Masarykova univerzita Ekonomicko-správní fakulta Studijní obor: Matematické a statistické metody v ekonomii ^ A R Y / 0 4 #^^^^^^% AKTUÁLNI PROBLÉMY A OTÁZKY PRÁCE S M O D E L Y PANELOVÝCH D A T Working with panel data models: Actual problems and issues Diplomová práce Vedoucí práce: Autor: Ing. Daniel Němec, Ph.D. Bc. et Bc. Jaroslava Pomothyová Brno, 2015 M A S A R Y K O V A UNIVERZITA Ekonomicko-správní fakulta O K Í * * 5 ZADANÍ DIPLOMOVÉ PRACE Studentka: Obor: Téma práce: Téma práce anglicky: Cíl práce, postup a použité metody: Rozsah grafických prací: Rozsah práce bez príloh: Literatura: Vedoucí práce: Pracoviště vedoucího práce: Akademický rok: 2 0 1 4 / 2 0 1 5 Be. et Bc. Jaroslava Pomothyová Matematické a statistické metody v ekonomii Aktuální problémy a otázky práce s modely panelových dat Working with panel data models: Actual problems and issues Cílem práce bude identifikovat aktuální problémy specifické při práci s modely panelových dat a prozkoumat možnosti, které se nabízejí k vypořádání se s nimi. Práce bude tedy zaměřena na nalezení a popsání aktuálních problémů spojených s odhady modelů panelových dat zejména v oblasti makroekonomie, a to zejména ve srovnání s modelováním využívajícím čistě průřezová data či čistě data v podobě časových řad. Způsob zpracování práce bude takový, že budou postupně vybrány problematické otázky, bude popsáno, kde je problém v případě práce s panelovými daty a jaké možnosti řešení se nabízejí v teoretické rovině a jaká řešení jsou skutečně v praxi implementovány. Nevylučuje se ani využití vlastní invence a např. monte carlo simulací k ilustraci a analýze jednotlivých problémů. Podle pokynů vedoucího práce 60 - 80 stran KENNEDY, Peter. A guide to econometrics. 6th ed. Maiden: Blackwell, 2008. xii, 585 s. ISBN 978-1-4051-8258-4. BALTAGI, Badi H. A companion to Econometric analysis of panel data. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2009. xii, 295 p. ISBN 9780470744031. BALTAGI, Badi H. Econometric analysis of panel data. 4th ed. Chichester: John Wiley & Sons, 2008. xiii, 3 5 1 . ISBN 9780470518861. A R E L L A N O , Manuel. Panel data econometrics. Oxford: Oxford University Press, 2003. xii, 230 s. ISBN 9780199245291. Econometric analysis of cross section and panel data. Edited by Jeffrey M . Wooldridge. 2nd ed. Cambridge, Mass.: MIT Press, 2010. xxvii, 106. ISBN 9780262294355. Ing. Daniel Němec, Ph.D. Katedra ekonomie Strana 1 z 2 Datum zadání práce: 8. 1. 2013 Termín odevzdání diplomové práce a vložení do IS je uveden v platném harmonogramu akademického roku. doc. Ing. Zdeněk Tomeš, Ph.D. prof. Ing. Antonín Slaný, CSc. vedoucí katedry děkan V Brně dne: 2. 1. 2015 Strana 2 z 2 Jméno a příjmení autora: Název diplomové práce: Be. et Bc. Jaroslava Pomothyová Aktuální problémy a otázky práce s modely panelových dat Working with panel data models: Actual problems and issues Název práce v angličtině: Katedra: ekonomie Vedoucí diplomové práce: Rok obhajoby: Ing. Daniel Nemec, Ph.D. 2015 Anotace Táto diplomová práca sa zaoberá aktuálnou problematikou práce s panelovými dátami. Sú popísané dva základné prístupy k modelom panelových dát: model fixných vplyvov a model náhodných vplyvov, diagnostické testy pre tieto modely, koeficient determinácie a testy základných predpokladov. Následne je model rozšírený o dynamický prístup, sú uvedené rôzne dynamické estimátory, rovnako ako aj ďalšie používané testy pre tieto modely. Annotation This thesis deals with the main issues when working with panel data. The thesis contains two basic approaches to panel data models: fixed effect model and random effect model, diagnostic tests for these models, coefficient of determination and testing basic assumptions of the model. Furthermore, the model is extended to the dynamic approach, there are listed various dynamic estimators as well as other used tests for these models. Klíčová slova panelové dáta, model fixných vplyvov, model náhodných vplyvov, diagnostické testy, koeficient determinácie, dynamický model panelových dát. Keywords panel data, fixed effect model, random effect model, diagnostic tests, coefficient of determination, dynamic panel data models. Prohlášení Prohlašuji, že jsem diplomovou práci Aktuální problémy a otázky práce s modely panelových dat vypracovala samostatně pod vedením Ing. Daniela Němce, Ph.D., a uvedla v ní všechny použité literární a jiné odborné zdroje v souladu s právními předpisy, vnitřními předpisu Masarykovy univerzity a vnitřními akty řízení Masarykovy univerzity a Ekonomicko-správní fakulty MU. V Brne dne Vlastnoruční podpis autora Poděkování Na tomto mieste by som sa chcela poďakovať vedúcemu mojej diplomovej práce Ing. Danielovi Nemcovi, Ph.D., za cenné rady, ochotu a trpezlivosť. Obsah Úvod 13 1 Panelové dáta 15 1.1 Súhrnný model panelových dát 16 2 Náhodné vs. fixné vplyvy 19 2.1 Model náhodných vplyvov 19 2.1.1 Estimátory náhodných vpyvov 21 2.2 Model fixných vplyvov 27 2.2.1 Estimátory fixných vplyvov 28 2.3 Testy v modeloch panelových dát 31 2.3.1 Porovnanie modelov fixných a náhodných vplyvov . . . . 31 2.3.2 Testy individuálneho vplyvu (Poolability tests) 34 2.3.3 Testy náhodných vplyvov 37 2.3.4 Hausmanov test 39 3 Koeficient determinácie 41 3.1 Verzie koeficientu determinácie 43 4 Testy v modeloch panelových dát 45 4.1 Testovanie normality 45 4.1.1 Momenty náhodných zložiek 46 4.1.2 Panelový test normality 47 4.2 Heteroskedasticita 49 4.2.1 Testovane homoskedasticity 52 4.3 Autokorelácia náhodných chýb 59 4.3.1 Testovanie autokorelácie 59 5 Dynamické modely panelových dát 63 5.1 Anderson-Hsiao estimátor 65 5.2 Arellano-Bond estimátor 66 11 12 OBSAH 5.2.1 Odvodenie estimátoru 66 5.2.2 Praktická aplikácia 68 5.3 Arellano-Bover estimator 70 5.4 Ahn-Schmidt momentové podmienky 71 5.5 Blundell-Bond systémový G M M estimator 73 5.5.1 Odvodenie estimátoru 73 5.5.2 Nelineárne momentové podmienky 74 5.5.3 Praktická aplikácia 75 5.6 Ďalšie rozšírenia dynamických estimátorov 76 5.6.1 Vylepšenia G M M estimátoru 76 5.6.2 Metóda maximálnej vierohodnosti 78 5.6.3 Estimator dlhých diferencií 78 5.6.4 Ďalšie prístupy k dynamickým modelom panelových dát . 79 5.6.5 Porovnanie rôznych dynamických estimátorov 82 5.7 Testovanie v dynamických modeloch panelových dát 83 Záver 87 Literatúra 89 Úvod Moderná ekonometria je rozdelená na dve vetvy, ekonometriu prierezových dát a analýzu časových rád. Spojením týchto dvoch metód skúmania dát je ekonometria panelových dát, v ktorej sú prierezové jednotky pozorované naprieč časom. Veľké množstvo ekonomických aplikácií zahŕňa práve prácu s modelmi panelových dát. Môžeme pozorovať spotrebu jednotlivých domácností, výkony daných firiem, alebo národné účty viacerých krajín v priebehu niekoľkých rokov. V posledných rokoch, hlavne s čoraz väčším rozvojom počítačovej techniky, sa problematika panelových dát rozvíja, existuje veľké množstvo odbornej literatúry na túto tému. Práca s panelovými dátami je o to zložitejšia, že človek musí brať do úvahy obidve dimenzie, prierezovú aj časovú. Aj preto sú modely panelových dát a práca s nimi stále v štádiu vývoja, zlepšovania sa a nachádzania nových prístupov k tejto problematike. V dôsledku tohto faktu je v súčasnosti práca s panelovými dátami ťažšia, pretože aj napriek tomu, že existuje dostupná kvalitná literatúra, každý rok sú prezentované nové prístupy, ktoré autori nie sú schopné tak rýchlo zahrnúť do svojich kníh, prípade učebníc. Aj to je jeden z podnetov na vytvorenie tejto práce. Cieľom práce je čitateľa bližšie oboznámiť s problematikou panelových dát. Hlavnou úlohou je identifikovať aktuálne problémy špecifické pre prácu s modelmi panelových dát a preskúmať možnosti, ktoré poskytuje odborná literatúra. Postupne budú vybrané jednotlivé problematické otázky, problémy budú popísané v súvislosti s modelmi panelových dát, a následne budú predstavené možnosti riešenia týchto situácií v teoretickej rovine, rovnako ako bude uvedené, ako popísané prístupy k riešeniu daného problému fungujú v aplikovanej rovine. Práca preto bude slúžiť aj ako rešerš dostupnej literatúry venujúcej sa panelovým dátam. U čitateľa sa predpokladajú znalosti štatistiky a ekonometrie. Práca sa bude snažiť odpovedať aj na otázky, ktoré nie sú v učebniciach ekonometrie explicitne riešené a aj v praktických aplikáciách sú buď úplne zanedbané, alebo jek ním přistupované chybne. Ďalšou skupinou otázok, na ktoré sa táto práca pokúsi nájsť odpovede sú tie, ktoré majú štandardné riešenia vrámci práce s nepanelovými dátami (v kontexte lineárnej regresie), ale v modeloch panelových dát získavajú úplne nový rozmer. Príklaodm môžu byť nasledujúce otázky: V akých 13 14 ÚVOD situáciách je lepšie použiť model fixných vplyvov a v akých model náhodných vplyvov? Ako je vnímaná asymptotická normalita v kontexte modelov panelových dát a aké má dôsledky pre diagnostické testy? Sú diagnostické testy heteroskedasticity a autokorelácie prakticky aplikovateľné? Aká je interpretácia výsledkov Hausmanovho testu v modeloch panelových dát? V čom spočíva problematika dynamických modelov panelových dát a ako sa vyrovnať s prípadným skreslením modelu? V prvej kapitole zavedieme súhrnný model panelových dát a bližšie popíšeme výhody a nevýhody práce s panelovými dátami. V druhej kapitole rozšírime súhrnný model na zložitejší model nepozorovatelných individuálnych vplyvov, konkrétne na dve situácie, model náhodných vplyvov a model fixných vplyvov. Každý z týchto prístupov popíšeme, uvedieme literatúrou navrhované estimátory a nakoniec modely fixných a náhodných vplyvov medzi sebou porovnáme a uvedieme niekoľko štatistických testov, ktoré môžu uľahčiť rozhodovanie, ktorý z modelov je pre ktorú situáciu vhodnejší. V tretej kapitole sa zameriame na koeficient determinácie a jeho využitie v modeloch panelových dát, popíšeme rôzne jeho špecifikácie a predvedieme krátky príklad. Štvrtá kapitola je venovaná problematike testovania základných predpokladov modelu. Keďže problematika panelových dát je obšírna, existuje mnoho rôznych testov, venujúcich sa jednotlivých problémom. Konkrétne v tejto kapitole rozoberieme testovanie normality, resp. rozdelenia náhodných chýb, problematiku heteroskedasticity, rovnako ako testy autokorelácie náhodných chýb. V poslednej kapitole sa pozrieme na iný prístup k modelom panelových dát, na dynamické modely, rôzne navrhované estimátory, ich funkčnosť a vlastnosti, rovnako ako aj na problematiku štatistického testovania v týchto dynamických modeloch. Kapitola 1 Panelové dáta Ekonomické aplikácie často zahŕňajú prácu s panelovými dátami. Tieto majú aj prierezovú aj časovú zložku. Ide o združovanie pozorovaní prierezových dát domácností, firiem, krajín,... za určité časové obdobie. Modely panelových dát môžeme rozdeliť na mikro a makro panely. Mikro- panely sa skladajú z veľkého množstva prierezových pozorovaní jednotlivcov alebo domácností ./V (zvyčajne stovky, tisíce) za krátke časové obdobie T (zvyčajne medzi 2 a 10 rokmi). Makropanely pozostávajú z menšieho množstva prierezových pozorovaní, zvyčajne krajín, ktoré sú sledované každoročne niekoľko (desiatok) rokov. Panelové dáta ponúkajú nové možnosti a výhody oproti priezerovým alebo časovým dátam, rovnako však majú isté nevýhody a limitácie. Výhody 1. kontrola individuálnej heterogenity - panelové dáta dokážu kontrolovať premenné, ktoré sú nemenné v čase alebo vrámci prierezových dát, a ktoré by sa v modeloch časových rád alebo prierezových modeloch nedali použiť 2. viac informatívne dáta, viac variability, menej kolinearity medzi premennými, viac stupňov voľnosti, viac výdatnosti 3. vhodnejšie na zachytenie dynamiky prispôsobovania sa a zmien v premenných (napr. nezamestnanosť, príjmy,... v čase) 4. možnosť zachytiť a merať zložitejšie vzťahy a modely správania Nevýhody 1. problémy so zbieraním dát - problémy týkajúce sa nedostatku respondentov, frekvencie a obdobia zberu informácií,... 15 16 KAPITOLA 1. PANELOVÉ DÁTA 2. skreslenie chýb v pozorovaniach kvôli zle definovaným otázkam, zámerne nepravdivým odpovediam, nevhodným respondentom 3. problém výberu, nechuť respondentov odpovedať, situácia smrti, presťahovania sa respondenta v priebehu pozorovaného obdobia,... 4. krátke časové obdobie v mikro- paneloch — asymptotické vlastnosti závisia na počte prierezových dát približujúcich sa nekonečnu 5. závislosť medzi prierezovými dátami v makro- paneloch 1.1 Súhrnný model panelových dát Súhrnný model panelových dát vníma pozorovania tak, ako keby pochádzali z jedného regresného modelu. yit = a+x;tp + uit i=l,...,N; t=l,...,T (1.1) kde i značí počet indivíduí, domácností, firiem, krajín, ... (prierezová zložka) a t značí čas (časová zložka), a je konštanta, /3 je vektor K x 1 a X[t je it- té pozorovanie K vysvetľujúcich premenných. Vo väčšine prípadov modely panelových dát využívajú zápis pre náhodnú zložku: uit = Hi + vit (1.2) kde jUř značí nepozorovatelný vplyv individuálnych špecifikácií, nemení sa v čase a označuje všetky nepozorovatelné individuálne vlastnosti, ktoré nie sú zahrnuté v regresii (býva označované aj ako individuálny efekt alebo individuálna heterogenita) a V/f značí zvyšnú chybu v pozorovaní, mení sa naprieč časom aj individuálnymi entitami, má podobný význam ako náhodná zložka v regresii (označované idiosynkratická chyba alebo odchýlka). Rozšírením sú prípady s viacrozmernou náhodnou chybou, s ktorými pracujú napr. Wallace a Hussain [88] alebo Ameniya [5]. V nich, ako uvádza Baltagi [11], má náhodná zložka tvar w/f = to + Xt + Vu, (1.3) kde Xt označuje nepozorovatelný časový efekt. Tento sa nemení naprieč individuálnymi entitami a obsahuje všetky časovo špecifické efekty, ktoré nie sú zahrnuté v regresii. Môže sa jednať napr. o embargo na dovoz ropy, ktoré negatívne ovplyvní ponuku aj cenu ropy, alebo nový zákon obmedzujúci fajčenie na verejných miestach. Tieto situácie ovplyvňujú spotrebu celej spoločnosti a môžu sa meniť v čase. KAPITOLA 1. PANELOVÉ DÁTA 17 Modely, v ktorých sa uvádza len individuálne špecifický vplyv sa označujú ako „one-way" modely. Ak do modelu zahrnieme okrem aj časovo špecifický efekt Xt, označujeme tento model ako „two-way" model.1 Rovnicu 1.1 môžeme podľa Baltagiho [11] zapísať vo vektorovej forme ako: y = aiNT+xp+u = Zô + u, (1.4) kde y je vektor NT x 1, X je matica NT x K, Z — [INT,X], Ô/ — (a',j8') a ijvr je vektor jednotiek dimenzie NT. Rovnako rovnica 1.2 môže byť zapísané ako: u = Ztln + v, (1.5) kde u' — ( « n , . . . ,«17-,«21, • • • ,U2T, • • • ,wjvi, • • • ,UNT), V ktorom sú pozorovania uložené tak, že pomalší index je ten naprieč individuálnymi entitami a rýchlejší naprieč časom. Z^—I^® ij, kde IN je identická matica dimenzie N, \j je vektor jednotiek dimenzie ľ a ® označuje Kroneckerov produkt.2 je výberová matica jednotiek a núl, je to matica dummy premenných, ktoré sú zahrnuté v regresii. \i! = (jUi,...,JUÍV) a v' = ((vn,..., vír, v 2 i , . . . , v 2 r , • • •,Vm,• • •, VNT))Ako uvádza Baltagi [11], je dobré si všimnúť niektoré ďalšie vlastnosti matice Zjj_ .Z^Z'^—IN®JT, kde Jj je matica jednotiek dimenzie T; a P — Z^ {Z'^Z^ )~1 Z'fi je projekčná matica na Z^, ktorá sa dá zapísať v zredukovanej forme ako IN®JT, kde J T — JT/T. P je matica, ktorá priemeruje pozorovania naprieč časom pre každého jednotlivca. Q — I^T — P je matica, ktorá obsahuje všetky odchýlky od individuálnych priemerov. Napr. rergesiou y na maticu dummy premenných Z^ dostaneme predikované hodnoty Py, kde typický členje yL — Yj=i ya/T sa opakuje T krát pre každého jednotlivca. Rezíduá regresie sú dané Qy a majú typický člen yu-yiZ matematických vlastností matíc P a Q si môžeme uviesť: (i) P a Q sú symetrické, idempotentné matice, t.j. P1 — P a P2 — P, (ii) hodnosť matice P je h(P) = tr(P) = N a hodnosť matice Q je h(Q) = tr(Q) = N (T - 1), (iii) P a Q sú ortogonálně matice, t.j. PQ — 0 a (iv) súčet matíc P a Q je identická matica, P + Q — INT- S využitím týchto matíc sa stretneme v neskorších kapitolách. 1 V modeloch vo väčšine prípadoch pre jednoduchosť vynecháme časový vplyv, pri jeho zahrnutí postupujeme analogicky. 2 Kroneckerov produkt je operácia medzi dvoma maticami ľubovoľnej dimenzie, výsledkom ktorej je bloková matica. Ak A je matica m x n a B je matica p x q, potom Kroneckerov produkt A B je bloková matica mp x nq: ( cinB ... \ ClmlB 18 KAPITOLA 1. PANELOVÉ DÁTA Po zadefinovaní si súhrnného modelu panelových dát máme vytvorený základ pre ďalšie kapitoly tejto práce, ktoré budú z tohto najvšeobecnejšieho modelu vychádzať. Jednoduchá regresia nie je v modeloch panelových dát často príliš vhodnou metódou odhadu parametrov, a preto sa v nasledujúcej kapitole pozrieme bližšie na dva rôzne prístupy k modelom panelových dát, konkrétne na model náhodných vplyvov a model fixných vplyvov, ktoré sa odlišujú v nazeraní na náhodnú zložku modelu. Kapitola 2 Náhodné vs. fixné vplyvy Súhrnný model nieje vždy vhodným modelom panelových dát. V modeli nepozorovaných vplyvov je dôležité bližšie sa zaoberať individuálnym vplyvom Ak sú /i; chápané ako náhodná veličina, hovoríme o modeli náhodných vplyvov (random effects model). Ak sú parametre, ktoré treba odhadnúť pre všetky pozorovania i, hovoríme o modeli fixných vplyvov (fixed effects model). Pri veľkom počte prierezových pozorovaní sú \i{ takmer vždy chápané ako náhodný výber z populácie, rovnako ako yu alebo Xí f . Model náhodných vplyvov znamená nulovú koreláciu medzi vysvetľujúcimi premennými a nepozorovatelným vplyvom: Cov(X#,jUř-) = 0,í = 1 , T . V takomto prípade sú \i{ označované ako „individuálny náhodný vplyv" (individual random effect). Vo väčšine mikroekonomických aplikácií model fixných vplyvov neznamená, že jUř sú chápané ako nenáhodný, fixný parameter. Znamená to, že môžeme povoliť istú arbitrárnu závislosť medzi nepozorovaným vplyvom a porozovanými premennými XÍJ. fa sú chápané ako „fixný efekt jednotlivca/firmy" (individual/firm fixed effect), existuje korelácia medzi \i[ a X[T. V tejto kapitole si popíšeme metódy odhadu parametrov v oboch vyššie uvedených prístupoch. Modely náhodných a fixných vplyvov budú ďalej medzi sebou porovnané a uvedieme aj prehľad testov, ktoré slúžia na výber najvhodnejšej modelovej špecifikácie v prípade modelov panelových dát. 2.1 Model náhodných vplyvov V prípade modelu náhodných vplyvov predpokladáme, že \i[ je súčasťou náhodnej zložky, rovnako ako v súhrnnom modeli. Avšak model náhodných vplyvov ukladá na model aj ďalšie predpoklady, ktoré neplatia pre súhrnný model. Tieto sú podľa Wooldridga [92] nasledovné: 19 20 KAPITOLA 2. NÁHODNÉ VS. FIXNÉ VPLYVY Predpoklad 2.1.1. (a) E(vä\XUjuř) = 0,í = l,...,T; (b) E(^-|Zř-) = E(^) = 0 kdeXi = (XiU...7XiT). Predpoklad 2.1.1 (a) je predpokladom prísnej exogenity X . Predpoklad 2.1.1 (b) je zas predpokladom ortogonality medzi a každým X[t. Predpoklad 2.1.1 (b) sa vždy dá vyvodiť z podmienok, že X ( í sú nenáhodné a E(/i;) = 0, alebo z predpokladu, že a X sú nezávislé. Model náhodných vplyvov využíva sériovú koreláciu v náhodnej zložke uu = V^i + Vit, podobne ako metóda zovšeobecnených najmenších štvorcov (Generalized least squares, GLS). Ak chceme zaručiť konzistenciu GLS, potrebujeme podmienku prísnej exogenity. V prípade, že platí Predpoklad 2.1.1, môžeme model náhodných vplyvov zapísať ako: pričom ui môžeme zapísať ako u\ — jiijr + Vi, kde jr je T x 1 vektor jednotiek. Zadefinujeme si kovariančnú maticu uf. je T x T pozitívne definitná matica. Táto matica je rovnaká pre všetky i, vďaka náhodnému výberu prierezových jednotiek. Predpoklad 2.1.2. rank E(X/í2-1 Xi ) = K Po splnení Predpokladov 2.1.1 a 2.1.2je model konzistentný. Model náhodných vplyvov využíva ešte ďalšie predpoklady kladené na idiosynkratickú chybu Vi f , čím získava matica Q. špeciálnu formu. Prvý z týchto predpokladov hovorí o tom, že idiosynkratická chyba yu má konštantný rozptyl naprieč t: Predpoklad 2.1.3. E(vft) = t = 1,..., T Podľa ďalšieho predpokladu sú idiosynkratické chyby nekorelované medzi sebou: Predpoklad 2.1.4. E(vi í vi í ) = 0, pre všetky t ^ s yi=X!p+Ui (2.1) í2 = E(Mř-X-) (2.2) KAPITOLA 2. NÁHODNÉ VS. FIXNÉ VPLYVY 21 2.1.1 Estimátory náhodných vpyvov Odhady rozptylu náhodnej zložky Z vektorového zápisu náhodnej zložky 1.5 môžeme odvodiť kovariačnú maticu v tvare ako uvádza Baltagi [11] Q = E(uu')=Z^E(iiiir )Z^+E(W) = ol(IN®JT) + ol(IN®IT) (2.3) Toto implikuje homoskedastický rozptyl var(Mif) — a^ + Gy pre všetky i a t a kovariačnú maticu, ktorá vykazuje známky korelácie v čase len medzi chybami jednej individuálnej entity. cov(w;f, ujs) = o^ + Oy pre i = j,t = s = ol pre i = j , t ^ s (2.4) = 0 inak. Korelácia medzi uu a Ujs môže byť vyjadrená: p = cor(uit,Ujs) = 1 = 0 pre pre l = J,t = S i = j , t ^ s inak. (2.5) Spektrálnou dekompozíciou íi (pozri Baltagi [11], Wansbeek a Kapteyn [90] alebo Searle a Henderson [79]) dostaneme najlepší kvadratický estimator rozptylu náhodných zložiek, resp. variačných komponentov, ako sú ozačované v modeli náhodných vplyvov. 