M A S A R Y K O V A U N I V E R Z I T A PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV TEORETICKÉ FYZIKY A ASTROFYZIKY Diplomová práce BRNO 2014 KATEŘINA ZUZAŇÁKOVÁ (Ml to I M A S A R Y K O V A U N I V E R Z I T A PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV TEORETICKÉ FYZIKY A ASTROFYZIKY Světelné paprsky a vlny v absolutních instrumentech Diplomová práce Kateřina Zuzaňáková Vedoucí práce: prof. Mgr. Tomáš Tyc, Ph.D. Brno 2014 Bibliografický záznam Autor: Bc. Kateřina Zuzaňáková Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav teoretické fyziky a astrofyziky Název práce: Světelné paprsky a vlny v absolutních instrumentech Studijní program: Fyzika Studijní obor: Teoretická fyzika a astrofyzika, směr Teoretická fyzika Vedoucí práce: prof. Mgr. Tomáš Tyc, Ph.D. Akademický rok: 2013/2014 Počet stran: xi + 54 Klíčová slova: absolutní instrument; inverzní problém; frekvenční spektrum; módy; vlnové klubko Bibliographic Entry Author: Be. Kateřina Zuzaňáková Faculty of Science, Masaryk University Department of Theoretical Physics and Astrophysics Title of Thesis: Light rays and waves in absolute instruments Degree Programme: Physics Field of Study: Theoretical physics and astrophysics, specialization Theoretical physics Supervisor: prof. Mgr. Tomáš Tyc, Ph.D. Academic Year: 2013/2014 Number of Pages: xi + 54 Keywords: absolute instrument; inverse problem; frequency spectrum; modes; wave packet Abstrakt V této diplomové práci se věnujeme absolutním instrumentům z pohledu geometrické i vlnové optiky. V první části věnované geometrické optice se zabýváme šířením paprsků v absolutních instrumentech, transformacemi indexu lomu a řešením inverzního problému. Druhá část práce je věnována vlnám v absolutních instrumentech, zejména v Hookově profilu indexu lomu a v Hookově profilu obklopeném zrcadlem. Nalezneme frekvenční spektra a módy těchto instrumentů a analyzujeme šíření pulsu vyslaného bodovým zdrojem. Sérií zdrojů vybudíme vlnové klubko odpovídající paprsku o zvoleném momentu hybnosti a prozkoumáme jeho chování. Abstract In this thesis we study absolute instruments from the point of view of both geometrical and wave optics. In the first part dedicated to geometrical optics we study ray propagation in absolute instruments, transformation of refractive index and we solve the inverse problem. The second part of this thesis is dedicated to waves in absolute instruments, especially in the Hook refractive index profile and the Hook profile surrounded by a mirror. We find frequency spectra and modes of these instruments and analyse propagation of a pulse that is generated by a point source. Using a series of sources we generate a wave packet corresponding to a ray with certain angular momentum and we investigate its behaviour. Přírodovědecká fakulta Masarykova univerzita ZADÁNÍ DIPLOMOVÉ PRÁCE Student : Bc. Kateřina Zuzaňáková, učo 356652 Studijní program : Fyzika Studijní obor : Teoretická fyzika a astrofyzika Ředitel Ústavu teoretické fyziky a astrofyziky PřF M U Vám ve smyslu Studijního zkušebního řádu M U určuje diplomovou práci s tématem: Světelné paprsky a vlny v absolutních instrumentech Zásady pro vypracování: Pojem absolutního instrumentu neboli dokonalé čočky je v optice znám již velmi dlouho. Prvním takovým netriviálním zařízením je Maxwellovo rybí oko, objevené v roce 1854. Teprve nedávno se však došlo k výraznějšímu rozvoji teorie absolutních instrumentů, a to jak v rámci geometrické, tak vlnové optiky. Během diplomové práce se student seznámí se stávajícím popisem a teorií absolutních instrumentů, bude se zabývat analýzou chování vln v nich a pokusí se navrhnout nové typy těchto zařízení. S využitím těsné souvislosti teorie absolutních instrumentů a teorie neviditelných plášťů bude rovněž analyzovat chování vln v těchto pláštích v některých specifických situacích. • T Y C , Tomáš, Lenka HERZÁNOVÁ, Martin ŠARBORT a Klaus B E R I N G L A R S E N . Absolute instruments and perfect imaging in geometrical optics. New Journal of Physics, Velká Británie: IOP, 2011, roč. 13, č. 115004, s. 1-24. ISSN 1367-2630. doi:l 0.1088/1367-2630/13/11/115004. Změněno: 8. 