. Z této doby pochází kamenná etruská hračka ve tvaru pravidelného dvanáctistěnu (obr. 1.3).4 Její nález byl učiněn v roce 1885 v Monte Loffa poblíž Padovy. Existuje ještě dalších minimálně dvacet šest předmětů ve tvaru dvanáctistěnu, které jsou keltského původu. Je proto možné, že Pythagoras nebo jeho následovníci viděli nějaký takový dvanáctistěn a pak se jej snažili matematicky popsat a včlenit do systému, který budovali.5 2[He81a] str. 158. 3[He81a] str. 158-162. 4[wwwGe], [Cox48] str. 13. 5[He81a] str. 160. 12 Historikové se domnívají, že pythagorejcům nebyla známa konstrukce pravidelných mnohostěnů v té míře, v jaké je později uváděna v Eukleidových Základech a pokládají za pravděpodobné, že prvním, kdo ji provedl, byl The-AITÉTOS Z ATHÉN (asi 417-369 př. Kr.).6 Tato konstrukce pravidelných mnohostěnů vychází z diskuse o počtu shodných pravidelných mnohoúhelníků sbíhajících se v jednom vrcholu. Obr. 1.3: Etruská hračka Myšlenka diskuse spočívá v tom, že probíráme všechny možnosti konfigurací v jednom vrcholu, aby nám vznikl prostorový úhel. Je zřejmé, že ve vrcholu musí být minimálně tři pravidelné mnohoúhelníky. Vychází nám pět možností (obr. 1.4). Pro rovnostranný trojúhelník získáme možnosti se třemi, čtyřmi nebo pěti trojúhelníky v jednom vrcholu (šest již netvoří prostorový vrchol). Pro čtverec máme možnost se třemi mnohoúhelníky v jednom vrcholu a stejně tak pro pravidelný pětiúhelník (více čtyřúhelníků, resp. pětiúhelníků netvoří prostorový vrchol). Další mnohoúhelníky nemá smysl uvažovat, protože jejich vnitřní úhly jsou větší nebo rovny třetině plného úhlu. To, že ke každé možnosti skutečně existuje pravidelný mnohostěn, dokazuje jejich přímá konstrukce: tři trojúhelníky ve vrcholu vedou na pravidelný čtyřstěn, čtyři na pravidelný osmistěn a pět na pravidelný dvacetistěn. Tři čtverce v každém vrcholu nám vytvoří krychli a pět pravidelných pětiúhelníků dá vzniknout 6[He81a] str. 209, 212. 13 A A Obr. 1.4: Konfigurace ve vrcholu pravidelnému dvanáctistěnu. Této diskusi je věnována část třinácté knihy Eukleidových Základů (viz odstavec 1.3). Theaitétos znal také poměry délek hran pravidelných mnohostěnů k poloměrům jim opsaných koulí (také tato problematika bude více přiblížena v odstavci 1.3, který je věnován Eukleidovi a jeho Základům,). 1.2 Pravidelné mnohostěny u řeckých filosofů Krása a elegance pravidelných mnohostěnů ponoukala mnoho starověkých filosofů k tomu, aby je hledali v řádu světa. Jedním z nich byl Platón (427-347 př. Kr.), který ve svém díle Tímaios popisuje konstrukci pěti pravidelných mnohostěnů klasickým způsobem, tedy „přikládá" k sobě jednotlivé mnohoúhelníky (viz odstavec 1.1). Přichází dále na to, že stěny lze rozložit do trojúhelníků, z nichž každý je složen ze dvou pravoúhlých trojúhelníků (obr. 1.5).7 Platón znal jistě také jeden z polopravidelných mnohostěnů — kubokta-edr (těleso, jehož stěnami je osm rovnostranných trojúhelníků a šest čtverců — obr. 1.6).8 Z filosofického hlediska je významná jeho atomická teorie hmoty taktéž uvedená v díle Tímaios. Platón navazuje na Empedoclovu (asi 492 - asi 432 př. Kr.) teorii o existenci čtyř základních živlů —- země, ohně, vody 7[He81a] str. 296. 8[He81a] str. 295. 14 Obr. 1.5: Platónovo dělení pravidelných mnohoúhelníků Obr. 1.6: Kuboktaedr a vzduchu. Platón usuzuje, že jsou složeny z nepatrných částic, které mají tvar pravidelných mnohostěnů, protože svět přece musí být složen z dokonalých částic. Zemi, jako nejstabilnějšímu živlu přiřkne za stavební jednotku krychli. Oheň jako nejzářivější a nejostřejší živel musí být tvořen pravidelnými čtyřstěny. Voda je složena z pravidelných dvacetistěnů, neboť tento mnohostěn má nejlepší předpoklady pro „valení se", tedy pro pohyblivost vodě příznačnou. Vzduchu přiřazuje atomy tvaru pravidelných osmistěnů a problém s nedostatkem živlů řeší tím, že prohlásí, že vesmír má tvar pravidelného dvanáctistěnu.9 Dnes nám bádání tohoto typu bude připadat pravděpodobně úsměvné. Ve své době však mělo velký význam a přispívalo v neposlední řadě i k rozvoji exaktních disciplín. Propojování geometrie a filosofie však není časově omezeno jen na starověk. Jak uvidíme později, podobným teoriím se věnoval na konci 16. stol. kupříkladu Johannes Kepler, jehož vědecký přínos astronomii, fyzice a matematice je nepopiratelný. Právě od Keplera pochází dobová ilustrace k Platónově atomické teorii (obr. 2.5 — vpravo uprostřed). 1.3 Pravidelné mnohostěny v Základech Jak je vidět z předcházejících odstavců, poznatky o pravidelných mnohostěnech, a geometrii obecně, ve starověkém Řecku nebyly nijak uceleny, neexistovalo žádné dílo, které by podávalo alespoň jejich základní souhrn. Tato potřeba vytvoření přehledu soudobého matematického poznání vedla ElJK-LEIDA (asi 325 - asi 265 př. Kr.) k sepsání díla Elementa (tj. Základy). Eukleidovy Základy můžeme pokládat za systematickou učebnici nejen tehdejší geometrie, ale také teorie čísel a elementární algebry. Někteří matematikové dokonce tvrdí,10 že Eukleidovým cílem bylo popsat vlastnosti 9[Dev02] str. 156. 10[Lev91] str. 38, 39. 15 XIII. Sestroj jehlan aopišdanou kulí ado k a ž, že čtverec kulového průměru jesi pfildruhakrát větší nežli čtverec jehlanové strany (hrany). Průměrem dané koule budiž AB a buď rozdělen v bodě C tak, aby bylo AC=2CB; a narýsujme na AB polokruh ADB a zřiďme v bodě C na AB kolmici CD a veďme spojnici DA; mějme též kruh EFO poloměru stejného s DC a v pišme do kruhu EFG stejnostranný /^EFG a za střed kruhu vezměme H a veďme spojnice EH. HF, HG\ i vztyčme v bodě H na rovině kruhu EFG kolmici HK a odřízněme od H K úsečku HR stejnou % AC a. veďme spojnice KE, KF, KG 6). A ježto Wfjest na rovine kruhu j- "4—^. EFG kolmo, tedy také se všemi přím- kami s ní se stýkajícími a jsoucími v rovině kruhu EFG bude činiti úhly pravé. Stýkají vsak se s ní HE, HF. HG; pročež HK jest na HE, HF, HG kolmo. A ježto HK—AC a HE — CD a svírají pravé úhly, tedy základna KE— DA. Z téže příčiny ovšem i ĚF= BA i KG = DA; tedy KE=KF = KG. A ježto AC=2CB, tedy AB = 3 HC. Avšak AB: BC=AD'l;DC'1, jakož ihned potom bude dokázáno (výt.). Pročež AD* = Z DC1. Jest pak i FE- = 3 EU" (XIII. xn.) a ÍJC=£'íř; tedy DA,=EF. Avšak bylo dokázáno, že DA = KE = KF=KG; pročež EF, FG, QE jsou stejné s KE, KF, KG. Tedy čtyři trojúhelníky EFG, KEF, KFG, KEQ jsou stejnostranné. Pročež jehlan sestaven je ze čtyř stejnostranných trojúhelníkův a základnou jeho jest /\ EFG a temenem bod K. Má se ovšem též opsati danou kulí a dokázati, že čtverec kulového průměru jest pflldruhakrát větši nežli čtverec strany jehlanové. Nuže prodlužme přímku Kil přímým směrem, aby vznikla HL, a budiž HL—CB. A iežto AC: CD=zCD :CB a AC—EH, CD — HE a CB^HL. tedy KH:HE=EH:HL; pročež KHXHL=EfP. A -£f.KHE i EHL jsou pravě; tedy polokruh rýsovaný na KD půjde i bodem E [ježto právě spojením E s D tvoří se pravý ýiLEK tím, že vzniká /\ ELK s /\ ELH, EHK stejnoúhlý')]. Když pak se kolem pevné osy KL polokruh otočí, až se opět vrátí do téhož postaveni, odkud se počal otáčeti, bude procházeti i body F, G, a spojnicemi FL, LG podobně také vznikají při F, G úhly pravé; i bude jehlan danou kuli opsán. Neboř průměr kulový KL je stejný s průměrem AB koule dané, ježto právě za pravdu vzato, že KH'= AC a CB=HL. Pravím, již, že čtverec kulového průměru jest půldruhakrát větši nežli Čtverec strany jehlanové. Neboť, ježto AC = 2Cfí, tedy AB — ZBC; pročež zvratne BA = I AC. A BA: AC= BA*: AD- [ježto právě, spojime-li D s B, BA:AD = DA: AC pro podobnost A DAB a D AC a proto, že první veličina má se ke třetí jako čtverec z první ke čtverci z druhé (V. vým. 9. pozn. 4.)7)]. Tedy též AS8—! AD'iS) A BA jest průměr dané koule, AD pak rovná se straně toho jehlanu. Tedy čtverec průměru kulového jest pfildruhakrát větší nežli čtverec strany jehlanové ; což právě bylo dokázati. Obr. 1.7: Ukázka ze Základů (1) 16 právě pravidelných mnohostěnů, k čemuž musel přidat obsáhlý „úvod" do dané problematiky. Pravdou je, že konstrukci platónských těles věnoval Eu-kleides poslední, tj. třináctou knihu svých Základů. První až šestá kniha jsou věnovány poznatkům z rovinné geometrie, sedmá až devátá kniha se zabývají studiem přirozených čísel a desátá kniha zkoumá tzv. nesouměřitelné veličiny, v dnešní terminologii čísla iracionální. Zbývající tři knihy jsou již zaměřeny na geometrii prostoru. Jedenáctá kniha nejprve popisuje některé základní polohové vlastnosti přímek a rovin a posléze zkoumá rovnoběžnostěny. Kniha dvanáctá shrnuje poznatky o jehlanech, kuželech a koulích. Kniha třináctá nejprve zmiňuje zlatý řez v pravidelném pětiúhelníku, dále pak opisuje všem pravidelným mnohostěnům kulovou plochu a zjišťuje vztah mezi délkou hrany mnohostěnu a poloměrem kulové plochy. Závěr je věnován důkazu neexistence jiného pravidelného mnohostěnu, než zmíněných (viz odstavec 1.1). Jak Eukleides postupoval v případě důkazu vztahu mezi délkou hrany pravidelného čtyřstěnu a průměrem kulové plochy mu opsané, je vidět v následující ukázce (obr. 1.7 a 1.8).11 Zmíněná ukázka je v následujících odstavcích přepsána pomocí dnešní matematické symboliky tak, aby byla srozumitelná středoškolským studentům. 