1 tr(P) £> '•' u'Qu L?=iĽf=i{uit -UÍ. (2.6) (2.7)v tr(Q) N(T-1) pričom Pu ~ (0, ó}P) a Qu ~ (0, o$Q). Tieto estimátory variančných komponentov sú najmenšie a nevychýlené v prípade splnenia predpokladu normality náhodných zložiek. Skutočné náhodné zložky ale nepoznáme, a preto 2.6 a 2.7 nie sú realizovateľné. Wallace a Hussain [88] 22 KAPITOLA 2. NÁHODNÉ VS. FIXNÉ VPLYVY navrhujú použitie OLS rezíduí ÚOLS namiesto skutočných u. V modeli náhodných vplyov je OLS estimátor stále nevychýlený a konzistentný, hoci už nie je výdatný. Amemiya [5] poukazuje na to, že tieto estimátory majú iné asymptotické rozdelenie ako skutočné náhodné zložky. Navrhuje využitie rezíduí z modelu najmenších štvorcov s umelými premennými (The least squares with dummy variables, LSVD) namiesto OLS rezíduí.3 V tomto prípade je u — y—äiNT — X/3, kde ä — y —Xfi a X je vektor priemerov všetkých regresorov dimenzie 1 x Äľ. Po dosadení u do rovníc 2.6 a 2.7, dostaneme estimátory variačných komponentov podľa Amemiya [5], ktoré majú rovnaké asymptotické rozdelenie ako skutočné náhodné chyby: (ffiřŽM^i))- ™ kdedč = (dř-dS)/7\ Within a Between regresia Swamy a Arora [84] navrhujú vykonanie dvoch regresií na získanie odhadov variačných komponentov z korešpondujúcich stredných štvorcových chýb (mean square error, MSE) týchto regresií. Prvá z nich je označovaná ako WITHIN (vo vnútri) regresia, kde od základnej regresie odčítame priemerovanie naprieč časom yu ~ yi. = P (xit ~ *i.) + (Vô - v,-.), (2.9) z ktorej dostaneme podľa Baltagiho [11] ol = [y'Qy-y'QX(X'QX)-l X'Qy]/[N(T-\)-K]. (2.10) a PWithin = W^WXy, (2.11) kde Wxx — X'QX. Druhá regresia sa nazýva BETWEEN (medzi) regresia, regresia na časové priemery: yL =x'LP+uL i=l,...,N (2.12) Toto je ekvivalentné prenásobeniu modelu y — Zô+Z^ji + v maticou P a následnej OLS regresii na tento model. Odtiaľ dostaneme b\ = [y'Py - y'PZ{Z'PZ)-l Z'Py]/[N - K - 1]. (2.13) a následne 3 Bližšie o LSVD v sekcii 2.2 KAPITOLA 2. NÁHODNÉ VS. FIXNÉ V P L Y V Y 23 Pbetween — ^XX^Xy, (2.14) kde Bxx — X'(P — JNTX). Estimator zovšeobecnených najmenších štvorcov je zložený z oboch vyššie uvedených regresií, PGLS = W\fiwithin+ W2$between, (2.15) pričom Wi = [Wxx + fBxxYl Wxx (2.16) a W2 = [Wxx + $2 BxxrH$Z Bxx)=I-Wl (2.17) kde 0 2 = ô2 /ý2 — ô2 . Zároveň platí, že (i) ak o2 — 0, potom § 2 — 1 a PGLS je rovnaká ako POLS (ii) ak T ->• oo, potom f - ) - 0 a j8GL5 je rovnaká ako pwithin (iii) ak Wxx prevažuje nad BXx, potom je j8G L 5 blízko $ w i t h i n (iv) a ak BXx prevažuje nad Wxx, potom sa $ G L S blíži k foetweenPorovnanie estimátorov náhodných vplyvov podľa Maddalu a Mounta Ďalšou otázkou ostávajú vlastnosti rôznych estimátorov koeficientu j8. V modeli náhodných vplyvov je GLS, založený na skutočných hodnotách a c2 ., najlepší lineárny nevychýlený estimator (BLUE) a všetky ostatné GLS estimátory sú asymptoticky výdatné ak buď Aŕ alebo T —> oo. Maddala a Mount [61] sa taktiež zaoberali vhodnosťou rôznych GLS estimátorov parametru /3. Vo svojom článku „A Comparative Study of Alternatíve Estimators for Variance Components Models Used in Econometric Applications" porovnali modely OLS, Within, Between, GLS, LSVD, LSBG (Least squares between groups, Najmenšie štvorce medzi skupinami), metódu maximálnej vierohodnosti, estimator navrhovaný Nerlovem [65], Ameniyom [5], Wallacem a Hussainom [88], analýzu kovariancie (ANOVA) a minimálny normovaný kvadratický nevychýlený estimáror navrhovaný Raom (Minimum norm quadratic unbiased estimator, MINQUE)4 . Pomocou Monte Carlo simulácie skúmali fungovanie týchto estimátorov koeficientu /3. 4 RAO, C. Radhakrishna: Estimation of heteroscedastic variances in linear models. Journal of the American Statistical Association, 1970, Vol. 65, s. 359-382. RAO, C. Radhakrishna: Estimating variance and covariance components in linear models. Journal of the American Statistical Association, 1972, Vol. 67, s. 112-115. 24 KAPITOLA 2. NÁHODNÉ VS. FIXNÉ VPLYVY Model definovali rovnako ako v 1.1, hoci používajú inú notáciu premenných. Pre svoju Monte Carlo simuláciu použili dáta zo štúdie Nerloveho[65], kde N = 20, T — 25 a jUř- ~ Aŕ(0, c2) a vř-;ř ~ Aŕ(0, Cy). Experiment rovnako opakovali aj pre log- normálne rezíduá a to tak, že normálne rezíduá umocnili a následne aplikovali vhodné úpravy priemerov a variácií. Cieľom tohto kroku bolo porovnať robustnosť maximálnej vierohodnosti a estimátorov nezávislých na rozdelení pri nedodržaní podmienky normality. Počas experimentu fixovali hodnotu /3 na 1, ale hodnoty a Oy sa menili. V každom prípade bolo generovaných 100 vzoriek. Výsledkom ich štúdieje záver, že v prípade neexistencie oneskorených premenných, všetky estimátory fungujú rovnako dobre. Z praktického hľadiska odporúčajú odhadovanie parametrov viacerými rôznymi metódami, a ak sa tieto príliš odlišujú, existuje pravdepodobnosť chybnej špecifikácie modelu. V princípe sa prikláňajú k jednoduchším metódam odhadu, napr. MINQUE bol zamietnutý ako príliš ťažkopádny. Rovnako vo svojom článku odporúčajú použitie vždy viacerých metód na odhadnutie jedného modelu, napr. metódy maximálnej vierohodnosti a zároveň ANOVA. Ak sa odhady významne líšia, indikuje to chybnú špecifikáciu modelu, pretože všetky estimátory v ich experimente dávali približne rovnaké hodnoty pre j8. Samozrejme aké rozdiely by mali byť považované za príliš veľké, je otázkou relatívnej miery variácie systémovej zložky a náhodnej chyby modelu. Preto je potrebné vždy najskôr získať aspoň približné odhady náhodnej zložky pred každou ďalšou analýzou. Takmer všetky metódy odhadu v modeloch náhodných vplyvov zahŕňajú výpočet ako ( ô f — ôy)/T. V takomto prípade sa môže stať, že odhad nebude nezáporný. Jedným z riešení, ktoré ponúkajú Maddala a Mount [61], je zameniť všetky záporné odhady nulou. Ich štúdia poukazuje na to, že záporné odhady nastali len v prípade, že skutočné bolo malé a blízke nuly. V takýchto prípadoch je OLS stále uskutočniteľný estimátor, a preto nahradenie záporných nulou, významne neovplyvní riešenie. Porovnanie estimátorov náhodných vplyvov podľa Bioerna Bioern [18] sa v článku „The Efŕiciency of Panel Data Estimators: GLS versus Estimators Which Do Not Depend on Variance Components" zaoberal skúmaním determinantami výdatnosti GLS estimátoru v porovnaní s estimátormi, ktoré berú kovariančnú maticu ako neznámu a neodhadnuteľnú. Skúmal neefektívnosť Within, Between a OLS estimátoru v porovnaní s GLS, rovnako ako aj ich relatívnu efektívnosť, keďže GLS estimátor nie je zvyčajne dosiahnuteľný a je treba si vybrať medzi ostatnými estimátormi. Jeho estimátory parametru /3 majú podobný tvar ako sme uviedli vyššie v tejto kapitole: KAPITOLA 2. NÁHODNÉ VS. FIXNÉ VPLYVY 25 kde Pwithin = W XXW Xy, Pbetween — ^XX^X Pols = Tx^Txy = (Wxx + Bxx)~L (Wxy+Bx y- i , j8g / í = (Wxx + eBBxx)-\wXy + 6BBXy) (2.18) (2.19) (2.20) (2.21) 9B = (2.22) Porovnanie výdatnosti jednotlivých estimátorov je možné na základe porovnania rozptylov, ak je Var(/32) — Var(j3i) pozitívne definitná matica pre každé X, potom je j8i vydatnější estimator ako fa- Rozptyly uvedených estimátorv sú: Var(/3,'within) — Var(Pbetween) WXX — U 2 J Bxx ~l -1 Var(/3o/5) = Var(j8g/5) Txx + To lT xxB xxTxxK n -1 Wxx _^ Bxx (2.23) (2.24) (2.25) (2.26) cj2 o$ + To*_ Výsledky sú nasledovné. J5gi s je striktne vydatnější estimátor ako faetween r% 0 0 a Pwi thi n, ak sú 5xx a Wxx pozitívne definitné, Oy a 0£ sú kladné a konečné a T je konečné čislo. Rovnako OLS estimátor je menej výdatný ako GLS. OLS estimátor je najvýdatnejší v prípade, ak = 0, čo znamená že OLS je totožný s GLS. Najmenej výdatný v porovnaní s GLS je naopak v prípade, ak je polovica variácie regresorov daná vo vnútri individuálnej variácie (within) a polovica naprieč individuálnou variáciou (between). Pre všeobecné porovnanie všetkých štyroch estimátorov použil model s jednou vysvetľujúcou premennou (všeobecné rozšírenie je analogické) a zadefinovali b — Bxx/Txx- Následne autor odvodil: Var(Pbetween) > Var(j6o/5) > Var(Pwithin) > Var(j8g/5) (2.27) 26 KAPITOLA 2. NÁHODNÉ VS. FIXNÉ VPLYVY a k Ä < l - K l , V a r ( / 3 W e e n ) > Var(pwilhin) > Var(j8o/í) > Var(j8g/í), (2.28) VniPwäkm) > Var(j6W e e n ) > Var(j6o/í) > Var(j8g/í), (2.29) ak 0 < 1 - b < -TolČím väčšie je T alebo c / j / p r e dané b, tým pravdepodobnejšie je, že bude splnená nerovnica 2.27. Čím je väčšie b pre dané T a o^/Oy, tým pravdepodobnejšia je plantosť nerovnice 2.29. Ak platí 1 — b > a^/(Toy), potom je $within vydatnější estimator ako j80/Ä, a je zároveň robustný voči predpokladu, že a Xit sú nazvájom nezávislé a rovnako nezávisia ani na V#. Ak platí 1 — b < oí/(To^), potom existuje trade-off medzi robustnosťou a výdatnosťou týchto dvoch estimá- torov. Konečné vzorky a ne- normalita Ullah a Huang [85] sa vo svojom článku zaoberali metódou tzv. realizovateľných (feasible) zovšeobecnených najmenších štvorcov (FGLS), keďže v modeloch náhodných vplyvov zvyčajne nepoznáme kovariančnú maticu. Pre veľké vzorky má FGLS rovnakú asymptotickú výdatnosť ako GLS v prípade, že poznáme rozptyly. Vo väčšine prípadov sa však stáva, že pracujeme s malými vzorkami a často aj s nenormálnou náhodných chýb. Autori vychádzali z článku Maddalu a Mounta [61], ktorí ukázali, že FGLS estimátory pracujú dobre pri normálnom aj log- normálnom rozdelení náhodných chýb aj v prípade malých vzoriek. Ullah a Huang [85] však skúmali, ako ne- normalita ovplyvňuje štatistické vlastnosti FGLS v konečných vzorkách. Vo svojom článku popísali aproximatívne výsledky správania sa FGLS v prípade veľkého N a fixného T s ne- normálne rozdelenými chybami. Rovnako odvodili aproximatívne vychýlenie a stredné štvorcové chyby (MSE) pri predpoklade štyroch konečných momentov náhodných chýb. Zistili, že vychýlenie záleží len na koeficiente šikmosti, teda je nulové pre symetrické rozdelenia náhodných chýb. MSE naopak závisia len na koeficiente špicatosti. Aproximatívne MSE môžu byť menšie ako asymptotické MSE. Asymptotické MSE sú zvyčajne presné, ak sú rozptyly náhodných chýb malé, keďže v takom prípade sú rovnaké ako aproximatívne MSE. Avšak v prípade väčších hodnôt rozptylov, asymptotické výsledky môžu byť zavádzajúce. KAPITOLA 2. NÁHODNÉ VS. FIXNÉ VPLYVY 27 Neparametrické estimátory náhodných vplyvov Často sa stáva, že funkčná forma spájajúca premenné v modeli je neznáma a lineárna regresia je aplikovaná bez ekonomickej argumentácie, čisto len kvôli jej jasným odhadovým procesom a dobre známym vlastnostiam. Tento prístup vytvoril záujem o rôzne transformácie endogénnych a exogénnych premenných a využívanie rôznych flexibilných špecifikácií, ako napr. trans-log funkčnej formy. Vždy však ostáva otázkou, či nie je funkčná forma komplexnejšia. Preto začali vznikať neparametrické odhady modelov panelových dát pre prípady, že funkčná forma modelu je neznáma. Ako prvý sa týmto problémom zaoberal Porter [72] vo svojej dizertačnej práci, v ktorej prezentoval dva neparametrické estimátory funkcie m v modeli yit = m(xit) + Hi + Vit. (2.30) Ullah a Roy [86] vytvorili semiparametrické a neparametrické estimátory modelov fixných aj náhodných vplyvov, ktoré sú robustné voči chybnej špecifikácii funkčnej formy, ale ich asymptotické vlastnosti nie sú známe. Lin a Carroll [60] sa zaoberali dvomi neparametrickými jadrovými (kernel) estimátormi neznámej regresnej funkcie a z nich odvodených foriem. Avšak tieto estimátory nie sú realizovateľné, pretože predpokladajú prípad so známou kovariančnou maticou a predkladajú len asymptotické vlastnosti estimátoru neznámej funkcie. Henderson a Ullah [45] navrhujú realizovateľné verzie estimátorov navrhnutých Linom a Carrollom [60] a modifikovanú verziu estimátoru Ullaha a Roya [86] rovnako ako aj ich vlastnosti. Následnou Monte Carlo simuláciou ukázali, že nimi navrhnuté estimátory poskytujú o niečo menšie stredné štvorcové chyby ako lineárne metódy v prípadoch, ak je funkčná forma lineárna a korektne špecifikovaná, ale v prípadoch, kedy je funkčná forma komplexnejšia, neparametrické estimátory poskytujú až 70 krát menšie stredné štvorcové chyby ako lineárne parametrické estimátory. 2.2 Model fixných vplyvov Druhým prístupom k skúmaniu modelov panelových dát sú modely fixných vplyvov. V tomto prípade predpokladáme, že jii sú fixné parametre (hoci sa povoľuje arbitrárna korelácia medzi jU, a X#), ktoré musíme odhadnúť a zvyšné chyby yu sú stochastické a nezávislo a identicky rozdelené IID(0, Oy). Xu sú považované za nezávislé s V; pre všetky i a t. Model fixných vplyvov je vhodnou špecifikáciou, ak sa napr. zameriavame na špecifickú množinu N firiem, N krajín OECD, alebo N Európskych krajín. Závery sú v tomto prípade podmienené práve vybranými /V firmami či krajinami, ktoré pozorujeme. Každá z T rovníc v modeli môže byť 28 KAPITOLA 2. NÁHODNÉ VS. FIXNÉ VPLYVY zapísaná ako: yi=XlP + HiJT + Vi (2.31) kde jr je opäť ľ x l vektor jednotiek. Wooldridge [92] opäť predložil niekoľko predpokladov vzťahujúcich sa na model fixných vplyvov: Predpoklad 2.2.1. E ( v f t \ X h = 0, t = 1 , T Týmto máme, rovnako ako v prípade modelu náhodných vplyvov, zadefinovanú podmienku prísnej exogenity X(. Na rozdiel od modelu náhodných vplyvov, v tomto prípade nemusí model fixných vplyvov spĺňať predpoklad ortogonality. Vďaka tomu môžeme konzistentne odhadnúť parciálne efekty za prítomnosti v čase sa nemeniacich premenných. Tento model nám poskytne robustnejší odhad ako pri modeli náhodných vplyvov. V čase sa nemeniace premenné ale nemôžeme zahrnúť do Z( í , pretože pri neexistujúcej podmienke ortogonality nevieme rozlíšiť vplyv /i; od efektu v čase sa nemeniacej premennej. Model definovaný predpokladom 2.2.1 nám nedáva automaticky najvýdatnejší estimátor. Pre zaručenie výdatnosti estimátoru si zadefinujeme: Predpoklad 2.2.2. E(v/v/ |xř-,juř-) = Vyfr Tento predpoklad je rovnaký ako predpoklad 2.1.3, pretože E(vií|Xi,Jui) = 0, čiže Var(Vi\xi,Hi) = Oyh. 2.2.1 Estimátory fixných vplyvov Ako uvádza Baltagi [11], ak dosadíme 1.5 do 1.4, dostaneme: a potom môžeme vykonať OLS regresiu na 2.32, aby sme dostali odhady j5, a a / i . Z má však rozmery NT x (K+ 1) a matica individuálnych umelých premenných má rozmery NT x NT. Ak je N veľké, 2.32 bude obsahovať príliš veľa umelých premenných. Preto je vhodnejšie používať LSVD estimátor (The least squares with dummy variables, Estimator najmenších štvorcov s umelými premennými). Estimátor najmenších štvorcov s umelými premennými Estimátor najmenších štvorcov s umelými premennými zostrojíme podľa Baltagiho [11] tak, že model 2.32 prenásobíme vyššie spomínanou maticou Q a aplikujeme OLS regresiu na transformovaný model: y = aiNT + Xp + Z^fi + v = Zô + ZMJu + v (2.32) KAPITOLA 2. NÁHODNÉ VS. FIXNÉ VPLYVY 29 Qy = QXp + Qv. (2.33) Opäť využívame fakt, že QZ^ — QINT — 0, keďže PZ^ — Z^. Inými slovami, matica Q vymaže individuálny vplyv. Teraz máme regresiu ý = Qy s člemni (yu — yi) na X — QX s člemni (Xn^ — Xi^) pre ktý regresor, k — \,...,K. Pracujeme teda s maticou dimenzie K x K a nie (N + K) x (N + K) ako v prípade 2.32. Výsledný estimátor je: j8 = (X'QX)-l X'Qy (2.34) svar(j8) = c72(Ž/ Ž)-1 . Pre jednoduchú regresiu máme: yit = a + pxit + Hi + vit (2.35) a spriemerovaní naprieč časom dostaneme yL = a + pxL+m + vL. (2.36) Odčítaním 2.36 od 2.35 dostaneme yu-n =P(xit-xL) + (Vit-Vi). (2.37) Rovnako, spriemerovanie 2.35 naprieč všetkými pozorovaniami nám dá y = a + j8x. +v.., (2.38) s použitím arbitrárnej reštrikcie, že Y4L1 — 0, aby sme sa vyhli perfektnej multikolinearite. Bez tejto reštrikcie môžeme z 2.35 odhadnúť len j8 a (a + a nie samostatne a a jUř-. V tomto prípade získame j8 z 2.37, á — y — j5x„ z 2.38 a jCtj = yL — á — $Xi. z 2.36. Model fixnýxh vplyvov, alebo LSDV trpí veľkou stratou stupňov voľnosti. Odhadujeme navyše (N—l) parametrov umelých premenných a príliš veľa umelých premenných môže viesť k problému multikolinearity medzi regresormi. Navyše tento model nemôže odhadnúť efekt v čase sa nemeniacich premenných, ako napr. pohlavie, rasa či náboženstvo, pretože tieto sú zmazané pri Q transformácii, viz. 2.37. Ak je model 2.32 pravdivý, potom estimátor LSDV je najlepší lineárny nevychýlený estimátor (BLUE), pokiaľ je Vi f štandardná klasická chyba s nulovou strednou hodnotou a kovariačnou maticou CylNT- Ak T —> °°, potom je tento estimátor konzistentný. Ak je však T fixné a N —> °°, potom je konzistentný len estimátor j8 a estimátor (a + jUř) nie je, pretože počet týchto parametrov narastá ako rastie N. Touto problematikou sa zaoberali Neyman a Scott [66] a neskôr Lancaster [55]. 