MASARYKOVA UNIVERZITA
Přírodovědecká fakulta
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky
BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
Fyzika vírových prstenců
Petr Zikán
Vedoucí bakalářské práce: doc. Mgr. Tomáš Tyc, Ph.D.
2009
Na tomto místě bych rád poděkoval především vedoucímu bakalářské práce doc.Mgr. Tomáši
Tycovi, Ph.D., Mgr. Jiřímu Bartošovi, Ph.D., Pavlu Kočímu a Pavle Švástové.
Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných
pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním.
V Brně dne 25. května 2009 Petr Zikán
2
Abstrakt:
Vírový prstenec je neobyčejně zajímavá hydrodynamická struktura. Jedná se o vírovou trubici
kruhového tvaru, která je uzavřená sama do sebe. Vírový prstenec vzniká například při
výbuchu atomové bomby nebo při dopadu kapky na vodní hladinu. Je až překvapivé, jak
velké vzdálenosti je tato na první pohled křehká struktura schopna překonat. V této práci
se věnuji rovnicím, které řídí vířivý pohyb, i jejich konkrétní aplikaci na případ vírového
prstence. Dále je vypracováno několik teoretických modelů interakcí mezi prstenci a jejich
experimentální ověření. Zčásti jsou studovány i kmity eliptických vírových prstenců. Závěrem
popisuji několik jevů, kterými se teoretická část nezabývá, jelikož byly pozorovány až
během experimentů.
Klíčová slova: vírový prstenec, vírová čára, samoindukovaný pohyb, interakce vírových
prstenců
Abstract:
Vortex ring is extraordinarily interesting hydrodynamic structure. It is a round-shaped
vortex tube, which is round-closed into itself. Vortex ring forms, for example, after atomic
bomb detonation, or when a drop of water falls on a water surface. It is surprising, how
large distances this fragile structure can travel. In this thesis I describe equations that
drive the vortex movement and apply them to a vortex ring. Couple of theoretical models
of interaction between the rings are evolved, as well as their experimental verification.
Oscillations of elliptical vortex rings are partially presented as well. During the research,
some other phenomena were observed. These are not covered up in the theoretical part as
they raised from experiments. They are described at the end of this thesis.
Keywords: vortex ring, vortex line, self-induced movement, interaction of vortices
3
Obsah
1 Úvod 5
2 Teorie 6
2.1 Zákon zachování hmotnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Vířivost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Helmholtzův vírový teorém . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Kelvinův cirkulační teorém . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Proudnicová funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.6 Vírová čára . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.7 Samoindukovaný pohyb vírové čáry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.8 Kruhové vírové čáry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.9 Translační pohyb vírového prstence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.10 Vzájemná interakce dvou vírových prstenců . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.11 Kmity eliptických prstenců . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Experimentální zařízení 19
4 Experimenty 21
4.1 Rychlost vírového prstence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 Prokmitávání vírové trubice laserem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 Dopad vírového prstence na stěnu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.4 Vzájemná interakce dvou vírových prstenců . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.5 Kmity eliptických prstenců . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.6 Přerušení vírové trubice prstence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.7 Odraz prstence od vodní hladiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.8 Dva prstence vedle sebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5 Závěr 36
4
1Úvod
Vírový prstenec je neobyčejně zajímavou hydrodynamickou strukturou. Jedná se o vír,
jehož vírová čára je uzavřena sama do sebe. Vír vzniká při vzájemném pohybu vytlačované
tekutiny z otvoru a okolní klidné tekutiny. Vírové prstence mohou doletět na velkou
vzdálenost a je až překvapivé, jakou razanci mohou prstence mít při dopadu. Jejich výskyt
v přírodě lze pozorovat jak ve velmi malých rozměrech (dopad kapky na vodní hladinu),
tak i v rozměrech obrovských (výbuch atomové bomby).
Vírové prstence vždy přitahovaly pozornost fyziků. Jako první je zřejmě začali systematicky
studovat Kelvin a Helmholtz v 19. století. Spekulovali o chování těchto podivuhodných
útvarů a postupně odhalovali zákonitosti o pohybech vírů, které dnes nesou jejich
jména.
Prstence generované ve vzduchu jde nejlépe pozorovat pomocí kouře. Kouř je v tomto
případě pouze prostředkem ke zviditelnění prstence, který je unášen vírovou trubicí. Vírové
prstence mohou být samozřejmě vytvořeny i ve vodě. Lze je zviditelnit pomocí barviva,
případně vzduchovými bublinkami, které se pak uspořádají podél vírové čáry, kde vzniká
vlivem rotace podtlak.
Práce je rozčleněna do tří částí. V první shrnuji teoretické poznatky, které popisují pohyb
vírů. Skutečná vírová trubice je často nahrazována pro jednoduchost pojmem vírové
čáry. Její součástí je i vypracování teoretických modelů interakcí mezi prstenci. V druhé
části popisuji experimentální zařízení, na kterém byly prováděny experimenty i jejich metodiku.
V závěrečné části jsou zdokumentovány jednotlivé experimenty a jejich srovnání
s teroretickými předpoklady.
5
2Teorie
2.1 Zákon zachování hmotnosti
Zákon zachování hmotnosti pro tekutinu lze vyjádřit ve známém vztahu1

t
+  (u) = 0 , (2.1)
který musí být splněn v každém bodě tekutiny. Tento vztah se nazývá rovnice kontinuity.
Rovnici (2.1) lze po rozepsání divergence upravit na tvar
1

D
Dt
+  u = 0 , (2.2)
kde operátor
D
Dt
=

t
+ u  (2.3)
představuje derivaci vzhledem k času sledující pohyb tekutiny.
Pokud se během pohybu nemění hustota v žádném objemovém elementu tekutiny, nazýváme
tekutinu nestlačitelnou. Tento požadavek lze matematicky vyjádřit ve tvaru
D
Dt
= 0 . (2.4)
Rovnice (2.2) pak nabývá jednoduchého tvaru
 u = 0 . (2.5)
2.2 Vířivost
Matematicky je vířivost definována jako rotace rychlostního pole2
, tedy
 = × u. (2.6)
1
odvození vztahu lze nalézt např. v [2], kap. 2, 2.2
2
detailní rozbor situace je v [2], kap. 2, 2.4
6
Jelikož divergence rotace je vždy nula,  musí splňovat
  = 0. (2.7)
Předpokládejme nyní, že známe rozdělení vířivosti  v prostoru a zajímá nás rychlostní pole
indukované tímto rozdělením. Pro toto pole musí za předpokladu nestlačitelnosti tekutiny
platit, že
× u = ,  u = 0. (2.8)
V takovýchto případech je obvyklé volit u jako rotaci jiného vektorového pole A(nazývaného
vektorový potenciál kvůli analogii pole u s magnetickým polem), a tedy druhá podmínka
v (2.8) je splněna automaticky. Rovnice pro vektorový potenciál A je
× ( × A) = , (2.9)
což lze při použití vektorové identity přepsat do tvaru
(  A) - 2
A = . (2.10)
Vektorový potenciál A tímto není určen jednoznačně. Často se volí tak, aby  A = 0.
Poslední rovnice se tím redukuje na
2
A = -, (2.11)
jejíž řešení (známé jako Poissonův integrál) je
A(r) =
1
4

^r
dV (r ), (2.12)
kde ^r je velikost vektoru ^r = r - r . Polohový vektor r ukazuje na bod, v němž počítáme
potenciál, r na element dV (r ),  značí vířivost v bodě r (stejného značení bude používáno
v celém textu). Po aplikaci rotace na poslední výraz získáváme
u =
1
4
r ×