1.1. Věta. Bud' AB úsečka nenulové délky a C její vnitřní bod takový, že platí: \AC\ = 2- \CB\. Dále bud' k polokružníce sestrojená nad úsečkou AB a D bod polokružníce k takový, že leží na kolmici k úsečce AB vedené bodem C (obr. 1.8). Potom platí: \AB\ : \BC\ = \AD\2 : \DC\2 (1.1) Důkaz. Trojúhelník ADB je podobný trojúhelníku ACD. Proto platí: \BA\ : \AD\ = \DA\ : \AC\ (1.2) Proto: \BA\ ■ \AC\ = \AD\2 (1.3) Trojúhelník ACD je podobný trojúhelníku DCB. Proto platí: \AC\ : \CD\ = \CD\ : \CB\ (1.4) n[Euk07] str. 294, 295. 17 Výiižek. Má se dokázati, že A3:BC = AD*: DC1. Mějme nárys polokruhu a veďme spojnici DB a sestrojme z AC čtverec EC a doplňme rovnoběžník FB. Ježto tedy proto, že /\DAB je slejnoúhlv s DviC, BA: AĽ= \ DA : AC, tedy BA xJČ = AD". A poněvadž AB: BC = EB-.BFa £B=BA X ,4C, neboť EA ~ AC, zBF=ACX CB, tedy AB: j?C = 23W X AC: AC X CB. I jest ZU X AC — AD*») a JáCXC5 = Dŕ:-, nebof kolmice DC je strední úmernou úseček základny AC, CB, jelikož <í^ADB jest pravý. Pročež AB:BC=AD":DQi; což právě bylo dokázati. D ŕl ^ Proto: Obr. 1.8: Ukázka ze Základů (2) |AC| • |OB| = |CT>| Použitím rovností 1.3 a 1.5 dostáváme: '1.51 |Aß| \AC\ ■ \AB\ \AD\' \BC\ \AC\ ■ \CB\ \CD\ (1.6) QED. 1.2. Věta. Mezi hranou pravidelného čtyřstěnu a a průměrem kulové plochy mu opsané d platí vztah: ď = 1,5 -a2 1.7) Důkaz. Je veden konstrukcí — sestrojíme čtyřstěn vepsaný do dané kulové plochy a ukážeme, že je pravidelný. Na závěr odvodíme vztah mezi d & a. Buď AB průměr kulové plochy a bod C jeho vnitřní bod takový, že platí: \AC\ = 2 ■ \CB\. Dále buď D bod kulové plochy takový, že CD je kolmá na AB. Sestrojme rovnostranný trojúhelník DEF v rovině kolmé na průměr AB, jehož středem je bod C. Z kolmosti je zřejmé, že platí: \AD\ = \AE\ = \AF\ (1.8) V libovolném rovnostranném trojúhelníku DEF se středem C (odkaz na tvrzení, které Eukleidés dokázal již dříve) platí: 18 \DE\2 = 3 • \CD\2 (1.9) Z tvrzení 1.1 plyne, že: \AD\2 = 3-\CD\2 (1.10) Z posledních tří uvedených tvrzení a z kolmosti průměru na trojúhelník zřejmě plyne: \AD\ = \AE\ = \AF\ = \DE\ = \EF\ = \FD\, (1.11) proto je čtyřstěn ADEF vepsaný do kulové plochy s průměrem AB pravidelný. Zbývá ukázat platnost vztahu 1.7. Z podobnosti trojúhelníků ABD a ADC plyne: \AB\ : \AD\ = \AD\ : \AC\ (1.12) Proto: \AB\ ■ \AC\ = \AD\2 (1.13) Použitím tohoto vztahu snadno nalédneme, že platí: 3 _ \AB\ _ \AB\ • \AB\ _ \AB\2 _ S 2 \AC\ \AC\ ■ \AB\ \AD\2 a2 [ ' ' Porovnáním začátku a konce právě uvedené rovnosti získáme dokazované tvrzení 1.7. QED. Sepsání Základů se tak stalo vskutku monumentálním počinem, jednalo se o vůbec první rozsáhlé dílo, které matematicky definovalo, tvrdilo a dokazovalo (což byla v období „dialogů" naprosto nevídaná forma). 1.4 První zmínka o polopravidelných mnohostěnech Vypustíme-li z definice pravidelných mnohostěnů požadavek shodnosti pravidelných mnohoúhelníků a budeme-li nadále požadovat zaměnitelnost vrcholů mezi sebou,12 získáme definici polopravidelného mnohostěnu, který má smysl 12U pravidelných mnohostěnů nám tato vlastnost implicitně plynula ze shodnosti pravidelných mnohoúhelníků. 19 uvažovat už jen proto, že lze získat vhodným „osekáním" pravidelného mnohostěnu. 1.2. Definice. Řekneme, že dva vrcholy konvexního mnohostěnu jsou shodné, jestliže se v nich sbíhá stejný počet pravidelných mnohoúhelníků jistého typu a tyto mnohoúhelníky „obíhají" vrchol v určitém pořadí a jestliže vrcholy lze vzájemně převádět jeden na druhý. Někdy také říkáme, že vrcholové mnohoúhelníky jsou shodné. (Vrcholový mnohoúhelník si můžeme představit jako stěnu vzniklou vhodným odříznutím vrcholu.) 1.3. Definice. Polopravidelným mnohostěnem rozumíme konvexní mnohostěn, jehož všechny stěny jsou pravidelné mnohoúhelníky a jehož vrcholy jsou navzájem shodné, přičemž vylučujeme platónská tělesa. Poprvé tato tělesa popisuje ÄRCHIMÉDÉS ZE SYRAKÚS (287-212 př. Kr.). Archimedovo dílo se nedochovalo,13 víme však, že znal všech třináct těles (prismy14 a antiprismy15 v této době nejsou považovány za polopravidelné mnohostěny). Diskusi o počtu polopravidelných mnohostěnů (obr. 2.12), uvádí až Kepler na počátku 17. stol. v díle Harmonices mundi (viz odstavec 2.2.4). Následující období je pro evropskou matematiku, resp. pro geometrii, obdobím útlumu (snad jen vyjma astronomie), díla v této době vznikající jsou spíše nevalné úrovně. Z této šedi potom jasně vystupuje PAPPUS Z ALEXANDRIE (asi 290 - asi 350). Vzhledem k našemu tématu je z jeho odkazu nejzajímavější, že v páté knize svého díla Synagogae diskutuje 13 polopravidelných mnohostěnů (jedná se o první dochovanou zmínku o polopravidelných mnohostěnech) .16 Pappus dále ukazuje, že uvážíme-li kouli a pět pravidelných mnohostěnů — všechna tělesa se stejným povrchem, potom koule z nich bude největší (rozuměj: bude mít největší objem).17 Důkaz provádí následujícím způsobem. 13[He81b] str. 98. 14Prismy jsou hranoly s podstavami pravidelných mnohoúhelníků, jejichž bočními stěnami jsou čtverce. 15Antiprismy vzniknou z n-bokého hranolu pootočením jedné z podstav o úhel — a následnou úpravou výšky tělesa tak, aby bočními stěnami byly místo čtverců rovnostranné trojúhelníky. 16[He81b] str. 98. 17[He81a] str. 394. 20 Nechť P je libovolný pravidelný mnohostěn a S sféra, která má stejný povrch jako P. Vepišme do mnohostěnu sféru s. Označme R poloměr S a označme r poloměr s. Jistě platí: R > r. Porovnejme nyní objemy S a P. Objem S je stejný jako objem kužele, jehož základna má stejný obsah jako S má povrch a výška je rovna R. Naproti tomu objem P je stejný jako objem kužele, jehož základna má stejný obsah jako S povrch a výška je rovna r. Jelikož R > r, musí být objem S větší než objem P. V období středověku nenacházíme nic podstatného, co by se zapsalo do historie popisující mnohostěny. 21 Kapitola 2 Mnohostěny v období renesance V této kapitole se zaměříme na období, ve kterém nejen geometrie prochází znovuzrozením. Nahlédneme do děl, která souvisí s mnohostěny a která vznikala v rozmezí od počátku 15. až do počátku 17. stol. Zahrneme sem Keple-rovo geometrické bádání, jež stylem navazuje na starověké Reky. Zmíníme také některá umělecká díla inspirovaná mnohostěny. Ačkoli dobově lze pokládat Descarta za Keplerova současníka, myšlenkově se spíše řadí k Eulerovi, pročež ho zmíníme až v následující kapitole. 2.1 Mnohostěny v Keplerově filosofickém bádání Po dlouhé přestávce od posledního objevu ve světě pravidelných mnohostěnů se opět v této tématice začíná psát historie a nepíše ji nikdo jiný než německý astronom, matematik a fyzik JOHANNES KEPLER (1571-1630). Naším cílem není zkoumat všechny oblasti Keplerova vědeckého zájmu, omezíme se pouze na ty, které se nesmazatelně vryly do historie pravidelných mnohostěnů. Možná překvapivě je u Keplera počáteční zájem o pravidelné mnohostěny spojen s jistou vznosnou mystikou. Zastává podobný názor jako před ním například Platón, že dokonalost pravidelných mnohostěnů se musela projevit v řádu světa. Roku 1596 Kepler publikuje dílo Mysterium cosmographicum (obr. 2.1), ve kterém se pokouší využít platónská tělesa pro své astrogeometrické bádání. Když Kepler objevuje základní zákony, jimiž se řídí pohyb planet v Sluneční soustavě, pokládá si otázku, proč jsou planety právě v takových vzdálenostech od Slunce. A zde se projevuje Keplerova náklonnost k čisté geometrii: „Jsou-li nebeské pohyby výtvorem rozumu, mohli bychom podloženě tvrdit, že dráhy planet jsou dokonalými kruhy. Sám Bůh, který je příliš vznešený na to, aby 22 Prodromus DlSSERTAtlONVM C0SM0GRAPH1CARFM, iontinmš MYSTERIVM COSMOGRA PHICVM DE ADMIRABÍLI PROPÖRTIÖNE OR« bium cceleftium: deque caufis coeloŕum numery rnägrii- tudinis, motuumque periodicorum ge- ňuinis&projpriis, "Bemonßratumper qmnqne regularia corpora Geometričtí. Libellus primumTübinganhlucemdatus Anno Ghrifti M. D X C V í. á *M, 1ÓANNÉ KEPLÉRO rriRŤEMBERGICO, ŤFNC TEMPO* rts Illußrium Sty r U Prouincialium CWatbemaikó. Nunc Věro poft anrios zy. ab eodem authore recognitus, & Notis notabiliífimiQ pammcmendatus, parnmexpHcatus, partim corffirmatus S dtóiqSbS membnscollatusadaiacog^ porefub.düorumlmpp. Rudolph! &Matthi*auípíciis;etiamu; in iJluftr. Ord, Auftrix Süpr- Ařiifana: clientdá diueríísiodsedidit. Petißmumadilkßrandasoctaßones Of eru, Harmonice Mundhdičíi eiuß queprogrejjmm in materia ejrmetbedo. ' Additaefterudita NArratío M. Georgii Ioachimí RKett^í L LibmReuolutiohum,atqueadmirandis de numero, ordine fcH/ft^c ITEM, ?>» I o A N n i s K E p r. e r i profuo Opere Harmonice, Mmdi Á p o i o 6 i A «far. fusDemonfirationemAnalyticam c/. V.D.RokrtideFluclibus.Uí^ dici Oxonienfis. €um Priuilegio Csfareo ad annos X V t FŔÁitČOFVRTi; RecufusTypisERASMi Kempferí3Camptibus GODEFRIDI TaMPACHII. «- i - ■ ' - WÍ1W9 UH* DC. X K L «^ Obr. 2.1: Titulní strana díla Mysterium cosmographicum 23 zůstal nečinný, rozehrál hru symbolů a ukazuje světu svoji podobu. Osměluji se proto domnívat, že celá příroda i požehnané nebe jsou popsány jazykem geometrie."1 Obr. 2.2: Model sluneční soustavy dle Keplera (1) Na počátku 17. stol. bylo známo šest planet: Merkur, Venuše, Země, Mars, Jupiter a Saturn. Kepler, ovlivněný teorií Mikuláše KopernÍka (1473-1543) o pohybu planet okolo Slunce, se snažil najít numerický vztah, který by vysvětlil, proč existuje právě šest planet a co udává jejich vzdálenost od Slunce. Nakonec usoudil, že se jedná spíše o geometrický než numerický vztah a začal do kruhů vpisovat pravidelné mnohoúhelníky. Nenacházel však žádnou analogii s rozmístěním planet na obloze. x[Lev91] str. 43. 