30 KAPITOLA 2. NÁHODNÉ VS. FIXNÉ VPLYVY Ak je pravdivý model 2.32, potom OLS na 1.1 vedie k vychýleným a nekonzistentným odhadom regresných parametrov. To je spôsobené nezahrnutím dôležitých premenných, pretože OLS nezahrňuje individuálne umelé premenné, hoci sú v skutočnosti relevantné. Estimátor rozdielov v diferenciách Transformácia modelu fixných vplyvov priemerovaním (LSVD model) nie je jediná možnosť, ktorá vymaže nežiadúci individuálny vplyv. Môžeme rovnako použiť aj estimátor rozdielov v diferenciách (Diferrence-in-differences, DD), v pozadí ktorého stojí transformácia v podobe prvých diferencií premenných (Ayi f = yit —yt,t-\)- Môžeme takto skúmať tú istú skupinu entít v priebehu času pred a po implementovaní špecifického zásahu (treatment), napr. efekt zavedenia vzdelávacieho programu na mzdy. Tento estimátor porovnáva rozdiel vo výsledkoch pred a po zásahu medzi skupinami, ktoré boli týmto zásahom ovplyvnené a skupinami, ktoré neboli ovplyvnené. Bertrand, Duflo aMullainathan [16] uvádzajú, že odhady a štandardné chyby sú najčastejšie odvodzované z použitia OLS v opakovaných paneloch dát na skupiny ovplyvňované zásahom a na neovplyvnené skupiny v priebehu niekoľkých rokov pred a po zásahu. Ich model má tvar: yist =AS + Bt + cXist +PTst + eist, (2.39) kde yi^ je výsledok pre entitu i v skupine s v čase t, Tst je umelá premenná, ktorá objasňuje, či zásah ovplyvnil skupinu s v čase t, As a Bt sú fixné vplyvy pre skupiny a roky a Xist reprezentuje relevantné individuálne kontrolné premenné (relevant individual controls). Odhadnutý vplyv zasahuje potom OLS odhad j8. Štandardné chyby tohto odhadu sú OLS štandardné chyby po korekcii o šoky vo vnútri každej s — t množiny. Bertrand, Duflo a Mullainathan [16] však uvádzajú, že takýto odhad môže byť významne ovplyvnený autokoreláciou a to z troch dôvodov. Po prvé, DD odhady zvyčajne používajú dlhé časové rady, po druhé, najčastejšie používané závislé premenné sú zvyčajne vysoko kladne sériovo korelované a po tretie, premenná zásahu Tst sa mení len veľmi málo naprieč časom. Autori navrhli niekoľko rôznych techník, ako odstrániť problém autokorelácie, napr. agregovanie dát do dvoch období, pred zmenou a po nej. Porovnanie estimátorov fixných vplyvov Laporte a Windmeijer [56] vo svojom článku „Estimation of panel data models with binary indicators when treatment effects are not constant over time" ukázali, že estimátor rozdielov v diferenciách (DD) a estimátor fixných vplyvov (LSDV, KAPITOLA 2. NÁHODNÉ VS. FIXNÉ VPLYVY 31 FE) vedú k rozlišným odhadom, ak zmena pozorovanej premennej (vo vyššie spomenutom príklade vzdelávací program) nie je konštantná v čase a mení sa len príležitostne. Toto ilustrovali na efekte rozvodu na mentálne zdravie, s použitím British Household Panel Survey. Ukázali, že rozvod má škodlivý efekt na mentálne zdravie, ktorý začne ešte pred konkrétnym rozvodom, vrcholí v roku rozvodu a rapídne klesá po rozvode. Predpokladali model: yit = P'Xu + ô'Zt + yDit + & + vit, (2.40) kde Xit sú v čase sa meniace vysvetľujúce premenné, Z, sú individuálne, v čase sa nemeniace premenné, D[t je umelá, binárna premenná pre status alebo vplyv, ktorý pozorujeme. Zvyčajne sa D berie ako tzv. kroková premenná, ktorá má hodnotu 0 pred zmenou a hodnotu 1 po zmene, pričom táto zmena spôsobuje trvalú zmenu v y, ktorá sa odohráva bez oneskorenia (v príklade použitom v uvádzanom článku, je táto premenná rozvod). Brali do úvahy hlavne mikro- panely, kde rozmer N je zvyčajne veľký, zatiaľ čo T je relatívne malé. Ak je 2.40 správna špecifikácia modelu, potom FE a DD budú viesť na podobné odhady y. Model, ktorý predpokladá konštantný vplyv rozvodu na mentálne zdravie, vedie k veľmi odlišným FE a DD odhadom, zatiaľ čo modely, ktoré povoľuje flexibilitu v tomto efekte vedú k podobným výsledkom. Vo všeobecnosti FE estimátor je vydatnější ako DD estimátor, ak v# ~ IID(0, Oy). DD estimátor je naopak viac výdatný ako FE estimátor, ak je vi f náhodná prechádzka (random walk)5 . 2.3 Testy v modeloch panelových dát Málokedy vieme bez akýchkoľvek pochybností, ktorý model panelových dát je pre náš prípad najvhodnejší. Existuje niekoľko testov založených na princípe využitia t a F štatistík, ktoré nám môžu pomôcť pri výbere konkrétneho modelu panelových dát. Predtým ako sa pozrieme priamo na testy v modeloch panelových dát, uvedieme si základné rozdiely medzi modelmi fixných a náhodných vplyvov a intuíciu pre výber medzi nimi. 2.3.1 Porovnanie modelov fixných a náhodných vplyvov Kennedy [52] tieto modely porovnáva na jednoduchom príklade, kde individuálna spotreba, y je určená príjmom jednotlivca, x, pričom máme tisíc pozorovaných jedincov, N = 1000 a 4 obdobia T — 4. Ak použijeme estimátor fixných vplyvov, 5 Pozri Baltagi [11] alebo Wooldridge [92]. 32 KAPITOLA 2. NÁHODNÉ VS. FIXNÉ VPLYVY zmanená to, že každému pozorovanému jedincovi priradíme samostatnú umelú premennú, čím povolíme rôzne individuálne vplyvy. V našom prípade by to však znamenalo pridanie 1000 umelých premenných do modelu, a teda stratu 999 stupňov voľnosti. Vhodnou transformáciou dát (napr. odčítaním priemeru od každého pozorovania), môžeme počet týchto premenných zmenšiť, avšak na druhej strane odstránime z modelu aj všetky premenné, ktoré sa naprieč jedincami nemenia. Estimátor náhodných vplyvov naopak odstraňuje obe spomenuté nevýhody estimátoru fixných vplyvov, pretože berie individuálne vplyvy ako náhodné veličiny a zahŕňa ich do náhodnej chyby, čím nezmenšuje stupne voľnosti modelu a je vydatnější ako estimátor fixných vplyvov. Rovnako aj estimátor náhodných vplyvov využíva vhodnú tranfsormáciu dát, táto však neodstraňuje z modelu v čase sa nemeniace premenné. Intuícia použitia modelu fixných vplyvov je nasledovná: Model fixných vplyvov (FE) je vhodné použiť, ak sa zaujímame len o analýzu vplyvu premenných, ktoré sa menia v čase. FE skúma vzťah medzi vysvetľovanou a vysvetľujúcou premennou v rámci jedného jedinca, krajiny, firmy, atď. Každá entita má vlastné individuálne charakteristiky, ktoré môžu a nemusia ovplyvniť regresory (napr. firemná politika môže ovplyvniť cenu jej akcií, ktorá vystupuje v regresii ako vysvetľujúca premenná). Ak používame FE, predpokladáme, že nejaké individuálne charakteristiky môžu zapríčiniť vychýlenie modelu. FE však odstráni efekt týchto v čase sa nemeniacich charakteristík, a preto môžeme odhadnúť celkový vplyv vysvetľujúcich premených na vysvetľovanú premennú. Ďalší dôležitý predpoklad FE modelu je ten, že v čase sa nemeniace charakteristiky sú jedinečné pre každú entitu a mali by byť nekorelované s inými individuálnymi charakteristikami. Ak by korelované boli, potom FE nie je vhodným estimátorom, pretože závery z neho nemusia byť pravdivé a je treba zahrnúť tieto vzťahy do modelu, ako napr. v modeli náhodných vplyvov. V prípade modelu náhodných vplyvov (RE) považujeme variáciu naprieč jednotlivými entitami za náhodnú a nekorelovánu s vysvetľujúcimi a vysvetľovanou premennou. Ako uvádza Greene [37], základným rozdielom medzi náhodnými a fixnými vplyvmi je to, či nepozorované individuálne vplyvy zahŕňajú elementy, ktoré sú korelované s regresormi v modeli a nie to, či sú stochastické alebo nie. Ak máme dôvod myslieť si, že rozdiely naprieč entitami majú nejaký vplyv na vysvetľovanú premennú, je lepšie použiť model náhodných vplyvov, ktorý berie v čase sa nemeniace charakteristiky ako vysvetľujúce premenné. V modeli náhodných vplyvov je potrebné špecifikovať tie individuálne charakteristiky, ktoré môžu ale nemusia ovplyvňovať regresory, pričom nastáva problém, keďže nie všetky musia byť dostupné a merateľné, čo vedie k vychýleniu kvôli vynechaniu dôležitých premenných (omitted variable bias). Ako uvádza Kennedy [52], estimátor náhodných vplyvov je často vychýlený, pretože individuálne charakteristiky sú zahrnuté do náhodnej chyby. Dôsledkom toho má náhodná chyba tendenciu rásť vždy, keď KAPITOLA 2. NÁHODNÉ VS. FIXNÉ VPLYVY 33 vzrastie hodnota X, čo vytvára koreláciu medzi X a chybou a to spôsobuje vychýlenie. Ako príklad Kennedy [52] používa regresiu miezd na úroveň vzdelania na veľkej množine pozorovaných osôb, pričom je vynechaná významná premenná schopnosti. Keďže je pravdepodobné, že úroveň vzdelania a schopnosti sú navzájom korelované, v prípade použitia modelu náhodných vplyvov sa vytvorí korelácia medzi náhodnou chybou a regresorom úroveň vzdelania, čo zapríčiní vychýlenie estimátoru. Na tomto princípe je postavená aj modifikácia Hausmanovho testu, ktorý bude popísaný v nasledujúcich častiach tejto kapitoly, a ktorý skúma, či sa odhad pomocou náhodných vplyvov výrazne líši od nevychýleného odhadu pomocou fixných vplyvov. Pri rozhodovaní sa, ktorý z modelov je vhodnejšie použiť, treba brať do úvahy niekoľko faktorov, ktoré si teraz zhrnieme v krátkom prehľade. 1. Aká je povaha premenných, ktoré boli z modelu vynechané? a) Ak si myslíme, že žiadne premenné z modelu vynechané neboli, alebo ak si myslíme, že vynechané premenné sú nekorelované s vysvetľujúcimi premennými, potom je najvhodnejšie použiť model náhodných vplyvov, ktorý nám dá nevychýlené odhady koeficientov, použije všetky dostupné dáta a má najmenšiu štandardnú chybu. b) Ak existujú premenné vynechané z modelu a tieto sú korelované s premennými v modeli, potom je vhodné použiť model fixných vplyvov, ktorý nám zaručuje kontrolu nad vychýlením kvôli vynechaným premenným. Aby toto tvrdenie bolo pravdivé, vynechané premenné sa nemôžu meniť v čase, musia mať stále rovnakú hodnotu. Rovnako by mali tieto vynechané premenné mať aj rovnaký vplyv na vysvetľovanú premennú naprieč všetkými obdobiami, teda taký vplyv aký majú vjednom období, majú aj v každom nasledujúcom. Ak sú tieto predpoklady narušené, mali by sme použiť explicitné merania týchto vynechaných premenných a zahrnúť ich do modelu. 2. Koľko variability je medzi entitami? a) Ak sa entity menia málo alebo vôbec, naprieč časom, model fixných vplyvov nemusí dobre pracovať. Model fixných vplyvov využíva vnútornú variabilitu entít v premenných, a ak je v rámci jednotlivých entít malá variabilita, štandardná chyba modelu fixných vplyvov je príliš veľká. b) Model náhodných vplyvov má často menšiu štandardnú chybu ako model fixných vplyvov, avšak za cenu toho, že koeficienty sú pravdepodobnejšie vychýlené. 34 KAPITOLA 2. NÁHODNÉ VS. FIXNÉ VPLYVY 3. Chceme odhadnúť vplyvy premenných, ktorých hodnoty sa nemenia naprieč časom? a) V modeli fixných vplyvov nevieme odhadnúť efekt premenných, ktoré sa v čase nemenia. Tieto premenné majú na vysvetľovanú premennú buď len nepriamy vplyv, alebo sú z modelu úplne odstránené. b) Model náhodných vplyvov nám poskytne odhady v čase sa nemeniacich premenných, ale tieto odhady môžu byť vychýlené, pretože nie sme schopní zahrnúť do modelu všetky dôležité premenné. V niektorých prípadoch je problém výberu správneho modelu panelových dát len otázkou individuálneho názoru. Balestra a Nerlove [ 10] boli prvými zástancami modelu náhodných vplyvov a Wallace a Hussain [88] boli naopak priekopníkmi modelu fixných vplyvov. Chamberlain [26] poukázal na to, že model fixných vplyvov ukladá testovatelné reštrikcie na parametre redukovanej formy modelu a vždy treba overiť validitu týchto obmedzení predtým, ako aplikuje model fixných vplyvov. Vo všeobecnosti je model náhodných vplyvov viac využívaný, ak je individuálny rozmer N väčší v porovnaní s časovým rozmerom T, takže individuálne vplyvy môžu byť chápané ako náhodné. Navyše model náhodných vplyvov má technickú výhodu v tom, že v tomto modeli môžu byť využité v čase sa nemeniace vysvetľujúce premenné, ktoré by sa v modeli fixných vplyvov vynulovali. Podľa interpretácie Mundlaka [64] je model fixných vplyvov modelom, v ktorom sú náhodné vplyvy korelované s vysvetľujúcimi premennými a model náhodných vplyvov je len špecifický prípad s nulovou koreláciou. Mundlak [64] tvrdí, že model náhodných vplyvov predpokladá exogenitu všetkých regresorov s náhodným individuálnym vplyvom. Naopak model fixných vplyvov povoľuje endogenitu všetkých regresorov s týmito individuálnymi vplyvmi. Hausman a Taylor [44] pripúšťajú, že niektoré regresory môžu byť korelované s individuálnymi vplyvmi. Existuje však niekoľko testov, ktoré môžu byť nápomocné pri rozhodovaní sa, aký model použiť. 2.3.2 Testy individuálneho vplyvu (Poolability tests) Základným testom v modeloch panelových dát je test individuálneho vplyvu, teda test, ktorý skúma, či je vôbec potrebné použiť model panelových dát, alebo je tento zhodný s jednoduchou lineárnou regresiou. Nulová hypotéza tvrdí, že individuálne charakteristiky jednotlivých entít nemajú žiadny vplyv na výsledné odhady. Obmedzený model (model nulovej hypotézy) môžeme zapísať ako model OLS: yit = a+XÍtP + vit, (2.41) KAPITOLA 2. NÁHODNÉ VS. FIXNÉ VPLYVY 35 a alternatívny model ako model fixných vplyvov: yi t = a+XitP + [ii + Vit (2.42) Nulovú hypotézu teda môžeme zapísať ako: H0 : m = 0, (2.43) Zostrojíme F štatistiku: way — (SSRR-SSRu)/(N-l) SSRu/((T-l)N-K) ' (2.44) kde SSRR znamená súčet štvorcov rezíduí pri platnosti nulovej hypotézy a SSRu súčet štvorcov rezíduí pri platnosti alternatívnej hypotézy. V prípade platnosti nulovej hypotézy Ho má F\-way štatistika F rozdelenie s (N — 1, (T — l)N — K) stupňami voľnosti. Vo väčšine prípadov modelov panelových dát tento test nulovú hypotézu zamietne. Ak nulovú hypotézu nezamietneme, nie je potrebné vytvoriť model panelových dát a pre dané dáta postačí OLS model, pretože všetky individuálne entity sú homogénne. Tento štandardný F- test je exaktný ak model spĺňa podmienku normality a prísnej exogenity, teda ak (v,- | X) ~7V(0, O2 IT). Wooldridge [92] poznamenal, že vlastnosti tohto testu sú pre N —> °° a fixné T neznáme, ak nie je splnená podmienka normality. Quin a Wan [73] poukázali na to, že nulová distribúcia 2.44 má stále exaktne F rozdelenie, ak je rozdelenie vektoru náhodných chýb členom triedy sféricky symetrických rozdelení, napr. viacrozmerné Studentovo t rozdelenie. Tento prístup však nieje všeobecne platný v niektorých, napr. asymptotických odvodeniach F testu. Na podobnom princípe môžeme zostrojiť aj takzvaný 2 — way model, kde okrem individuálneho vplyvu \i{ testujeme aj časový vplyv Xt. Nulová hypotéza sa v tomto prípade zmení na: pričom testujeme N + T — 2 obmedzení. V prípade platnosti nulovej hypotézy Ho má teda F2-way štatistika F rozdelenie s (N + T — 27N(T — 1) — r + 1— K) stupňami voľnosti. Baltagi [11] ešte obidva vyššie spomenuté testy zovšeobecňuje rozšírením nulovej hypotézy. Obmedzený model ostáva vo všetkých prípadoch rovnaký a alternatívny model môžeme zapísať ako: Ho:fii = Xt = 0, i= i,...,N,t = i,...,r, (2.45) yu = a + p-Xit + Hi + Vit (2.46) 36 KAPITOLA 2. NÁHODNÉ VS. FIXNÉ VPLYVY resp. yu = a + fttXit + & + ?it + vit (2.47) Nulovú hypotézu teda môžeme zapísať ako: H0 :j8i = ... = j8Ař = j8,Juř = 0, i=l,...,N (2.48) pričom testujeme (K+ 1)(N — 1) obmedzení. V prípade platnosti nulovej hypotézy Ho má teda Fi-way štatistika F rozdelenie s {{K+ 1){N - l),N(T -K- 1)) stupňami voľnosti. Pri zahrnutí aj časového vplyvu máme nulovú hypotézu: Ho:j8i = ... = j8Ař = j8,Juř = Aí = 0, i=l,...,N,t=l,...,T (2.49) pričom testujeme (K + 1) (/V + T — 2) obmedzení. V prípade platnosti nulovej hypotézy HQ má teda F2-way štatistika F rozdelenie s ((K + 1) (N + T — 2),N(T — K — 1) — T+l) stupňami voľnosti. V prípade týchto všeobecnejších testov platí, že ak zamietneme nulovú hypotézu, je potrebné použiť nejaký model panelových dát. Testy nám však priamo neodhalia, ktorý konkrétny model panelových dát je pre nás najvhodnejší. Orme a Yamagata [68] popísali vlastnosti F štatistiky pre prípad fixných aj náhodných vplyvov za pomoci jej asymptotického rozdelenia pre N —> °° a fixné T. (N—l)F má limitné %2 rozdelenie bez dodržania podmienky normality (z toho vyplývajú aj testy podielu maximálnej vierohodnosti popísané nižšie). To sa však nedá získať pre fixné T a N —> °°. Orme a Yamagata [68] však dokázali, že VŇ(F-l) má limitné normálne rozdelenie. Pesaran, Ullah a Yamagata [69] testovali prítomnosť individuálneho vplyvu podobne, ich prístup je rovnako založený na LM štatistike Breuscha a Pagana [23]. V prípade, že T —> oo a N je fixné, navrhovali použiť LM štatistiku: N-l N LM = TY, £ Pfj, (2-50) i=l j=i+l kde pfj je odhad párovej korelácie rezíduí 02 . = 02 . = ^=1ei 'e J' (2 51) a en sú rezíduá z obmedzeného (OLS) modelu. V prípade platnosti nulovej hypotézy má LM štatistika %2 rozdelenie s N(N — l)/2 stupňami voľnosti. Tento test avšak nie je aplikovateľný v prípade, že N —> °°. Pre veľké N aT využili, že v prípade platnosti nulovej hypotézy a ľ ^ « > platí KAPITOLA 2. NÁHODNÉ VS. FIXNÉ VPLYVY 37 Tpfj^xf (2.52) a vytvorili upravenú verziu LM štatistiky N-\ N I I (Ttfj-1). (2.53) (=1 J=í+1 V prípade platnosti nulovej hypotézy aT —> °° aN —> °° platí: NLM ^ N(0,1). (2.54) Tento typ testu však vykazuje veľké skreslenie výsledkov pre veľké N a malé T, pretože pre konečné hodnoty T neplatí E(rp?- — 1) = 0 a pre veľké N stúpa pravdepodobnosť zosilnenia skreslenia nesprávneho centrovania NLM štatistiky. Pesaran, Ullah a Yamagata [69] ďalej vo svojom článku skúmali upravenú NLM štatistiku pre konečné hodnoty, ktorá si zachováva primeranú výpovednú silu aj pri malých vzorkách v modeloch panelových dát s exogénnymi regresormi a normálne rozdelenými náhodnými chybami. Vo veľkých vzorkách sa často namiesto F štatistiky používa jej %2 aproximácia. X2 štatistika sa rovnako využíva aj v testoch podielu maximálnej vierohodnosti (likelihood-ratio), ako ukázali Gourieroux, Holly a Monfort [34]. V tomto teste využívajú LR štatistiku, ktorá má tvar: NLM LR = 2(\ogLu-\ogLR). (2.55) Táto štatistika má pre platnú nulovú hypotézu %2 rozdelenie a počet stupňov voľnosti zodpovedá počtu testovaných obmedzení. 2.3.3 Testy náhodných vplyvov V prípade modelov náhodných vplyvov je na mieste testovanie existencie individuálneho vplyvu jUj alebo časového vplyvu Xt. Nulová hypotéza môže mať tvar súhnrného (OLS) modelu, alebo modelu len s jedným z dvoch náhodných vplyvov (individuálneho alebo časového). Ak zapíšeme neobmedzený model ako yit = a + $tXu + iii + Xt + vit i=l,...,N,t=l,...,T, (2.56) s dvoma parametrami rozptylu G2 a o^, nulová hypotéza pre súhrnný model je °M = °X = 0- Opäť použijeme podiel maximálnej vierohodnosti (LR). Štatistika LR — 2(logL[/ — logLfl) ale nemá #2 (2) rozdelenie ako by sa mohlo na prvý pohľad zdať, kvôli porušeniu istých podmienok regularity pri zostrojení nulovej hypotézy. Preto sa rozdelenie za platnosti nulovej hypotézy udáva ako: 38 KAPITOLA 2. NÁHODNÉ VS. FIXNÉ VPLYVY \x2 (0) + ±x2 (l) + \x2 (2), (2-57) čo je kombinácia troch x2 rozdelení s rôznymi stupňami voľnosti. Ak chceme testovať len existenciu jedného vplyvu (buď o2 — 0 alebo = 0), rozdelenie testovej štatistiky sa zjednoduší na: \ŕ<9) + \ŕiX)- (2-58) Ďalším testom na zistenie náhodného vplyvu je test Lagrangeových multiplikátorov (LM) podľa Breuscha a Pagana [23]. L M testje aproximácia LR štatistiky, pričom je potrebná len špecifikácia obmedzeného modelu (na rozdiel od L R štatistiky, kde potrebujeme aj obmedzený aj neobmedzený model). Breusch a Pagan [23] odvodili Lagrangeov multiplikátor pre nulovú hypotézu HQ : o2 — — 0. Log- vierohodnostná funkcia pri splnení podmienky normality náhodnej chyby je L(ô,6) = constant - ^log | Q. | - ^ M ' Í 2 _ 1 M , (2.59) kde Q1 — (CT2, CJL, °v) a je daná ako: Q=02 (lN®JT) + Ol(JN ®IT) + <72 INT (2.60) Výsledná LM štatistika má pre a 2 — 0 tvar: « , = " _ { , _ Í ^ W } 2 , (2.6!) 