^r
dV (r ) = -
1
4
r × 
^r3
dV (r ). (2.13)
Dostáváme tak důležitý výsledek, že výsledná rychlost v daném bodě je rovna součtu
přispěvků od různých objemových elementů, v kterých je nenulová vířivost. Od určitého
elementu dV (r ) je výsledný příspěvek
u = r
×  V (x )
4^r3
. (2.14)
Jak bylo již naznačeno, je zde přímá analogie mezi výše uvedenými rovnicemi a rovnicemi
známými z elektrodynamiky svazující ustálené rozložení elektrického proudu a jím
indukovaného magnetického pole. Stejně tak jako můžeme říct, že rozložení elektrického
proudu vytváří magnetické pole, můžeme tvrdit, že vířivost vytváří rychlostní pole v okolní
tekutině.
7
Nyní uvažujme v tekutině křivku, jejíž tečna je všude rovnoběžná s lokální vířivostí
v daném okamžiku. Takováto křivka je označována jako vírová proudnice. Matematicky
jsou tyto křivky definovány (analogicky k proudnicím obyčejným) soustavou diferenciálních
rovnic
dx

=
dy

=
dz

, (2.15)
kde (x, t) = (, , ) je lokální vířivost.
Plocha tvořená všemi vírovými čárami procházejícími danou uzavřenou křivkou je nazývána
vírová trubice. Tok vířivosti plochou, která je ohraničena touto křivkou, lze vyjádřit
S
  dS. (2.16)
2.3 Helmholtzův vírový teorém
Roku 1858 publikoval Helmholtz několik teorémů o vířivém pohybu v neviskózní tekutině.
Objevil tyto zákonitosti pomocí analogie s elektrodynamikou. Teorém je odvozen na
základě předpokladu pohybu vírů v neviskózní barotropické tekutině, působící síly jsou
konzervativní. Teorém zní:
1. Vírová trubice nemůže končit v žádném bodě uvnitř tekutiny. Musí tvořit buď uzavřenou
smyčku nebo končit na ploše ohraničující tekutinu.
2. Síla vírové trubice je konstantní podél její délky.
3. Vírové čáry se pohybují společně s tekutinou.
4. Síla vírové trubice je v čase konstantní.
Toto tvrzení je natolik zajímavé, že stojí za bližší povšimnutí. Bod 1 je pouze důsledkem
vztahu (2.7). Pomocí tohoto vztahu lze dále ukázat, že integrál (2.16) má stejnou hodnotu
pro všechny otevřené plochy ohraničené jakoukoli uzavřenou křivkou, která zcela leží na
povrchu vírové trubice a obchází ji pouze jednou. Uvažujme tedy dvě takovéto plochy n dS
a n dS (ndS = dS), jejichž normály jsou orientovány souhlasně vzhledem k vírové trubici.
Tok vířivosti uzavřenou plochou tvořenou plochami dS a dS a plochou dané vírové trubice
mezi nimi dává
S
  dS -
S
  dS =
V
  dV = 0, (2.17)
jelikož tok plochou vírové trubice je nulový (z definice plyne, že normála plochy je vždy
kolmá na směr vířivosti). Tok vířivosti je tedy stejný pro všechny plochy protínající vírovou
trubici a je nazýván síla vírové trubice. V případě vírové trubice infenitezimálního průřezu
je roven součinu plochy průřezu a velikosti vířivosti v tomto místě. To je obsahem bodu 2.
Třetí bod bude více přiblížen v následující sekci, čtvrtý bod zde nebudeme dokazovat1
.
1
Důkaz lze nalézt v [5], kap. 16, 16.1.
8
2.4 Kelvinův cirkulační teorém
Pomocí Stokesova teorému můžeme přejít v (2.16) s pomocí (2.6) od plošného integrálu ke
křivkovému
S
  dS =
C
u  ds. (2.18)
Integrál na pravé straně rovnice (2.18) je označován jako cirkulace. Vidíme tedy, že cirkulace
rychlosti uzavřenou křivkou ležící na vírové trubici je rovna toku vířivosti plochou touto
křivkou ohraničenou. To nás přivádí k velice zajímavému výsledku, který publikoval Kelvin
roku 1868. Za stejných předpokladů jako v minulé sekci odvodil následující. Uvažujme
v tekutině jakoukoli uzavřenou smyčku C v čase t a sledujme pohyb všech jejích částí
společně s okolní tekutinou do polohy C , které dosáhne v čase t . Kelvinův teorém říká, že
cirkulace  podél křivky C v čase t je stejná jako cirkulace podél C v čase t . Matematicky
vyjádřeno,
D
Dt
= 0 . (2.19)
Důkaz lze nalézt např. v [1], kap. 3, &33.
Cirkulace kolem libovolné křivky pohybující se s tekutinou je tedy konstantní. Je zajímavé,
že tento teorém je odvozen za předpokladu neviskózní tekutiny. Ukazuje se, že pokud
je tekutina viskózní, dochází k difuzi vířivosti z (nebo do) míst tekutiny uvnitř křivky, což
způsobuje změnu cirkulace.
Nyní se můžeme vrátit k bodu 3 z předešlé sekce1
. Představme si uzavřenou křivku,
která obepíná vírovou trubici právě jednou. Budeme-li sledovat pohyb této křivky společně
s tekutinou, nesmí se podle Kelvinova cirkulačního teorému změnit cirkulace podél této
křivky. Pokud tedy křivka původně obepínala vírovou trubici, bude jí obcházet i v následujících
okamžicích, aby cirkulace zůstala konstantní. Tvar křivky samotné se však může
pozměnit v důsledku pohybu okolní tekutiny, která ji unáší. V tomto smyslu tedy vírové
trubice sledují pohyb tekutiny.
2.5 Proudnicová funkce
Jak bylo uvedeno výše, v případě nestlačitelné tekutiny se rovnice kontinuity redukuje
na jednoduchý tvar (2.5), který říká, že divergence rychlostního pole tekutiny musí být
nulová. Uvažume nyní speciální případ proudění, kdy tok tekutiny má rotační symetrii
(čímž zde rozumíme, že složky rychlosti (ur, u, uz) vzhledem k válcovým souřadnicím
(r, , z) jsou nezávislé na úhlu ). Pak divergence je sumou pouze dvou členů a rovnice
kontinuity tak může být splněna skalární funkcí , ze které lze příslušné složky rychlosti
získat derivací. Může se stát, že v některých takovýchto rychlostních polích je všude nulová
úhlová složka rychlosti u. Právě tato situace by nastala, pokud bychom měli pouze jeden
prstenec v neviskózní nestlačitelné tekutině.
1
Následující není matematicky rigorózní důkaz, ten lze nalézt v [5], kap. 16, 16.1.
9
Rovnice kontinuity za uvedených podmínek nabývá ve válcových souřadnicích tvaru1
 u =
uz
z
+
1
r
(rur)
r
= 0, (2.20)
což lze přepsat jako
(ruz)
z
= -
(rur)
r
. (2.21)
Rovnici (2.21) lze chápat jako podmínku pro komutativnost derivací podle r a z určité
funkce (r, z). Skutečně, položíme-li

r
= ruz,

z
= -rur, (2.22)
pak z podmínky 2
rz
= 2
zr
dostáváme právě rovnici (2.21). Zároveň pro úplný diferenciál
funkce  obdržíme z (2.22)
d =