24 p^^% Obr. 2.3: Model sluneční soustavy dle Keplera (2) 25 Po určité době však Keplera napadlo, že geometrický vzor by mohl být prostorový. Vždyť planet je šest a mezer mezi nimi pět. A pravidelných mnohostěnů, které reprezentují krásu prostoru, je také pět! Kepler tedy začal vkládat jeden pravidelný mnohostěn do druhého a vepisovat a opisovat jim koule. K jeho velké radosti se výpočty přibližně shodovaly se situací na obloze, jak se v té době astronomům jevila. Keplerův model vypadal takto: po největší kouli se středem ve Slunci se pohybuje Saturn. Do ní je vepsána krychle a do té pak koule určující dráhu Jupitera. Když do menší koule vepíšeme čtyřstěn a do něj zase kouli, dostaneme dráhu Marsu. Analogicky mezi Marsem a Zemí je dvanáctistěn, mezi Zemí a Venuší dvacetistěn a Venuši dělí od Merkuru osmistěn. Kepler nedostal rozměry drah přesně a vysvětloval to tím, že mezi myšleným kruhem a skutečnou dráhou planety je určitý rozdíl, neboť „nebeské pohyby nejsou duem rozumu, ale přírody11 ? Svůj model musel proto trochu upravit — koule mají různou tloušťku (obr. 2.2 a obr. 2.3). Koncepce pravidelného vesmíru ovšem padla objevem dalších planet, který pochopitelně nebyl doprovázen nalezením dalších pravidelných mnohostěnů. Skončila tak etapa poměrně dobrodružného odhalování zákonů, jimiž se řídilo stvoření světa. 2.2 Keplerovy mnohostěnné objevy Keplerův zájem o mnohostěny však nebyl čistě filosofický. Zkoumal je i z matematického hlediska, což je patrné v díle Harmonices mundi (obr. 2.4), vydaném roku 1619, ve kterém nacházíme mnoho do té doby neznámých poznatků. Následující odstavce budou věnovány právě těmto Keplerovým objevům. 2.2.1 Hvězdicové mnohostěny Kepler objevuje dva hvězdicové mnohostěny — malý hvězdicový dvanáctistěn a velký hvězdicový dvanáctistěn (na obr. 2.5 jsou vlevo dole). Tyto mnohostěny jsou pravidelné ve smyslu definice pravidelných mnohostěnů, pouze dovolíme, že se stěny mohou protínat a mohou jimi být i hvězdy, přičemž vyloučíme složené mnohostěny.3 V dalším textu budeme složený mnohostěn nazývat složenina a budeme za něj považovat množinu shodných pravidelných mnohostěnů se společným středem.4 2[Lev91] str. 44. 3V anglicky psané literatuře se setkáváme s termínem compound polyhedron, krátce compound. 4[Cox48] str. 47. 26 Ioannis Keppleri HARMONICES M V N D I L I B R I V. QvoRVM Primus GEOMETR.tCvs,DeFigurarumReguIarium> qua: Proportiö-ncs Harmonicas conftitüunt, ortu & demonílrationibus. SecundiisARCHitECTONicvSjfeuexGEOMETRiA FiGVRATA,DeFi* gurarum Regulárním Congruentia in piano vel folido: TertiuspropriěHARMONiCvS, De ProporticnumHarmohicarumortu ex Figuris; deque Nátura & Diŕľerentiis rerüm ad cantum per-tinentium, contra Veteres: Quartus Metaphysicvs , Psychologicvs &Astrologicvs, De Har-moniarum mentali Eííentiá earumque generibus in Mundo; praďer-tim de Harmonia radiorum» excorporibuscceleftibusin Terramde-fcendentibus, eiufque effc&u iri Natura feu Anima fublunarioc Humana: *~ Quintus Astronomicvs &MetAphysicvs í DeHarmoniis äbfolutiffi-mis motuum coeleitium,ortuque£ccentricitatum ex proportioni-busHarmónicis. Appendix habet conipärationeni huius Öperis cum Harmonices CÍ. Ptölemxi libro Ill.cumque Roberti de FlučHbuSjdičti Flud.Medici Oxonienfis fpeculationibus Harmonicis j operí de Macrocoímo 6č Microcoßno iiifertis. K^fCCESSiT NFNC IROPTER CÖGNAT10NEM MATE* tu au f dem Author Uüber antelyanneseditu* TubingtyCuititulvsV rodtomusi feu CMyfleriuni Cofmografhicumjecaufis CotbrumNumeriiPropor* tionis motmmque Periodicorum, ex quinque Cor paribus Regular ibm. Cum S> C é M\ Priuiiegid adannos Xť> Lincií Aufbrise, SumptibusGoDöFREDi TampachiiBibl.Ff anco£ ExcudebatloANNEs Plancvs. Obr. 2.4: Titulní strana díla Harmonices mundi 27 Obr. 2.5: Ukázka z Harmonices mundi 2.1. Definice. Hvězdicovým mnohostěnem nebo též kepler — po- insotovým těh °sem rozumíme jednoduchý mnohostěn, který získáme ohvězdováním platónského tělesa (protažením jeho stěn, až se protnou). Je pochopitelné, že fakt, že by tato tělesa mohla být počítána mezi mnohostěny, vyvolal vlnu pobouření a to nejen kvůli nekonvexnosti, ale později také kvůli tomu, že evidentně nesplňovala vztah mezi počtem vrcholů v, hran h a stěn s: v + s = h + 2 (tzv. Eulerovu větu, které se budeme blíže věnovat 28 v následující kapitole na str. 54). Problém s údajnou neplatností Eulerovy věty tkvěl v pohledu na prvky mnohostěnu. Vezmeme-li např. malý hvězdicový dvanáctistěn (na obr. 2.5 dole, první zleva), tak z tehdejšího pohledu byly stěnami tohoto tělesa pravidelné pěticípé hvězdy, kterých bylo dvanáct. Za vrcholy byly počítány jen ty vrcholy, které tvořily ostny hvězd, v případě popisovaného tělesa jich tedy bylo také dvanáct. Za hranu byla považována spojnice dvou nesousedních vrcholů (uvažováno v rámci hvězdy), těch tedy bylo třicet (v každé stěně pět, každá hrana takto započítána dvakrát). Dosadíme-li do Eulerova vztahu, rozhodně nezískáme platnou rovnost. Kde je tedy chyba? V Eulerově vztahu rozumíme pod pojmem stěna něco jiného, než co bylo zvykem pod tímto označením chápat. Každá stěna je ohraničena jinými stěnami, nepřipouštíme tedy, že by se stěny mohly protínat, v případě malého hvězdicového dvanáctistěnu je stěnou rovnoramenný trojúhelník tvořený cípem pravidelné hvězdy. Je pak zcela jednoduché ověřit platnost vztahu: vrcholů je 32, hran 90 a stěn 60. Obr. 2.6: Souvislost šestistěnu a koso- Obr. 2.7: Souvislost šestistěnu a dvanác- čtverečného dvanáctistěnu tištěnu 2.2.2 Souvislosti mezi pravidelnými mnohostěny Kepler dále popisuje konstrukci pravidelných mnohostěnů. Vychází z krychle a ukazuje, jak s ní souvisí pravidelný čtyřstěn (obr. 2.10) — vhodným zvolením čtyř vrcholů krychle získáme vrcholy čtyřstěnu. Potom ukazuje jak spolu souvisí krychle a pravidelný dvanáctistěn (obr. 2.7) — postavíme-li na stěny krychle vhodné „stříšky", získáme právě dvanáctistěn. A nebo naopak 29 — vybereme-li vhodně šest vrcholů z dvaceti vrcholů dvanáctistěnu, získáme krychli. Obr. 2.8: Dualita šestistěnu a osmistěnu Obr. 2.9: Dualita čtyřstěnu Pravidelný osmistěn a dvacetistěn Kepler získá postupným vepsáním do šestistěnu a dvanáctistěnu (obr. 2.11 a obr. 2.8), čímž vlastně nepřímo definuje dualitu. Vrcholy duálního mnohostěnu budou ležet ve středech stěn původního mnohostěnu. Kepler také upozorňuje právě na projev duálnosti, na fakt, že stejným způsobem můžeme vepsat mnohostěn také do osmistěnu, resp. dvacetistěnu a získáme tím šestistěn, resp. dvanáctistěn. Ukazuje také, že čtyřstěn je duální sám se sebou (obr. 2.9). Obr. 2.10: Souvislost čtyřstěnu a šestistěnu Obr. 2.11: Dualita dvanáctistěnu a dvacetistěnu 2.2.3 Kosočtverečné mnohostěny V díle Harmonices mundi Kepler také jako první zmiňuje dva kosočtverečné mnohostěny (na obr. 2.5 vpravo dole). U těchto těles si všímá toho, že mají dva různé typy vrcholů — u kosoětvereěného dvanáctistěnu je to šest vrcholů, ze kterých vychází po čtyřech hranách a osm vrcholů, ze kterých vychází po třech hranách. U kosoětvereěného dvacetistěnu je to dvanáct vrcholů, ze 30 kterých vychází po pěti hranách a dvacet vrcholů, ze kterých vychází po třech hranách. Navíc Kepler ukazuje, jak získat kosočtverečný dvanáctistěn z krychle (obr. 2.6). 2.2.4 Polopravidelné mnohostěny Abychom se lépe orientovali v Keplerově práci týkající polopravidelných mnohostěnů (jejich definice je na str. 20), zavedeme si pojem vrcholové posloupnosti v polopravidelném mnohostěnu. 2.2. Definice. Každý polopravidelný mnohostěn bude jednoznačně určen posloupností (pi,p2,...,Pk), která vyjadřuje, že v každém vrcholu mnohostěnu pro i G {1,2,... ,k — 1} sousedí pj-úhelník s pí+1-úhelníkem a pi-úhelník s p^-úhelníkem. Tato posloupnost se nazývá vrcholová. Je zvykem (pokud tím nezměníme vrcholový mnohoúhelník) psát posloupnost tak, aby pro co nejvíce pi platilo: Pí AR A 3, 3, 4,4/ součet úhlů = AR (3,4,3,4) 8 (3,4,4,4) 10 A 3, 4, 4,4/ součet úhlů > AR A3, 3,3,3,5/ nevyhovuje ani /3, 3, 3, 3, 3, 4/ (3,3,3,3,5) 13 A 3, 3, 5/ definitio IX A 3, 5/ různá mocnost vrcholů /3,3, 3,5,5/ součet úhlů > AR (3,5,3,5) 9 A 5, 5, 5/ součet úhlů > AR A 5, 5/ propositio XXIII /3,3, 3,3,6/ součet úhlů = AR A 3, 6, 6/ součet úhlů = AR /3,3, 3, 6,6/ součet úhlů > AR (3,6,6) 2 /3,3,3,3,p/p>6 součet úhlů > AR /3,3,6,p/p> 6 součet úhlů > AR A 7, 7/ propositio XXIII (3,8,8) 1 /3,p,q/p,q > 11 součet úhlů > AR (3,10,10) 3 /A,A,A,p/p > 4 součet úhlů > AR /A,A,p/p > 4 definitio IX A 5, 5/ propositio XXIII (4,6,6) 5 /4,7,7/p>4 propositio XXIII 33 vhodné konfigurace nevhodné konfigurace konfigurace číslo konfigurace důvod /A,p,p/p> 7 součet úhlů > AR /5,5,p/p> 5 propositio XXIII (5,6,6) 4 /5,7,7/ součet úhlů > AR /6,p,p/p> 5 součet úhlů > AR /3,3,p,q/p> 3,q > 4 propositio XXIII (3,4,4,5) 11 /3,A,p,p/p>A součet úhlů > AR /p, q, r/p V q V r je liché propositio XXIX (4,6,8) 6 (4,6,10) 7 /4,6,p/p>12 součet úhlů > AR /A,p,10/p> 8 součet úhlů > AR Keplerův postup se z dnešního pohledu může jevit jako nepříliš logicky uspořádaný. V následujících odstavcích ukážeme, jak bychom tento důkaz podali dnešním studentům. Vyjdeme z diskuse možných vrcholových konfigurací a existenci příslušného tělesa dokážeme sestrojením jeho mnohostěnné sítě. V závislosti na počtu stěn sbíhajících se v jednom vrcholu budeme procházet tyto dvě podmínky: • mnohoúhelníky sbíhající se v jednom vrcholu musí mít součet úhlů menší než čtyři pravé úhly; • musí existovat „poskládání" potenciálních vrcholů do mnohostěnné sítě. V jednom vrcholu mnohostěnu se může sbíhat k pravidelných mnohoúhelníků, kde k G {3, 4,5}, což je zřejmé. Začneme rozebírat možnosti pro k = 5. Z první podmínky získáme dvě vrcholové konfigurace: 1. v každém vrcholu jsou čtyři trojúhelníky a jeden čtverec - budeme značit /3, 3, 3, 3, 4/; 2. v každém vrcholu jsou čtyři trojúhelníky a pětiúhelník - budeme značit /3,3,3,3,5/. Je důležité si uvědomit, že symbol /p\,p2,p?,,Pi,Pb/ značí množinu pi -úhelníků v každém vrcholu, narozdíl od symbolu {j>\,p2,p?,,Pi,Pb) značícího posloupnost pi - úhelníků v každém vrcholu. 