2{T — 1) u'u kde M reprezentuje rezíduá zo súhrnného OLS modelu. Pre nulovú hypotézu Ho : L M 2 = " { 1 - ? ^ ^ . (2.62) 2(N — 1) w'w Ak chceme testovať združenú nulovú hypotézu Ho : o\ — (7^ — 0, použijeme formu: LM = LMl+LM2. (2.63) LM\ aj LA/2 majú %2 (1) rozdelenie, analogicky LM má #2 (2) rozdelenie. Nevýhoda tohoto testu je fakt, že je konštruovaný ako dvojstranný, aj napriek tomu, že a2 < 0 nie je možné, a preto tento test nemá takú výpovednú hodnotu ako LR test. Orme a Yamagata [68] definovali štatistiku na testovanie náhodného vplyvu odlišne. Definovali A = A' = lTl'T — h tak, že u'{I^®A)u = Yli=\(lj=i Vit)2 ~ T4L1 Tj=i vft- Potom je testová štatistika zostrojená ako KAPITOLA 2. NÁHODNÉ VS. FIXNÉ VPLYVY 39 RN — NT Ú'{IN®A)Ú ú'u (2.64) 2 ( r - i ; a má limitné normálne rozdelenie pre N —> °° za platnosti HQ. 2.3A Hausmanov test Hausmanov test [43] v prípade modelov panelových dát je len špecifickou aplikáciou všeobecného Hausmanovho testu. Hausmanov test môže byť vo všeobecnosti aplikovaný na testovanie rôznych hypotéz, ak máme dve rôzne modelové špecifikácie a dva rôzne estimátory, z ktorých prvý, j8, je výdatný pri platnosti nulovej hypotézy, aleje nekonzistentný pri platnosti alternatívnej hypotézy a druhý, J3, je konzistentný pri platnosti oboch hypotéz, ale pravdepodobne v oboch prípadoch nie je výdatný. Princíp Hausmanovho test je v konštrukcii štatistiky založenej na vzťahu q — /3 — j8, pretože vďaka konzistencii oboch estimátorov pri platnosti nulovej hypotézy bude tento rozdiel konvergovať k nule, naopak pri platnosti alternatívy ku konvergencii nedôjde. Navyše, pri platnosti nulovej hypotézy sú q a j8 nekore­ lované. V konkrétnom prípade modelov panelových dát Hausmanov test slúži na výber medzi modelom náhodných vplyvov a modelom fixných vplyvov. Estimátor fixných vplyvov je konzistentný v modeli náhodných vplyvov, rovnako ako v modeli fixných vplyvov, pričom v modeli fixných vplyvov je aj výdatný a v modeli náhodných vplyvov má dobré asymptotické vlastnosti. Naopak GLS estimátor náhodných vplyvov nemôže byť použitý v modeli fixných vplyvov, ale je výdatný v modeli náhodných vplyvov. Nekonzistencia estimátoru náhodných vplyvov v modeli fixných vplyvov vyplýva z toho, že keď T —> °°, individuálne vplyvy nemôžu byť odhadnuté, ale sú vnímané ako realizácia náhodných premenných s nulovým priemerom. Porušenie predpokladu E(w) = 0 vedie k nekonzistencii. Hausmanova testová štatistika pre modely panelových dát je definovaná ako: m = q'(var$FE - var$REy l q, (2.65) kde q — PFE — PRE- Ak platí nulová hypotéza (model náhodných vplyvov je vhodný model), rozdiel variančných matíc je pozitívny, keďže estimátor náhodných vplyvov jevýdatný a každý iný estimátor má väščí rozptyl. Štatistika m má v tomto prípade %2 rozdelenie, s počtom stupňov voľnosti závisiacim na rozmere j8, K. 40 KAPITOLA 2. NÁHODNE VS. FIXNE VPLYVY Kapitola 3 Koeficient determinácie Vo všeobecnosti sa v modeloch panelových dát s koeficientom determinácie príliš často nestretneme, v literatúre a odborných článkoch sa takmer vôbec neuvádza. Koeficient determinácie ako taký má význam v modeloch využívajúcich prierezové dáta, teda v obyčajnej regresii, avšak v časových radách nie je prakticky vôbec aplikovateľný. Z jeho definície vyplýva, že vyjadruje podiel alebo percento celkovej variability závislej premennej, ktorá môže byť vysvetlená vysvetľujúcimi premennými. V prierezovej zložke panelových dát potom logicky vychádzajú menšie hodnoty R2 ako v časovej zložke a celkový koeficient determinácie pre modely panelových dát je preto nepresný. Čím je väčšia prierezová dimenzia modelu, ./V a menšia časová dimenzia modelu, T, tým sa koeficient determinácie viac približuje tomu z nepanelovej regresie a tým má aj vyššiu výpovednú hodnotu. Uveďme si ako príklad model \og(earningSi) — a + j5edi + J\agei + Jiage2 + ô\expi + &iexp2 + ut, (3.1) kde vysvetľovaná premenná je logaritmus ročných príjmov a vysvetľujúce premenné sú vzdelanie, vek a pracovné skúsenosti. V náhodnej zložke sú skryté všetky ostatné skutočnosti ovplyvňujúce úroveň príjmov, ktoré sa naprieč jednotlivami líšia, rovnako aj samotná náhoda. Takýto model samozrejme nie príliš presne vysvetľuje úroveň ročných príjmov, koeficient determinácie by nebol príliš vysoký. Ak vezmeme do úvahy rovnaký príklad, tentokrát s použitím časových dát, dostaneme úplne opačné výsledky. Budeme uvažovať len jedného jedinca z prierezovej množiny dát a vybrané premenné naprieč časom \og(earnings\t) — a+fied\t + y\age\t + Y2age2 lt + 8\exp\t + &2exp2 lt + u\t. (3.2) V takomto prípade by sme zistili, že R2 je vysoké, teda model dobre vysvetľuje variabilitu v úrovni ročných príjmov. Táto situácia nastala preto, že všetky premenné, 41 42 KAPITOLA 3. KOEFICIENT DETERMINÁCIE ktoré nemôžeme merať sú obsiahnuté v koeficiente a. V takomto modeli nemôžeme porozovať žiadne ďalšie skutočnosti ovplyvňujúce úroveň príjmov, ktoré by sa líšili naprieč jednotlivami, máme totiž len jedného človeka, ktorého ročné príjmy, ak ho pozorujeme počas dostatočného časového obdobia, budú v priemere konštantné a koeficient determinácie bude rovný 1. Ak sa na vyššie spomenutý model pozrieme zo všeobecnejšieho hľadiska modelu panelových dát, môžeme ho zapísať ako: \og(earningsit) = a + j8S;- + ySt + ôSit + eit, (3.3) kde Si sú v čase sa nemeniace premenné, St sú premenné meniace sa naprieč jednotlivcami, 5í f sú premenné meniace sa naprieč časom aj jednotlivcami a eif je náhodná chyba. Z pohľadu prierezovej dimenzie, napr. v čase t — 2014, môžeme napísať: log(earningsi:2ou) = {a + 7S2014) + + ôSiy2ou) +^,2014, (3.4) kde člen a + 7S2014 vyjadruje konštantu, člen /3Sř- + čS^ou vyjadruje v čase sa nemeniace premenné a e^ou je náhodná chyba. Pre t — 2014 je St — S2014 len množina hodnôt, ktoré sa nemenia, preto sa z 7S2014 stala konštanta. Model môžeme prepísať ako: \og(earningSi) = (a + 7S2014) + ÍT\ + et, (3.5) kde Ti — (Si,5^2014)• Ďalej môžeme rozdeliť 7] na dve časti, na premenné, ktoré môžeme zmerať, Mř- a na tie, ktoré nemôžeme zmerať, Uf. TÍ = (MÍ,UÍ), (3.6) čo vedie na \og{earningSi) = (a + yS2ou) + 7iM' + («i + YiUi), (3.7) kde člen a + 7S2014 vyjadruje konštantu a e, + jiUi je výsledná náhodná chyba. Takýto model už môžeme odhadnúť. Náhodná zložka obsahuje prierezovo - špecifické premenné, ktoré nevieme zmerať a konštanta zase obsahuje časovo - špecifické premenné. Rovnako môžeme model 3.2 zapísať aj z pohľadu časovej dimenzie: \og(earningst) = (a + yS\) + yxMt + (et + ftUt). (3.8) V takomto prípade práve konštanta, a nie náhodná zložka, obsahuje všetky prierezovo - špecifické premenné, či už ich vieme alebo nevieme zmerať. Preto by bola hodnota R2 vyššia ako v prípade modelu 3.7. KAPITOLA 3. KOEFICIENT DETERMINÁCIE 43 Keďže sú modely panelových dát kombináciou prierezových modelov a časových rád, schopnosť vysvetlenia variability modelu by mala ležať niekde medzi týmito dvoma hodnotami R2 . Avšak, keď počítame vysvetľovaciu silu modelu, neprisudzujeme žiadnu silu konštante. To je rovnaké, ako v prípade obyčajnej regresie. Líši sa to však od časových rád a to v tom, že v modeli máme variáciu naprieč jednotlivcami, a teda je koeficient determinácie v modeloch panelových dát viac podobný prierezovému koeficientu determinácie, ale nie tomu z časových rád. Ak by sme mali model fixných vplyvov s len niekoľko fixnými vplyvmi a porovnali R2 z tohto modelu s R2 z obyčajnej lineárnej regresie, v ktorej by sme vytvorili umelú premennú pre každého jednotlivca, videli by sme, že R2 z modelu fixných vplyvov je omnoho vyššie. To preto, že v takomto modeli sa stráca vysvetľujúca sila konštanty a v prípade lineárnej regresie a umelých premenných nie sú tieto individuálne vplyvy vymazané. 3.1 Verzie koeficientu determinácie Vo všeobecnosti neexistuje všeobecne uznávaný štandardný spôsob vyjardenia koeficentu determinácie v modeloch panelových dát. Ak sa variácia individuálnych vplyvov zahrnie ako súčasť vysvetlenej variace, R2 nemá takmer žiadnu výpovednú hodnotu. Preto sa verzie koeficientu determinácie vo väčšine prípadov vzťahujú iba na modely fixných vplyvov. Podľa návrhu Wooldridgea [92] existrujú tri rôzne verzie R2 , tzv. within R2 , between R2 a celkový, overall R2 . Nazvania within a between vyplývajú z anglických názvov dvoch rôznych estimátorov modelu fixných vplyvov, within estimátoru a between estimátoru. V princípe je R2 definované ako podiel 1 - — , (3.9) kde SSR je súčet štvorcov rezíduí a TSS označuje súčet štvorcov závislej, vysvetľovanej premennej. Within R2 Koeficient determinácie within R2 popisuje ako dobre model zodpovedá pozorovaniam, ktoré boli upravené pre ich individuálny vplyv. Pre tento koeficient determinácie je menovateľ zlomku vo vzorci definovaný ako: N T i=lt=\ kdeyř = T'1 £ f = 1 y ř ř . 44 KAPITOLA 3. KOEFICIENT DETERMINÁCIE Between Ŕ2 Koeficient determinácie between R2 berie do úvahy iba variáciu medzi prierezovými pozorovaniami, ide o OLS estimátor aplikovaný na časovo spriemerovanú vysvetľovanú premennú. Celkový súčet štvorcov je určený len /V individuálnymi časovými priemermi. N rSS = £ ( y ; - - y ) . (3.11) í=l Celkový, overall R2 Celkový koeficient determinácie označovaný ako overall R2 zodpovedá tradičnému koeficientu determinácie z OLS modelu, resp. súhrnného modelu panelových dát. V tomto prípade sa rezíduá rátajú bez ohľadu na individuálne vplyvy. TSS=YdY,(yit-y). (3.12) i=lt=\ Ak je celkový koeficient determinácie hodnotou blízky k within R2 , potom je individuálna heterogenita nízka a môžeme pracovať so súhrnným modelom. Porovnanie rôznych koeficientov determinácie doplňuje iné testy na určenie najvhodnejšieho modelu panelových dát. Kapitola 4 Testy v modeloch panelových dát Doposiaľ sme sa zaoberali modelmi, ktoré všetky spĺňajú určité predpoklady kladené na náhodné chyby. Empiricky však tieto predpoklady nie sú s veľkou pravdepodobnosťou splnené. V tejto kapitole sa preto bližšie pozrieme na testovanie základných predpokladov, konkrétne normality, homoskedasticity a nekorelovanosti náhodných chýb. 4.1 Testovanie normality V tejto kapitole nás zaujíma rozdelenie náhodných zložiek. Zvyčajne sa predpokladá normálne rozdelenie kvôli získaniu exaktných rozdelení testov hypotéz pre parametre /3, a preto je odklon od normality dôležitou záležitosťou, obzvlášť pri malých vzorkách. Normalita je rovnako využívaná ako predpoklad na získanie exaktného rozdelenia testov individuálnych vplyvov. V aplikovaných článkoch sa problém normality často ignoruje. Podmienka normality je v modeloch potrebná hlavne v prípadoch, ak máme malé vzorky (záleží na danom teste, či ide o malú prierezovú alebo časovú dimenziu, alebo ich kombináciu). Tým, že modely panelových dát pracujú s prierezovými aj časovými jednotkami, ich kombináciou vznikne dostatočne veľká vzorka, a preto je možné aplikovať asymptotickú platnosť všetkých odvodených štatistík, ktoré normalitu vyžadujú. Normalita modelu je nevyhnutná len v prípade, ak potrebujeme presné rozdelenie testových štatistík, alebo v prípade použitia odhadových techník založených na metóde maximálnej vierohodnosti. Tento problém sa však opäť vo väčšine článkov prehliada. Napriek tomu si uvedieme testy normality náhodných zložiek pre modely panelových dát. Získame rovnice šikmosti a špicatosti náhodných zložiek, ako momentových funkcií náhodných chýb, ktoré použijeme na odhadnutie koeficientov šikmosti a špicatosti náhodných zložiek a na testovanie ne-normality, tak ako 45 46 KAPITOLA 4. TESTY V MODELOCH PANELOVÝCH DÁT ich používa Gilbert [33] . Máme opäť súhrnný model panelových dát: yit=a+XÍtP + Uit i=l,...,N; t = l,...,T, Uit=Hi + vit, (4.1) kde Hi sú nepozorovatelné individuálne chyby, sú náhodné, navzájom nezávislé a normálne rozdelené s nulovou strednou hodnotou, a Vi f sú chyby v pozorovaní, rovnako nezávislé a normálne rozdelené s nulovou strednou hodnotou. jUř- je nezávislé na Vif pre všetky i a obe jUř- a Vi f sú nezávislé na xn pre všetky i a t. 4.1.1 Momenty náhodných zložiek Označme si a Fv kumulatívne distribučné funkcie dvoch komponentov náhodnej zložky a vypočítajme si prvé 4 momenty týchto rozdelení. Vieme, že prvý moment, stredná hodnota, oboch ju aj v je nulová, môžeme zapísať JzdF^z) — JzdFv(z) — 0. Z toho vyplýva, že pre každú podobnú distribúciu F, je hodnota k = J zk dF(z) pre k > 2 centrovaný k-tý moment. Pre pozitívne celé čísla jak môžeme zapísať Wj = Eu\v yfjjk = Eujs4, (4.2) pre všetky i a dané s a t. Na základe týchto rovníc získame druhé momenty: 0/x,2 = Vi,i, 0v,2 = V 2 - V i , i - (4 -3 ) Tretie momenty sú vyjadrené ako: 4Ví,3 = Vl,2, 0v,3 = V 3 - Vl,2- (4.4) Ako môžeme vidieť z 4.4 , pre všetky individuálne i, nenulová šikmosť v individuálnej chybe spôsobuje koreláciu medzi uis v čase s a druhou mocninou chyb M? vo zvyšných časových obdobiach. Výpočet tejto nelineárnej závislosti je korelácia , V l ' 2 ^=, ktorá je určená \if\ 2, W2 a y/4 a vieme, že ^ 1 2 = ^ 3 , V^2 = ^ , 2 + u,4 + 0v,4 + 60M,20v,2- Môžeme vidieť, že šikmosť ^ 3 prispieva k nelineárnej závislosti, šikmosť 0V ) 3 na ňu nemá žiadny vplyv. Tretie momenty môžu byť aj záporné, a keďže sa suma tretích momentov komponentov náhodnej zložky rovná tretiemu momentu náhodnej chyby, a preto je možné, že zaznamenáme šikmosť v komponentoch náhodnej zložky, ale nie v chybe samotnej. Štvrté momenty sú vyjadrené ako: 6 Ide vlastne o zovšeobecnenie Jarque-Berovho testu normality na oblasť panelových dát [50]. KAPITOLA 4. TESTY V MODELOCH PANELOVÝCH DÁT 47 0 / 1 , 4 = ^ 1 , 3 - 3 ^ 1 , 1 ( ^ - ^ 1 , 1 ) , ( 4 - 5 ) 0V,4 = V 4 - V i , 3 - 3 v i , i ( V í z - V u ) (4 -6 ) Vieme, že pre normálne rozdelené premenné z, ^4 — 30z 2 2 , a teda špicatosť — 3. Pri ne-normálnom rozdelení dostávame hodnoty menšie (rozdelenie je plochšie ako normálne) alebo väčšie ako 3 (rozdelenieje špicatejšie ako normálne). Z toho usudzujeme, že jl má normálnu špicatosť, ak Vi,3-3V2Vi,i = 0 (4.7) a v má normálnu špicatosť, ak V4 ~Wi,3- 31/^(^2 - Wi,i) = 0. (4.8) Ak má /i normálnu špicatosť, kovariancia medzi u^s a w?r je kladná a daná súčinom odchýlky chyby a individuálnej chyby / i . V prípade normálnej špicatosti v, nemusí platiť pozitívna kovariancia medzi u^s a uft, znamienko kovariancie je dané relatívnou veľkosťou hodnôt y/2, y/4 a 1/^1,1 • 4.1.2 Panelový test normality Na základe odhadov momentov, koeficientov šikmosti a špicatosti, odvodil Gilbert [33] vo svojom článku panelový test normality. Najprv treba vypočítať odhady momentov y/j a yij^ pre relevantné j a k. Pre j8 ľubovoľný, slabo konzistentný odhad /3 a rezíduá ún — yu —xitfi, dostaneme *J = ^ j í Í * í (4-9)i V i ,-=iř=i a pre všetky j afc.Autor ďalej odvodil kovariančný koeficient pre yfj a ýJjk a to tak, že označil a, = 77 - 1 J^=] ú\t a bi — (T(T — l ) ) - 1 E j ^ ř " / j " | a ^a ^ ^ c n výberové priemery AT C a ŕ = ^ - 1 £ ( f l i - ä ) ( f c i - f c ) . (4.11) (=1 48 KAPITOLA 4. TESTY V MODELOCH PANELOVÝCH DÁT Keďže a a b sú identifikované pre každé špecifické j a (j, k), autor ďalej používal z á P Í S CjaJk, Cja,ja,h- atď " V článku sa vyskytujú štyri nulové hypotézy. H^i, pri platnosti ktorej má jU normálnu šikmosť a štatistika Z(i,i má asymptoticky jednotkovo normálne rozdelenie, H^2, pri platnosti ktorej má jl normálnu špicatosť a štatistika z^^ má asymptoticky jednotkovo normálne rozdelenie, a analogicky hypotézy H v i a #v,2Testové štatistiky sú odvodené nasledovne: Vc i,2;i,2 A / C 3 ; 3 +CI; 2;1,2 - 2 C 3 ; I ; 2 1^1,3-3^2^1,1 yjCi,3;i,3+9(^2C i,i;i,i +^,1^2:2+ 2^2^1,1^2:1,1)-6(^2Ci) 3 ;i, 1 + Vl,lCi,3 ; 2 (4.14) y 4 - y i , 3 - 3 y 2 ( y 2 - y i , i ) Zv,2 = —fj- , (4.15) kde h = C4; 4+Ci; 3; i; 3 — C4;i;3 6(V>2(2(C2;4 - C2 ;l,3 ) +Cl,3 ;l,l - C4 ;l,l) + (C2 ;l) 3 ~ C2 ; 4 )) • (4.16) Na testovanie jednotlivých nulových hypotéz sa použijú relevantné z2 štatistiky, ktoré zamietnu nulovú hypotézu v prípade, ak štatistika prevyšuje %2 kritickú hotnotu. Podrobnejšie sa týmto testom a asymptotickými aproximácii zaoberal aj van der Vaart [87]. Test Galvaa et al. Rozšírením testu normality podľa Gilberta [33] sa zaoberali Galvao, Montes-Rojas, Sosa-Escudero a Wang [32], ktorí vytvorili testy šikmosti, špicatosti a normality pre model panelových dát založené na podobnom princípe. Ich prístup je založený na within a between momentových podmienkach, ktoré vytvárajú testy pre šikmosť a špicatosť individuálnych komponentov a náhodných chýb osobitne ale aj dohromady. Zaoberali sa /V idúcim k nekonečnu a malým a fixným T, čo zaručuje asymptotické rozdelenie testových štatistík. KAPITOLA 4. TESTY V MODELOCH PANELOVÝCH DÁT 49 Použili model 4.1 a hodnoty pre šikmosť (s) a špicatosť (k), — E(/i3 ), sv — E(v3 ), kp_ — E(/i4 ) a kv — E(v4 ), pričom všetky momentové podmienky sú brané ako podmienené. Ich nulové hypotézy samostatne pre šikmosť sú: H^:s^=0, Hs Q v :sv = 0 (4.17) a pre špicatosť flíM :W°í = 3 ' Kv :kv/o$ = 3. (4.18) Nulové hypotézy pre spojené testovanie šikmosti a špicatosti sú: H ^ : S f l = 0, a W ^ í = 3, Hs Q v&kv : 5V = 0, a £v/ IT. (4.21) V prípade, že poznáme, alebo vieme odhadnúť kovariančnú maticu £1, môžeme model odhadnúť pomocou metódy takzvaných realizovateľných zovšeobecnených najmenších štvorcov (feasible GLS)7 .Phillips [70] tento prístup kritizuje, pretože podľa neho sú parametre (O2 ,..., co]^ tzv. príležitostné alebo náhodné (incidental), teda nemôžu byť konzistentne odhadnuté. Ak sa cof mení pre každé i ľubovoľným smerom, existuje len jeden výber z rozdelenia generujúceho z čoho vyplýva, že konzistentný odhad cof nie je možný. Preto navrhuje stratifikovaný model, ktorý nezahŕňa „incidental" parametre, kde rozptyly komponentov sú modelované ako rovnaké len pre určitú množinu prierezových jednotiek a môžu sa líšiť od rozptylu iných prierezových jednotiek. Ide o takzvané vrstvenie pozorovaní, čo navrhovali už aj Mazodier a Trogon [62]. Ak vieme, ktoré premenné spôsobujú heteroskedasticitu, môžeme postupovať podobne ako v modeloch lineárnej regresie a aplikovať metódu GLS. Roy [75] navrhuje semiparametrickú odhadovú procedúru v prípade heteroskedasticity neznámej formy v jli, takzvaný adaptívny estimátor, ktorý nevyžaduje veľké T na rozdiel od skorších estimátorov. V jeho modeli spĺňa E[/iř-1 XL] — 0 a Var[/ii | x[] = 0)(x'L) = (Oh kde X- = lJ=xX'it/T a vit - IID(0,o2). Pre o2 použil estimátor z Within regresie 2.10, ktorý môžeme zapísať ako: 7 pozri napr. Baltagi a Griffin [13] alebo Greene [37] KAPITOLA 4. TESTY V MODELOCH PANELOVÝCH DÁT 51 ,2 _ ľliľLi [(yit-yú-iXit-Xjyp]2 N(T-l)-K ' { } kde j8 sme dostali použitím estimátoru fixných vplyvov alebo Within estimátoru z 2.34. Ďalej: kde K(.) je jadrová funkcia (kernel function) a h je vyhladzujúci parameter (smoothing parameter). Tento estimátor je však pomerne citlivý na výber vyhladzujúceho parametru h a v niektorých prípadoch miernej ale aj silnej heteroskedasticity, poskytol estimátor fixných vplyvov lepšie výsledky ako tento adaptívny estimátor. Ďalší prístup k heteroskedasticite spočíva v homoskedastickom ~ IID (0, ) a heteroskedastickom vř- ~ (0, cof), z čoho vyplýva kovariančná matica Q. = E(K'K) = diag[o^] JT + diag[řOř 2 ] ® IT. (4.24) Ak sa heteroskedasticita týka oboch častí náhodnej chyby, je zložitejšie správne odhadnúť model, keďže nevieme posúdiť do akej miery je ovplyvnená jedna alebo druhá časť náhodnej chyby. Je treba všeobecnejší prístup k GLS metóde, ktorý podáva napr. Randolph [74] alebo neskôr Stock a Watson [82]. Práve Stock a Watson [82] sa zaoberali odhadom nevychýlenej, konzistentnej robustnej kovariančnej matice aplikovanej na estimátor fixných vplyvov. Ukázali, že obvyklá robustná kovariančná matica je nekonzistentná ak sú náhodné chyby nekorelované, T je fixné a väčšie ako 2 a Aŕ —> °°. Estimátor fixných vplyvov je h* = ( E W ) " 1 t í x i t ň (4 -25 ) í = l í = l í=lí=l s asymptotickým rozdelením pre pVs VŇŤ(pFE-P)^N(0,Q^LQň), (4-26) kde E = Y Yj=i ^(XitX-tujt). Rozptyl asymptotického rozdelenia je odhadnutý pomocou Q^tQ^l, kde Qtx = {NT)-l