10. 2012 10:57, prof. Mgr. Tomáš Tyc, Ph.D. • T Y C , Tomáš a Aaron D A N N E R . Frequency spectra of absolute optical instruments. New Journal of Physics, Velká Británie: IOP, 2012, roč. 14, č. 085023, s. 1-16. ISSN 1367-2630. doi:10.1088/1367-2630/14/8/085023. Změněno: 8. 10. 2012 10:57, prof. Mgr. Tomáš Tyc, Ph.D. • B O R N , Max a Emil W O L F . Principles of optics .-electromagnetic theory of propagation, interference and diffraction of light. 6th corr. ed. Cambridge: Cambridge University Press, 1997. xxviii, 80. ISBN 0-521-63921-2. Po domluvě s vedoucím DP může být DP napsána v českém, slovenském a anglickém jazyce. Light rays and waves in absolute instruments Literatura: Vedoucí diplomové práce Datum zadání diplomové práce Datum odevzdám diplomové práce prof. Mgr. Tomáš Tyc, Ph.D. leden 2013 dle harmonogramu ak. roku 2013/2014 ( / W V Brně leden 2013 Rikard von Unge ředitel ÚTFA Zadání diplomové práce převzal dne: H, 2 . l o < * Podpis studenta Poděkování Na tomto místě bych ráda poděkovala vedoucímu své diplomové práce prof. Mgr. Tomáši Tycovi, Ph.D., za cenné rady a připomínky a za trpělivost, se kterou vedl tuto práci. Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji diplomovou práci vypracovala samostatně s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány. Brno 16. května 2014 Kateřina Zuzaňáková Obsah Úvod x Kapitola 1. Šíření paprsků v absolutních instrumentech 1 1.1 Analogie s klasickou mechanikou 1 1.1.1 Hookův profil indexu lomu 2 1.2 Transformace indexu lomu 3 1.2.1 Příklad 1: Hook a Kepler 5 1.2.2 Příklad 2: Transformace logaritmem 6 Kapitola 2. Inverzní problém 10 2.1 Inverzní problém zadaný úhlem 10 2.2 Formulace inverzního problému pomocí času 11 2.2.1 Čočka vnořená v homogenním prostředí 11 2.2.2 Opticky homogenní koule v nehomogenním prostředí 14 2.2.3 Paprsky omezené v prostoru 14 2.3 Příklady použití inverzních formulí 15 Kapitola 3. Frekvenční spektra a módy 19 3.1 Módy analyticky 19 3.1.1 Analytické vyjádření spektra a módů pro Hookův profil 21 3.1.2 Od Keplerova profilu ke dvourozměrnému atomu vodíku 22 3.2 Módy numericky 24 3.2.1 Spektrum a módy pro Hookův profil se zrcadlem 25 Kapitola 4. Šíření pulsu 29 4.1 Greenova funkce 29 4.1.1 Greenova funkce pro Helmholtzovu rovnici 30 4.1.2 Greenova funkce pro vlnovou rovnici 31 4.2 Výpočet koeficientů 33 4.3 Šíření pulsu v Hookově profilu indexu lomu 34 4.3.1 Vlny v Hookově profilu 35 4.3.2 Šíření pulsu 35 Kapitola 5. Vlnová klubka 40 - viii - 5.1 Vlnové klubko na jednotkové kružnici 40 5.2 Vlnové klubko na elipse 43 5.3 Vlnové klubko s uvážením disperze 45 Závěr 52 Příloha 53 Seznam použité literatury 54 Úvod Pojem absolutního instrumentu je v optice znám již dlouho. Absolutním instrumentem [1] je optické prostředí, ve kterém se zobrazuje ostře nějaká 3D (pro dvourozměrné instrumenty 2D) oblast prostoru. Přitom ostrým obrazem bodu A rozumíme bod B, kterým prochází nekonečně mnoho paprsků vycházejících z bodu A. Nejjednodušším příkladem absolutního instrumentu je rovinné zrcadlo. V roce 1854 objevil J. C. Maxwell pravděpodobně první netriviální absolutní instrument známý jako M a xwellovo rybí oko [2], ve kterém se paprsky šíří po kružnicích a každý bod má ostrý obraz v bodě daném