34 \ Obr. 2.13: Sítě (3,3,3,3,4) Pokusme se sestrojit mnohostěnnou síť pro variantu (1). Z obrázku 2.13 je vidět, že takové mnohostěny budou existovat dva a že budou mít stejnou strukturu ve smyslu zachování „sousedských" vztahů mezi stěnami. Tělesa vzniklá z těchto sítí jsou zrcadlově obrácená. Proto hovoříme o jednom typu polopravidelného mnohostěnu s vrcholovou posloupností (3, 3, 3, 3, 4). , W >'! > "i \ i ť . t \ / i \ • ) I ! < ' \ \ ( • ' ' 11 ' * / f l I V \ \ \ ' / \ \ Obr. 2.14: Sítě (3,3,3,3,5) Mnohostěnné sítě pro variantu (2) jsou na obrázku 2.14. Opět vidíme, že možnosti sestrojení máme dvě. Protože se jedná o zrcadlovost, tělesa zto- 35 A /\ ^\ /N / \ / N --" \ / x- / V \ \ \ / 1 K Obr. 2.15: /3, 3, 4, 4/ Obr. 2.16: Spor (3,3,4,4) tožníme a získáme polopravidelný mnohostěn (3,3,3,3,5). V dalším textu budeme „zrcadlové" varianty považovat za sítě generující „týž" mnohostěn. Pro k = 4 máme z první podmínky následující možnosti vrcholových konfigurací: 3. /3,3 3,g/ 4. /3,3 4,4/ 5. /3,3 4,5/ 6. /3,3 4,6/ 7. /3,3 4,7/ 8. /3,3 4,8/ 9. /3,3 4,9/ 10. /3,3,4,10/ 11. /3,3,4,11/ 12. /3,3,5,5/ 13. /3,3,5,6/ 14. /3,3,5,7/ 15. /3,4,4,4/ 16. 73,4,4,5/ Obr. 2.17: Síť (3,4,3,4) Obr. 2.18: Síť (3,5,3,5) Síť varianty (3) pro q > 4, q G N je sítí příslušné antiprismy (3,3,3,g). Varianta (4) nám dává dvě možnosti poskládání v jednom vrcholu (obr. 2.15). 36 První možnost z obrázku 2.15 nás dovede ke sporu při tvorbě sítě (obr. 2.16). Z druhé sestrojíme síť (obr. 2.17) a vzniklé těleso označíme posloupností (3,4,3,4). Varianta (5) ukazuje dvě možnosti posloupností (obr. 2.19), tentokrát však síť neutvoříme ani z jedné (obr. 2.20). Síť konfigurací (6) — (11) je naprosto analogická s (5),stačí si místo pětiúhelníka představit odpovídající mnohoúhelník a uvědomit si, že to na řešení nemá žádný vliv. Další polopra-videlné těleso nám tudíž nepřibylo. Obr. 2.19: /3, 3, 4, 5/ Obr. 2.20: Spor (3,3,4,5) Varianta (12) má dva typy uspořádání ve vrcholu (obr. 2.21). Druhá nás záhy dovede ke sporu (obr. 2.22). Z první získáme síť na obrázku 2.18 a z ní mnohostěn (3, 5, 3, 5). Obr. 2.21: /3, 3, 5, 5/ Obr. 2.22: Spor (3,3,5,5) /'.< y ' y-/ y y < A A \ 1 / •v \ \ j \ / / i < A A \ \ N \ > 1 * % K > \ > > ■ IV V > \ \ \ y "*■ — ■*" / y y / y y y' y y y / y y * y Obr. 2.23: Sítě (3,4,4,4) 37 Obr. 2.24: /3,4, 4, 5/ Obr. 2.25: Spor (3, 4,4, 5) Obr. 2.26: Síť (3,4,5,4) Body (13) a (14) nebudou vyhovovat ze stejného důvodu jako bod (5). Varianta (15) nám dává dvě možnosti výběru. Buď pro všechny trojúhelníky platí, že incidence se stranou čtverce vyvolává incidenci jiného trojúhelníka s opačnou stranou čtverce, nebo se vyskytuje alespoň jeden čtverec, který sousedí s právě jedním trojúhelníkem (obr. 2.23). Získáváme dva různé mnohostěny (jeden nejde převést v druhý jako tomu bylo u bodů (1) a (2) s toutéž vrcholovou posloupností (3,4,4,4). Důležité je ovšem si uvědomit, že druhý mnohostěn (nazvaný pseudorombokuboktaedr) tím, že má dva různé typy vrcholů, nesplňuje definiční podmínku na str. 20, neboť nejde převádět vrcholy 38 Obr. 2.27: Spor (3,p,q) Obr. 2.28: Spor (3,p,p) Obr. 2.29: Spor (á,p,q) jeden na druhý. Zajímavostí zůstává, že toto těleso bylo objeveno až ve dvacátém století (viz odstavec 4.2). Zbývá nám poslední varianta pro k = 4 a sice (16). Máme dva způsoby uspořádání ve vrcholu — čtverce umístíme vedle sebe nebo naproti sobě (obr. 2.24). První povede ke sporu (obr. 2.25) a druhý na mnohostěn-nou síť (obr. 2.26) a na mnohostěn (3,4,5,4). Položme nyní k = 3. Ze součtu úhlů mnohoúhelníků v jednom vrcholu získáme níže uvedené možnosti (g 6 N), které vzápětí podrobíme testu existence sítě. 17. /3,3, q/,q> 3 29. /4,4,g/, g>2,g^4 18. /3,4, q/,q> 4 30. /4,5,g/, g>4 19. /3, 5, q/,q> 4 31. M 6,6/ 20. /3,6,6/ 32. /4,6,7/ 21. /3,6, q/,q> 6 33. /4,6,8/ 22. /3, 7, q/,q> 6 34. /4,6,9/ 23. /3,8,8/ 35. /4,6,10/ 24. /3,S,q/,q>S 36. /4,6,11/ 25. /3,9,g/, g> 8 37. /4,7,q/,q>6 26. /3,10,10/ 38. /5,5,6/ 27. /3,10, g/, g> 10 39. /5,6,6/ 28. /3,11, g/, g> 10 40. /5,6,7/ Uvažme, ze kterých konfigurací se nám nepodaří sestrojit síť. Zajisté budeme neúspěšní, vezmeme-li trojúhelník a dva navzájem různé mnohoúhelníky (obr. 2.27), neboť dostaneme spor při obsazování třetí strany trojúhelníka. Vyloučíme tedy všechny tyto možnosti — (17), (18), (21), (24) a (27). Rovněž nesestrojíme síť z trojúhelníku a dvou stejných fc-úhelníků, kde k je liché a současně k > 3. Na obr. 2.28 je spor ukázán pro k = 5, jedná se 39 t I v^ Obr. 2.30: Síť (3,6,6) Obr. 2.31: Síť (3,8,8) o analogický problém jako u obr. 2.27. Proto z řešení vypadnou i možnosti (19), (22), (25) a (28). Stejně nepochodíme, zvolíme-li si čtverec a dva jiné mnohoúhelníky, z nichž alespoň jeden má lichý počet vrcholů (obr. 2.29 ukazuje spor pro pětiúhelník a libovolný mnohoúhelník). Nyní můžeme vyloučit i body (30), (32), (34), (36) a (37). Obr. 2.32: Síť (4,6,6) 40 Obr. 2.33: Síť (3,10,10) Proberme postupně všechny zbylé možnosti. U bodů (20), (23) a (26) se síť zkonstruovat dá a to jednoznačně (obr. 2.30, 2.31, 2.33). Dostaneme polopravidelné mnohostěny s vrcholovými posloupnostmi (3,6,6), (3,8,8) a (3,10,10). Obr. 2.34: Spor (5,6,p) 41 Varianta (29) tvoří prismy (4, 4, q). Z možností (31), (33) a (35) získáme jednoznačně vyjádřené sítě na obrázcích 2.32, 2.37, 2.35. Archimédovská tělesa z nich sestrojená budou mít po řadě označení (4, 6, 6), (4, 6, 8) a (4, 6,10). Obr. 2.35: Síť (4,6,10) Varianty (38) a (40) vedou ke sporu (obr. 2.34) při tvorbě sítě — s pátou hranou pětiúhelníku nemůže incidovat ani šestiúhelník, ani pětiúhelník (38), respektive sedmiúhelník (40). A konečně z poslední zatím nerozřešené možnosti (39) dostáváme síť (obr. 2.36) a příslušný mnohostěn (5,6,6). Ukázali jsme si, že typů polopravidelných mnohostěnů je celkem 15, při- 42 čemž dva z nich jsou nekonečné (prismy a antiprismy). Následuje výčet vyhovujících posloupností: (3,3,3,3,4) (3,3,3,3,5) (3,3,3,?), q> 4 (3,4,3,4) (3,5,3,5) kde qeN. (3,4,4,4) (3,4,5,4) (3,6,6) (3,8,8) (3,10,10) (4,4,5), q>3, q^4 (4,6,6) (4,6,8) (4,6,10) (5,6,6), QED. Obr. 2.36: Síť (5,6,6) 43 Obr. 2.37: Síť (4, 6, 8) 2.3 Mnohostěny v umění do počátku 17. stol. Vědecký zájem o mnohostěny je od dob renesance také provázen zájmem uměleckým. V tomto odstavci si klademe za cíl přiblížit nejvýznamnější výtvarná díla inspirovaná mnohostěny, která vznikala v období od konce 14. stol. do počátku 17. stol. Z období 1425-1427 pochází část dlažby v bazilice sv. Marka v Benátkách znázorňující malý hvězdicový dvanáctistěn (obr. 2.38).10 Autorem byl pravděpodobně florentský malíř PAOLO Ucello (1397-1475). Poznamenejme zde, že matematicky byl tento mnohostěn popsán až o téměř 200 let později (viz str. 26). Významná osobnost období renesance, malíř, sochař a vědec LEONARDO DA Vinci (1452-1519) ilustroval knihu Da Divina Proportionen jejímž autorem byl italský matematik LuCA PACIOLI (1445-1517). Dílo obsahuje přes padesát kolorovaných kreseb mnohostěnů, některé z nich jsou na obr. 2.39. Ukázky uměleckých děl v tomto odstavci jsou převzaty z [wwwGe]. 44 Obr. 2.38: Dlažba v bazilice sv. Marka v Benátkách wunw ^tx f I LWVW VAttVM j^ ~~S¥5—■ Obr. 2.39: Ilustrace ke knize Ľa Divina Proportione 45 Obr. 2.40: Pacioli kreslí rombicuboctaedron Pacioli je vyobrazen se svým znovuobjeveným rombicuboctaedronem na dobovém obraze z roku 1495 od malíře JACOPO DE BARBARI (obr. 2.40), který je v současnosti vystaven v Gallerie di Capodimonte v Neapoli. + ■: Obr. 2.41: Sítě těles od Albrechta Dürrera Další osobností, která se významně zapsala do historie pravidelných mnohostěnů, byl německý malíř ALBRECHT DÜRRER. V jeho díle Underweysung 46 Obr. 2.42: Hrobka v katedrále v Salisbury 47 der Messung se poprvé objevují sítě mnohostěnů. Na obrázku 2.41 je vlevo síť polopravidelného mnohostěnu, který v Keplerově ilustraci 2.12 má číslo 12. Druhá znázorněná síť patří mnohostěnu, který vznikne osekáním osekané krychle. Podíváme-li se na druhou síť pečlivě, brzy objevíme chybu, kterou Dürrer udělal. Okolo některých vrcholů dvanáctiúhelníků znázornil tři trojúhelníky, které vyplňují plný úhel (kdyby tomu tak bylo, nešel by tento mnohostěn v prostoru zkonstruovat). Významné místo v geometrii zaujímá také vídeňský malíř Wentzel Jamnitzer (1508-1585), který ve svých ilustracích v díle Perspectiva Corpo-rum Regularium vykresluje mnohostěny, jež mají být matematicky popsány o mnoho let později (obr. 2.4311). Obr. 2.43: Ukázka z Perspectiva Corporum Regularium Kamenné hranové modely mnohostěnů (obr.2.42), které jako první ztvárňuje Leonardo da Vinci, nalezneme také na hrobce z roku 1635 v katedrále v Salisbury (Anglie). ABRAHAM SHARP (1651-1742), astronom anglické královské observatoře, ve své knize Geometry Improv'd ukazuje, jak získat mnohostěny osekáním dřevěné krychle (obr. 2.44). Ilustrace z Perspectiva Corporum, Regularium, lze nalézt např. v [wwwHe]. 