r
dr +

z
dz = ruzdr - rurdz. (2.23)
Neznámá funkce (r, z, t) je tedy definována integrálem
 - 0 = r(uz dr - ur dz), (2.24)
kde křivkový integrál je počítán podle libovolné křivky v axiální rovině spojující zvolený
referenční bod O s bodem P o souřadnicích (r, z) a 0 je hodnota  v bodě O.
Funkci  je možné interpretovat jako míru objemového toku plochou vytvořenou rotací
křivky spojující O a P kolem osy symetrie. Tento tok je roven 2 násobku pravé strany
(2.24). Tok je považován za kladný, pokud teče proti směru hodinových ručiček kolem
bodu P. Přes křivky v axiální rovině, na nichž je  konstantní, tedy nemůže proudit
žádná tekutina a dané křivky tvoří proudnice toku. Proto je funkce  označována jako
proudnicová funkce a v případě rotačně symetrické situace je spojována se jménem Stokes.
Jiná možná interpretace této funkce je, že jde o jedinou nenulovou složku vektorového
potenciálu A až na faktor 1
r
. Není těžké ukázat, že platí
u = × A, A = 0,

r
, 0 . (2.25)
2.6 Vírová čára
V mnohých případech můžeme charakterizovat rychlostní pole pomocí vířivosti, která je
nenulová pouze v blízkém okolí určité křivky. Např. v případě osamoceného vírového prstence
je touto křivkou evidentně kružnice. Užitečnou matematickou idealizací v takových
případech je následující představa. Uvažujme vírovou trubici o nenulovém průřezu a nenulové
vířivosti uvnitř. Síla (tedy cirkulace) této trubice bude značena jako . Nechme průřez
1
Podrobnější rozbor lze nalézt v [2], kap. 2, 2.2.
10
vírové trubice limitně přejít k nule za současného růstu vířivosti k nekonečnu takovým
způsobem, aby síla vírové trubice byla stále . Takovýto útvar je nazýván vírová čára.
Označme l úsek této křivky ležící v elementu V . Protože
V
 dV =  l, (2.26)
lze vztah (2.13) upravit na tvar
u = -

4 C
^r × dl(r )
^r3
. (2.27)
Analogický vztah v elektrodynamice se nazývá Biot-Savartův zákon.
V případě nekonečné dlouhé přímky je díky symetrii rychlost pouze v azimutálním
směru. Její velikost je rovna
|u| =
r
4

-
dl
(r2 + l2)
3
2
=

2r
. (2.28)
2.7 Samoindukovaný pohyb vírové čáry
V předešlé sekci byl uveden koncept vírové čáry. Dříve bylo také přiblíženo, že vírové čáry
sledují pohyb tekutiny. Další zajímavá otázka vzniká v případě zakřivené vírové čáry a
změny jejího tvaru s časem. Uvažujme proto vírovou čáru o síle  v tekutině rozprostírající
se do nekonečna, kde je tekutina v klidu. Rychlostní rozdělení od vírové čáry je potom dáno
vztahem (2.27). Pokusíme se vypočítat rychlost v bodech blízko vírové čáry. K tomuto
účelu použijeme poněkud zjednodušeného konceptu1
(obr. 2.1), totiž budeme uvažovat
rychlost indukovanou samotnou vírovou čárou v bodě O pouze od určitého úseku, a to
tak, že vírovou čáru v tomto úseku lze nahradit částí kružnice o křivosti c. Použijeme
Obrázek 2.1: Znázornění situace při výpočtu indukované rychlosti od vírové čáry
1
následující rozbor přesně reprodukuje postup v [1], kap. 7, 7.1, kde je naznačeno sestavení integrálu a
uveden jeho výsledek
11
kartézské souřadnice, s počátkem v bodě O, osou x ve směru tečném (t) k vírové čáře, y ve
směru normálovém (n) a z ve směru binormálovém (b). Pro bod, ve kterém se zajímáme
o rychlost, můžeme psát
r = yn + zb, (2.29)
bod tedy leží v rovině yz kolmé na vírovou čáru. Zajímá nás limitní poloha bodu, kdy  =
(y2 + z2)  0. Pro určitý rozsah vzdálenosti l podél vírové čáry, řekněme -L  l  L,
je polohový vektor r bodu na vírové čáře dán přibližně výrazem
r  lt +
1
2
cl2
n. (2.30)
Tedy, blízko bodu O
l(r )  (t + cln)l, (2.31)
dále můžeme psát
(r - r ) × l(r )
|r - r |3

-zclt + zn - (y + 1
2
cl2
)b
{y2 + z2 + l2(1 - yc) + 1
4
c2l4}
3
2
l. (2.32)
Příspěvek k rychlosti v bodě (0, y, z) nebo (0,  cos ,  sin ), od zmiňovaného úseku vírové
čáry je tedy přibližně

4
L

-L

(b cos  - n sin )-1
+ 1
2
cm2
b
[1 + m2(1 - c cos ) + 1
4
c22m4]
3
2
dm, (2.33)
kde m = l

. Pro   0 se jmenovatel integrandu blíží k (1 + m2
)3/2
. Integrál tedy nabývá
tvaru

4
L

-L

(b cos  - n sin )-1
+ 1
2
cm2
b
(1 + m2)
3
2
dm =

4
(b cos  - n sin )
m

1 + m2
L

-L

+
+
c
8
b
-m

1 + m2
+ ln(m +

m2 + 1)
L

-L

, (2.34)
po dosazení integračních mezí, rozvoji v Taylorovu řadu a malé úpravě dospíváme k výsledku
v asymptotickém tvaru

2
(b cos  - n sin ) +
c
4
b ln(
L

) -
c
4
b(ln 2 - 1). (2.35)
První člen v (2.35) představuje očekávaný oběžný pohyb kolem vírové čáry. Tato závislost
v limitním případě dominuje nad ostatními členy, neboť se mění jako -1
, nevede však
k přemisťování vírové čáry samotné. Zajímavější je druhý člen, který poukazuje na fakt,
že je zde další slabší singularita spojená s lokální křivostí vírové čáry. Je vidět, že rychlost
tekutiny v blízkosti bodu O má rychlost ve směru binormály, jejíž velikost se mění jako
ln(-1
). Tomuto zajímavému výsledku se budeme dále věnovat později. Zbývající člen je
zanedbatelný oproti prvním dvěma, jelikož je řádu 0
.
Dalším zajímavým důsledkem vztahu (2.35) je fakt, že ideální vírová čára se pohybuje
a mění svůj tvar v důsledku lokálního zakřivení nekonečnou rychlostí. Je to důsledek teoretického
konceptu vírové čáry, kterým pro jednoduchost nahrazujeme skutečné vírové
trubice. Ty se samozřejmě pohybují konečnou rychlostí.
12
2.8 Kruhové vírové čáry
Předpokládejme, že všechny vírové čáry v tekutině, která se rozprostírá do nekonečna a
kde je v klidu, jsou kruhové a mají společnou osu symetrie, kterou ztotožníme s osou z.
Použijeme válcové souřadnice (r, , z), rychlost tekutiny předpokládejme u = (ur, 0, uz),
tedy nerealizuje se pohyb tekutiny ve směru . Vektorová pole  i A mají naopak nenulové
složky jen ve směru . Celý pohyb lze za těchto podmínek popsat pomocí proudnicové
funkce . Můžeme psát ([1], kap. 7, &161)
(r, z) = r|A| =
r
4