l^=llJ=lXitX'it a É je odhad robustnej kovariačnej matice, zvyčajne É = NT}N_K T4L1 Tj= 1 X'ituft, kde un sú rezíduá z modelu fixných vplyvov. Práve táto kovariančná matica É, ktorá sa využíva v lineárnych regresiách s priezerovými dátami, je vychýlená a nekonzistentná v modeloch panelových dát s fixným T. Preto Stock a Watson [82] navrhli nevychýlený estimátor 52 KAPITOLA 4. TESTY V MODELOCH PANELOVÝCH DÁT t H R - F E = { ^ ) { t - ^ B ) , (4.27) kde 1 Ä / 1 ^ - A / 1 T ^ ^ L ^ T ^ m y ( ^ 8 ) 1=1 t=l s=l 4.2.1 Testovane homoskedasticity Pri analýze modelu panelových dát sa zvyčajne predpokladá, že individuálne vplyvy sú homoskedastické. V niektorých situáciách však môže byť vhodné zovšeobecniť model v kontexte heteroskedasticity, na čo ako prví poukázali Mazodier a Trognon [62]. Chybná špecifikácia náhodnej zložky za prítomnosti heteroskedasticity môže viesť k zavádzajúcim výsledkom. Naopak, ak sa v modeli nenachádza heteroskedasticita, môžeme rovno aplikovať priame postupy a štandardné odhadové metódy. Preto je vhodné testovať prítomnosť heteroskedasticity ešte pred aplikovaním jednotlivých metód, čo výrazne zjednoduší celú analýzu daného problému. Whitov test Hoci je náhodná chyba v modeli panelových dát iného tvaru ako v časových radách alebo lineárnej regresii, L i a Stengos [58] tvrdia, že môžeme stále použiť Whiteov test homoskedasticity8 , ktorý testuje nulovú hypotézu konštantného rozptylu. Test funguje na princípe Lagrangeovho multiplikátoru s testovou štatistikou LM — nR2 , kde R2 je koeficient determinácie z modelu, kde ako vysvetľovaná premenná slúžia rezíduá z pôvodného súhrnného OLS modelu a ako vysvetľujúce premenné je v modeloch panelových dát vhodné využiť maticu premenných v tvare X® X. V prípade platnosti nulovej hypotézy má LM ~ X2 (K*), kde počet stupňov voľnosti K* je určený podľa počtu regresorov v druhej, pridanej regresii, v prípade modelu panelových dát K* = (NT)2 x K2 . Rovnako môžeme použiť aj L M test Breuscha a Pagana [23], ktorý testuje prítomnosť individuálneho vplyvu tak, ako je vysvetlený v sekcii 2.3.2. V prípade platnosti nulovej hypotézy sa v modeli nenachádza žiadny individuálny vplyv, a teda ani žiadna heteroskedasticita. Lejeuneho pseudo- L M test Lejeune [57] odvodil pseudo- L M testovaciu procedúru na súhrnné skúmanie nulovej hypotézy neexistencie individuálneho vplyvu a homoskedasticity proti al- 8 pozri White [91]. KAPITOLA 4. TESTY V MODELOCH PANELOVÝCH DÁT 53 ternatíve, kde v modeli existuje náhodný individuálny vplyv a heteroskedasticita v náhodnej chybe. Tento pseudo- L M test je nezávislý na rozdelení pravdopodobnosti v takom zmysle, že nezávisí na predpokladoch vyplývajúcich z rozdelenia, napr. na normalitě. Testuje nulovú hypotézu: H0:v(.) > 0, 0(0) = 1 a '(0) ^ 0. Testová štatistika má za platnosti nulovej hypotézy tvar PLMN = N&NVň 1 &N 4 *2 (1 +kY), (4.31) kde 4>Ař je takzvaný indikátor zlej špecifikácie (misspecification indicator), ktorý má tvar hľlMJT-lT, (4.32) a VN je v prípade platnosti nulovej hypotézy konzistentný estimator rozptylu. Tento test, aj napriek tomu, že nezávisí na normalitě, je asymptoticky ekvivalentný gaussovskému L M testu za platnosti normality, je však o dosť zložitejší. Lejeune [57] navrhol aj isté zjednodušenia vyššie uvedeného testu, napr. ak predpokladáme, že v prípade platnosti Ho sú chyby podmienečne nezávislo rozdelené naprieč t. Skórový test Hollyho a Gardiolu Holly a Gardiol [46] odvodili skórovú štatistiku na testovanie heteroskedasticity v modeloch panelových dát s individuálnym vplyvom. Využili na to Raovu výdatnú skórovú štatistiku9 , resp. jej L M interpretáciu od Silveyho1 0 , keďže jej výpočet je založený na základnom homoskedastickom prípade. Predpokladali, že heteroskedasticita sa nachádza práve v individuálnom vplyve, v \i{ a že náhodné chyby sú normálne rozdelené, v# ~ 7V(0, c2 ) a ~ 7V(0, a^h(z'O)), kde z je vektor p x 1 vysvetľujúcich premenných vybraných tak, že z Q neobsahuje konštantu a h je 9 RAO, C. Radhakrishna: Large Sample Tests of Statistical Hypoteses Concerning Several Parameters With Applications to Problems of Estimation. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1948, Vol. 44, s. 50-57. 1 0 SILVEY, S. David: The Lagrangian Multiplier Test. The Annals of Mathematical Statistics, 1959, Vol. 30. s. 389-407. 54 KAPITOLA 4. TESTY V MODELOCH PANELOVÝCH DÁT kladná, dvakrát diferencovatelná funkcia, ktorá spĺňa h(0) — 1, hS-s >(0) ^ 0, kde hS-s > označuje deriváciu rádu s pre s — 1,2. Nulová hypotéza má tvar Ho : 6 — 0. Log- vierohodnostná funkcia má tvar: L — constant — ^logdet(í2) — }^uQ.~l u, (4.33) kde (4.34) Skórová testovacia štatistika je potom polovica z regresného súčtu štvorcov z OLS regresie, f — IN, kde ši — Ú'^TUI a š = Y4L1 ši/N, na p regresorov zo Z, podobne ako v teste Breuscha a Pagana ^ = K f " i j v ) ' 2 ( - 2 ) ~ 1 - ( f ~ i i v ) ' ( 4 - 3 5 ) kde Z = (/# — 7^) Z je matica získaná centrovaním každého stĺpca Z. Spojený L M test Baltagiho, Bressona a Pirotteho Baltagi, Bresson a Pirotte [12] odvodili spojený (joint) test Lagrangeovho multiplikátoru na testovanie homoskedasticity. Vychádzali z modelu, kde sa heteroskedasticita vyskytuje v oboch častiach náhodnej chyby, teda ~ (0,CT2.)a Vif ~ (0, o2 .t), pričom V;Y sa mení s každým pozorovaním naprieč časom aj jednotlivými entitami. Pracovali so spojenou nulovou hypotézou 6^ — 6V — 0, pričom za platnosti tejto nulovej hypotézy dostali rovnaký model ako Holly a Gardiol [46], ale v prípade platnosti alternatívy je model viac všeobecný, pretože nevieme, v ktorej časti na heteroskedasticita nachádza. Rovnako odvodili aj dve ďalšie, marginálne nulové hypotézy, kde v prvej sa testuje homoskedasticita individuálneho náhodného vplyvu za predpokladu, že zvyšná časť náhodnej chyby je homoskedastická, 9fi — 0 \ 0V — 0 (rovnaký test ako skórový test Hollyho a Gardiolu [46]), v druhom prípade sa testuje homoskedasticita v za predpokladu homoskedasticity individuálneho náhodného vplyvu, 6V — 0 | 6^ — 0. Náhodné chyby sú vzájomne nezávislé a normálne rozdelené m~N(0,<%), o2 . = a2 ^(f;e^), i=l,...,N vit~N{0,o2 t), ol = o2 hv(z'it6v), i=l,...,N, t=l,...,T, (4.36) kde hfi(.) a hv{.) sú arbitrárne, kladné, dvakrát diferencovatelné funkcie, pričom hfi (0) = hv (0) = 1, h\ (0) ŕ 0 a h\(0) ^ 0. Ak si označíme (p = (a2 ., a2 t, 6'^, 6'v) (= KAPITOLA 4. TESTY V MODELOCH PANELOVÝCH DÁT 55 { 0, i = 1,... ,7V, (4.41) ( & = V [vf t | WÍ] = a2 hv{z'vitdv) > 0, i = 1,... ,/V,í = 1,...,T. (4.42) a hv(.) sú dvakrát spojito diferencovatelné, kladné funkcie, ktoré spĺňajú ÄM(0) = Äv(0) = 1 a ^! ) (0) ^ 0 a ÄJ^O) ^ 0. 0M a 6V sú parametre záujmu. Nulové hypotézy sú nasledovné: : 6/1 — 0 pre testovanie homoskedasticity CT2 individuálneho vplyvu jl, HQ V : Q v — 0 pre testovanie homoskedasticity v zvyš- <72 ,CT2 nej zložke náhodnej chyby v a //Q*" V :0JU = 0 V = O pre testovanie validity homoskedastického modelu. Definovali Between rezíduá ako ňi = T^1 Yj=i UU a Within rezíduá ako ä( í = uu — ňu na základe ktorých odvodili rôzne momentové podmienky pre testovanie heteroskedasticity. CT2 Between rezíduá dávajú momentové podmienky pre testovanie H0 M : T E[uj |Wi] = G2 h^zf ^) + T-2 GZ Y,hv(z'vitev): (4.43) t=\ 2 čo za platnosti H0 v môžeme zredukovať na E[uj | wi] = ofa(z'^) + T 2 a2 v. (4.44) CT2 Ak neplatí H0 v , ale N —> °° a t —> °°, prítomnosť heteroskedasticity v v nemá na testovanie homoskedasticity v / i podľa 4.44 žiadny vplyv. V takomto prípade je O2 CT2 test pre H0 M robustný vzhľadom na platnosť HQ v . Navyše ak N —> °° a T je fixné, <72 ale platí / / 0 v , momentová podmienka v 4.44 platí. V opačnom prípade, ak N —> °° CT2 a T je fixné, ale HQ v neplatí, test založený na 4.43 môže viesť k nesprávnemu KAPITOLA 4. TESTY V MODELOCH PANELOVÝCH DÁT 57 zamietnutiu nulovej hypotézy kvôli prítomnosti heteroskedasticity v v. Pre takýto prípad autori článku zadefinovali % =u2 i- _ x 4 ' (4 -4 5 ) pričom E[UJ | w,-] = a^h^z'^O^). Oproti 4.43, momentová podmienka 4.45 nezahŕňa parametre vzťahujúce sa k heteroskedasticite v v aje často využívaná v testoch homoskedasticity v / i v krátkych paneloch s fixným T. Momentová podmienka vyplývajúca z Within rezíduí ml I m] = o ? ( ( l - 2 T - 1 + T-2 )hv(z'vitev) + T 2 £hv(z'vijdv)) . (4.46) (j2 Táto podmienka sa využíva pri konštrukcii testov pre HQ V . ai ani 6^ sa v 4.46 nenachádzajú, čo znamená, že test založený na tejto podmienke ke robustný vzhľadom k prítomnosti heteroskedasticity v / i . Ďalej Montes-Rojas a Sosa-Escudero [63] skúmali vlastnosti robustnosti nimi navrhnutých testov pomocou Monte Carlo simulácie, kde brali do úvahy štyri prípady, korešpondujúce rôznym druhom heteroskedasticity a pre každý prípad vypočítali obmedzený M L odhad, súhrnný OLS odhad, testové štatistiky navrhnuté v ich článku, testové štatistiky podľa Baltagiho, Bressona a Pirotta [12], a Hollyho aGardiola [46]. V prípade normálne rozdelených náhodných zložiek, jasne preukázali, že marginálne testy navrhnuté tak, aby rozpoznali heteroskedasticitu v ji sú negatívne ovplyvnené prítomnosťou heteroskedasticity v v, a preto sú viac náchylné zamietnuť nulovú hypotézu. V takýchto prípadoch majú robustné testy omnoho nižšiu mieru zamietnutia nulovej hypotézy, a teda sú viac odolné voči chybnej špecifikácii v alternatívnej hypotéze. V prípade neprítomnosti heteroskedasticity v v, alebo v prípade spojeného testovania heteroskedasticity v oboch zložkách náhodnej chyby, dávali všetky testy približne rovnaké výsledky. Rovnaký experiment bol aplikovaný aj na ne- normálne rozdelené dáta (autori použili konkrétne Studentovo t— rozdelenie), šikmé- normálne rozdelenie11 , a lognormálne rozdelenie. Pre Studentovo rozdelenie, sú veľkosti štatistík založených na podmienke normality príliš rozsiahle a miera zamietnutia nulovej hypotézy stúpa s klesajúcimi stupňami voľnosti, čím sa rozdelenie približuje normálnemu. Pri lognormálnom rozdelení je miera zamietnutia ešte vyššia. Korektné miery zamietnutia 1 1 pozri AZZALINI, Adelchi; CAPITANIO, Antonella: Distributions Generated by Perturbation of Symmetry with Emphasis on a Multivariate Skew t- Distribution. Journal of the Royal Statistical Society, serieš B, 2003, Vol. 65, s. 367-389. 58 KAPITOLA 4. TESTY V MODELOCH PANELOVÝCH DÁT dáva šikmé- normálne rozdelenie so značnou šikmosťou ale malou špicatosťou. V takýchto prípadoch si testy navrhnuté Montesom-Rojasom a Sosom-Escuderom [63] udržali robustnosť vzhľadom k odchýleniu sa od normality a vykazovali dobré výsledky a sú jednoznačne vhodnejšie na použitie v prípadoch, kedy sú náhodné chyby ne- normálne rozdelené. Testovanie heteroskedasticity v modeli náhodných vplyvov Baltagi, Jung a Song [14] sa zaoberali združeným testovaním homoskedasticity a neexistencie sériovej korelácie prvého stupňa. Tvrdili, že vo väčšine predchádzajúcich analýzach sa skúmala len jedna z týchto vlastností, hoci spolu súvisia. Ich článok rozširuje model Hollyho a Gardiola [46] a povoľuje sériovú koreláciu prvého stupňa v V. Obmedzený model je štandardný model náhodných vplyvov. Rovnako odvodili podmienený L M test homoskedasticity pri danej korelácii, ako aj podmienený L M test neexistencie korelácie pri danej heteroskedasticite. Odvodenie testovej štatistiky je založené na tom, že individuálne vplyvy jii sú normálne a nezávislo rozdelené s nulovou strednou hodnotou a rozptylom h(z'i 0 a p > 0 a HQ2 : p — 0 za predpokladu, že niektoré z a sú nenulové. Následnou Monte Carlo simuláciou ukázali, že spojený test, rovnako ako aj podmienené testy, spolu s ich alternatívami v podobe podielu pravdepodobností vykazujú dobré výsledky pri rôznych formách heteroskedasticity, vrátane exponenciálnej a kvadratickej funkčnej formy. Spojený test dáva lepšie výsledky keď je p > 0,2, pre menšie p sa sila testu zvyšuje s a a pre fixné a,p a a | sila testu rastie, ako sa zvyšuje N. Podmienený test korelácie rovnako dáva dobré výsledky pre p > 0,2 a pre menšie hodnoty p sa výsledky zlepšujú s rastúcim N. Podmienený test homoskedasticity poskytuje kvalitnejšie výsledky pre väčšie N a a, a zároveň má lepšiu vypovedaciu schopnosť pre exponenciálnu heteroskedasticitu ako pre kvadratickú. 1 2 Keďže je skúmaná aj autokorelácia náhodnej zložky, ďalšie predpoklady modelu sú, že v spĺňa AR(1) proces: v! ř = p v ! ř - i +£u, kde | p |< 1 a e!ř ~ IIN(Q,Gg). Ďalej, pi a v! ř sú nezávislé a v ŕ , 0 ~ i V ( 0 , a e 2 / ( l - p 2 ) j . KAPITOLA 4. TESTY V MODELOCH PANELOVÝCH DÁT 59 4.3 Autokorelácia náhodných chýb Klasický model panelových dát v 1.1 a 1.2 predpokladá iba koreláciu naprieč časom, p = coľ(uit,Uis) — c 2 / ( o í + o2 ), pre í ^ s a nepredpokladá sa autokorelácia náhodnej zložky v#, teda v# = IIDN(0, a2 .). Často sa však stáva, že ví f nie sú nezávislo a rovnako (normálne) rozdelené, ale naopak sú sériovo korelované. Tento problém nastáva, rovnako ako v modeloch časových rád, hlavne kvôli vynechaniu premenných, ktoré sa vyvíjajú v priebehu času. Opomenutie autokorelácie v modeli vedie k nekonzistencii odhadov štandardných chýb a následne k chybným výsledkom testov hypotéz a odhadovaných koeficientov. Ako uvádza Baltagi, [11], medzi prvými sa problémom autokorelácie zaoberali Lillard a Willis [59], ktorí zovšeobecnili model panelových dát pre prípad autokorelácie. Predpokladali, že náhodná zložka v u podlieha AR(1) procesu, autokorelácii prvého stupňa. V ich prípade platí, že ~ IID(0, o2 ) a vit = pVi:t-i+£it, (4.47) pričom | p |< 1 a £jř ~ IID(0, o2 ), fit je nezávislé na vi f a vřo ~ (0, a | / ( l — p2 )). 4.3.1 Testovanie autokorelácie Durbin- Wanstonova štatistika Bhargava, Franzini a Narendranathan [17] navrhli Durbin- Watsonovu štatistiku pre panelové dáta, konkrétne pre model fixných vplyvov, ktorý má v ich článku tvar: H yit=Y,x vtPj + Ll i + Vit, t=l,...,T, i=l,...,N (4.48) vit = pVi:t-i+£it, (4.49) kde £it sú nezávislé a normálne rozdelené s nulovou strednou hodnotou a rozptylom a2 , Hi označuje fixné vplyvy, alebo umelé premenné a x sú nestochastické regresory. Durbin- Watsonova štatistika pre nulovú hypotézu Ho : p — 0 proti alternatíve H\ : | p | < 1 má tvar: Li=\LT=2y it kde Vu sú OLS rezíduá z modelu fixných vplyvov. Bhargava, Franzini a Narendranathan [17] rovnako uvádzajú aj tabuľkové hodnoty zamietnutia nulovej hypotézy 60 KAPITOLA 4. TESTY V MODELOCH PANELOVÝCH DÁT pre štatistiku dp. Tieto hodnoty sú vypočítané v závislosti na T, N a K (počet regresorov). Test Wooldridga Najjednoduchší test autokorelácie v modeloch panelových dát poskytuje Wooldridge [92]. Vychádza z modelu yu = a + Xitfa + Zifc + \ÍÍ + vit, (4.51) kde Xn je (1 x K\) vektor premenných meniacich sa v čase, Z. je (1 x K2) vektor v čase sa nemeniacich premenných. Ak je jii korelované s Xu alebo Z,, koeficienty j8i môžu byť konzistentne odhadnuté Within regresiou alebo regresiou na prvé diferencie premenných. Ak je jii nekorelované s Xu a Z , koeficienty /3i a fa môžu byť konzistentne odhadnuté použitím FGLS estimátoru náhodných vplyvov. Pre všetky tieto estimátory platí, že E(vi í vi í ) = 0 pre s 7^ t, teda, že v modeli sa nevyskytuje autokorelácia, ktorá by znamenala vychýlenie štandardných chýb a stratu výdatnosti odhadov. Na testovanie nulovej autokorelácie yu Wooldridge využil model prvých diferencií, ktorý odstráni z modelu individuálny vplyv, v čase sa nemeniace premenné a konštantu yu -yi,t-\ = (Xjt-Xij-i)Pi + vit - V ; , Í - I Ayit = AXitfa+Avit, (4.52) kde A je operátor prvej diferencie. Autor najprv odhadol parametre /3i a získal rezíduá eř/. Ďalej pozoroval, že v prípade, ak vi f je sú sériovo korelované, potom cor(AV;Y,Avi ) r _i) = —0,5. Preto v druhej regresii rezíduí éu na ich oneskorené premenné testoval, či je koeficient pri oneskorených rezíduách rovný práve —0.5. Drukker [29] neskôr vo svojom článku aplikuje práve Wooldridgeov test a pomocou Monte Carlo simulácie skúma výkon tohto testu pre štyri rôzne smery záujmu. Prvým je veľkosť a štruktúra vzorky, druhým porovnanie fixných a náhodných vplyvov, tretím sú návrhy simulujúce nulovú hypotézu nulovej autokorelácie a zároveň vyhodnocujúce silu testu v prípade rôznych úrovní autokorelácie a štvrtým je aplikácia na podmienečne homoskedastické a podmienečne heteroskedastické náhodné chyby. Skúmané veľkosti vzoriek boli = 500, T — 5; N — 500, T — 10;N = 1000, T = 5;N = 1000, T = 10. Hladina významnosti bola nastavená na 0,05. Závery, vyplývajúce z experimentu Drukkera [29] sú nasledujúce. Empirické chyby prvého stupňa boli vo všetkých prípadoch blízko k nastavenej nominálnej hodnote 0.05. Pre najväčšiu vzorku = 1000, T = 10 bola empirické sila testu KAPITOLA 4. TESTY V MODELOCH PANELOVÝCH DÁT 61 100% pre všetky prípady. Ak bola korelácia väčšia ako 0,2, test mal takmer vždy 100% silu. V prípade podmienečnej homoskedasticity náhodnej zložky test pracoval rovnako dobre pre model náhodných vpyvov aj model fixných vplyvov. Ak sú náhodné chyby podmienečne heteroskedastické, test má menšiu silu v prípade modelu fixných vplyvov, hlavne pri menších vzorkách a nižšej úrovni autokorelácie. Podmienečná heteroskedasticita môže tiež spôsobiť stratu sily testu v malých vzorkách s nízkou úrovňou autokorelácie. Testovanie autokorelácie v modeli fixných vplyvov Test Baltagiho a Liho Baltagi a Li [15] odvodili L M štatistiku pre testovanie nulovej hypotézy HQ : p — 0, pre model fixných vplyvov yit=x'P+Hi + vit, (4.53) Vit = pVij-i+£it, (4.54) kde & ~ IIN(07 a2 ) a £ř ~ IIN(0, aj). Výsledná testová štatistika má tvar NT2 Ľ?