48 Obr. 2.44: Osekávaní dřevěných hranolů 49 Kapitola 3 Hledání vztahů mezi mnohostěny V období od 17. do 19. stol. se začíná geometrie ubírat obecnějším směrem. V matematice mnohostěnů již nejde jen o to, tělesa objevit a popsat, ale vůdčí začíná být snaha najít obecné zákonitosti, které by platily pro všechny zkoumané prvky. První publikované práce tohoto rázu pochází z 18. stol. od švýcarského matematika Leonharda Eulera. Některé obecné vztahy platící pro mnohostěny však znal již v 17. stol. francouzský filosof a matematik René Descartes. Za svého života práci o mnohostěnech nepublikoval, dnes ale víme, že mohl znát větu, kterou o více než sto let později uvádí Euler (viz str. 54). Proto bude první část této kapitoly věnována Descartovi a druhá Eulerovi. Až na počátku 19. stol. objevuje francouzský geometr a fyzik Luis Poin-sot další dva pravidelné hvězdicové mnohostěny. Právě hvězdicovým formám mnohostěnů bude věnována další část této kapitoly. K propojování prostorové geometrie s právě vznikající topologií dochází v první polovině 19. stol., kdy anglický matematik sir William Rowan Hamilton použije grafů k rovinné interpretaci vztahů mezi prvky mnohostěnu. Přelomovým se stává začlenění mnohostěnů do ^-dimenzionálního matematického systému, které provádí švýcarský matematik Ludwig Schläfli. Závěrečná část této kapitoly bude věnována objevům pravidelných mnohostěnů ve struktuře některých krystalů. Až v 18. stol. je tedy potvrzena správnost intuice Reků, kteří se domnívali, že krása pravidelných mnohostěnů se musí odrážet ve stvořené přírodě. 3.1 Descartes Francouzský matematik a filosof RENÉ DESCARTES (1596-1650) je prvním, kdo se zabývá obecnými zákonitostmi platícími pro mnohostěny. Proč jeho 50 dílo bylo spatřeno až v 19. stol, se pokusíme objasnit v následujícím odstavci. V roce 1649, rok před svou smrtí, přichází Descartes do Švédska vyučovat princeznu Christinu filosofii. Když umírá, jeho pozůstalost je poslána zpátky do Francie, kde však po příjezdu do Paříže padá bedna s rukopisy do řeky. Většina prací je zachráněna a usušena, některé se dostanou do rukou soudobým vědcům. Mezi nimi je i Leibniz, který některé z rukopisů přepíše, včetně šestnáctistránkového pojednání nazvaného Progymnasmata de solidorum dementis (Cvičení ze základů teles). Originál později zmizí a Leibnizův přepis zapadne až do jeho znovuobjevení roku 1860. Zdá se tedy velmi pravděpodobné, že jediný Leibniz věděl o Descartově práci na mnohostěnech a nikomu o ní neřekl1. Progymnasmata je první známou prací zabývající se obecnými mnohostěny, ačkoli daleko známější jsou pozdější práce Eulera (viz odstavec 3.2). V dalším uvedeme významná tvrzení ze spisu Progymnasmata. Descartes se zabýval součtem vnitřních úhlů patřících mnohoúhelníkům, které se sbíhají v jednom vrcholu mnohostěnu. Deficitem vrcholu mnohostěnu nazval velikost úhlu, která chybí do 4 pravých úhlů (např. pro krychli je deficit vrcholu jeden pravý úhel). Celkovým deficitem potom rozuměl součet všech dílčích deficitů (pro krychli tedy osm pravých úhlů). Descarterovým závěrem vyvozeným ze sférické trigonometrie byl právě fakt, že celkový deficit je pro mnohostěn vždy roven velikosti osmi pravých úhlů: 3.1. Věta. Součet všech vrcholových defícitů je v libovolném konvexním mnohostěnu roven velikosti osmi pravých úhlů. Odtud lze přímo vidět větu 3.5 (str. 55), která bude zmíněna v pozdějších pracech Eulera. Pozoruhodná je obzvláště následující věta: 3.2. Věta. Pomocí součtu vnitřních úhlů v mnohoúhelnících tvořících stěny mnohostěnu a počtu stěn najdeme počet zmiňovaných vnitřních úhlů takto: počet stěn vynásobíme čtyřmi a výsledek přičteme k součtu vnitřních úhlů (vyjádřenému v pravých úhlech). Polovina z výsledku bude rovna počtu vnitřních úhlů. (Dato aggregato ex omnibus angulis planis et numero facierum, numerům angulorum planorum invenire: Ducatur numerus facierum per 4, et pro-ductum addatur aggregato ex omnibus angulis planis, et totius media pars erit numeris angulorum planorum.) Zajímavost této věty tkví v tom, že ve složení s větou 3.1 nám vytvoří 1 Sekce o Descartovi čerpá především z článku [Sa04b]. 51 známou Eulerovu větu (viz věta 3.3), kterou Euler objevuje 100 let po Des-cartově smrti. Nechť Yl značí součet všech vnitřních úhlů v mnohoúhelnících tvořících stěny mnohostěnu, v počet vrcholů a h počet hran tohoto tělesa. Věta 3.1 lze potom zformulovat následovně: 4u-£; = 8. (3.1) Dále nechť s značí počet stěn a u počet všech vnitřních úhlů v mnohoúhelnících tvořících stěny tělesa. Je zřejmé, že platí: u = 2h. (3.2) Větu 3.2 můžeme interpretovat rovností: -----2-----=u- (3-3) Dosazením obou uvedených vztahů získáme: ^±f^ = 2ft, (3.4) což již je Eulerova věta (viz věta 3.3). Otázkou zůstává, zda si byl Descartes vědom platnosti tohoto vzorce, či nikoli. 3.2 Euler Jak již bylo zmíněno dříve, novověcí matematikové se snaží vytvářet teorie, které by byly živnou půdou pro zkoumané objekty a které by umožnily jejich začlenění a další zkoumání. Jedním z nejvýznamnějších představitelů této doby je švýcarský matematik Leonhard EULER (1707-1783). Eulerův příspěvek k mnohostěnům je velmi významný, protože odhaluje obecně platné vztahy v těchto tělesech.2 Významné poznatky k mnohostěnům uvádí Euler ve dvou článcích: • Elementa doctrinae solidorum (Základy učení o tělesech)3 2Nelze s přesností tvrdit pro jaké typy mnohostěnů Euler své věty dokazoval. Někteří matematikové (např. [Sa04b] nebo [Arm83]) se domnívají, že mnohostěny, které Euler nazýval tělesa ohraničená mnohoúhelníky lze v dnešní době chápat jako konvexní mnohostěny. 3[E52a] str. 109-140. 52 • Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum, quibus solida hedris planis inclusis sunt praedita (Důkaz některých vlastností těles ohraničených mnohoúhelníky)41 PROPOSITIO vm. f. 5 i. Stitx&a ímniatíí ati^thřavt pksorum t qui ŕí qtnhim tviwturtqii? j$d: refsrisatiiir > «equaUs dl qwfsr tu angibt rtčlis, fwr vallate; sccwrtmt it enreßi tttmerí Ultreon Jtiptr materxm fjidmrmt,' .DEMOSSTRATIO. Sit nurtirras atitrum =A, numeiusťjue hedra™m ^ H, aiqüc damonfiisiidHiii eil, fiimmiiiri omnium an-gLŮDnim. pSworum atquakm efla 4. A — 4 Ií reŕtU. Ad hoc dejnocifirauainn tfjnftet íůhůi a Hi bi t uř j ex a htdní Itigoois k i hcdcíi teursgortjs eat £ Ilůdtis pentagpnis c* rf liedris iiexígonís «i e bidľis lieptíigonis ere. «it e/550 muttius bediamm U^j+ŕ-J-f+J+ff+etc. wqiímetusicicfum.A^řía^+^^+Sí + ^^H-^ f+«í-) quia ouffiera asgdorum pkttaium ejk = 3444£4-5f-t* lum tum íítmnia angulorum tľíus trianguli (1= í reŕlís - , - - -.....viiiuB ůuadrllaceri = 4 jeftií __---_--.- vriius- penmgüiii í^ tí ícčKí .--------...., TsSu* liexsgoni ^ S icäi» ,, — „,-.'.- tiüus tiepagoüi =. to ieiüs etc. wit Čumím Ofrinium angiilotum pla riorum — s. (H-4& + tf ŕ 4- * ŕ-t ine H-*tc. angulis reäfc, at eft 4.A = íí + íí + iOŕ+nrf + Hf -i- «c, ergo * A -4 H = iŕr-t-+ŕ-ŕ<í ŕ-fíd-Ť- íoe+ete. Confcqnoiter ftmma omnium snjjulururo pknorum aeqtiaiij cit^A—4Han|uiiä raftk Q.. E. D. Obr. 3.1: Ukázka z Elementa doctrinae solidorum Některá tvrzení z prvního článku se prokazatelně objevila již v Eulerově korespondeci Christianu Goldbachovi datované z 14. 11. 1750.5 Druhý článek 4[E52b] str. 140-160. 5[Fu68] str. 536-539. 53 napsal Euler o rok později. Oba byly nakonec společně publikovány ve čtvrtém čísle Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae z roku 1752/53, který se však objevil v tisku až v roce 1758. Nejprve se podíváme na článek Elementa doctrinae solidorum. Euler v něm zavádí pojem hrana (acies), do té doby nijak nepojmenovaný. Dále formuluje věty, z nichž uveďme následující: 3.3. Věta. V libovolném tělese ohraničeném mnohoúhelníky převyšuje součet vrcholů tělesa s jeho stěnami počet hran o 2. (Propositio 4: In omni solido hedris planis incluso aggretatum ex numero angulorum solidorum et ex numero hedrarum binario excedit numerům acie-rum.) Vyjádřeno vzorcem je to: v + s = h + 2, (3.5) kde v značí počet vrcholů mnohostěnu, h počet hran mnohostěnu a s počet stěn mnohostěnu. Euler nikdy nepíše dnes jistě více používaný zápis po něm pojmenované věty: v — h + s = 2. Namísto důkazu tvrzení Euler pouze přiznává, že se mu jej dosud nepodařilo nalézt. Další tvrzení, které je dnes v podstatě neznámé, Euler formuluje takto: 3.4. Věta. Součet všech vnitřních úhlů mnohoúhelníků tvořících stěny mnohostěnu vyjádřený v pravých úhlech je stejný jako čtyřnásobek počtu hran tělesa zmenšený o čtyřnásobek počtu stěn tělesa. Euler vede důkaz takto (obr. 3.1). Nejprve označí počty n-úhelníků, které tvoří mnohostěn. Tedy a značí počet trojúhelníků, 6 čtyřúhelníků, c pětiúhelníků, d šestiúhelníků apod. Dále vyjádří počet hran h, počet stěn s a součet vnitřních úhlů v mnohoúhelnících Yl vyjádřený v pravých úhlech: - • (3a + 46 + 5c + 6d...) a + 6 + c + d+... 