-

0
2
0
(r , z )
s
r cos  dz dr d , (2.36)
kde
 = ||,  =  - , s2
= (z - z )2
+ r2
+ r 2
- 2rr cos . (2.37)
Tento výraz lze upravit na přehlednější formu v případě jediné kruhové čáry poloměru
a a síly , umístěné v rovině z = 0, dostáváme
(r, z) =
ar
4
2
0
cos  d

z2 + r2 + a2 - 2ar cos 
. (2.38)
Označíme-li r1, resp. r2 jako nejkratší, resp. největší vzdálenost bodu, ve kterém počítáme
 od vírové čáry, tedy
r2
1 = (z - z )2
+ (r - r )2
, r2
2 = (z - z )2
+ (r + r )2
, (2.39)
lze psát
s2
= r2
1 cos2 
2
+ r2
2 sin2 
2
, 4rr cos  = r2
1 + r2
2 - 2s2
. (2.40)
S využitím (2.40), lze (2.38) upravit na tvar
(r, z) =


ar
4

0
2
k
- k 1 - k2
cos2 
2
-1
2
-
2
k
1 - k2
cos2 
2
1
2
d
=


ar
2
2
k
- k K(k) -
2
k
E(k) , (2.41)
kde
k2
= 1 -
r2
1
r2
1
=
4ar
z2 + (r + a)2
, (2.42)
výrazy K(k), resp. E(k) jsou úplné eliptické integrály prvního, resp. druhého druhu, které
jsou definovány vztahy
K(k) =

2
0
d
1 - k2 sin2

, E(k) =

2
0
1 - k2 sin2
 d, (2.43)
pro něž jsou numerické hodnoty známy.
Jak bylo již řečeno, křivky, na nichž je  konstantní, jsou proudnice toku. Na další
straně jsem vyobrazil proudnice v rovině řezu prstencem, která obsahuje osu symetrie
(černá vodorovná přímka).
13
Obrázek 2.2: Znázornění proudnic v rovině řezu vírovým prstencem obsahující osu symetrie
(černá vodorovná přímka).
14
2.9 Translační pohyb vírového prstence
V této sekci se pokusíme interpretovat několik zajímavých poznatků o translačním pohybu
vírového prstence1
. Je-li prstenec vzdálen od místa svého vzniku, pohybuje se přibližně
konstantní rychlostí. Samozřejmě pohyb je vždy tlumen kvůli difuzi vířivosti z vírové trubice
do okolní tekutiny. Můžeme pouze usuzovat, že by pohyb byl rovnoměrný v neviskózní
tekutině. Ze vztahu (2.35) není těžké ukázat, že kruhová vírová čára se pohybuje ve směru
své osy symetrie, i když je tato rychlost nekonečná. Bohužel přesná matematická formulace
pohybu vírového prstence při uvažování konkrétního tvaru vírové trubice je velmi komplikovaná,
nehledě na fakt, že není známo rozložení vířivosti přes průřez trubice. Nicméně,
pokud je průřez trubice malý, můžeme tvrdit, že křivka ohraničující průřez vírové trubice
je proudnicí. Dále lze usuzovat, že tato křivka je přibližně kruhová, pokud je cirkulační
pohyb v blízkosti vírové trubice dominantní.
Druhý člen ve vztahu (2.35) úzce souvisí s pohybem vírového prstence kvůli zakřivení
vírové trubice. U kruhové trubice je samozřejmě křivost všude stejná. Je-li navíc vířivost
rozložena v průřezu této trubice přibližně rovnoměrně a pokud je křivka ohraničující tento
průřez kružnicí o malém poloměru , můžeme usuzovat, že odhad velikosti rychlosti takovéhoto
prstence (a
1) bude tvaru

4a
ln
a
, (2.44)
kde a = c-1
je poloměr prstence. Vidíme tedy, že rychlost při stejné cirkulaci kolem vírové
čáry je větší pro prstence menšího poloměru.
Určitější výraz pro rychlost vírového prstence uvedl roku 1867 Kelvin. Za podobných
předpokladů jako výše, avšak integrací přes vírovou trubici a pomocí proudnicové funkce
vírového prstence ukázal2
, že rychlost je dána výrazem