=iĽj=2»iAt-i L M = \ l ^ [ ^ = S U : r h (4-55) kde úit — yit — x'itÍ3 — jli sú rezíduá z LSVD alebo Within regresie. Pre Aí-><»a T —> oo má L M štatistika limitné štandardné normálne rozdelenie. Avšak, ak je T fixné, test trpí silným skreslením. Born a Breitung [22] neskôr rozšírili L M štatistiku Baltagiho a Liho [15] aj na prípad fixného T. Ukázali, že za platnosti nulovej hypotézy, a teda v prípade, že vit ~ IID(0, o2 ), platí pre fixné T a N ->• <*> « + í / _ y 4 * ( o , ( L g ^ , . Preto navrhli upravenú L M štatistiku LM=\l-,—^~T~7~^~ T~(LM+\ —— V (4.57) w ( r + i ) ( r - 2 ) 2 V V r - i y ' v y ktorá má limitné štandardné normálne rozdelenie. Dôležité obmedzenie tejto štatistiky však je predpoklad normálne rozdelených chýb s identickými rozptylmi pre všetky i. 62 KAPITOLA 4. TESTY V MODELOCH PANELOVÝCH DÁT Test Inoueho a Solona Inoue a Solon [49] navrhli test autokorelácie v modeli fixných vplyvov. Ich jest je odvodený z podmienečného testu Lagrangeovho multiplikátoru, ale má aj priamu interpretáciu v štýle Waldovho testu. Testujú nulovú hypotézu nulovej autokorelácie proti všeobecnej alternatívnej hypotéze, že v modeli sa nachádza nejaká forma autokorelácie. Použili model fixných vplyvov, resp. jeho formu v tvare kde JT je T— rozmerný vektor jednotiek, y i — \yn,... ,yir]', Xi — [xn,... ,X( T]' a Vi — [VÍI,...,V,T]'. Definovali E = E[v,-Vf]' a potom nulová hypotéza má tvar Ho : E = Oylr proti alternatíve, že niektoré nediagonálně prvky matice E sú nenulové. Predpokladali normalitu náhodnej zložky pre silný test postavený na princípe Lagrangeovho multiplikátoru. Kvôli prítomnosti individuálneho vplyvu jU; nemohli zkonstruovat L M test založený na vierohodnostnej funkcii, a preto použili podmienečnú vierohodnostnú funkciu založenú na dostačujúcej štatistike pre individuálny efekt ktorá je yt v prípade E = o2 lj a (/ýE- 1 yř -) / (fTľrl jx). Nimi navrhnutá LM štatistika má v prípade platnosti nulovej hypotézy % rozdelenie s(T — 1) (r — 2)/2 stupňami voľnosti pre N —> °°, keďže odhadovaná kovariančná maticaje singulárna a má hodnosť (r — 1), a teda testujeme (T — 1)(T — 2)/2 obmedzení na nediagonálně prvky kovariančnej matice. Autori rovnako použili Monte Carlo simuláciu na preskúmanie situácie s veľkým, ale fixným/V, konkrétne N = 50,100,250,500 a T = 5,8. Pre T = 5 empirická frekvencia zamietnutia nulovej hypotézy je blízka nominálnej hodnote 0,05. Pre T — 8 autori pozorovali menšie skreslenie pre N menšie ako 500. yi=XiP+JTlii + Vi, (4.58) l o g L ^ - l o g l E l - - ^ - 1 ^ ) (4.59) testová štatistika má zložitý tvar, a preto ju v našej práci neuvádzame, pre jej presný tvar, pozri Inoue a Solon [49]. Kapitola 5 Dynamické modely panelových dát Doteraz sme sa zaoberali statickými modelmi panelových dát. Veľa ekonomických vzťahov je však dynamických a práve panelové dáta nám dávajú možnosť lepšie zachytiť dynamiku prispôsobovania sa. V tejto kapitole sa preto bližšie oboznámime s dynamickými panelovými modelmi, popíšeme najvýznamnejšie a najpoužívanejšie estimátory dynamických modelov panelových dát, rovnako ako aj ich rozšírenia, aplikácie a niekoľko základných testov pre dynamické modely. Dynamické vzťahy sú v modeli charakterizované prítomnosťou oneskorenej vysvetľovanej premennej medzi regresormi, ako uvádza Baltagi [11] yu = 8yij-i+x'itP+Uit i=l,...,N t=l,...,T, (5.1) kde ô je skalár, x'it je vektor 1 x K a /3 je vektor Kxl. uit je náhodná zložka Uit=lii + vit, (5.2) kde jii ~ IID(0,a2 ) a vit ~ IID(0,(72 ) sú na sebe nezávislé. Vybraný model je modelom fixných vplyvov, ktorý sa v makroekonomii používa častejšie, pretože individuálny vplyv reprezentuje vynechané premenné a je vysoko pravdepodobné, že charakteristiky špecifické pre jednotlivé entity sú korelované s ostatnými regre­ sormi. Zahrnutie oneskorenej vysvetľovanej premennej do regresie prináša so sebou niekoľko problémov. Keďže je yu funkcia jU,, y^t-\ je rovnako funkcia Preto je vysvetľujúca premenná y^t-1 korelovaná s náhodnou zložkou, a teda OLS estimátor je vychýlený a nekonzistentný pXimi-X'v) ^ 0 . (5.3) Ako popisuje Baltagi [11] pre model fixných vplyvov, Within transformácia odstráni z modelu člen ale (y^-i — yi-\) je stále korelované s (vif — v,.), pretože 63 64 KAPITOLA 5. DYNAMICKÉ MODELY PANELOVÝCH DÁT yi,t-\ je automaticky korelované s vř-., ktoré obsahuje v,-jř_i, a rovnako je vif korelované s ktoré obsahuje y#. Tento problém nezaniká s narastajúcim počtom individuálnych entít, takže Within estimátor je vychýlený a nekonzistentný pre veľké N a malé T. Nickell [67] odvodil, že vychýlenie sa približuje k nule, ak sa T blíži nekonečnu. Preto je model fixných vplyvov v prípade dynamických panelov vhodný len v prípade, ak je časový rozmer modelu T veľký. Existuje niekoľko návrhov na vylepšenie modelu fixných vplyvov v prípade dynamických panelov. Kiviet [53] odvodil aproximáciu pre vychýlenie v dynamickom modeli so sériovo nekorelovanými odchýlkami a silno exogénnymi regresormi. Everaet a Pozzi [30] používajú na upravenie vychýlenia interaktívnu bootstrapovú metódu, pričom s použitím Monte Carlo simulácie ukazujú, že v prípade modelov s menším T je táto metóda dobrou alternatívou k existujúcim odhadom dynamických modelov. Bun a Carree [24] odvodili asymptotické vychýlenie modelu fixných vplyvov pre konečné T a veľké N pri prítomnosti časovej aj prierezovej heteroskedasticity a ukázali, ako implementovať korekcie vychýlenia. Estimátor náhodných vplyvov GLS je v prípade dymanických paneloch taktiež vychýlený. Arellano a Bond [8] navrhli zovšeobecnenú metódu momentov (generalised method of moments, GMM). Ahn a Schmidt [1] odvodili doplňujúce nelineárne obmedzenia pre momenty, ktoré sa nenachádzali v estimátore Arellana a Bonda. Rozšírením tejto myšlienky sa neskôr zaoberali Arellano a Bover [9], Blundell a Bond [19] a iní. Všeobecným riešením je zavedenie inštrumentálnych premenných Z, ktoré sú vysoko korelované s regresormi modelu, ale nie sú korelované s v. plim(-Z'X) = £ z x ^ 0 , (5.4) plim(-Z'v) = 0. (5.5) n V ďalšej časti tejto práce sa budeme venovať niektorým konkrétnym prístupom. Bližšie popíšeme základné estimátory Andersona a Hsiaoa [6], Arellana a Bonda [8], Arellana a Bovera [9], momentové podmienky Ahna a Schmidta [1] a systémový estimátor Blundella a Bonda [19], ktoré tvorili východiská pre vznik ďalších estimátorov a prístupov. Každý zo spomenutých estimátorov má o niečo odlišný spôsob výberu inštrumentálnych premenných, rovnako ako samotný prístup k odhadu parametrov. Nasládne uvedieme prehľad a aplikáciu ďalších rozšírení týchto estimátorov a nových trendov v problematike dynamických modelov panelových dát. Na záver kapitoly sa čitateľ môže oboznámiť so základnými testami pre dynamické modely. KAPITOLA 5. DYNAMICKÉ MODELY PANELOVÝCH DÁT 65 5.1 Anderson-Hsiao estimator Estimator navrhovaný Andersonom a Hsiaom [6] je založený na diferencovanej forme pôvodnej rovnice 5.1 yu-yi,t-\ = S(y;; -i -yijt-i) + (4 -x 'i,t-i)P + v n ~ v i,t-u (5.6) ktorá ruší individuálne fixné vplyvy ktoré by mohli byťkorelované s exogénnymi premennými (E(jc-íJui) ^ 0). Vo vektorovej forme môžeme zapísať kde F —IN®FT a y = y_iS+X/3+ZM J u + v Fy = Fy xô+FXfi+Fv, Fj = í -1 1 0 0 -1 1 V 0 0 0 o o \ o o -1 i y s rozmermi ( ľ - l ) x ľ . Diferencovaná oneskorená vysvetľovaná premenná (5.7) yi,t-i -yif-2 = S(yi,t-2-yi,t-3) + (A,t-i ~A,t-i)$ + v,y-i - vŕ ; _2 (5.8) je aj napriek odstránenia individuálnych fixných vplyvov jasne korelovaná s diferencovanou náhodnou zložkou Vu — v^-i a estimátor je vychýlený. Anderson a Hsiao [6] navrhovali použitie úrovňových inštrumentov yR _2 alebo oneskorených diferencií y^t-2 — yij-3 ako inštrumentov pre diferencovanú oneskorenú vysvetľovanú premennú yř y_i — y^t-2- Môžeme predpokladať, že tieto inštrumenty sú nekorelované s diferencovanou náhodnou zložkou. V prípade použitia úrovňových inštrumentov máme: í yi,i yi,2 X; o X \3 X; A X 1.2 I 1.3 \ V yi,T-2 A,T~X 'i,T-l J yi,2-yt,\ yi,3 - yi,2 x 'i3 x 'i.2 lx iÁ x i,3 \ yi,T-l~yi,T-2 x i,T~x i,T-l J 66 KAPITOLA 5. DYNAMICKÉ MODELY PANELOVÝCH DÁT yi = I yi,3-yi,2 y/,4 - y/,3 \ yi,T-yi,T-\ J V prípade použitia oneskorených diferencií ako inštrumentov dostaneme: \-yi,i x 'i,4 " < 3 z,= yi,3 -yi,2 A, x i,4 V yi,r-2 - yi,r-3 X 'i,T ~~X 'i,T-l -yi,2 x 'i,4 -Aŕ yiA -yi,3 A, x i,4 \ yi,T-i -yi,T-3 X i,T ~~x 'i,T-l yi = AkZ=(Zh...,ZN),X=(Xh ( yi,4-yi,3 yi,5 - yi,4 \ yi,T-yi,T-i J XN),y=(yh---jN)&Y= (8 ,P')'i dostaneme YAH = (XPXyl X'Py, kde P = Z{Z'zyx Z'. (5.9) Z analýzy vlastností oboch navrhovaných inštrumentov vyplýva, že použitie úrovňových inštrumentov yr_2 je vhodnejšie, pretože má menšie rozptyly a taktiež výhodu v tom, že stratíme o jedno obdobie menej, čo môže byť dôležité hlavne v prípadoch malej časovej dimenzie modelu. Arellano a Bond [8] neskôr namietali, že hoci je Anderson-Hsiao estimator konzistentný, zabúda brať do úvahy všetky potencionálne podmienky ortogonality. 5.2 Arellano-Bond estimator 5.2.1 Odvodenie estimátoru Arellano a Bond [8] uvádzajú, že v dynamickom modeli panelových dát môžeme získať ďalšie inštrumentálne premenné, ak využijeme podmienky ortogonality, ktoré existujú medzi oneskorenou vysvetľovanou premennou yn a náhodnou zložkou yu. Arellano-Bond estimator zostavuje problém zovšeobecnenej metódy momentov (generalised method of moments, GMM), v ktorej je model špecifikovaný KAPITOLA 5. DYNAMICKÉ MODELY PANELOVÝCH DÁT 67 ako systém rovníc, jedna pre každé časové obdobie, kde máme pre každú rovnicu rôzny inštrument. Použili opäť rovnaký model 5.1, kde uu — \l[ + Vu, pričom \ii ~ IID(0, al) a vit ~ IID(0, e2 ) sú na sebe nezávislé. Podľa Baltagiho [11], ak chceme dosiahnuť konzistentný estimator ô keď N —> °° a T je fixné, použijeme prvú diferenciu, aby sme odstánili individuálne efekty a zároveň aj prípadnú endogénnu, ktorá mohla vzniknúť kvôli korelácii individuálnych vplyvov a regresorov: yit ~ yi,t—i = S{yi:t-i -yi:t-2) + (4 -*í,*-i)0 + (Vit - v '">'-i)- ( 5 - 1 0 ) Pre najjednoduchší prípad, t = 3, máme: yi3 - ya = S {yn - yn) + (xi3 - x'a)P + (va - vi2). (5.11) V tomto prípade sú ya, JC-2 a platným inštrumentom, pretože je vysoko korelovaný s (y/3 — ya) a nieje korelovaný s (v/3 — V/2), ak vít nie sú sériovo korelované a predpokladáme, že x je pevne určené. Pre t — A pozorujeme yi4-ya = 8(ya-ya) + (x'i4 - x'i3) p + (v/4 - V/3 ). (5.12) V tomto prípade máme inštrumenty pre y/4 —ya obe ^ j / i , ^ , ; ^ a x-3. Rovnakým spôsobom môžeme pokračovať v pridávaní platných inštrumentov v každom nasledujúcom období, takže pre T období máme množinu inštrumentov (yn,ya, • • • ^Í,T-IA\ÁI^ • • • AF-\)Inštrumentovaná rovnica má tvar: W'Fy = Wf Fy+Wf Fv, kde (5.13) ( yi,i-yi,\ yi,3 - yi,2 x 'i3 x '1.2 1 x iÁ x i3 \ yi,T-\-yi,T-2 A,T~A,T-\ J Wi o o [ya,yi2,x'n,x'a,x'i3 \yih---,yi,T-2,ýv-,úT-i] (5.: 4) 68 KAPITOLA 5. DYNAMICKÉ MODELY PANELOVÝCH DÁT pričom platí, že X = ( y _ i , X ) , / = (5,00 a W = (W{,W}f). Pretože operácia diferencovania zavádza do náhodnej chyby autokoreláciu prvého stupňa, musíme túto skutočnosť vziať do úhavy aj v prípade kovariančnej matice N V = W'GW = Y,Wi'GTWi. kde G = (IN G'j) a Gr = FjF't 2 - 1 0 -1 2 -1 0 - 1 2 V o o o o o o o o o o o o o o o o \ o o 2 - 1 0 -1 2 -1 0 - 1 2 / (5.15) (5.16) Prenásobenie maticou F vedie k transformácii pôvodných pozorovaní na diferencie. Kovariančná matica V — F F' je tzv. jedno- kroková kovariančná matica. Dvojkrokový G M M estimátor využíva rezíduá z jedno- krokového odhadu, z čoho vyplýva kovariančná matica, ktorú navrhol White [91] N V = Yí2 yu 5yi,t-i+Atfi+z 'iY+u it- (5.29) Ak predpokladáme, že poznáme pozorovanie v čase t — 0, môžeme si predefinovať T]' = (č,/3; , Y)aWi= \yi{-i),Xi, iTZ[} s yi{_x) = (yifl,... ,yi}T-\)'. Ak máme dostatočné množstvo inštrumentov na zachovanie identifikácie, G M M estimator definovaný v 5.26 ostáva konzistentný pre tento model. Matica inštrumentov Mi je rovnaká, zmení sa len prvé obdobie, ktoré je teraz t — 0, wř- = [xj0, • • • ,x-r ,Z-]'. Nastáva však prípad, kde rovnaká množina inštrumentov mř- je vhodná pre všetky rovnice a môžeme použiť Mi — IT®Y^Í bez zmenenia estimátoru. Dôsledkom toho, dostaneme estimator aplikáciou trojstupňovej metódy najmenších štvorcov (3SLS) na pôvodný systém s použitím m, ako vektoru inštrumentov pre všetky rovnice: í? = - i . ^{Wi®mi)\Cl®^mim\)-l Yä{Wi®mi)\ £ ( ^ ® m ř - ) ' Í i i i x{či®Y,m im 'i)~l YJ 3. Pri absencii ďalších obmedzení modelu, Blundell a Bond [19] odvodili m — \{T — l)(r — 2) podmienok ortogonality, ktoré sú lineárne v parametri ô E(yi,t-sÁVit) = 0 pre T = 3,..., T a s > 2, (5.38) kde AVit — Vit — Tieto podmienky závisia na predpokladanej nulovej korelácii V spolu s podmienkou 5.37. Momentové podmienky v 5.38 môžu byť vyjadrené ako 74 KAPITOLA 5. DYNAMICKÉ MODELY PANELOVÝCH DÁT E(Z&) = 0, kde Z- je matica rozmerov (T — 2) x m (5.39) Zi (yi 0 0 0 yi y2 V 0 0 0 0 0 >'i o \ o yr-2 ) (5.40) a e; je (T — 2) vektor (Av^,..., Av^)'. G M M estimator založený na týchto momentových podmienkach minimalizuje kvadratickú vzdialenosť (e-ZAjvZ'e;) pre určitú metriku AJV, kde Z' je mx N(T — 2) matica (Z[,...,Z'N) a ě' = (ě[, je vektor rozmeru N (T — 2). Z tohto je odvodený G M M estimator pre ô: J dif (y'_lZANZ'y_x) l y_lZANZ'y, (5.41) kde y-je (J-2) vektor A y a , . . . , Ayí T , y-_i je ( r - 2 ) vektor A y a , . . . ,Ayí ) T _i ay a y_] sú zložené rovnakým spôsobom ako u. Rôzne možnosti výberu majú za následok rôzne G M M estimátory založené na momentových podmienkach definovaných v 5.38. Vo všeobecnosti sú optimálne váhy definované ako N (5.42) í=l kde ei sú rezíduá z pôvodného konzistentného estimátoru. Táto metóda je zhodná z dvoj- krokovým G M M estimátorom Arellana a Bonda [8], kde N AN = (N'1 £ Z ; G Z , - ) Í=I - i (5.43) kde G je matica z 5.16. 5.5.2 Nelineárne momentové podmienky Ako uvádzajú Blundell a Bond [19], niekoľko ďalších autorov vrátane Ahna a Schmidta [1] navrhujú použitie ďalších (T — 3) nelineárnych momentových podmienok, ktoré povolia využitie oneskorených diferencií yu ako inštrumentov, pretože často nastáva situácia, že pôvodne použité inštrumenty sú slabé. Nelineárne podmienky autori definovali ako E(uitAyiít-i) = 0 , pre t = 4,5,..., T, (5.44) KAPITOLA 5. DYNAMICKÉ MODELY PANELOVÝCH DÁT 75 ktoré sú implikované podmienkami 5.35 - 5.37 a zvyšujú výdatnosť estimátoru. Použitie oneskorených diferencií ako možných inštrumentov navrhovali už Arellano a Bover [9]. Keďže Ayi2 je pozorované, odvodili autori ďalšiu dostupnú podmienku B{uiAya) = 0. (5.45) na základe podmienok 5.44 a 5.45 je výpočet G M M estimátoru založený na systéme (T — 2) rovníc prých diferencií a (T — 2) úrovňových (level) rovníc 5.34, zodpovedajúcich t = 3,..., T, pre ktoré existujú inštrumenty. Matica inštrumentov pre tento systém je potom definovaná ako Z? (z, 0 0 . 0 \ 0 Ayc 0 . 0 0 0 Ay/3 • 0 0 V 0 0 0 . •• tyi,T- 1 / (5.46) kde Z,- je definovaná rovnako ako v 5.40 a výpočet dvoj- krokového G M M estimátoru je analogický k 5.41. 5.5.3 Praktická aplikácia Blundell a Bond [19] následne aplikovali Monte Carlo simuláciu na preskúmanie nimi navrhnutých estimátorov. Vzali do úvahy dva modely Model A : yit = 8yif-i + jU; + Vit (5.47) a Model B: yit = S y M _ i + (1 - 8)m + vf t , (5.48) pre i — 1,... 7N a t — 2,..., T, pričom \i[ a Ví f sú vzájomne nezávislé IID(0,1) náhodné premenné. V obidvoch prípadoch generovali počiatočnú podmienku y,i ako yn = YTŠ + ^ih (5.49) kde un je IID ^(0,(7^) náhodná premenná, nezávislá na a yu a s rozptylom spĺňajúcim stacionaritu. Ich výsledky sú založené na 1000 Monte Carlo replikáciách. V článku skúmali tri G M M estimátory: DIF: štandardný G M M estimátor prvých diferencií, založený na momenových podmienkach 5.38, 76 KAPITOLA 5. DYNAMICKÉ MODELY PANELOVÝCH DÁT SYS: systémový G M M estimátor, založený na momentových podmienkach 5.38, 5.44 a 5.45, ALL: systémový G M M estimátor, založený na momentových podmienkach 5.38, 5.44 a 5.45 a navyše s obmedzeniami E(yuuu — y ^ - i w ^ - i ) = 0 pre t — 3,..., T, ktoré vyplývajú z 5.45 a z podmienky homoskedasticity. Veľkosť vzorky v simulácii bola postupne N = 100,200 a 500, T — 4 a 8, a 5 sa menila od 0,0 do 0,9. Hlavným výsledkom bol slabý výkon G M M estimátoru prvých diferencií pri veľkým hodnotách ô a dramatické zlepšenie po pridaní podmienok 5.44 a 5.45. Zistili, že pre ô = 0,8 a 0,9 je GMM(DIF) vychýlený nadol a poskytuje nepresné odhady, najmä v modeli A. Naopak, vypozorovali omnoho menšie skreslenie a lepšiu presnosť odhadov pri použití GMM(SYS) a GMM(ALL), kde napr. pre ô = 0,8 a N = 200 je štandardná odchýlka (RMSE) pre GMM(SYS) len 20% štandardnej odchýlky pre GMM(DIF). Ďalej, vychýlenie kvôli konečnej vzorke je menšie pre model B, hoci aj v tomto prípade lepšie fungujú systémové estinátory. Slabý výkon GMM(DIF) sa zlepšuje pre väčšie T. Zlepšenie po pridaní podmienok homoskedasticity je menšie ako predpokladané, kde napr. pre <5 = 0 , 9 a r = 4je štandardná odchýlka GMM(ALL) okolo 85% štandardnej odchýlky GMM(SYS) v modeli A, ale pre 7 = 11, resp. pre model B, simulácia neukázala žiadne zlepšenie. 5.6 Ďalšie rozšírenia dynamických estimátorov 5.6.1 Vylepšenia GMM estimátoru Existuje veľké množstvo literatúry zaoberajúcej sa hľadaním optimálneho lineárneho G M M estimátoru. Štandardným postupom bolo použiť prvé diferencie na odstránenie nepozorovateľnej heterogenity a použitie oneskorených premenných ako inštrumentov, ako napr. v prístupe Arellana a Bonda [8]. Avšak v dynamickom modeli panelových dát sa často stretávame s krátkymi a vysoko autokorelovanými časovými radami, a preto je štandardný G M M estimátor vychýlený a nedáva presné výsledky v simuláciách, čím sa zaoberali napr. Ahn a Schmidt [1], alebo Alonso-Borrego a Arellano [3]. Článok Alonsa-Borrega a Arellana [3] je motivovaný vychýlením v estimátore inštrumentálnych premenných v modeloch panelových dát v prípade, že inštrumenty sú slabé. Dynamický model panelových dát generuje príliš veľa obmedzení aj pre nie tak veľké hodnoty T. Počet inštrumentov ďalej rastie so zvyšujúcim sa T, ale kvalita týchto inštrumentov je často slabá, pretože sú len málo korelované s prvými diferenciami endogénnych premenných, ktoré sa v rovnici nachádzajú. Preferujú metódu maximálnej vierohodnosti pred 2SLS estimátorom, ak počet inštrumentov rastie, keď vzorka smeruje k nekonečnu. Odvodzujú symetricky KAPITOLA 5. DYNAMICKÉ MODELY PANELOVÝCH DÁT 77 normalizovaný G M M (symetrically normalized G M M , SNM) a porovnávajú ho s pôvodným G M M , rovnako ako aj s M L estimátorom. Z výsledkov vyplýva, že v prípade slabých inštrumentov je G M M vychýlený v porovnaní so SNM a ML, ktoré ostávajú nevychýlené. M L a SNM však vždy majú väčšie interkvartilové rozpätie ako G M M . Rozšírením štandardného G M M estimátoru je zavedenie doplňujúcich momentových podmienok, ktoré vylepšujú vlastnosti odhadov parametrov, ako to spravili Ahn a Schmidt [1], alebo Blundell a Bond [19]. Blundell, Bond a Windmeijer [20] skúmali výkon systémového G M M estimátoru, ktorý závisí na relatívne slabých obmedzeniach na počiatočnú podmienku, a tak vylepšuje výkon štandardného G M M estimátoru v dymanickom modeli panelových dát. Rozšírili estimátory Arellana a Bovera [9] a Blundella a Bonda [19] na model so slabo exogénnymi regresormi. Tento ich rozšírený G M M estimator vykazuje väčšiu výdatnosť ako štandardný G M M estimator. Ich simulácia sa zamerala na vlastnosti G M M estimátorov v dynamických modeloch s endogénnymi regresormi. Aj oni zistili veľké vychýlenie a malú presnosť odhadov pre štandardný estimator prvých diferencií, systémový G M M zlepšuje presnosť a redukuje vychýlenie, no zároveň navrhli nelineárny G M M estimator, ktorý je vhodný v aplikáciách, kedy je validita počiatočných podmienok systémového G M M zamietnutá. Hahn [40] skúmal úlohu počiatočnej podmienky, ktorú predložili Blundell a Bond [19] vo svojom estimátore. Porovnal semiparametrický prístup v prípade použitia počiatočnej podmienky a bez nej, aby preskúmal nárast výdatnosti modelu. Na základe numerického porovnania pre viaceré prípady kombinácie parametrov, zistil, že nárast výdatnosti po zavedení počiatočnej podmienky podľa Blundella a Bonda [19], a teda dodatočná podmienka stacionarity je pre model podstatná. Bond a Windmeijer [21] vyjadrili nepozorovatelný individuálny efekt vektorom pozorovaní oneskorenej vysvetľovanej premennej, tzv. projekciou. Tento prístup vedie k estimátorom, ktoré sú totožné s G M M estimátormi bez počiatočnej podmienky (napr. Arellano a Bond [8]) aj s estimátormi, ktoré spĺňajú počiatočnú podmienku stacionarity (napr. Blundell a Bond [19]). Estimátory projekcie ako prvý navrhol Chamberlain [26]. Základná ideaje vziať do úvahy redukovanú formu rovníc vzťahujúcich sa k endogénnym premenným v každom období v porovnaní s celou časovou radou pozorovaní na exogénnych premenných. Parametre sú potom určené obmedzeniami na maticu redukovanej formy koeficientov a odhadnuté použitím metódy minimálnej vzdialenosti. Ruud [76] ukázal, že parametre môžu byť odhadnuté aj jednoduchším spôsobom, z jednoduchej OLS regresie endogénnej premennej yu na exogénne premenné xu ako aj na každé z pozorovaní xn,..., xn, čo sa dá dosiahnuť aplikovaním podmienky konstantnosti parametrov v čase. V následnej Monte Carlo simulácii Bond a Windmeijer [21] ukázali, že nimi navrhnutý estimator projekcie poskytuje dobré výsledky, čo sa týka vychýlenia a presnosti kvôli malým vzorkám a pre niektoré prípady je významným vylepšením systémo- 78 KAPITOLA 5. DYNAMICKÉ MODELY PANELOVÝCH DÁT vého G M M estimátoru z hľadiska vychýlenia a výdatnosti. Kruiniger [54] sa zaoberal G M M estimátorom jedoduchého dynamického modelu panelových dát bez exogénnych regresorov. Navrhol dvoj- krokový optimálny lineárny G M M estimator, ktorý je asymptoticky ekvivalentný s optimálnym nelineárnym estimátorom Ahna a Schmidta [2]. Kruiniger [54] dokázal, že ak sa v modeli nachádza jednotkový koreň, vo väčšine prípadov je optimálny lineárny G M M estimator konzistentný za platnosti viacerých predpokladov. 