2a + 46 + 6c + 8d + .... Z toho je přímo vidět, že platí rovnost: ^ = Ah-As. (3.6) h E 54 3.5. Věta. Součet všech vnitřních úhlů mnohoúhelníků tvořících stěny mnohostěnu vyjádřený v pravých úhlech je o 8 menší než započítáme-li pro každý vrchol čtyři pravé úhly. Tuto větu Euler bere jako důsledek předchozí věty. Musíme si však uvědomit, že k tomu, aby tato věta mohla být pokládána za důsledek věty 3.5, potřebuje Euler také větu 3.3). V článku Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum, quibus solida hedris planis inclusis sunt praedita již Euler uveřejňuje důkaz své věty 3.3. Dnes bychom jej prezentovali pomocí matematické indukce, v té době ne zcela běžné důkazové metody6 Proto také Euler nejprve připraví půdu důkazu tím, že ukáže, jak jeho princip funguje v rovině na elementárním tvrzení, že součet vnitřních úhlů v konvexním n-úhelníku je roven 2n — 4 pravým úhlům. Předpokládejme např. konvexní sedmiúhelník ABCDEFG (obr. 3.2). Euler rozdělí mnohoúhelník na trojúhelníky vyznačením úhlopříček GB, BF, BC, CE. Odstraněním trojúhelníku CDE vznikne mnohoúhelník s n — 1 vrcholy a součet vnitřních úhlů se zmenší o 2 pravé úhly. Proto po k krocích, pro nějaké k, získáme n — k = 3, zůstane nám tedy z mnohoúhelníku trojúhelník ABG, jehož součet vnitřních úhlů je roven dvěma pravým úhlům. Proto byl součet všech vnitřních úhlů v původním mnohoúhelníku roven (2k + 2) pravým úhlům, neboli 2 • (n — 3) + 2 = 2n — 4 pravým úhlům. Obr. 3.2: Eulerova kresba k důkazu (1) Obr. 3.3: Eulerova kresba k důkazu (2) Právě uvedený postup důkazu nám může připadat zbytečně složitý,7 mějme však na paměti, že si Euler chystal půdu k důkazu ve třetí dimenzi. 6Důkaz je převzat z článku [E52b]. 7Jednodušší je např. uvažovat libovolný vnitřní bod n-úhelníku a spojit s ním každý z n vrcholů. Vzniklé trojúhelníky mají součet vnitřních úhlů roven In pravým úhlům, což je o čtyři pravé úhly (okolo vnitřního bodu) více, než musí být zjišťovaný součet vnitřních úhlů. 55 V prostoru se Euler rozhodne odstraňovat vrcholy. Podává následující důkaz, o jehož nekorektnosti8 se přesvědčíme na závěr. Uvažuje mnohostěn na obrázku (obr. 3.3) a odstraní z něj vrchol O, který je spojen s vrcholy A, B, C, D, E a F, čímž odstraní také čtyřstěny O ABC, OACF, OCDF a ODEF (body P, Q patří k důkazu jiného tvrzení). Dále tvrdí, že odstraněním vrcholu O (čímž myslí odstranění zmíněných čtyřstěnů) se nezmění vztah mezi v, h a s. Vyvozuje, že jestliže bude pokračovat v popsaném odstraňování vrcholů, získá čtyřstěn (což je chybný závěr). Protože čtyřstěn splňuje dokazovanou rovnost, zbývá jen dokázat, že odstraňováním vrcholů se skutečně nemění vztah mezi v, h a s. Euler vede myšlenku takto: jestliže odstraníme vrchol O, potom se počet v zmenší o jedna. Předpokládejme, že k je počet stěn, které se stýkají ve vrcholu O. Potom k značí také počet hran sbíhajících se v tomto vrcholu, stejně jako počet hran ohraničujících (ne nutně) rovinný mnohoúhelník ABC DE F. Rozčleněním tohoto mnohoúhelníku na trojúhelníky nám vznikne k — 2 rovinných mnohoúhelníků (trojúhelníků) ohraničených k — 3 novými hranami. Proto odstraněním vrcholu O ubude jeden vrchol, k hran a k stěn. Současně však přibude k — 2 stěn a k — 3 hran triangulací. Proto pro počty v', s' a h' v novém mnohostěnu bude platit: v' = v — 1 s' = s-k + {k-2) = s-2 ti = h-k + (k-3) = h-3 Proto platí: v' - ti + s' = v - 1 - (h - 3) + s - 2 = v - h + s, (3.7) což znamená, že uvedený postup nemá vliv na hodnotu tohoto výrazu, která zůstává stejná pro zadaný mnohostěn i pro výsledný čtyřstěn. Jednalo by se bezesporu o elegantní důkaz, kdyby ovšem neobsahoval fatální chybu v tvrzení, že postupnou redukcí musíme získat čtyřstěn (respektive vždy těleso stejného typu, tedy ohraničené rovinnými útvary). Protipříklad je uvedený na obrázku (obr. 3.5). Odstraníme-li z tohoto tělesa vrchol O Eulerovým postupem, rozpadne se nám těleso na dva čtyřstěny: AEBD a CFBD, spojené společnou hranou BD. Tato tělesa Euler neuvažoval a věta 3.3 pro ně neplatí. Ačkoli Euler nepodal korektní důkaz, objevil pravdivé a velmi podstatné tvrzení, které je od té doby nazýváno Eulerovou větou. 8Vycházíme z komentovaného rozboru, který lze nalézt v [Sa04b]. 56 První9 správný důkaz Eulerovy věty uveřejňuje v díle Geometrie der Lage roku 1847 německý geometr KARL GEORG CHRISTIAN VON STAUDT (1798-1867). 49. Wenn jeder Eckpunkt eines Pcljaderfi »nit jedem andern durůh eine Katíte udeľ eine ana Kanten zusammen geeetate Linie verbunden werden baut, und teiae Ober däche durch jede aus Kanten suäammcDgeactate. geschla-saene Linie t welche nicht tffter ala einmal durch einen und denselben Funkt gctt+ in awei Theile gcthcilt wird, so ist die Anzahl E dar Etikpnnkte mehr dir Ad tatí p der Flächen gleieh der Anzahl E der Kanten mehr zwei. Wenn nämlich dar Körper E Eckpunkte hat, so aínd E—1 Kswten, von welchen die Grata zwei Eckpunkte unter aieb, die zweite eipon derselben mit einem dritten , die dritte einen důrj drei Vorigen mit einem vierten n. s. w. verbindet, hinreichend im von jedem Eckpunkte auf jaden andern Übergehen nu kennen. Da, nnn in einem aolehan Syffcme Tůu Kankn teiiw geficoloa-seiia Líni« enthalten Ist, jede der Übrigen (noch freien) Kanten aber mit zwei oder mehrcru Kanten dag Systeme cine ííeeeUoo-ecne Linie bildet, 60 sind die übrigen Kanten hinreichend abet anch alle erforderlich, um durch eie von jeder der F Fiächen de* Körpers auf jede andere Übergehen su können, worauf nutu schlieaBän kann, dasa die Anzahl der Übrigen Kanten F—1, mithin die. Anzahl aller Kanten B+F—2 ttnd demnaeh E-t-F — K + 2 aey. Obr. 3.4: Ukázka z díla Geometrie der Lage Abychom jeho důkaz10 mohli vést v duchu dnešní terminologie, zavedeme nejprve některé pojmy z teorie konečných grafů. 3.1. Definice. Nechť U je neprázdná konečná množina, jejíž prvky nazveme uzly. Nechť H je množina prvků, jež nazveme hranami, přičemž platí, že každá hrana je jednoznačně určena dvěma uzly z množiny U, které spojuje. Tedy H je systém dvouprvkových podmnožin množiny U. Uspořádanou dvojici (U, H) nazveme grafem. [Arm83] str. 3. [vS47] str. 20-21. Ukázka je na obrázku 3.4. 57 3.2. Definice. Nechť Ui j sou uzly množiny U a ii jUk jsou hrany z mno- žiny H. Posloupnost Uq,VLqUi,Ui ,UiU2 u2 j • • • jUn— l, Un- -l^TO) Un nazveme sledem délky n. 3.3. Definice. Řekneme, že graf (U, H) je souvislý, existuje-li mezi každými dvěma uzly z množiny U sled. 3.4. Definice. Číslo vyjadřující počet hran vycházejících z uzlu u nazveme stupeň uzlu u. 3.5. Definice. Souvislý graf (U,H), jehož všechny uzly mají stupeň 2, nazveme kružnicí. Souvislý graf (U, H) bez kružnic nazveme strom. 3.6. Definice. Graf {IJ\, H\) nazveme faktorem grafu (U, H), právě tehdy když Ui = U a současně H\ C H. Faktor, který je stromem, se nazývá kostra. Bez důkazu uvedeme ještě jednu elementární větu. 3.6. Věta. V každém stromu (U, H) platí, že počet uzlů U zmenšený o počet hran H je roven jedné: W\- \H\ = 1 (3.8) Nyní použijeme teorii grafů k důkazu platnosti Eulerova vzorce. 58 Mnohostěn si můžeme představit jako graf (ř7, K).11 Uzly grafu budou vrcholy mnohostěnu a hrany grafu budou hranami mnohostěnu. Je zřejmé, že tento graf je souvislý, vždyť mezi každými dvěma vrcholy existuje sled. Vezměme nyní libovolnou kostru grafu (ř7, K) a označme ji T. Sestrojme dále tzv. duální graf T' ke grafu T: v každé stěně mnohostěnu zvolme vnitřní bod, který bude v T' vrcholem. Dva vrcholy v T' spojíme hranou právě tehdy, když jim odpovídající stěny v mnohostěnu mají společnou hranu, která není obsažena v T. (Pro pravidelný dvanáctistěn bychom mohli získat grafy na obrázku 3.6.) Obr. 3.5: K Eulerovu důkazu (3) Obr. 3.6: Graf k důkazu Eulerovy věty Tvrdíme, že T' je souvislý. Kdyby existoval vrchol, k němuž se nemůžeme dostat řetězcem hran z libovolného vrcholu, znamenalo by to, že v T existuje kružnice, což je spor s tím, že T je kostra. Tvrdíme, že T' je strom. Kdyby v T' existovala kružnice fc, znamenalo by to, že řez podél této kružnice rozdělí mnohostěn na dvě části, kde každá z nich obsahuje alespoň jeden vrchol. To je zřejmé, protože uvažujeme jednoduše spojitý mnohostěn (kdybychom vzali např. mnohostěn, který by byl topologicky shodný s torem, T' by přirozeně kružnici obsahovat mohlo, viz obr. 3.7). Zmíněné rozdělení mnohostěnu obsahuje spor s tím, že T je spojité (kdybychom ty dvě části spojili, museli bychom protnout fc, což je spor s definicí T", vždyť hrany zľaf nesmí mít společný bod). Jistě je T' také faktor, neboť vrcholy T' jsme volili v každé ze stěn mnohostěnu. n[Arm83] str. 1-4. Mnohostěnem rozumíme těleso ohraničené konečnou množinou rovinných mnohoúhelníků, které plní následující podmínky. Dva mnohoúhelníky spolu mohou sousedit právě společnou hranou. Každá hrana mnohoúhelníku leží v právě jednom dalším mnohoúhelníku. Pro každý vrchol obklopený k mnohoúhelníky lze najít označení těchto mnohoúhelníků Qi, Q2,---,Qk takové, že mnohoúhelník Q i má společnou hranu s mnohoúhelníkem Qi+i pro 1 < i < k & Qk má společnou hranu s Q\. T 59 část T T' Obr. 3.7: Ukázka T a části T' pro mnohostěn, který není jednoduše spojitý Ze vztahu (3.8) dostáváme aplikací na kostry T, T'\ \Ut\ — \Ht\ (3.9) (3.10) kde UT UT> množina všech vrcholů mnohostěnu množina všech stěn mnohostěnu množina některých hran mnohostěnu množina, jejíž prvky odpovídají postupně všem hranám mnohohostěnu, které nejsou obsaženy v předchozí množině Sečtením posledních dvou vztahů a dosazením do řeči mnohostěnu: | U t I — IH t I + IU t' I — IH j1 f I = 2 \UT\ = v I Ut> I = s | H j? I + IHt' I = h dostaneme dokazované tvrzení (viz. 3.3). QED. 3.3 Poinsot Významný francouzský geometr a fyzik LOUIS PoiNSOT (1777-1859) napsal roku 1809 dílo o mnohoúhelnících a mnohostěnech,12 ve kterém prezentuje 12 Ma] 60 objev čtyř hvězdicových mnohostěnů. Poinsot si pravděpodobně nebyl vědom toho,13 že dva z nich již objevil Kepler v roce 1619 — viz sekce 2.2.1. Nově objeveným mnohostěnem je proto velký dvanáctistěn (obr. 3.11) a velký dvacetistěn (obr. 3.19). Obr. 3.8: Ohvězdování osmistěnu Jak již bylo zmíněno v definici hvězdicového mnohostěnu (viz str. 28), tato tělesa vzniknou ohvězdováním pravidelných mnohostěnů, přičemž vyloučíme složeniny. Podívejme se tedy, jak takové ohvězdování bude vypadat. Rozebereme postupně všechny možnosti a pro lepší představu je dokreslíme obrázky, které jsme názorně nakreslili v počítači. Obr. 3.9: První ohvězdování dvanáctistěnu (a) Vezmeme-li pravidelný čtyřstěn nebo šestistěn, protažení stěn těchto mnohostěnů nebude mít žádné nové průniky s nesousedními stěnami (u čtyřstěnu 13 [wwwMa] 61 sousedí každá stěna s každou a u krychle jsou ke zvolené stěně všechny ve vztahu sousednosti nebo rovnobežnosti). Obr. 3.10: První ohvězdování dvanáctistěnu (b) U osmistěnu se nám jedno ohvězdování povede, uvážíme-li průnik protažené stěny se stěnami, které měly s původní stěnou společný právě vrchol. Získáme těleso nazvané stella octangula (hvězda osmicípá), které znal již Johannes Kepler.14 Jedná se však o složeninu dvou pronikajících se čtyřstěnů (obr. 3.8), proto ji nebudeme mezi hvězdicové mnohostěny počítat. Dalším protažením stěn osmistěnu nám nové průsečíky nevzniknou. Podívejme se nyní na pravidelný dvanáctistěn. Zde již bude situace zajímavější a pro hvězdicové mnohostěny zajisté štědřejší. Prodloužíme-li stěny pravidelného dvanáctistěnu tak, abychom pro každou stěnu získali průsečíky se sousedními stěnami (obr. 3.9), vznikne nám malý hvězdicový dvanáctistěn (obr. 3.10)15. Protáhneme-li stěny více, abychom získali průsečíky i s druhým kruhem sousedících stěn, vznikne nám nejprve velký dvanáctistěn (obr. 3.II)16 a po dalším protažení velký hvězdicový dvanáctistěn 14[Cox48] str. 56. 15 Jak bylo zmíněno v odstavci 2.2.1, tento mnohostěn byl znám již Keplerovi. 16Objevení připisováno Poinsotovi. 62 Obr. 3.11: Druhé ohvězdování dvanáctistěnu Obr. 3.12: Třetí ohvězdování dvanáctistěnu 63 (obr. 3.12)17. Zkoumáme-li proces ohvězdování pozorně, zjistíme, že Kepler pravděpodobně nepostupoval takto systematicky — musel by přece objevit i velký dvanáctistěn. Můžeme se proto domnívat, že Kepler ohvězdování nepovažoval za obecný proces, který by šel aplikovat ve větší šíři. Obr. 3.13: Pravidelný dvanáctistěn a jeho hvězdicové formy Další průniky protažených stěn pravidelného dvanáctistěnu již nezískáme. Původní dvanáctistěn a všechny hvězdy, které z něj vzniknou jsou vyobrazeny na obrázku 3.13. Poslední pravidelný mnohostěn, který nám zbývá, je dvacetistěn. Protažením jeho stěn získáme nejprve složeninu pěti osmistěnů — pro průnik každé stěny se šesti stěnami sousedícími vrcholově (obr. 3.14). Na obrázku 3.16 je tato složenina vybarvená nejprve podle barev stěn původního dvacetistěnu, druhý obrázek barevně znázorňuje osmistěny, které složeninu tvoří. 17 Jak bylo zmíněno v odstavci 2.2.1, tento mnohostěn byl též znám již Keplerovi. 64 "■■L-"' X7 Obr. 3.14: První ohvězdování dvacetistěnu 65 Obr. 3.15: Druhé ohvězdování dvacetistěnu 66 Obr. 3.16: Různá obarvení složeniny pěti osmistěnů Průnik dalších šesti rovin (určených trojúhelníky, které vrcholově sousedí s protilehlým trojúhelníkem) určí obrys stěny, jež bude tvořit další složeninu, tentokrát pěti čtyřstěnů (obr. 3.15). Stejně jako v předchozím případě, i zde je na obr. 3.17 zachyceno toto těleso nejprve v původních barvách ohvězdová-vaného dvacetistěnu, druhé vybarvení znázorňuje jednotlivé čtyřstěny. Obě složeniny objevil a popsal v díle Ueber die zugleich gleicheckigen und gleichflächigen Polyeder z roku 1876 Edmund HESS (1843 1903).18 Obr. 3.17: Různá obarvení složeniny pěti čtyřstěnů Konečně poslední možností ohvězdování pravidelného dvacetistěnu je průnik dané stěny se třemi stěnami, které sousedí s protilehlým trojúhelníkem a tentokrát nám konečně nevznikne složenina, ale velký dvacetistěn (obr. 3.18 a 3.19). Na obrázku 3.20 jsou současně znázorněna všechna ohvězdování pravidelného dvacetistěnu. 18[Cox48] str. 56. 67 Obr. 3.18: Třetí ohvězdování dvacetistěnu (a) 68 Obr. 3.19: Třetí ohvězdování dvacetistěnu (b) 69 Tím jsme vyčerpali všechny možnosti ohvězdování a získali jsme tak čtyři hvězdicové mnohostěny, které bývají nazývány také kepler-poinsotova tělesa, neboť Kepler a Poinsot byli první, kdo je matematicky popsali. Obr. 3.20: Pravidelný dvacetistěn a jeho hvězdicové formy 70 3.4 Mnohostěny a grafy Mnohostěny nejsou v geometrii uzavřenou kapitolou, která by neměla čím přispět matematice budované od základů. V 19. stol. začínají být mnohostěny interpretovány pomocí grafů, což nám na ně nabízí nový pohled. Teorie grafů sice neumožní znázornit model mnohostěnu tak, aby zachovala původní metrické vlastnosti, dokáže však zachytit prostorové vztahy a vazby. Jedná se o další důležitý krok na cestě zobecňování, která vede k propojení matematiky. Konkrétní využití teorie grafů bylo obsaženo např. v důkazu věty 3.3, který začíná na str. 57. Rovinné grafické znázornění nám zjednoduší zkoumání vztahů mezi stěnami, hranami a vrcholy v mnohostěnu. Významným zastáncem této teorie je irský královský astronom sir WILLIAM ROWAN HAMILTON (1805-1865). Od něj pochází dětský hlavolam z roku 1857 na obr. 3.21.19 Úkolem je projít všechna města (vrcholy dvanáctistěnu) a přitom nejít žádnou z cest (hran dvanáctistěnu) vícekrát než jednou. Hamilton převedl prostorovou úlohu pomocí grafu do roviny. Obr. 3.21: Hamiltonův hlavolam Znázornění mnohostěnů pomocí grafů využívá také VICTOR SCHLEGEL (1843-1905), který rovinných diagramů pro prostorové mnohostěny používá 19[wwwPu] 71 jako analogie prostorových diagramů, které umožní znázornit čtyřrozměrné mnohostěny. Jeho diagramy pěti platónských těles jsou na obr. 3.22.20 Obr. 3.22: Schlegelovy diagramy 3.5 Schläfli Švýcarský matematik LUDWIG SCHLÄFLI (1814-1895) zavádí označení pravidelných mnohostěnů pomocí uspořádané dvojice (p,q), kde p značí pravidelný p-úhelník a q počet hran sbíhajících se v jednom vrcholu. Odpovídající Schläfliho symboly jsou shrnuty v následujícím přehledu: (3.3) čtyřstěn (3.4) osmistěn (3.5) dvacetistěn (4,3) šestistěn (5,3) dvanáctistěn 20Diagramy pochází z díla Uber Projectionsmodelle der regelmässigen vierdimensionalen Körper vydaného roku 1886. 72 Schläfli jako první21 odvozuje vztahy mezi počtem vrcholů v (případně počtem hran h, případně počtem stěn s) a zmíněnými charakteristikami p a q. Jedná se o následující rovnosti: 4p 4- - (P -2)(g-2pq -2) 4- - (p -2)(g-Aq -2) h A-{p-2){q-2) Ukážeme, jak lze získat vztah pro počet vrcholů (ostatní vztahy bychom odvodili analogicky). Budeme potřebovat Eulerovu větu (str. 54) a další dvě pomocná tvrzení. První z nich tvrdí, že počet hran pravidelného mnohostěnu je roven polovině počtu vrcholů násobeného počtem hran vycházejících z jednoho vrcholu. To je zřejmé, neboť každou hranu při tomto počítání bereme dvakrát (hrana je určena dvěma vrcholy a byla proto započítána dvakrát). Zapsáno vzorcem máme: h = ^ (3.11) 2 v ' Druhé pomocné tvrzení zní: počet hran pravidelného mnohostěnu je roven polovině počtu stěn násobené počtem stran příslušného pravidelného mnohoúhelníku. To je zřejmé, neboť každou hranu počítáme takto dvakrát (hrana je určena dvěma mnohoúhelníky a byla proto započítána dvakrát). Zapsáno vzorcem máme: h = ^ (3.12) 2 v J Chceme-li vyjádřit závislost v na p a q, musíme eliminovat neznámé h a s. Porovnáním rovností 3.11 a 3.12 získáme vyjádření s: s = — (3.13) p Nyní dosaďme vztah 3.11 a 3.13 do Eulerovy věty a upravujme až do tvaru, který jsme chtěli dokázat: L[Cox48] str. 14. 73 v — h + s vq vq V- — + — 2 p 2pv — vqp + 2vq v(2p — pq + 2q) v = v = 2 2 Ap Ap Ap 2p — pq + 2g 4-(p-2)(g-2) QED. Schläŕli je pro mnohostěny významný i z jiného pohledu. Popisem n-rozměrné geometrie otvírá nový prostor pro mnohostěny z vyšších dimenzí. Definuje pravidelný polytop (mnohostěn v libovolné dimenzi) a odvozuje pro něj obecně platné zákonitosti. Na Schlárliho navazuje mnoho geometrů 19. a 20. stol., kteří dále jeho teorie rozvíjejí.22 Obr. 3.24: Garnet 3.6 Mnohostěny v krystalografii Názor, že krystaly jsou tvořeny mnohostěny, se objevuje již na konci 17. stol. (Robert Hooke, Christian Hauygens). Za otce moderní krystalografie je považován RenÉ-Just HaÜY (1743-1822), který jako první vědecky popisuje stavbu krystalů. V současnosti máme možnost pozorovat i krystaly 22 [Cox48] str. 141-144, 209-212. 