4a
ln
8a
-
1
4
. (2.45)
Odvození toho vztahu lze nalézt např. v [1], kap. 8, & 163.
2.10 Vzájemná interakce dvou vírových prstenců
Vírové prstence umístěné blízko sebe mohou navzájem interagovat zajímavým způsobem.
Zde se pokusím přiblížit spíše kvalitativní formou některé aspekty takových interakcí3
.
Skutečné vírové trubice zde budeme idealizovat vírovými čárami, jak je vysvětleno v sekci
1
Argumenty uvedené níže jsou povětšinou přebrány z [1], kap. 7, oddíl 7.2, případně z [3], kap. 3.
Odvození závislosti stejného tvaru jako (2.44) lze nalézt také v [1], kap. 8, & 163, které však vychází
z rozvoje eliptických integrálů (2.41) v blízkosti vírové trubice prstence a úvah o jeho kinetické energii a
hybnosti.
2
Tento výsledek uvedl bez důkazu v dodatku k překladu Helmholzova článku, Phil. Mag. (4), xxxiii.
511 (1867) [Papers, iv. 67]
3
Podobné úvahy o interakcích mezi prstenci jsou popsány v [3], kap. 4 nebo v [4], kap.5.
15
2.6. Důležitým vodítkem bude Helmholtzův teorém, který říká, že vírové čáry sledují pohyb
kapaliny.
Prvně prozkoumáme dopad vírového prstence na zeď, která je rovnoběžná s rovinou prstence.
Podmínkou pro tekutinu blízko stěny je nulovost normálové složky rychlosti tekutiny.
To lze splnit metodou zrcadlení. Představme si druhý imaginární prstenec na opačné straně
stěny, který má stejnou velikost cirkulace, ale opačný směr. Prstence se tedy pohybují proti
sobě a dále předpokládejme, že jejich vzdálenost od stěny je stejná. Na obr. 2.3 je znázorněna
tato interakce. Na obrázku vlevo je naznačeno, že rychlost tekutiny blízko stěny bude
Obrázek 2.3: Dopad vírového prstence na stěnu
mít nenulovou složku rychlosti pouze v tečném směru vůči zdi. Jedná se o průřez rovinou
symetrie obou prstenců, černá svislá čára představuje stěnu. Znázorněny jsou pouze dva
průřezy prstencem a jejich rychlostní působení blízko zdi. Díky symetrii situace si však
můžeme představit podobnou úvahu v kterémkoli bodě na stěně i od všech elementů obou
prstenců.
Obrázek uprostřed poukazuje na vzájemné ovlivnění pohybu prstenců navzájem. Pro
jednoduchost uvažujme pouze rychlostní působení na horní element pravého prstence.
Rychlost VA je způsobena indukovanou rychlostí samotného elementu díky lokální křivosti,
stejný směr má i působení spodního elementu tohoto prstence. Rychlost od elementu D
brzdí a zmenšuje poloměr pravého prstence. Poslední příspěvek urychluje element A svisle
nahoru. Jak se budou prstence k sobě přibližovat, působení od elementu C bude přibližně
stejné, zatímco působení od elementu D se bude rychle zvětšovat především pro malé vzdálenosti
mezi elementy A a D. Pro malé vzdálenosti mezi prstenci tedy vidíme, že se budou
zvětšovat jejich poloměry. V důsledku toho se bude snižovat jejich rychlost. Změna velikosti
pouze skutečného prstence dopadajícího na stěnu je naznačena na pravém obrázku.
Jako druhou vzájemnou interakcí mezi dvěma vírovými prstenci se budeme zabývat
dvěma prstenci stejné velikosti i směru cirkulace se stejnou osou symetrie. Tato situace je
schématicky znázorněna na obrázku 2.4. Na obr. a vznikají všechny vodorovné rychlostní
příspěvky ve vrcholech prstenců kvůli lokální křivosti samotných elementů. Dále jsou na
obrázku vyznačeny příspěvky mezi horními a spodními elementy na vrcholcích prstenců.
Je vidět, že zadní prstenec zvětšuje poloměr předního a naopak. V důsledku toho se přední
prstenec zpomaluje a zadní zrychluje, jak je naznačeno na obrázku b. Může se stát, že zadní
16
Obrázek 2.4: Vzájemná interakce dvou souběžných vírových prstenců
prstenec prolétne předním a silové působení prstenců se změní (obr. c). Zadní prstenec pak
způsobuje zvětšování předního a naopak. Na obr. d je znázorněna výměna původních poloh
prstenců, celý pohyb se může opakovat. Teoreticky by se v zcela neviskózní tekutině pohyb
nebyl nijak tlumen difuzí vířivosti a můžeme předpokládat, že by výše popsaná situace
opakovala do nekonečna.
2.11 Kmity eliptických prstenců
V této části se pokusíme opět spíše kvalitativním způsobem naznačit, proč a jakým způsobem
kmitají eliptické vírové prstence. Nejdůležitějším vodítkem je v tomto případě fakt, že
samoindukovaná rychlost prstence vzniká v důsledku jeho lokální křivosti a má binormální
směr, viz druhý člen ve vztahu (2.35).Eliptické prstence lze generovat jednoduše tak, že
místo kruhového otvoru, o který se utvoří prstenec, použijeme eliptický. Vzniklý prstenec
je tedy ihned po svém zformování eliptického tvaru, viz obrázek 2.5 vlevo. V důsledku větší
Obrázek 2.5: Kmity eliptického vírového prstence
křivosti v úsecích označených 1 a 2 (vyznačeny čárkovanou čarou) zde vzniká větší indukovaná
rychlost než v segmentech 3 a 4. Takové rozložení rychlostního pole podél prstence
má za následek změnu tvaru z původně rovinné elipsy do deformovaného prostorového
17
útvaru. Úseky 1 a 2 předbíhají úseky 3 a 4, při troše představivosti můžeme vidět (situaci
jsem se pokusil znázornit na pravém obrázku, jedná se o pohled zboku), že vzniká nové
zakřivení, právě kvůli trojrozměrnosti prstence. Rychlost indukovaná touto novou křivostí
působí především na úseky 3 a 4, které urychluje směrem naznačeným na obrázku vpravo
a zmenšuje tak křivost segmentů 1 a 2. Zároveň tato rychlost tlačí prstenec zpět do rovinného
eliptického útvaru, jakým byl na začátku, elipsa však vypadá jako otočená o 90
.
Naznačená situace se periodicky opakuje a prstenec takovým způsobem kmitá při svém
pohybu prostorem.
18
3Experimentální zařízení
Od samého počátku této práce jsem řešil problém, jak generovat reprodukovatelně vírové
prstence. Po několika návrzích a jejich prodiskutování se jako nejschůdnější možností jevilo
využití magnetu a cívky. Jak je známo, na dipól působí gradient pole. Pokud tedy zpola
vložíme magnet do dutiny cívky a sepneme proud, magnet odskočí díky nehomogenitě
magnetického pole cívky. Po několika pokusech se starými cívkami vše vypadalo realizovatelně.
Byl proveden elementární matematický rozbor dané sitace, který zde nebudu uvádět.
Ukazuje se, že k docílení co největšího mg. pole je zapotřebí co nejsilnější drát. Použil jsem
měděný lakovaný drát o průměru 1,48 mm. Kostru cívky jsem vyrobil ze sklolaminátu, poté
cívku ručně navinul. Samotný přistroj je znázorněn na obr.3.1. Obrázek 3.1a zachycuje celObrázek
3.1: Generátor vírových prstenců
kový pohled zboku. Základem pro uchycení přístroje jsou dvě svislé rovnoběžné desky.
Do přední desky je vyříznut kruhový otvor, ve kterém je umístěno umělohmotné umy-
19
vadlo. Přes otevřenou stranu umyvadla je natažená pružná gumová membrána a v jeho
dně je kruhový otvor, o který se utváří prstence. Detail je na obrázku 3.1b. Magnet je
pro zlepšení přenosu hybnosti přilepen ke kruhové destičce a ta je přilepena k membráně.
Magnet je polovinou své délky zapuštěn v dutině cívky. Detail je na obrázku 3.1c. Jak je
vidět, cívka je rovněž přišroubována k dřevěné destičce a čtyřmi šrouby připevněna k druhé