5.6.2 Metóda maximálnej vierohodnosti Dynamické modely panelových dát využívajú okrem bližšie popísaných estimátorov aj mnoho ďalších a v priebehu času sa výskum v tejto oblasti dramaticky rozširuje. Okrem momentovej metódy G M M sa viacerí ekonometri zaoberajú aj metódou maximálnej vierohodnosti (maximal likelihood, ML). Hoci nieje možné obsiahnuť všetky prístupy a estimátory, v tejto časti sa stručne pozrieme na niektoré z nich. Pokúsime sa postupovať chronologicky, hoci mnohé z estimátorov vznikali paralelne. Zameriame sa rovnako na články porovnávajúce rôzne prístupy k dynamickým modelom panelových dát. Wansbeek a Bekker [89] skúmali jednoduchý dynamický model panelových dát bez exogénnych regresorov, náhodnou zložkou uu a náhodnými vplyvmi ktoré sú nezávislé a rovnako rozdelené. Odvodili výraz pre optimálny estimator inštrumentálnych premenných, ktorý má najmenší asymptotický rozptyl. Zistili, že pre autoregresný parameter ô je vhodnejší M L estimator. Rozdiel medzi estimátorom inštrumentálnych premenných alebo G M M estimátorom a M L estimátorom môže byť zmenšený pridaním momentových obmedzení takého typu, ako uvádzali Ahn a Schmidt [1]. Preto Wansbeek a Bekker [89] upozorňovali na potrebnosť zavádzania týchto nelineárnych momentových obmedzení, ak nechceme stratiť efektívnosť modelu v porovnaní s M L estimátorom. 5.6.3 Estimator dlhých diferencií Hahn, Hausman a Kuersteiner [41] namierili svoju pozornosť na riešenie problému vychýlenia v G M M estimátore použitím techniky tzv. dlhých diferencií (long difference, LD). Vychádzali pritom z práce Grilichesa a Hausmana [38], ktorí zistili, že vychýlenie je menšie, ak sa použijú dlhé diferencie v náhodných chybách. Tento prístup rovnako zvyšuje výpovednú hodnotu inštrumentov, čo ešte viac zmenšuje vychýlenie, rovnako ako štandardné chyby estimátoru. Na svoj výskum použili Hahn, Hausman a Kuersteiner [41] aproximáciu slabých inštrumentov podľa Staigera a Stocka [81] a Stocka a Wrighta [83]. Použili štandardný dynamický model KAPITOLA 5. DYNAMICKÉ MODELY PANELOVÝCH DÁT 79 yä = 8yij-i+Hi + Vit (5.50) s nasledujúcimi podmienkami V ^ I I L K O , ^ 2 ) , (5.51) a ^ # ( 0 , 0 ? ) . (5.52) Ukázali, že G M M estimator Arellana a Bonda [8] založený na transformácii 5.10, môže byť znázornený ako lineárna kombinácia 2SLS estimátorov, a preto sa stretávame s podstatných vychýlením. Ich technika použitia dlhých diferencií je založená na jedinej rovnici yiT -yn = 8(yi:T-\ -yn) + iyiT - va ), (5.53) kde ako inštrument použili y;o a podľa Ahna a Schmidta [1] aj rezíduá y;,r-i — 8yi,T-2, ••••>yi2 — Syn - Takto definovaný estimator nazvali estimator dlhých diferencií (LD). V následnej praktickej aplikácii ukázali, že pre T — 4 je vychýlenie L D estimátoru niekoľkonásobne menšie, ako v prípade zahrnutia všetkých momentových podmienok podľa Ahna a Schmidta [1], resp. použitia estimátoru Blundella a Bonda [19], hlavne pre vyššie hodnoty ô. Rovnako L D estimator využíva menší počet inštrumentálnych premenných, čo opäť vedie k menšiemu vychýleniu odha­ dov. 5.6.4 Ďalšie prístupy k dynamickým modelom panelových dát Kvalitný prehľad vývoja literatúry na tému dynamických modelov panelových dát poskytuje Baltagi [11], preto bude značná časť nasledujúcej sekcie prevzatá práve od neho a doplnená novšími prístupmi, ktorými sa vo svojej knihe nezaoberal. Keane a Runkle [51] navrhli estimator berúc do úvahy všeobecnú variačnúkovariačnú štruktúru náhodnej zložky. Táto metóda eliminuje sériovú koeláciu v dátach, zatiaľ čo zachováva využitie vopred daných inštrumentov na dosiahnutie konzistentých odhadov parametrov. Napr. v modeli náhodných vplyvov, nemôžeme využiť dvojstupňovú metódu najmenších štvorcov (2SLS) ako v modeli fixných vplyvov, pretože sa v ňom nachádza sériová korelácia, ktorá je invariantná naprieč jednotlivcami, Q.TS = E(uu') — /JV ® Ers-1 4 Ziliak [93] sa zaoberal problémom trade-off medzi vychýlením a stratou výdatnosti v G M M estimátore pri zvyšovaní počtu momentových podmienok. Zistil, že 2SLS estimator navrhovaný Keanem a Runklem [51] pracuje najlepšie, keď TS označuje časovú zložku modelu panelových dát, time- series. 80 KAPITOLA 5. DYNAMICKÉ MODELY PANELOVÝCH DÁT berieme do úvahy trade-off medzi vychýlením a efektívnosťou, pretože odstraňuje sériovú koreláciu a aj napriek tomu zachováva ortogonalitu v pôvodnej množine inštrumentov. Ďalej poukázal na to, že nadbytočné identifikované obmedzenia sú splnené s menšou pravdepodobnosťou, kvôli slabej korelácii medzi inštrumentami a endogénnymi regresormi. V takom prípade 2SLS estimátor poskytuje menšie vychýlenie ako G M M , rovnako ako aj väčší nárast výdatnosti. Hahn [39] uvažuje asymptotický výdatný estimátor dynamického modelu panelových dát so sekvenčnými momentovými obmedzeniami, ak sú pozorovania nezávislé a rovnako rozdelené. Poukázal na to, že G M M estimátor so zväčšujúcou sa množinou inštrumentov ako sa zväčšuje pozorovaná vzorka dosahuje semiparametrickú hranicu výdatnosti modelu. Rovnako vysvetlil, ako môžu byť Fourierove rady a polynomy použité ako množina inštrumentov na získanie výdatného odhadu. Jeho estimátor má pri použití konečnej vzorky podobné vlastnosti ako estimátor Keaneho a Runkleho [51]. Crépon, Kramarz a Trognon [28] argumentujú, že v dynamických modeloch panelových dát, ak berieme do úvahy ortogonálnu množinu podmienok, je možné rozdeliť parametre na parametre, ktoré nás zaujímajú (parameters of interest) (ako napr. <5) a tzv. nepodstatné parametre (nuisance parameters) (ako napr. členy druhého rádu v autoregresnom modeli). Poukázali na to, že odstránenie týchto nepotrebných parametrov a použitie ich empirických náprotivkov nespôsobí stratu výdatnosti, ak odhadujeme tzv. zaujímavé parametre. Odhady ďalších, nepodstatných parametrov však nie sú také výdatné ako pri použití celej množiny podmienok. Andrews a Lu [7] vytvorili konzistentný model a kritéria výberu momentov pre GMM, ktoré sú schopné vybrať správny model a momenty s pravdepodobnosťou smerujúcou k 1, keď vzorka smeruje k nekonečnu. Tento prístup aplikovali na dynamické modely panelových dát s nepozorovatelnými individuálnymi vplyvmi. Kritéria výberu môžu byť použité na vybratie dĺžky oneskorenia závislých premenných, na určenie exogenity nezávislých premenných a na určenie existencie korelácie medzi niektorými z regresorov a individuálnymi vplyvmi. Choi, Mark a Sul [27] sa zaoberali odvodením a aplikáciou techniky rekurzívnych priemerov (recursive mean adjustment, RMA), ktorá redukuje vychýlenie odhadov lineárnych dynamických modelov panelových dát. Vychádzali z práce Soa a Shina [80], ktorí ukázali, že R M A stratégia je užitočná na zníženie vychýlenia v jednoduchej regresii a v kontexte testovania jednotkového koreňa. Použili model yu =pxit + iii + Vit, (5.54) p v it = EP;v *V-y +e ^ (5 -5 5 ) ;=i kde xit je striktne exogénne, E(xitvis) = 0, & ~ IID(jU, o£), V/i ~ IID(0, o f / ( l - KAPITOLA 5. DYNAMICKÉ MODELY PANELOVÝCH DÁT 81 p2 )) pre p = Yľj=\Pj a £ it ~ HD(0,of) je nezávislé na a yn a má konečné momenty až do štvrtého stupňa, a počiatočná podmienka je stacionárna, rovnako ako v Blundell a Bond [19]. Model 5.54-5.55 je ekvivalentný s dynamickým modelom p-i p yu = pyi,t-1 + £ Ayi,t-j+Pyu + £ + nf + eit, (5.56) j=\ i=\ kde nf = (! - P)MÍ> P = LJĽi P> 0/ = P; + 0y-1 pre / = 2,...,/? - 1 s 0i = ~T.k=2Pk &K l = —fipl pre / = 1 , Z tohto modelu odvocili R M A estimátor pre p, 0j a K/ . Následnou Monte Carlo simuláciou na niekoľkých prípadoch (AR( 1), AR(2) proces, nezávislé pozorovania, exogénne regresory, závislé pozorovania) s malým T a väčším N zistili, že R M A estimátor efektívne zmierňuje problém vychýlenia v konečných vzorkách v porovnaní s Within estimátorom (LSVD). Podobné výsledky obdržali aj pre všeobecnejší prípad AR(p) modelu s použitím jednoduchého dvoj- krokového prístupu k odstráneniu vychýlenia. Výkon R M A je o to význanejší, čím väčšie hodnoty p nadobúda (v akýchto prípadoch je vychýlenie G M M a LSVD estimátoru obzvlášť veľké). Gourieroux, Phillips a Yu [36] navrhli zavedenie techniky nepriamej inferencie (indirect inference), ktorá odstraňuje problém vychýlenia v dynamických panelových modeloch. Metodológia nepriamej inferencie bola ako prvými zavedená Gourierouxom, Monfortom a Renaultom [35]. Ide o nepriamu metódu odhadu založenú na simulácii, kde v prvom krokuje skúmaný dodatočný parameter a metóda jeho odhadu. Tá je následne aplikovaná na pozorovania a na simulované hodnoty zo skutočného modelu a spojená s hodnotou parametru, ktorý nás zaujíma. Tento parameter je potom nakalibrovaný tak, aby sme dosiahli hodnoty blízke dvom odhadom dodatočného, pridaného parametru. Výsledný odhad parametru nášho záujmu má vhodné asymptotické vlastnosti, ak je dodatočný parameter a metóda odhadu dobre vybraná. Výhodami techniky nepriamej inferencie sú podľa Gourierouxa, Phillipsa a Yua [36], že kalibruje funkciu vychýlenia pomocou simulácie, čo znamená, že nieje potrebná presná forma vychýlenia ako v iných metódach, ktoré upravujú vychýlenie. Táto metóda je rovnako aplikovateľná na veľké množstvo modelových špecifikácií vrátane nelineárnych modelov. Ďalšou výhodou je, že prístup k odstráneniu vychýlenia môže byť použitý s rôznymi odhadovými metódami, ako napr. M L alebo LSDV, čo môže viesť k preneseniu vhodných vlastbostí týchto pôvodných estimátorov. Metóda nepriamej inferencie podáva dobré výsledky pre ľubovoľné hodnoty T a N. Y následnej Monte Carlo simulácii Gourieroux, Phillips a Yu [36] ukázali, že metóda nepriamej inferencie poskytuje lepšie výsledky ako predtým existujúce metódy. 82 KAPITOLA 5. DYNAMICKÉ MODELY PANELOVÝCH DÁT 5.6.5 Porovnanie rôznych dynamických estimátorov Alvarez a Arellano [4] sa zaoberali asymptotickými vlastnosťami modelu fixných vplyvov (FE), jedno-krokového G M M a nerobustného M L estimátoru pre autoregresné modely prvého stupňa, v prípade, že obe N aj T smerujú k nekonečnu s (N/T) —)• c pre 0 < c < 2. Pre takýto autoregresný model je FE estimátor nekonzistentný pre fixné T a veľké N, ale stáva sa konzistentným, ako sa T zväčšuje. G M M je konzistentný pre fixné T, ale počet podmienok ortogonality sa zvyšuje s T. Alvarez a Arellano [4] poukázali na to, že pre T °°, G M M a M L sú konzistentné a asymptoticky ekvivalentné FE estimátoru. Ak T/N —> 0, FE vykazuje značné vychýlenie, hoci je konzistentný. Ak T/N —> c, kde 0 < c < 2, všetky tri estimátory sú konzistentné. Aj napriek tomu FE, G M M a M L vykazujú vychýlenie vo svojich asymptotických rozdeleniach, vychýlenia sú rovné l/T, l/N a l/(2N — T) v tomto poradí. Keďže sme si na začiatku určili, že T < N, asymptotické vychýlnie G M M je vždy menšie ako asymptotické vychýlenie FE a asymptotické vychýlenie M L je najmenšie. Ak T — N, potom sú všetky tri etimátory vychýlené rovnako. Bun a Kiviet [25] analyzujú správanie FE, GLS a súboru G M M estimátorov v dynamických modeloch panelových dát s individuálnymi vplyvmi a pridaným regresorom. Pridaný regresor môže byť korelovaný s individuálnymi vplyvmi a je vopred určený. Asymptotické rozšírenie indikuje, ako veľkosť vychýlenia týchto estimátorov závisí na N a T. Vychýlenie FE a GLS je dané (l/T) a nezávisí na N, naopak vychýlenie G M M je dané (l/N) a predpokladá fixné T. Taktiež dospeli k názoru, že vychýlenie G M M estimátorov sa zväčšuje s narastajúcim počtom momentových podmienok. Ukázali, ako vychýlenie rôznych estimátorov závisí na charakteristikách modelu ako napr. významnosti individuálnych vplyvov a korelácii medzi pozorovanou a nepozorovatelnou heterogenitou. Flannery a Hankins [31] vo svojom článku porovnali štatistické vlastnosti alternatívnych metód odhadu v dynamických modeloch panelových dát, konkrétne OLS, estimátor fixných vplyvov (FE), Arellano a Bond G M M estimátor [8], Blundell a Bond systémový G M M estimátor [19], dva estimátory dlhých diferencií (Hahn, Hausman a Kuersteiner [41] a Huang a Ritter [48]) a upravenú metódu najmenších štvorcov Kivieta [53](corrected least squares). Simulovali dáta, ktoré pripomínajú reálne finančné dáta spoločností (vysvetľovanou premennou je cieľový pomer dlhov k vlastnému kapitálu firmy). Okrem vzorky nasimulovanej z IID rozdelenia, použili aj simuláciu s použitím kovariančnej štruktúry generovanej z reálnych dát z databázy Compustat. Z výsledkov simulácie zistili, že väčšina KAPITOLA 5. DYNAMICKÉ MODELY PANELOVÝCH DÁT 83 navrhovaných estimátorov dáva pomerne presné odhady koeficientov, keď sú dáta a rezíduá generované z IID rozdelenia náhodných chýb. S použitím vysvetľovaných premenných zodpovedajúcich dátam z databázy Compustat, odhady koeficientu oneskorenej vysvetľovanej premennej ostal spoľahlivý, ale odhadnuté chyby niektorých koeficientov regresorov sa dramaticky zväčšili. Metóda navrhnutá Kivietom [53] je najpresnejšia naprieč rôznymi podmienkami, no na druhej strane jej aplikácia pre veľké vzorky je príliš zložitá. Okrem tejto metódy, G M M estimátory Arellana a Bonda [8] a Blundella a Bonda [19] podávali najkonzistentnejšie výsledky zo všetkých ostatných prístupov. 5.7 Testovanie v dynamických modeloch panelových dát V prípade dynamických modelov panelových dát existuje niekoľko aplikovateľných testov, ktoré je vhodné použiť. V tejto sekcii sa pozrieme na krátky prehľad týchto testov. Veľké množstvo testov pre dynamické modely vychádza zo svojej statickej podoby a sú len rozšírením testov, ktoré uvádzame v kapitole 4. Sargan - Hansenov test Dynamické modely panelových dát používajú metódu inštrumentálnych premenných, preto je dôležité aplikovať Sargan-Hansenov test nadbytočnej identifikácie, resp. vhodnosti voľby inštrumentov. Test v tomto prípade funguje na rovnakom princípe ako pri modeloch prierezových dát, avšak v prípade panelových dát test málokedy zamietne nulovú hypotézu o vhodnosti vybraných inštrumentov v prípade, že T je dostatočne veľké pre dané N. Arellano a Bond [8] uvádzajú vo svojom článku špecifikáciu testu predefinovaných obmedzení Sargana [77], [78] a Hansena [42] v tvare s = v'Z(^Zftv'iZi)-1 Z'v (5.57) Í=I pre maticový zápis modelu y = XÔ + v, (5.58) kde v = y — X<5 a <5 je G M M odhad ô pre dané Z. Štatistika s má za platnosti nulovej hypotézy, že použité inštrumenty sú validné, %2 rozdelenie s {p — k) stupňami voľnosti, kde p je počet stĺpcov Z v prípade, že p> k. 84 KAPITOLA 5. DYNAMICKÉ MODELY PANELOVÝCH DÁT Waldov test Waldov test sa používa na testovanie homogenity dynamických modelov panelových dát. Máme model: yit = 8iyi:t-i + uit, (5.59) ktorý sa od jednoduchého modelu použitého napr. v 5.31 líši heterogenitou koeficientu ô. Nulová hypotéza homogenity je Ho : <5; = ô pre všetky i. Je známe, že pre konečné vzorky Waldov test trpí skreslením, ktoré je vážnejšie v modeloch s veľkým N. Často sa preto využíva asymptotický prístup. Podrobnejšie sa týmto testom zaoberajú napr. Phillips a Sul [71]. Modifikovaný Hausmanov test Ako uvádzajú Phillips a Sul [71], Waldov test neposkytuje dobré výsledky pri veľkom /V, preto sa ako lepšia alternatíva pri skúmatí homogenity dynamických modelov panelových dát uvádza Hausmanov test, resp. jeho modifikovaná podoba. Nulová hypotéza zostáva nezmenená, HQ : <5ř = ô pre všetky i. Hausmanov test, však na rozdiel od Waldovho testu pracuje s ortogonalizáciou, ktorá uplatňuje implementáciu testov jednotkového koreňa pre modely panelových dát, v ktorých sa vyskytuje prierezová závislosť. Tento postup zahŕňa iteračnú metódu momentov na odhadnutie parametrov závislosti prierezových premenných a odstraňuje túto závislosť vhodnou projekciou. Modifikovaný Hausmanov test je ďalším rozšírením Hausmanovho testu. Pre Hausmanov test individuálneho vplyvu, viz. sekcia 2.3.4. Test autokorelácie rezíduí Ďalším dôležitým testom je test autokorelácie rezíduí. Rezíduá v diferencovanej rovnici sú automaticky sériovo korelované, ale za predpokladu sériovej nezávislosti pôvodných náhodných chýb, by diferencované rezíduá nemali vykazovať významné AT?(2) správanie. Ak je zachytená významná AR(2) štatistika, hodnoty oneskorené o dve obdobia nebudú vhodnými inštrumentami. Ak je T dostatočne veľké, máme rovnako aj veľký počet oneskorení a teda aj množstvo možných inštrumentov (hoci na úkor straty výdatnosti). Dostatočné množstvo testov na skúmanie autokorelácie v modeloch panelových dát uvádzame v sekcii 4.3.1. Ich rozšírenie pre dynamické modely je nad rámec tejto práce. Testovanie individuálneho vplyvu Holtz-Eakin [47] odvodil jednoduchý test na zistenie individuálneho vplyvu v dynamických modeloch panelových dát. Základná idea, uvádza Baltagi [11], môže KAPITOLA 5. DYNAMICKÉ MODELY PANELOVÝCH DÁT 85 byť znázornená na jednoduchom modeli: yit = 8yif-\+uit i=l,...,N í = l , . . . , 7 \ (5.60) Baltagi [11] predpokladá, že máme len tri obdobia, T = 3. Potom môžeme model odhadnúť pomocou posledných dvoch období. V prípade platnosti nulovej hypotézy neexistencie individuálneho vplyvu, platia nasledujúce podmienky ortogonality: E(yj,iKj,2)=0 E(yi ) iiíi ) 3 ) = 0 E(yi ) 2 Uj,3) = 0 (5.61) Keďže máme tri podmienky na určenie jedného parametru, môžeme dve z nich (ktoré sú v tomto prípade navyše) použiť na určenie individuálneho vplyvu. Môžeme ich prepísať ako: E t y ; , i ( M * - , 3 - " ; , 2 ) ] = ° ( 5 - 6 2 ) E ( y ; , i M =0 (5.63) E(yi ) 2«i,3) = 0. (5.64) Obmedzenie 5.62 postačí na identifikáciu ô. Nulová hypotéza individuálneho vplyvu využíva druhú a tretiu rovnicu ombedzenia, 5.63 a 5.64. Test individuálneho vplyvu je vlastne testom toho, či vybrané momenty zodpovedajúce týmto obmedzeniam sú dostatočne blízke nule. Model môžeme rozpísať ako: {yi-yi) = ( y 2 - y i ) 5 + ( « 3 - w 2 ) (5.65) y2 = yi<5 + W2 (5.66) y3=yi<> + «3, (5.67) alebo: y* = Y*8 + u*, (5.68) kde y*' = (y; 3 -y'2 ,y3 ,y2 ), Y*' = (y2-y'vy2,y[) au*' = (u'3-u2,u'3,u2). HoltzEakin [47] odhadol systém simultánnych rovníc s rôznymi inštrumentálnymi premennými pre každú rovnicu, kvôli dynamickej povahe týchto rovníc. Po aplikovaní GLS, vypočítaní súčtu štvorcov rezíduí, váženého súčtu štvorcov transformovaných rezíduí, dostaneme %2 štatistiku potrebnú na testovanie nulovej hypotézy. 