74 velmi malých rozměrů (následující fotografie pochází od R. Wellera z Cochise College23). Na obrázku 3.23 jsou krystaly magnetitu, které mají tvar pravidelného osmistěnu, na obrázku 3.26 potom krychlové krystaly fluoritu. Obrázek 3.25 znázorňuje krystaly pyritu ve tvaru pravidelného dvanáctistěnu a na obrázku 3.24 vidíme kosočtverečné dvanáctistěny, které tvoří krystaly sametu. Obr. 3.25: Pyrit Obr. 3.26: Fluorit 231 'We] 75 Kapitola 4 Mnohostěny ve 20. stol. Poslední kapitola uzavírá dlouhou cestu, která nás vedla od intuitivního přesvědčení Platóna o složení jsoucna, až k moderním technologiím 20. stol., které nám umožní pozorovat pravidelné mnohostěny v živé přírodě. Druhou část této kapitoly budeme věnovat matematikům, kteří se zasloužili o další systematizaci poznatků o mnohostěnech. Na závěr zmíníme dva zástupce z řad umělců 20. stol., kteří pocítili potřebu zakomponovat mnohostěny do svých děl. 4.1 Pravidelné mnohostěny kolem nás Odvěká touha filosofů nalézt dokonalá tělesa ve stvořené přírodě dochází naplnění ve dvacátém století. Darwinův žák ERNST HEINRICH PHILIPP AUGUST Haeckel (1834-1919), profesor zoologie v Jeně nachází ve Středozemním moři mřížovce (radiolaria). Schránky těchto živočichů jsou tvořeny oxidem křemičitým a některé z nich mají tvar pravidelných mnohostěnů (osmistěnu, dvanáctistěnu nebo dvacetistěnu). Na obrázku 4.1 je ilustrace mřížovce Circogonia icosahedra, jehož schránka má tvar pravidelného dvacetistěnu, a na obr. 4.2 Spumellaria ve tvaru pravidelného osmistěnu. Obě ilustrace pochází z Haeckelova díla Kunstformen der Natur vydaného roku 1904.ľ Pravidelný dvacetistěn a pravidelný dvanáctistěn byly objeveny Donaldem Casperem a Aaronem Klugem v roce 1962 ve struktuře virů.2 Před jejich objevem se předpokládalo, že viry mají kulovitý tvar. Ptáme-li se, proč tomu tak není, musíme odpověď hledat v evoluční teorii. Virus, aby mohl co nejúči-něji zaútočit na hostitelskou buňku, potřebuje vyřešit izoperický problém — najít těleso, které má při daném objemu nejmenší povrch složený ze stejných 1 [wwwHa] 2 [www Vi] 76 Obr. 4.1: Circogonia icosahedra Obr. 4.2: Spumellaria jednoduchých obrazců. Na obrázku 4.3 z elektronového mikroskopu3 vidíme viry ve tvaru pravidelného dvacetistěnu, který tomuto požadavku dostojí nejlépe ze všech mnohostěnů. Obr. 4.3: Viry V přírodě můžeme objevit i kosočtverečné dvanáctistěny (viz obr. 2.6). Mají totiž tu vlastnost, že jejich kopiemi lze beze zbytku zaplnit prostor. K vysvětlení, proč tomu tak je, potřebujeme vyjít z pravidelných mřížkových uspořádání koulí (středy koulí tvoří pravidelnou prostorovou mřížku). Pro představu nejjednodušší je krychlová mřížka — středy sousedních koulí tvoří vrcholy krychlí. Zastavíme se u jiného uspořádání, které denně využíváme, u stěno-středového uspořádání Najdeme ho třeba na trhu u prodejců pomerančů. Ti skládají pomeranče do pyramid po vrstvách tak, že v první vrstvě je uspořádají buď pravoúhle nebo šestiúhelníkově a následující vrstvu skládají tak, že dávají pomeranče do prohlubní z předcházející vrstvy, tedy následující vrstva je uspořádaná stejně jako předcházející, až na postunutí. Mohlo by se zdát, že takto získáme dvě strukturně odlišné pyramidy v závislosti na tom, jaké uspořádání v rámci vrstvy zvolíme, zda pravoúhlé nebo šestiúhelníkové. Jedná se však o totéž prostorové uspořádání koulí, záleží jen na tom, jak se na 3 [www Vi] 77 něj díváme. Jestliže jsme např. skládali pomeranče v pravoúhle uspořádaných vrstvách, stěna pyramidy bude tvořena vrstvou uspořádanou šestiúhelníkově a vrstva za ní bude stejná až na posunutí. Obr. 4.4: Rombokuboktaedr (vlevo) a pseudorombokuboktaedr (vpravo) Nyní se můžeme podívat, jak tato mřížka souvisí s výskytem mnohostěnů v přírodě. Semena v rostoucím granátovém jablku mají zpočátku kulový tvar a jsou uspořádána ve stěno-středové mřížce. Semena se postupně zvětšují, až vyplní beze zbytku vnitřní prostor. Kdyby byla uspořádána původně v krychlové mřížce, měla by po vyplnění prostoru krychlový tvar. Ze stěno-středové ho uspořádání ovšem získají tvar kosočtverečného dvanáctistěnu.4 4.2 Další zobecnění pojmu pravidelného mnohostěnu Dalším zobecněním definice pravidelného mnohostěnu (viz definice 1.1) se zabývá práce Normana W. Johnsona, který roku 1966 uveřejňuje příspěvek s názvem Convex Solids with Regular Faces, publikovaný v Canadian Journal of Mathematics, ve kterém zmiňuje 92 Johnsonových těles (důkaz, že se jedná o všechna tělesa uvedeného typu, uveřejňuje roku 1969 Victor Zalgaller).5 4.1. Definice. Johnsonovým tělesem rozumíme konvexní mnohostěn, jehož všechny stěny jsou pravidelné mnohoúhelníky, přičemž vylučujeme pravidelné a polopravidelné mnohostěny. 4[Dev02] str. 201-207. 5[wwwNo] 78 Až ve dvacátém století je tedy poprvé matematicky zařazen pseudorombokuboktaedr,6 o kterém blíže pojednává odstavec 2.2.4. (V anglicky psané literatuře bývá tento mnohostěn nazýván také elongated square gyrobicupola, mezi Johsonovými tělesy nese označení 37). Tento mnohostěn můžeme získat např. „pootočením" jedné vrstvy rombokuboktaedru o jednu stěnu (obr. 4.4). Ve 20. stol. je napsáno stěžejní dílo o pravidelných mnohostěnech, které podává zevrubný přehled veškerých poznatků.7 Jedná se o práci Regular Polytopes z roku 1948, jejímž autorem je HAROLD SCOTT MACDONALD Co-XETER (1907-2003), profesor geometrie na univerzitě v Torontu. Obr. 4.5: Dali: Poslední večeře 4.3 Mnohostěny v umění Krása či tajemnost pravidelných mnohostěnů inspirovala také mnoho umělců dvacátého století. Zmíníme zde alespoň dva z nich — prvním bude grafik, 6Některé prameny (např. [wwwGe]) tvrdí, že toto těleso mohlo být známo již J. C. P. Millerovi. Tento zdroj také uvádí, že poprvé se v podobě schlegelova diagramu objevuje pseudorombokuboktaedr v článku Semi-regular Networks of the Plane in Absolute Geometry roku 1905, jehož autorem je Duncan M. Y. Sommerville. 7Významná je především teorie polytopů z hlediska ucelení poznatků o pravidelných mnohostěnech a příbuzných tělesech ve vyšších dimenzích, popis grup symetrií a v neposlední řadě také zasazení do historického kontextu. 79 který elegantně ve svých kresbách vyjádřil geometrickou hru i přesnost, druhým kontroverzní malíř, který mnohostěnů využil jako myšlenkového pozadí svých maleb. Holandský grafik MAURITS CORNELIS ESCHER (1898-1972) odmítal myšlenku, že by se v jeho práci objevovala geometrie. Zda inspirací umělce byla matematika, či nikoli, můžete posoudit sami z kresby 4.7 nazvané Hvězdy či z její studie na obr. 4.6 (postupně zde jsou vyobrazeny tyto mnohostěny: dualita pravidelného šestistěnu s pravidelným osmistěnem, pravidelný čtyřstěn, průnik pravidelných osmistěnů, kosočtverečný dvanáctistěn, pravidelný dvacetistěn, pravidelný osmistěn, pravidelný šestistěn, Stella octangula, pravidelný dvanáctistěn a průnik dvou pravidelných šestistěnu). Katalánsky surrealistický malíř SALVADOR DÁLÍ (1904-1989) namaloval roku 1955 obraz Poslední večeře (obr. 4.5), na jehož pozadí je pravidelný dvanáctistěn. Obr. 4.6: Escher: Studie pro grafiku Hvězdy 80 Obr. 4.7: Escher: Hvězdy (1948) 81 Literatura [Arm83] ARMSTRONG, M. A., Basic Topology (Undergraduate Texts in Mathematics), Springer — Verlag, New York, 1983. [Esc82] Boll, F. H., Ernst, B., Kist, J. R., Locher, J. L., Wierda, F., Escher, The Complete Graphic Work, Thames and Hudson Ltd, London and Harry N Abrams Inc., New York, 1982. [Cox48] COXETER, H. S. M., Regular Polytopies, Methuen & Co. Ltd., London, 1948. [Dev02] DEVLIN, K., Jazyk matematiky, Argo, Praha, 2002. [Euk07] EUKLEIDES, Základy, český překlad: František Servít, Král. Vinohrady, Praha, 1907. [E52a] ElJLER, L., Elementa doctrinae solidorum, Novi Commentarii Aca-demiae Scientiarum Petropolitanae, 1752/53. Dostupné z . [E52b] ElJLER, L., Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum, quibus solida hedris planis inclusis sunt praedita, Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae, 1752/53. Dostupné z . [Fu68] FUSS, P., H., Correspondance mathématique et physique de quelques célebres géometres du XVIIIeme siede, New York, 1968. Dostupné z . [He81a] HEATH, T., A History of Greek Mathematics L, Dover Publications, Inc. New York, 1981. [He81b] HEATH, T., A History of Greek Mathematics II., Dover Publications, Inc. New York, 1981. [Juc81] JUCOVIČ, E., Konvexné mnohostěny, Veda, Bratislava, 1981. 82 [Kep35] KEPLER, J., Astronómia, Frankfurt, 1635. Dostupné z . [Kepl9] KEPLER, J., Harmonices mundi, Linz, 1619. Dostupné z . [Kep21] KEPLER, J., Mysterium cosmographicum, Frankfurt, 1621. Dostupné z . [Lev91] Levitin, K., Geometrická rapsódie, SNTL, Praha, 1991. [Sa04a] Sandifer, E., How Euler Did It, 2004, [cit. 2006-09-14]. Dostupné z . [Sa04b] Sandifer, E., How Euler Did It, 2004, [cit. 2006-09-14]. Dostupné z . [Sek77] SEKANINA, M., SEKANINOVÁ, A., Mnohostěny, Univerzita J. E. Purkyně, Brno, 1977. [vS47] VON Staudt, G., K., Ch., Geometrie der Lage, Verlag der Fr. Korn'schen Buchhandlung, 1847. Dostupné z . [VopOl] VOPĚNKA, P., Uhelný kámen evropské vzdělanosti a moci, Práh, Praha, 2001 [wwwGe] HART, G., W., Virtual Polyhedra, 2000, [cit. 2006-09-14]. Dostupné z . [wwwHa] StÜBERS, K., Ernst Haeckel: Kunstformen der Natur, 1999, [cit. 2006—09—20]. Dostupné z . [wwwHe] HEBISCH, U., Mathematik und Kunst, [cit. 2006-09—20]. Dostupné z . [wwwMa] The MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews Scotland, 2006 [cit. 2006-09-14]. Dostupné z . 83 [wwwMo] MORGAN, G., Early Theories of Spherical Virus Structure, [cit. 2006—09—14]. Dostupné z . [wwwNo] Norman Johnson, [cit. 2006-09-20]. Dostupné z . [wwwPu] DALGETY, J., The Puzzle Museum,, [cit. 2006-09-19]. Dostupné z . [wwwVi] The Virus Research Group, The Origin of Icosa-hedral Symmetry in Viruses, 2006, [cit. 2006-09-14]. Dostupné z . [wwwWe] WELLER, R., Crystals and Crystal Models, 2006, [cit. 2006-09-14]. Dostupné z . 84