svislé desce. Hloubka zapuštění magnetu v cívce je tedy měnitelná. Ve středu dutiny cívky
je šroub z nemagnetického materiálu zakončený matkou z magnetického materiálu. Tento
šroub dosahuje přibližně do poloviny délky dutiny cívky a slouží k tomu, že se magnet po
elektrickém impulzu a jeho vychýlení zpět přitáhne k matce uprostřed cívky a nedokmitává
volně na membráně. Tento volný pohyb by způsoboval vznik dalších nechtěných vírových
prstenců. Celý obvod byl napájen z 12 V autobaterie. V obvodu je dále zapojen reostat,
díky němu je možno měnit proud v obvodu a regulovat tak velikost impulzu magnetu. Před
reostatem je vidět spínací zařízení, kterým byl spínán obvod.
Vírové prstence ve vodě byly vytvářeny pouze ručně pomocí plastového obalu od saponátu.
Do vody v akváriu jsem přidal mycí prostředek a voda se na povrchu napěnila. Pěnu
jsem nabral do lahve společně s vodou. Stiskem obou stran lahve ponořené svisle do vody
se u hrdla formoval vodní vírový prstenec, který díky sníženému tlaku v důsledu rotace
nasál do své trubice i pěnu. Díky tomu byl prstenec viditelný.
20
4Experimenty
Po prostudování dostupné literatury a navržení teoretických modelů, které jsem popsal na
konci druhé kapitoly, jsem přistoupil k jejich experimentálnímu potvrzení. Mým hlavním
úkolem bylo především potvrdit nebo případně vyvrátit teoretické predikce. Úsilí bylo
tedy zaměřeno na zjištění experimentálního postupu, jakým by bylo možné vytvořit dva
stejně rychlé prstence těsně za sebou. Bylo jasné, že tento experiment se bude provádět
s kouřovými prstenci, jelikož jsem schopen je v tomto prostředí reprodukovatelně vytvářet.
Dopad prstence na stěnu je experimentálně snadno proveditelný, a proto pro tento pokus
byly vybrány vodní prstence.
Obsahem této kapitoly bude měření rychlostí vírových prstenců v závislosti na jejich
poloměru a několik snímků získaných při prokmitávání prstenců laserem. Tyto fotografie
nabízí jistý pohled na uspořádání kouře ve vírové trubici i způsob cirkulace kouře kolem
vírového prstence.
Během těchto experimentů jsem narazil na mnoho dalších, snad ještě zajímavějších jevů
a vlastností vykazovaných prstenci. Jako příklad bude v této kapitole uvedeno spojování
vírových trubic dvou prstenců, odraz prstence od vodní hladiny a opětovné formování vírového
prstence po narušení jeho struktury. Další zajímavou vlastností jsou kmity eliptických
prstenců, o kterých jsem věděl hned od počátku. Nicméně jsem se domníval, že tyto kmity
se odehrávájí pouze v rovině. Až při pokusech se ukázalo, že tomu tak není. I tento fakt
zde bude demonstrován.
Na tomto místě bych chtěl uvést jestě souhrný komentář k některým experimentům.
Pokud se v této kapitole objeví obrázek složený z více snímků jdoucích po sobě, jedná se
o pokus znázornit průběh některého jevu. Snímky mají v pravém dolním rohu číslo odpovídající
pořadí snímku vzhledem k prvnímu. Kamera, kterou byly obrázky pořízeny měla
vzorkovací frekvenci 25 Hz. Číslem 25 je tedy označen snímek zaznamenaný 1 sekundu
po začátku znázorňovaného děje. Jednotlivé snímky mapují vždy přibližně stejné místo.
U velmi rychlých prstenců vzniká na snímcích jejich rozdvojení, kamera je nestihla zaznamenat
přesně.
21
4.1 Rychlost vírového prstence
Ihned po objevení vztahu (2.45) vznikla otázka, zda-li by tento vzorec nešel ověřit experimentálně.
Bohužel v tomto vztahu vystupuje cirkulace kolem vírové trubice prstence
. Tuto veličinu by bylo možné určit například interferencí ultrazvukových vln (AharonBohmův
jev). Toto měření však bylo zcela mimo naše experimentální možnosti. Další neznámou
veličinou je poloměr průřezu vírové trubice , který by v principu zřejmě bylo
možné určit například prokmitáváním prstence laserem a nafocením (viz dále). Měření by
zřejmě bylo zatíženo velkou chybou, ovšem vzhledem k nemožnosti určit cirkulaci se toto
měření stejně nemohlo realizovat. Nicméně jak bylo ukázáno v teoretické části, translační
rychlost vírového prstence (se stále stejnou cirkulací!) roste s klesajícím poloměrem. Toto
tvrzení nám poskytlo možnost k experimentálnímu ověření.
Uspořádání experimentu tedy bylo následující. Asi 5 m proti přístroji na generaci vírových
prstenců byl ve stejné výšce umístěn stroboskop, jehož frekvence byla nastavena na
4 Hz. Vše bylo zaznamenáváno digitálním fotoaparátem zboku ze vzdálenosti přibližně 6
m. Doba expozice byla 3 - 6 s podle poloměru prstence. Vyrobil jsem nástavce o poloměrech
6, 5, 4, 3 a 2 cm z tvrdé plastové folie a okraje zabrousil tak, aby byly hladké a zaoblené.
Vzdálenosti jednotlivých poloh zachycení prstence jsem určoval v programu Gimp,
na stěně byly vyznačeny vzdálenosti 0,5 m, z nichž jsem určil vzdálenost, která odpovídá
jednomu pixelu na fotografii (1 pix = 1, 748 mm). Pro každý nástavec jsem vyfotil přibližně
10 snímků. Rychlost byla určována ve vzdálenosti 1 m po vzniku prstence pro všechny poloměry.
Bohužel se při zpracování ukázalo, že skoro polovina fotek je nepoužitelná, protože
prstenec většinou hned po svém vzniku byl odchýlen buď proudem vzduchu v místnosti,
nebo o jiný prstenec, který byl v prostoru od minulého měření. Proto je k dispozici pouze
málo hodnot k určení rychlosti a měření je tedy nepřesné. Níže jsou uvedeny příklady fotek,
z nichž jsem určoval rychlosti, následují tabulky, v nichž jsou výsledky mého měření.
Pro poloměr r = 2 cm zcela chybí údaje, prstence už byly tak rychlé, že se je nepodařilo
zachytit fotoaparátem.
Grafy na obrázcích 4.5 a 4.6 odpovídají vývoji rychlosti mezi jednotlivými zachycenými
polohami prstence. První graf je určen z obrázku 4.1, tedy pro poloměr prstence 6 cm, druhý
graf je určen z obr 4.4, poloměr 3 cm.
Obrázek 4.1: Poloměr prstence r = 6 cm
22
Obrázek 4.2: Poloměr prstence r = 5 cm
Obrázek 4.3: Poloměr prstence r = 4 cm
Obrázek 4.4: Poloměr prstence r = 3 cm
Tabulka 4.1: Rychlost vírových prstenců
6 cm 5 cm 4 cm 3 cm
pixely v [m
s
] pixely v [m
s
] pixely v [m
s
] pixely v [m
s
]
63 0,441 112 0,783 233 1,629 276 1,930
65 0,454 107 0,748 225 1,573 275 1,923
64 0,448 109 0,762 232 1,622 256 1,790
109 0,762 220 1,538 253 1,769
104 0,727 256 1,790
Tabulka 4.2: Výsledky měření
r [cm] v[m
s
]
6 0, 448  0, 005
5 0, 756  0, 011
4 1, 591  0, 026
3 1, 840  0, 040
23
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0 1 2 3 4 5 6
v[m
s
]
t [s]
Obrázek 4.5: Graf vývoje rychlosti prstence poloměru 6 cm
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
v[m
s
]
t [s]
Obrázek 4.6: Graf vývoje rychlosti prstence poloměru 3 cm
24
Z grafů je vidět, že rychlost prstence zpočátku klesá velmi rychle, v pozdější fázi klesá
přibližně lineárně. Grafem 4.6 lze proložit exponenciálu jak je naznačeno zelenou křivkou,
graf 4.5 však exponenciálou dobře nenafitujem. Červená křivka na tomto grafu je pouze
pro zvýšení přehlednosti (jedná se o plynom vysokého řádu).
Nepříjemným faktem, který znehodnocuje relevantnost celého měření, je teoretický požadavek