86 KAPITOLA 5. DYNAMICKÉ MODELY PANELOVÝCH DÁT Záver V tejto práci sme sa venovali problematike panelových dát. Cieľom bolo identifikovať aktuálne problémy špecifické pre modely panelových dát a prácu s nimi. Snažili sme sa čitateľovi poskytnúť súhrnný prehľad literatúry zaoberajúcej sa modelmi panelových dát. Popísali sme niekoľko základných typov modelov, ich predpoklady, špecifiká, problémy, ako aj dostupné praktické aplikácie. V prvej časti sme sa zamerali na modely fixných a náhodných vplyvov, korešpondujúce estimátory a diagnostické testy v týchto modeloch. Každý z týchto modelov sa používa v špecifických situáciách. Model fixných vplyvov je konzistentný vo všetkých situáciách, ale neumožňuje odhad premenných nemeniacich sa v čase (tie sú súčasťou individuálneho vplyvu). Naopak, nastáva tu problém korelácie fixného vplyvu s niektorou vysvetľujúcou premennou. V prípade, že chceme odhadnúť aj vplyv v čase sa nemeniacich premenných, je lepšie použiť model náhodných vplyvov, ktorý tieto zahŕňa ako vysvetľované premenné. Existuje niekoľko testov, ktoré skúmajú, či sú individuálne vplyvy relevantné (a či teda nie je korektný súhrnný model). Hausmanov test overuje korektnosť použitia modelu náhodných vplyvov (či nenastáva problém s endogenitou, ktorú by bolo treba zohľadniť, napr. použitím estimátoru metódy inštrumentálnych premenných). V modeloch panelových dát sa rovnako testuje aj splnenie predpokladov modelu, predpokladu homoskedasticity, neexistencie autokorelácie a normality. Testy heteroskedasticity a autokorelácie v modeloch panelových dát existujú, no často nie sú aplikovateľné a zakomponované v ekonometrických softwaroch. Dôvodom je hlavne to, že návrhy riešení bývajú modelovo špecifické a záleží na presnej forme heteroskedasticity či autokorelácie. Dané riešenie nie je korektne aplikovateľné, ak napr. miesto predpokladaného testu autokorelácie prvého rádu je skutočným procesom autokorelácia druhého rádu. Najlepším riešením býva použitie robustných štandardných chýb, ktoré sú často súčasťou používaných softwarov. Výsledné odhady smerodajných odchýlok odhadov parametrov sú potom robustné voči heteroskedasticite aj autokorelácii (existuje niekoľko variant týchto estimátorov v závislosti na tom, akú všeobecnú možnosť kovariančnej štruktúry náhodných zložiek uvažujeme). Normalita pri testovaní v modeloch panelových dát je v skutočnosti potrebná len v prípadoch, kedy máme malé vzorky pozorovaní (záleží na 87 88 ZÁVER danom teste, či ide o počet časových, prierezových jednotiek alebo ich kombináciu), avšak práve pri práci s panelovými dátami je zvyčajne počet pozorovaní dostatočný a na korektné výsledky väčšiny štandardne používaných testov stačí asymptotická platnosť všetkých odvodených štatistík. V poslednej kapitole sa venujeme rozšíreniu modelu o dynamickú zložku, v tomto prípade sa medzi regresormi nachádza aj oneskorená vysvetľovaná premenná, z čoho vyplýva korelácia medzi náhodnou chybou a vysvetľujúcimi premennými. Tento problém sa vo všeobecnosti dá eliminovať použitím inštrumentálnych premenných, resp. aplikácie zovšeobecnenej metódy momentov. Zahrnutie oneskorenej vysvetľovanej premennej spôsobuje skreslenie modelu, avšak tento problém nastáva hlavne v prípade, ak použijeme veľké množstvo prierezových jednotiek (v rádoch stoviek) a málo časových jednotiek (v rádoch jednotiek), čo je zväčša prípad mikro- panelov. V makro- paneloch, kedy máme dostatočné množstvo prierezových aj časových jednotiek (v rádoch desiatok) platí, že skreslenie sa blíži nule pre T smerujúce k nekonečnu, a preto sa často problém skreslenia ignoruje. Literatúra a výskum v oblasti panelových dát neustále rastie. Veríme, že táto práca poskytla dobrý základ na pochopenie tematiky panelových modelov v rôznych smeroch a prístupoch. Literatúra [1] AHN, Seung C ; SCHMIDT, Peter: Efficient Estimation of Models for Dynamic Panel Data. Journal of Econometrics, 1995, Vol. 68, s. 5-27. [2] AHN, Seung C ; SCHMIDT, Peter: Efficient Estimation of Models for Dynamic Panel Data: Alternative Assumptions and Simplified Estimation. Journal of Econometrics, 1997, Vol. 76, s. 309-321. [3] ALONSO-BORREGO, Cesar; ARELLANO, Manuel: Symmetrically Normalized Instrumental Variable Estimation Using Panel Data. Journal of Business and Economic Statistics, 1999, Vol. 17, s. 36-49. [4] ALVAREZ, Javier; ARELLANO, Manuel: The Time Series and Cross- Section Asymptotics of Dynamic Panel Data Estimators. Econometrica, 2003, Vol. 71, s. 1121-1159. [5] AMEMIYA, Takeshi: The Estimation of the Variances in a Variance- Components Model. International Economic Review, 1971, Vol. 12, s. 1-13. [6] ANDERSON, Theodore W.; HSIAO, Cheng: Formulation and Estimation of Dynamic Models Using Panel Data. Journal of Econometrics, 1982, Vol. 18, s. 47-82. [7] ANDREWS, Donald W.K.; LU, Biao: Consistent Model and Moment Selection Procedures for GMM Estimation with Application to Dynamic Panel Data Models. Journal of Econometrics, 2001, Vol. 101, s. 123-164. [8] ARELLANO, Manuel; BOND, Stephen: Some Tests of Specificationfor Panel Data: Monte Carlo Evidence and an Application to Employment Equations. Review of Economic Studies, 1991, Vol. 58, s. 277-297. [9] ARELLANO, Manuel; BOVER, Olympia: Another Look at the Instrumental Variables Estimation of Error-Component Models. Journal of Econometrics, 1995, Vol. 68, s. 29-51. 89 90 LITERATÚRA [10] BALESTRA, Pietro; NERLOVE, Marc: Pooling Cross-Section and TimeSeries Data in the Estimation of a Dynamic Model: the Demandfor Natural Gas. Econometrica, 1966, Vol. 34, s. 585-612. [11] BALTAGI, Badi H.: Econometric Analysis of Panel Data. John Wiley & Sons Ltd, 2008. ISBN 978-0-470-51886-1. [12] BALTAGI, Badi H.; Bresson, Georges; Pirotte, Alain: Joint LM test for Heteroskedasticity in a One-Way Error Component Model. Journal of Econometrics, 2006, Vol. 134, s. 401-417. [13] BALTAGI, Badi H.; GRIFFIN, James M.: A Generalized Error Component Model with Heteroscedastic Disturbances. International Economic Review, 1988, Vol. 29, s. 745-753. [14] BALTAGI, Badi H.; JUNG, Byoung Cheol; SONG, Seuck Heun: Testingfor Heteroskedasticity and Serial Correlation in a Random Effects Panel Data Model. Journal of Econometrics, 2010, Vol. 154, s. 122-124. [15] BALTAGI, Badi H.; LI, Qi: Testing AR(1) against MA(1) Disturbances in an Error Component Model. Journal of Econometrics, 1995, Vol. 68, s. 133-151. [16] BERTRAND, Marianne; DUFLO, Esther; MULLAINATHAN, Sendhil: How Much Should We Trust Differences-in-Differences Estimates? Working Paper presented at the UCLA/RAND Labor and Population Workshop, 2001. [17] BHARGAVA, Alok; FRANZINI, Luisa; NARENDRANATHAN, Wiji: Serial Correlation and the Fixed Effects Model. The Review of Economic Studies, 1982, Vol. 49, s. 533-549. [18] BIOERN, Erik: The Efficiency of Panel Data Estimators: GLS versus Estimators which Do Not Depend on Variance Components. Memorandum, Oslo University, Department of Economics, 2001, Vol. 21. [19] BLUNDELL, Richard; BOND, Stephen: Initial Conditions and Moment Restrictions in Dynamic Panel Data Models. Journal of Econometrics, 1998, Vol. 87, s. 115-143. [20] BLUNDELL, Richard; BOND, Stephen; WINDMEIJER, Frank: Estimation in Dynamic Panel Data Models: Improving on the Performance of the Standard GMM Estimator. Advances in Econometrics, 2000, Vol. 15, s. 53-91. [21] BOND, Stephen; WINDMEIJER, Frank: Projection Estimatorsfor autoregressive Panel Data Models. Econometrics Journal, 2002, Vol. 5, s. 457-479. LITERATÚRA 91 [22] BORN, Benjamin; BREITUNG, Jörg: Testingfor Serial Correlation in FixedEffects Panel Data Models. Economic Reviews, 2012. [23] BREUSCH, Trevor S.; PAGAN, Adrian R.: The Lagrange Multiplier Test and its Applications to Model Specification in Econometrics. Review of Economic Studies, 1980, Vol. 47, s. 239-253. [24] BUN, Maurice J.G; CARREE, Martin A.: Bias-Corrected Estimation in Dynamic Panel Data Models with Heteroscedasticity. Economics Letters, 2006, Vol. 92, s. 220-227. [25] BUN, Maurice J.G.; KIVIET, Jan E : The Effects of Dynamic Feedbacks on LS and MM EstimatorAccuracy in Panel Data Models. Journal of Econometrics, 2006, Vol. 132, s. 409-444. [26] CHAMBERLAIN, Gary: Panel Data, in Z. Griliches a M . Intrilligator Handbook of Econometrics. Elsevier Science B.V, 1984. [27] CHOI, Chi-Young; MARK, Nelson C ; SUL, Dongguy: Bias Reduction in Dynamic Panel Data Models by Common Recursive Mean Adjustment. Oxford Bulletin of Economics and Statistics, Department of Economics, University of Oxford, 2010, Vol. 72, s. 567-599. [28] CREPON, Bruno; KRAMARZ, Francis; TROGNON, Alain: Parameters of Interest, Nuisance Parameters and Ortogonality Conditions: an Application to Autoregressive Error Components Models. Journal of Econometrics, 1997, Vol. 82, s. 135-156. [29] DRUKKER, David M . : Testing for Serial Correlation in Linear Panel-Data Models. Stata Journal, 2003, Vol. 3, s. 168-177. [30] EVERAET, Gerdie; POZZI, Lorenzo: Bootstrap-Based Bias Correction for Dynamic Panels. Journal of Economic Dynamics and Control, 2007, Vol. 31, s. 1160-1184. [31] FLANNERY, Mark J.; HANKINS, Kristine W.: Estimating Dynamic Panel Models in Corporate Finance. Journal of Corporate Finance, 2013, Vol. 19, s. 1-19. [32] GALVAO, Antonio F.; MONTES-ROJAS, Gabriel; SOSA-ESCUDERO, Walter; WANG, Liang: Tests for Skewness and Kurtosis in the One-way Error Components Model. Journal of Multivariate Analysis, 2013, Vol. 122, s. 35-52. 92 LITERATÚRA [33] GILBERT, Scott: Testing the Distribution of Error Components in Panel Data Models. Southern Illinois University Carbondale, Discussion Papers, 2001, Paper 5. [34] GOURIEROUX, Christian; HOLLY, Alberto; MONFORT, Alain: Likelihood Ratio Test, Wald Test, and Kuhn- Tücke Test in Linear Models with Inequality Constraints on the Regression Parameters. Econometrica, 1982, Vol. 50, s. 63-80. [35] GOURIEROUX, Christian; MONFORT, Alain; RENAULT, Eric: Indirect Inference. Journal of Applied Econometrics, 1993, Vol. 8, s. S85—SI 18. [36] GOURIEROUX, Christian; PHILLIPS, Peter C. B.;YU, Jun: Indirect inferencefor dynamic panel models. Journal of Econometrics, 2010, Vol. 157, s. 68-77. [37] GREENE, William H.: Econometric Analysis. Upper Saddle River, N.J.: Pearson Prentice Hall, 2008, ISBN 9780135137406. [38] GRILICHES, Zvi; HAUSMAN, Jerry A.: Errors in Variables in Panel Data. Econometrics, 1986, Vol. 31, s. 93-118. [39] HAHN, Jinyong: Efficient Estimation of Panel Data Models with Sequential Moment Restrictions. Journal of Econometrics, 1997, Vol. 79, s. 1-21. [40] HAHN, Jinyong: How Informative Is the Initial Condition in the Dynamic Panel Data Model with Fixed Effects? Journal of Econometrics, 1999, Vol. 93, s. 309-326. [41] HAHN, Jinyong; HAUSMAN, Jerry A.; KUERSTEINER, Guido: Long Difference Instrumental Variables Estimation for Dynamic Panel Models with Fixed Effects. Journal of Econometrics, 2007, Vol. 140, s. 574-617. [42] HANSEN, Lars P.: Large Sample Properties of Generalized Method of Moments Estimators. Econometrica, 1982, Vol. 50, s. 1029-1054. [43] HAUSMAN, Jerry A.: Specification Tests in Econometrics. Econometrica, 1978, Vol. 46, s 1251-1271. [44] HAUSMAN, Jerry A.; TAYLOR, William E.: Panel Data and Unobservable Individual Effects. Econometrica, 1981, Vol. 49, s. 1377-1398. [45] HENDERSON, Daniel J.; ULLAH, Aman: A nonparametric random effects estimator. Economics Letters, 2005, Vol. 88, s. 403^1-07. LITERATÚRA 93 [46] HOLLY, Alberto; GARDIOL, Lucien: A Score Test for Individual Heteroscedasticity in a One-Way Error Components Model, in J. Krishnakumar a E. Ronchetti Panel Data Econometrics: Future Directions. Elsevier Science B.V., 2000. [47] HOLTZ-EAKIN, Douglas: Testing for Individual Effects in Autoregressive Models. Journal of Econometrics, 1988, Vol. 39, s. 297-307. [48] HUANG, Rongbing; RITTER, Jay R.: Testing Theories of Capital Structure and Estimating the Speed ofAdjustment. Journal of Financial & Quantitative Analysis, 2009, Vol.44, s. 237-271. [49] INOUE, Atsushi; SOLON, Gary: A Portmanteau Test for Serially Correlated Errors in Fixed Effects Models. Econometric Theory, 2006, Vol. 22, s. 835-851. [50] JARQUE, Carlos M . ; BERA, Anil K.:Efftcient Tests for Normality, Homoscedasticity and Serial Independence of Regression Residuals. Economics Letters, 1980, Vol. 6, s. 255-259. [51] KEANE, Michael R; RUNKLE, David E.: On the Estimation of Panel-Data Models with Serial Correlation When Instruments Are Not Strictly Exogenous. Journal of Business and Economic Statistics, 1992, Vol. 10, s. 1-9. [52] KENNEDY, Peter: A Guide to Econometrics. Blackwell Publishing, 2008, ISBN 978-1-4051-8258-4. [53] KIVIET, Jan F.: On Bias, Inconsistency and Efficiency of Various Estimators in Dynamic Panel Data Models. Journal of Econometrics, 1995, Vol. 68, s. 53-78. [54] KRUINIGER, Hugo: An Efficient Linear GMM Estimatorfor the Covariance Stationary AR(I )/Unit Root Model for Panel Data. Econometric Theory, 2007, Vol. 23, s. 519-535. [55] LANCASTER, Tony: The Incidental Parameter Problem Since 1948. Journal of Econometrics, 2000, Vol. 95, s. 391-413. [56] LAPORTE, Audrey; WINDMEIJER, Frank: Estimation of Panel Data Models with Binary Indicators When Treatment Effects Are Not Constant over Time. Economics Letters, 2005, Vol. 88, s. 389-396. [57] LEJEUNE, Bernard: A distribution-free joint testfor random individual effects and heteroscedasticity allowing for incomplete panels. XVIemes Journees de Microeconomie Appliquee, 1999. 94 LITERATÚRA [58] LI, Qi; STENGOS, Thanasis: Adaptive Estimation in the Panel Data Error Component Model with Heteroskedasticity of Unknown Form. International Economic Review, 1994, Vol. 35, s. 981-1000. [59] LILLARD, Lee A.; WILLIS, Robert J.: Dynamic aspects of earning mobility. Econometrica, 1978, Vol. 46, s. 985-1012. [60] LIN, Xihong; CARROLL, Raymond J.: Nonparametric Function Estimation for Clustered Data when the Predictor is Measured without/with Error. Journal of the American Statistical Association, 2000, Vol. 95, s. 520 - 534. [61] MADDALA, Gangadharrao S.; MOUNT, Timothy: A Comparative Study of Alternative Estimatorsfor Variance Components Models Used in Econometric Applications. Journal of the American Statistical Association, 1973, Vol. 68, s. 324-328. [62] MAZODIER, Pascal; TROGNON, Alain: Heteroskedasticity and Stratification in Error Components Models. Annales de 1TNSEE, 1978, Vol. 31-32, s. 451-482. [63] MONTES-ROJAS, Gabriel; SOSA-ESCUDERO, Walter: Robust Tests for Homoskedasticity in the Error Components Model. Journal of Econometrics, 2011, Vol. 160, s. 300-310. [64] MUNNELL, Alicia: Why Has Productivity Growth Declined? Productivity and Public Investment. New England Economic Review, 1990, s. 3-22. [65] NERLOVE, Marc: Further Evidence on the Estimation of Dynamic Economic Relations from a Time- Series of Cross- Sections. Econometrica, 1971, Vol. 39, s. 359-382. [66] NEYMAN, Jerzy; SCOTT, Elizabeth L.: Consistent Estimationfrom Partially Consistent Observations. Econometrica, 1948, Vol. 16, s. 1-32. [67] NICKELL, Stephen: Biases in Dynamic Models with Fixed Effects. Econometrica, 1981, Vol. 49, s. 1417-1426. [68] ORME, Chris D.; YAMAGATA, Takashi: The asymptotic Distribution of the F-test Statistic for Individual Effects. The Econometrics Journal, 2006, Vol. 9, s. 404-422. [69] PESARAN, M . Hashem; ULLAH, Aman; YAMAGATA, Takashi: A BiasAdjusted LM Test of Error Cross Section Independence. The Econometrics Journal, 2008, Vol. 11, s. 105-127. LITERATÚRA 95 [70] PHILLIPS, Robert F.: Estimation of a Stratified Error-Components Model. International Economic Review, 2003, Vol. 44, s. 501-521. [71] PHILLIPS, Peter C.B.; SUL, Donggyu: Dymanic Panel Estimation and Homogenity Testing under Cross Section Dependence. Econometrics Journal, 2003, Vol. 6, s. 217-259. [72] PORTER, Jack R.: Essays in Econometrics. Ph.D. Dissertation, MIT, 1996. [73] QIN, Huaizhen; WAN, Alan TK.:0n the Properties of the t- and F-ratios in Linear Regressions with Nonnormal Errors. Econometric Theory, 2004, Vol. 20, s. 690-700. [74] RANDOLPH, William C.: A Transformationfor Heteroscedastic Error Components Regression Models. Economics Letters, 1988, Vol. 27, s. 349-354. [75] ROY, Nilanjana: Is Adaptive Estimation Useful for Panel Models With Heteroskedasticity in the Unit-Specific Error Component? Some Monte Carlo Evidence. Econometric Reviews, 2002, Vol. 21, s. 189-203. [76] RUUD, Paul A.: An Introduction to Classical Econometric Theory. Oxford University Press, 2000. ISBN 978-0195111644. [77] SARGAN, John D.: The Estimation of Economic Relationships Using Instrumental Variables. Econometrica, 1958, Vol. 26, s. 393-415. [78] SARGAN, John D.: Testingfor Misspecification after Estimating Using Instrumental Variables, in E. Maasoumi Contributions to Econometrics: John Denis Sargan. Cambridge University Press, 1988. [79] SEARLE, Shayle R.; HENDERSON Hedley V : Dispersion Matrices for Variance Components Models. Journal of the American Statistical Association, 1979, Vol. 79, s. 465-470. [80] SO, Beong Soo; SHIN, Dong Wan: Recursive Mean Adjustment in TimeSeries Inferences. Statistics and Probability Letters, 1999, Vol. 43, s. 65-73. [81] STAIGER, Douglas; STOCK, James H.: Instrumental Variables Regressions with Weak Instruments. Econometrica, 1997, Vol. 65, s. 557-586. [82] STOCK, James H.; WATSON, Mark W : Heteroskedasticity-RobustStandard Errors for Fixed Effects Panel Data Regression. Econometrica, 2008, Vol. 76, s. 155-174. 96 LITERATÚRA [83] STOCK, James H.; WRIGHT, Jonathan H.: GMM with Weak Identification. Econometrica, 2000, Vol. 68, s. 1055-1096. [84] SWAMY, P.A.V.B; ARORA, Swarnjit S.: The Exact Finite Sample Properties of the Estimators of Coefficients in the Error Components Regression Models. Econometrica, 1972, Vol. 40, s. 261-275. [85] ULLAH, Aman; HUANG, Xiao:Finite Sample Properties ofFGLS Estimator for Random-Effects Model under Non-Normality, in Badi H. Baltagi Panel Data Econometrics Theoretical Contributions and Empirical Applications. Emerald Group Publishing Limited, 2006. [86] ULLAH, Aman; ROY, Nilanjana: Nonparametric and Semiparametric Econometrics of Panel Data. In: A. Ullah, D.E.A. Giles Handbook of Applied Economics Statistics. 1996, Marcel Dekker, New York, s. 579 - 604. [87] VAN DER VAART, A . W : Assymptotic Statistics. Cambridge University Press, 1998. ISBN 0-521-49603-9. [88] WALLACE, TD.; HUSSAIN, Anwar: The Use of Error Components Models in Combining Cross-Section and Time-Series Data. Econometrica, 1969, Vol. 37, s. 55-72. [89] WANSBEEK, Tom J.; BEKKER, Paul: On IV, GMM and ML in a Dynamic Panel Data Model. Economics Letters, 1996, Vol. 51, s. 145-152. [90] WANSBEEK, Tom J.; KAPTEYN, Arie: A Simple Way to Obtain the Spectral Decomposition of Variance Components Models for Balanced Data. Communication in Statistics, 1982, Vol. A l l , s. 2105-2112. [91] WHITE, Halbert: A Heteroskedasticity-Consistent Covariance Matrix Estimator and a Direct Testfor Heteroskedasticity. Econometrica, 1980, Vol. 48, s. 817-838. [92] WOOLDRIDGE, Jeffrey M.: Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data. MIT Press, 2010. ISBN 978-0-262-23258-6. [93] ZILIAK, James P.: Efficient Estimation with Panel Data when Instruments are Predetermined: an Empirical Comparison of Moment- Conditon Estimators. Journal of Business and Economic Statistics, 1997, Vol. 15, s. 419-431.