kulovou inverzí. Novou vlnu zájmu o dokonalé zobrazování vyvolal J. B . Pendry [3] v roce 2000 návrhem absolutního instrumentu sestávajícího z destičky z materiálu se záporným indexem lomu. Pendryho objev podnítil rozvoj fyziky metamateriálů a hledání nových absolutních instrumentů. V [4] se J. C. Miňano zabýval dokonalým zobrazováním v rámci geometrické optiky v prostředí s kladným indexem lomu. Všiml si, že již déle známé čočky, jako je Eatonova [5] nebo Luneburgova [6], mohou fungovat jako absolutní instrumenty. Navrhl také nové absolutní instrumenty, které ostře zobrazují opticky homogenní oblasti. V [7] vyřešili T. Tyc a spoluautoři inverzní rozptylový problém pro prostorově omezené paprsky a na základě tohoto výsledku nalezli obecnou metodu pro návrh absolutních instrumentů se sféricky symetrickým indexem lomu. V [8] byly představeny absolutní instrumenty, které zobrazují se zvětšením. Odpověď na otázku, zda absolutní instrumenty definované v rámci geometrické optiky mohou poskytnout dokonalé zobrazovací vlastnosti i v rámci vlnové optiky, se pokusili najít U . Leonhardt [9, 10] a T. Philbin [10]. Ukázali, že Maxwellovo rybí oko v principu umožňuje rozlišení neomezené difrakční limitou, což bylo v [11] potvrzeno experimentálně pro dvourozměrný případ. Jistou kontroverzi ovšem vzbudila nutnost použití propadu v místě obrazu [12, 13, 14]. V poslední době se ukazuje, že překonání difrakční limity bude v praxi značně komplikované [15]. Absolutní instrumenty z pohledu vlnové optiky byly zkoumány také v [16], kde se ovšem autoři zaměřili na jiný problém, a to na určení charakteristických vlastností spekter vlastních frekvencí. Analýzou vybuzení a pohlcení pulsu ukázali, že spektrum sestává z degenerovaných hladin s téměř ekvidistantními rozestupy, což bylo potvrzeno v [ 17] pomocí W K B aproximace. V [17] byla navíc kromě vzájemných rozestupů frekvenčních hladin spočítána i hodnota nejnižší frekvence a byla zde spočítána spektra i pro absolutní instrumenty se zrcadlem. V této práci se budeme zabývat absolutními instrumenty z pohledu geometrické i vlnové optiky. První část práce věnujeme geometrické optice a budeme se v ní nejprve zabývat transformacemi indexu lomu a transmutací potenciálů. Ve druhé kapitole pak představíme -x- Úvod xi netradiční formulaci inverzního problému. Kapitoly 3 - 5 věnujeme zkoumání vln v absolutních instrumentech. Nejprve se ve třetí kapitole zaměříme na spektra frekvencí a módy absolutních instrumentů. Popíšeme analogii mezi vlnovou optikou a kvantovou mechanikou, pomocí které mimo jiné najdeme analytické vyjádření spektra a módů v absolutním instrumentu s Hookovým profilem indexu lomu. Ve čtvrté kapitole analyzujeme šíření pulsu vyslaného bodovým zdrojem v tomto instrumentu a prozkoumáme, jak se změní charakter šíření vln, obklopíme-li instrument zrcadlem. Sérii zdrojů použijeme v páté kapitole k vybuzení vlnového klubka, které odpovídá určitému paprsku. Prozkoumáme časový vývoj takovýchto klubek v Hookově profilu bez zrcadla i se zrcadlem. Kapitola 1 Šíření paprsků v absolutních instrumentech V úvodní kapitole se budeme věnovat absolutním instrumentům z pohledu geometrické optiky. Nejdříve připomeneme analogii, která existuje mezi geometrickou optikou a klasickou mechanikou, a v sekci 1.2 se pak budeme zabývat transformacemi indexu lomu. 1.1 Analogie s klasickou mechanikou Je známou skutečností, že mezi šířením paprsků v prostředí s indexem lomu n(r) a pohybem mechanické částice v potenciálu V(r) existuje jistá analogie. Připomeňme si na úvod tuto analogii, tak jak je popsána v [18]. Síření paprsků v prostředí s indexem lomu n(r) je určeno Fermatovým principem, podle kterého se paprsek