stejné cirkulace kolem vírové trubice prstence pro různé poloměry. Cirkulace bude
zřejmě úzce souviset s formováním prstence a množstvím kouře jím neseného ve vírové
trubici. Bohužel tyto informace zcela chybí a je velmi těžké je alespoň odhadnout. Jistou
představu však měření o rychlostech prstenců přesto nabízí.
4.2 Prokmitávání vírové trubice laserem
Jedním ze způsobů, jak zachytit strukturu vírové trubice i způsob rotace kouře kolem vírového
prstence, je prokmitávání laserem. Vzniklý efekt je více než fascinující. Na obrázcích
4.7 a 4.8 je zachyceno právě takové prokmitnutí. Podařilo se dokonce zachytit dva prstence
za sebou, což je na obr. 4.9. Můžeme vidět, že prstenec si s sebou nese velké množství
kouře, což je patrné především z obr. 4.8. Prstenec při pohybu prostorem postupně ztrácí
kouř kvůli difuzi vířivosti do okolí. To je dobře vidět na obr. 4.7. Průřez vírové trubice
je, jak si můžeme všimnout, téměř kruhový, u rychlejšich prstenců jsou průřezy však eliptické.
Bohužel zachytit prokmitnutí rychlého prstence na fotografii je velmi obtížné a žádný
vhodný snímek se mi nepodařilo pořídit.
Obrázek 4.7: Prokmitnutí vírového prstence laserem
25
Obrázek 4.8: Vírový prstenec z větší vzdálenosti
Obrázek 4.9: Dva vírové prstence
4.3 Dopad vírového prstence na stěnu
Na konci druhé kapitoly byl uveden teoretický rozbor situace dopadu vírového prstence na
stěnu. Na obr. 4.10 je znázorněna právě tato situace. Jedná se o pohled zboku. Celý děj
trvá přibližně 1, 4 s. Dole na snímcích je přiloženo pásmo na určení vzdáleností, bohužel
na obrázcích nepůjde zřejmě rozpoznat. Nicméně číselné údaje jsou uvedeny v tabulce 4.3.
Tyto hodnoty jsem opět určoval podle počtu pixelů v programu Gimp, tyto údaje jsou
pouze přibližné. Zkoušel jsem graficky znázornít závislost poloměru prstence na čase, graf
však nevykazoval žádnou zřejmou závislost, a proto ho zde ani neuvádím.
Z obrázku je vidět, že děj kvalitativně splňuje teoretický model. Se zmenšující se vzdáleností
od stěny poloměr prstence roste a rychlost klesá. Bohužel se nepodařilo vypracovat
matematicky korektní model, který by se mohl seriózně experimentálně ověřit. I kdyby se
26
takový model však podařilo najít, jeho ověření by bylo moje možnosti, opět kvůli neznalosti
cirkulace kolem vírové čáry, která by v závislosti zřejmě vystupovala.
Od snímku č. 25 je vidět, že prstenec už není stabilní. Vírová trubice se přerušuje a
prstenec rychle zaniká.
Tabulka 4.3: Dopad vírového prstence na stěnu, viz obr. 4.10
snímek č. čas [s] poloměr [cm] vzdál. od stěny [cm]
1 0,04 2,14 15,05
6 0,24 1,92 10,8
11 0,44 2,11 6,1
14 0,56 2,16 3,6
15 0,6 2,05 2,7
16 0,64 2,03 2,1
17 0,68 2,13 1,52
18 0,72 2,37 0,95
19 0,76 3,05 0,68
20 0,8 3,66 0,65
21 0,84 3,79 0,68
22 0,88 4,08 0,68
23 0,92 4,32 0,68
24 0,96 4,47 0,68
25 1 4,79 0,68
27 1,08 5,24 0,63
29 1,16 5,37 0,63
31 1,24 5,51 0,63
33 1,32 5,68 0,63
27
Obrázek 4.10: Dopad vírového prstence na zeď
28
4.4 Vzájemná interakce dvou vírových prstenců
Nyní se budeme věnovat pokusům o potvrzení teoretické predikce z druhé kapitoly o vzájemné
interakci dvou souběžných vírových prstenců. Bohužel se ukázalo, že pomocí mého
zařízení nejsem schopen utvořit pár prstenců dostatečně si blízkých, aby spolu mohly navzájem
interagovat. Proto jsem se musel spokojit s případem, kdy se zadní prstenec pohybuje
rychleji než první. Navíc bylo v mých podmínkách téměř nemožné vytvořit dva prstence
se stejnou osou symetrie. Z těchto důvodů se mi přímo nepodařilo pozorovat teoreticky
předpovězený, periodicky se opakující děj.
Uvedu zde však několik argumentů, které tuto teorii podporují. Při těchto experimentech
jsem několikrát pozoroval zmenšení zadního rychlejšího prstence a zvětšování předního.
V okamžiku, kdy zadní prstenec prolétával předním, došlo z neznámé příčiny k jeho
zániku. Tento jev proběhl natolik rychle, že nebylo v mých technických možnostech tento
jev zdokumentovat tak, aby byla možná jeho pozdější podrobná rekonstrukce. V ojedinělých
případech jsem dokonce zpozoroval průlet zadního prstence předním, náhlou změnu
směru pohybu původně zadního prstence a jeho rychlý zánik. Tento jev se mi vůbec nepodařilo
zachytit na videokameru.
Mám však k dispozici záběry, které vznikly náhodně při pokusech s eliptickými prstenci
(obr. 4.11). V této sérii se budeme věnovat pouze dvěma zřetelnějším prstencům označenými
na snímku 1 pro přehlednost písmeny a, b (dva prstence v levých dolních rozích
vznikly při předchozích pokusech a jsou pro nás nepodstatné). Snímek 1 a 8 ukazuje, že
zadní prstenec a se pohyboval podstatně vyšší rychlostí. Na snímcích 12 a 13 je zachyceno
zvětšování prstence b, 14. snímek dokumentuje průlet prstence a zvětšeným prstencem b.
Z dalších záběrů (15,16,17 a 19) je patrné opětovné zmenšení prstence b téměř k původní
velikosti. Prstenec a se vzdaluje.
Velikost prstence a se viditelným způsobem nezměnila. Vysvětluji si to tím, že přední
prstenec b měl velmi malou sílu vírové trubice, což usuzuji z jeho pomalého translačního
pohybu. Působení prstence b na prstenec a je tedy zanedbatelné a nikterak se neprojevilo.
Uvedený pokus naznačuje, že teoretická představa uvedená v druhé kapitole, je celkem
oprávněná. Věřím, že pokud by se podařilo vytvořit vírový pár s velmi malou vzájemou
vzdáleností, popsaný děj by se skutečně periodicky opakoval, dokud by nebyl utlumen
difuzí vířivosti.
29
Obrázek 4.11: Vzájemná interakce dvou prstenců
30
4.5 Kmity eliptických prstenců
V teoretické části této práce je naznačen způsob, jakým kmitají eliptické prstence. Na
obrázku 4.12 je zobrazen pohyb eliptického prstence zboku. Bohužel záběr není zcela ostrý,
je totiž velmi těžké ostřit kamerou do vzdálenosti prstence kvůli dalšímu kouři kolem
prstence. Celý znázorněný děj trvá 1, 12 s.
Na snímku č.3 vidíme, že prstenec je z našeho pohledu přibližně rovinný. Na snímcích
4,5,6,7 a 8 má už prstenec tvar obráceného písmena C. Dále je vidět, že jeho rozměr
z našeho pohledu postupně roste. Můžeme usuzovat, že prstenec překmitává do polohy na
obr. 9, kde je opět přibližně rovinnou elipsou. Rozměr této elipsy (z našeho pohledu) je však
větší než původně na snímku 3. Původně tedy měla elipsa vedlejší poloosu rovnoběžnou
s rovinou obrázku, na obr. 9 je však rovnoběžná s hlavní poloosou. Elipsa tedy vypadá,
jakoby byla otočena o 90
vzhledem k elipse původní. Popsaný děj tedy tvoří jeden půlkmit
prstence.
Tento rozbor sice samozřejmě zcela nepotvrzuje teoretický model, ale kvalitativním
způsobem s ním souhlasí.
4.6 Přerušení vírové trubice prstence
Zajímavou otázkou je, co nastane při přerušení vírové trubice prstence. Proto jsem se snažil
narušit strukturu prstence vkládáním různých předmětů do jeho trajektorie. Podle rozměrů
překážky se měnilo následné chování prstence. Dle očekávání se prstenec při nárazu na
předmět o svronatelných rozměrech jako poloměr prstence většinou rozpadl. Pro překážky
menších rozměrů (tenká dřevěná tyčka o průměru přibližně 4 mm) se sice kruhová vírová
trubice dočasně rozdělila na dvě polokružnice, ty se však téměř okamžitě opět spojily. Bylo
vidět, že prstenec po rozdělení na dva fragmenty zpomalil, ale po jejich opětovném spojení
se začal pohybovat rychlostí téměř stejnou jako před rozpadem.
Vůbec nejzajímavější jev jsem pozoroval při dopadu prstence horní polovinou na tvrdou
plastovou fólii (obr. 4.13, snímek č. 5). Na obrázku je zachycen průběh opětovného
zformování vírového prstence po nárazu. Na snímku č. 6 je spodní polovina prstence jestě
zcela neuspořádaná, na následujícím záběru však již vidíme opětovné formování útvaru do
kruhové podoby, ke které dospěje na snímku č. 9. Tento prstenec se dále šíří prostorem,
jak je patrné z obrázků 10,15 a 20, zároveň je možné si povšimnout, že rychlost tohoto
prstence je menší než rychlost prstence původního.
31
Obrázek 4.12: Kmity eliptického prstence
32
Obrázek 4.13: Dopad prstence na plastovou fólii
4.7 Odraz prstence od vodní hladiny
Obrazová dokumentace k tomuto ději je znázorněna v obr. 4.14. Uvádím ho zde pouze jako
zajímavost, neboť jsem se jím v teoretické části nezabýval. Na snímcích je zachycena trajektorie
prstence směrem k hladině (1,3,4), změnu směru jeho pohybu při kontaktu s hladinou
(5,6,7,8,9,10) a výsledný pohyb od hladiny. Na snímcích je patrné, že během interakce
s hladinou prstenec přibral do své vírové trubice vzduch. To dokazuje jeho zvýraznění na
snímcích po odrazu. Ze záběrů není příliš patrný vznik vlny při kontaktu vírového prstence
s vodní hladinou.
33
Obrázek 4.14: Odraz prstence od vodní hladiny
4.8 Dva prstence vedle sebe
Na obrázku 4.15 je zachycen průběh spojení zpočátku dvou oddělených prstenců. Jako
nástavec na generátor vírových prstenců jsem totiž použil plastovou fólii s dvěma malými
kruhovými otvory umístěnými vedle sebe. Na snímku 1 vidíme dva oddělené prstence.
Elementárním rozborem sitace podobným způsobem jako na konci kap. 2 není těžké ukázat,
že takovéto dva prstence by se měly přitahovat, což můžeme vidět na snímcích 6 a 4. Na
11. snímku dochází ke kontaktu, na snímku 14 jsou prstence již zcela spojeny. Další vývoj
zachycuje kompikovaný pohyb a kmity takto zvniklého útvaru. Na záběru č. 6 stojí za
povšimnutí vznik dvou sekundárních prstenců, které měly menší cirkulaci a nedošlo k jejich
spojení. Na následujících snímcích můžeme vidět, že se šíří prsotorem odděleně.
34
Obrázek 4.15: Vzájemná interakce dvou prstenců
35
5Závěr
Hned od počátku této práce byla evidentní nutnost výroby přístroje, který by umožnil reprodukovatelným
způsobem generovat vírové prstence. Během prací na tomto zařízení jsem
zároveň studoval dostupnou literaturu, protože o fyzice vírů mně toho nebylo příliš známo.
První, co poskytlo odrazový můstek, byl Helmholtzův vírový a Kelvinův cirkulační teorém.
Tyto teorémy jsou, i když ne úplně matematicky rigorózně, v této práci popsány. Dalším
důležitým faktem je formální podobnost rovnic pro rychlostní pole indukované vířivostí
a magnetické pole vytvářené rozložením proudu. Tyto tři indicie s trochou představivosti
a intuice nabízejí kvalitativní náhled do problematiky týkající se dynamiky vírových prstenců.
V této práci se tímto způsobem věnuji vzájemné interakci mezi dvěma těsně za
sebou se pohybujícími prstenci a dopadem vírového prstence na stěnu, jelikož podmínku
kladenou na tekutinu blízko stěny lze splnit metodou zrcadlení. Ta spočívá v uvedení imaginárního
prstence z druhé strany stěny. V případě jakéhokoli matematicky rigoróznějšího
popisu situace spojené s vírovým prstencem se ukazuje jako nezbytné použití Stokesovy
proudnicové funkce, pomocí níž lze využít v případě nestlačitelné tekutiny kruhové symetrie
prstence. V této práci je tato funkce spočtena pro jeden vírový prstenec pomocí
eliptických integrálů prvního a druhého druhu. S tímto tvarem by zřejmě bylo nutné dále
pracovat pro detailnější rozbor situací. Z mého hlediska asi největším úspěchem teoretické
části této práce je vysvětlení vzniku samoindukovaného translačního pohybu vírové čáry
v důsledku lokálního zakřivení. Tímto způsobem si vysvětluji schopnost vírového prstence
překonat i poměrně velké vzdálenosti. Za pomoci tohoto faktu je v této práci i naznačeno,
jakým způsobem pravděpodobně kmitají eliptické vírové prstence.
Experimentální zařízení se po několika měsících podařilo uvést v činnost. Přístroj rozhodně
není dokonalý, nicméně k účelům této práce posloužil. Mám však několik nápadů,
na vylepšení přístroje, které by zřejmě byly nutné k soustavnější experimentální činnosti.
V experimentální části této práce se věnuji hned několika jevům. Zde jsem však nucen
se omezit povětšinou na pouhý popis pozorovaných jevů. To je způsobeno tím, že v mých
experimentálních podmínkách nebylo možné určit cirkulaci kolem vírové trubice prstence,
která vystupuje ve všech teoreticky odvozených vztazích. Je zde tedy popsán dopad vírového
prstence na stěnu, který zhruba odpovídá modelu vytvořeného na základě metody
zrcadlení. Interakce mezi dvěma souběžnými prstenci popsaná v teroretické části přímo
pozorována nebyla, nicméně je zde uvedeno několik faktů, které poukazují na správnost
této úvahy. Vše je bohatě ilustrováno doprovodnými fotografiemi. Dále je v práci ukázáno,
že kmity eliptických prstenců jsou opravdu třírozměrné, a že průběh přibližně odpovídá
36
kvalitativnímu modelu. V závěru experimentální části je jako zajímavost znázorněn odraz
prstence od vodní hladiny a spojení dvou vírových prstenců v jeden kmitající prstenec.
Obsahem této práce zdaleka není ucelený výklad problematiky týkající se vírových
prstenců. Samostatnou kapitolu by si jistě zasloužil především vznik vírů i podrobnější
rozpracování difuze vířivosti.
37
Literatura
[1] LAMB, Horace. Hydrodynamics. 7th edition. London : Cambridge University Press,
1975. 738 s. ISBN 0 521 05515 6.
[2] BATCHELOR, G.K. An introduction to fluid dynamics. 20th edition. London :
Cambridge University Press, 2002. 615 s. ISBN 0 521 66396 2.
[3] SOMMERFELD, Arnold. Mechanics of deformable bodies. 2nd edition. New York
: Academic Press Inc., 1950. 396 s. ISBN 978-0126546507.
[4] KUNDU, Pijush K., COHEN, Ira M. Fluid Mechanics. 2nd edition. London : Academic
Press, 2002. 730 s. ISBN 0-12-178251-4.
[5] BRDIČKA, Miroslav, SAMEK, Ladislav, SOPKO, Bruno. Mechanika kontinua. 3.
vyd. Praha : Academia, 2005. 799 s. ISBN 80-200-1344-X.
[6] SAFFMAN, P.G. Vortex Dynamics. 1st edition. New York : Cambridge University
Press, 1992. 311 s. ISBN 0-521-42058-X.
[7] CAYLEY, Arthur An elementary treatise on elliptic functions. 2nd edition. London
: George Bell & Sons, 1895. 386 s.
[8] FRAENKEL, L.E., BERGER, M.S. The global theory of steady vortex rings in an
ideal fluid. Acta Mathematica. 1973, vol. 132, no. 1, s. 13-51. Dostupný z WWW:
<http://www.springerlink.com/content/18171227404474u1/>.
[9] WALKER, J.D.A., et al. The impact of a vortex ring on a wall. Journal of Fluid
Mechanics. 1987, no. 181, s. 99-140.
38