šíří z bodu A do bodu B po trajektorii s extremální optickou dráhou. Trajektorie paprsku je určena podmínkou Pohyb klasické částice s jednotkovou hmotností a s energií E v potenciálu V(r) určuje Maupertuisův princip [19]. Trajektorie částice, která se pohybuje z bodu A do bodu B, je určena podmínkou extremální zkrácené akce: Z podobnosti rovnic (1.1) a (1.2) vyplývá, že pohyb částice o jednotkové hmotnosti v potenciálu V(r) je ekvivalentní šíření paprsků v indexu lomu (1.1) (1.2) n(r) = y/2(E-V(r)) (1.3) a naopak šíření paprsků v n(r) je ekvivalentní pohybu částice v potenciálu V(r) =E (1.4) 2 -1- Kapitola 1. Síření paprsků v absolutních instrumentech 2 Ve druhém členu na pravé straně (1.4) vidíme, že index lomu odpovídá velikosti hybnosti částice. V optice proto definujeme moment hybnosti paprsku v analogii s momentem hybnosti částice jako dr L = r x « ( r ) — . (1.5) |dr| 1.1.1 Hookův profil indexu lomu Jako příklad uveďme Hookův profil indexu lomu n(r) = \fl-r2 , r < y/l, (1.6) kde radiální vzdálenost r měříme v jednotkách určité charakteristické délky v instrumentu a uvažujeme j i jako bezrozměrnou. Šíření paprsků v tomto indexu lomu odpovídá podle (1.4) pohybu částice s energií E — 1 v potenciálu harmonického oscilátoru r 2 V(r) = - , (1.7) ve kterém částice opisují elipsy se středem v počátku soustavy souřadnic. Stejné elipsy opisují i paprsky v Hookově profilu indexu lomu, jak je vykresleno v obrázku 1.1a. Hookův profil je absolutním instrumentem, ve kterém se bod s polohovým vektorem r zobrazuje na —r. Použijeme-li index lomu (1.6) pouze pro r < 1 dostaneme Luneburgovu čočku [6], která fokusuje rovnoběžný svazek paprsků do bodu na svém okraji, jak je znázorněno v obrázku 1.1b. (a) (b) Obrázek 1.1: (a) Trajektorie paprsků v Hookově profilu indexu lomu. Paprsky opisují elipsy se středem ve středu čočky. Čárkovaně je vyznačena jednotková kružnice, (b) Luneburgova čočka. Kapitola 1. Síření paprsků v absolutních instrumentech 3 Obdobně jako v mechanice se i v optice ve sféricky symetrickém prostředí zachovává moment hybnosti paprsku. Jeho velikost můžeme vyjádřit jako L = rn(r)sinoc, (1.8) kde a je úhel, který svírá trajektorie paprsku se směrem rostoucího r. Definujme funkci p: p(r) = rn(r). (1.9) Poloosy elipsy, r±, kterou opisuje v Hookově profilu paprsek s daným momentem hybnosti L, jsou pak řešením rovnice p(r±)=L. (1.10) V kapitolách 3 - 5 se na Hookův profil indexu lomu ve 2D podíváme z pohledu vlnové optiky a budeme mimo jiné zkoumat, jak se v tomto profilu šíří vlnová klubka odpovídající paprskům s různými momenty hybnosti. 1.2 Transformace indexu lomu Zobrazíme-li trajektorie paprsků v prostředí s indexem lomu n(r) zobrazením, které zachovává úhly, budou jejich obrazy opět trajektoriemi paprsků v prostředí s novým indexem lomu n'(r'). Takovéto zobrazení určuje dvojici vzájemně provázaných indexů lomu a je základem moderního odvětví optiky - transformační optiky. V této části najdeme vztah mezi původním a transformovaným indexem lomu a podíváme se, jak se přitom transformují odpovídající potenciály. Speciálním případem transformace potenciálů je transmutace. Známým příkladem navzájem transmutovaných potenciálů, který popíšeme v sekci 1.2.1 Jsou Hookův a Keplerův potenciál. Souvislosti Hookova a Keplerova profilu indexu lomu využijeme později v kapitole 4, kde se budeme zabývat vlnami v těchto instrumentech. Ze známého spektra vlastních frekvencí a módů absolutního instrumentu s Hookovým profilem indexu lomu určíme spektrum frekvencí a módy v Keplerově profilu. Je známo, že šíření paprsků v daném prostředí souvisí s fází vlny (tzv. eikonálu) v tomto prostředí. Směr paprsku je určen gradientem fáze, což se dá ukázat (jak je popsáno v [20]) například následovně. Vezměme paprsek šířící se z bodu A do bodu B. Uvažujme tento paprsek jako výsledek Feynmannovy interference elementárních vln. Představme si, že z bodu A vyšleme vlnu. Každé možné dráze paprsku mezi body A a B (tedy i těm nefyzikálním, které se nakonec nerealizují) přiřadíme elementární vlnu tak, že každá dráha ponese stejnou amplitudu oscilující s fází úměrnou uražené optické dráze. Vlny, které do bodu B dorazí s fázovým rozdílem TÍ, interferují destruktivně. Za předpokladu, že fáze se mění výrazně rychleji než optické vlastnosti prostředí, existuje pro většinu drah c nějaká sousední c'', se kterou destruktivně interferuje. Pouze dráha, na které je fáze stacionární, a dráhy jí blízké s ní tedy interferují konstruktivně, se projeví jako skutečná dráha paprsku. Z požadavku nulové variace fáze lze odvodit (viz [20]) rovnici pro trajektorii paprsku dr c k (r) dí n(r) |k(r) kde vlnový vektor k je určen jako gradient fáze, (1.11) k(r) = V f (1.12) Kapitola 1. Síření paprsků v absolutních instrumentech 4 Paprsek se tedy šíří ve směru gradientu fáze, přičemž velikost rychlosti paprsku je dána podílem rychlosti světla ve vakuu, c, a indexu lomu. Z úvah o Feynmannově interferenci drah lze také, j ak ukázali v [20], odvodit Helmholtzovu rovnici. Definujme vlnu *P v bodě r jako superpozici fázových faktorů e1 ^ přes všechny možné dráhy z nějakého pevně zvoleného zdroje do bodu r. Formálněji zapíšeme jako Feynmannův dráhový integrál (1.13) Působením Laplaceova operátoru na rovnici (1.13) s použitím disperzní relace CO — ck/n dostaneme pro *P Helmholtzovu rovnici co2 n2 Ax ¥ + ^^x ¥ = 0. (1.14) cz Fáze vlny *P určuje chod paprsků rovnicemi (1.11) a (1.12). Transformace Helmholtzovy rovnice Uvažujme nyní dvourozměrné prostředí s indexem lomu n(r). Ukážeme, že při transformaci souřadnic analytickou funkcí se Helmholtzova rovnice transformuje opět na Helmholtzovu rovnici s novým indexem lomu [21]. Trajektorie paprsků v n(r) se tak zobrazí na trajektorie paprsků v transformovaném indexu lomu. Bude výhodné použít komplexní notaci, proto zkombinujeme souřadnice x a y do komplexní proměnné z — x + iy. Přepíšeme Helmholtzovu rovnici (1.14) do nových proměnných z a z*. S využitím řetězového pravidla pro derivace snadno spočteme, že Laplaceův operátor A = d% + dy má v proměnných z a z* tvar A = Adzdz*. Helmholtzova rovnice v proměnných z a z* je tedy Ct)2 n2 4 d z d z * < F + ^ - » F = 0. (1.15) c z Proveďme nyní transformaci do nových souřadnic u a v, které spojíme v komplexní souřadnici w — u + iv, analytickou funkcí w = w(z). (1.16) Díky tomu, že dw/dz* — 0 = dw* jdz, se operátor dzdz* transformuje jako *dw dw dzdz* = ~fc~d^dwdw*. (1-17) Celá Helmholtzova rovnice se tak transformuje opět na Helmholtzovu rovnici © V 2 4 3 ^ ^ + — 5 - * F = 0 (1.18) ovšem s transformovaným indexem lomu dzn — dw n. (1.19) Kapitola 1. Síření paprsků v absolutních instrumentech 5 Protože při zobrazení komplexní roviny z na rovinu w analytickou funkcí zůstává zachován tvar Helmholtzovy rovnice, představují obrazy paprsků opět nějaké paprsky. Trajektorie paprsků v prostoru z, kde je index lomu n, se zobrazí na trajektorie paprsků v prostoru w s indexem lomu n', přičemž optická dráha uražená paprskem se nezmění: n \áz\ — n Idwl (1.20) V části 1.1 jsme ukázali, že šíření paprsku v indexu lomu n je ekvivalentní pohybu mechanické částice s energií E v potenciálu V určenými rovnicí (1.3). Podívejme se, jak se při transformaci indexu lomu (1.19) transformuje odpovídající potenciál. Z rovnic (1.3) a (1.19) dostaneme V'{w)-E'={V{z)-E) dz dw (1.21) kde čárkou značíme veličiny odpovídající transformovanému indexu lomu n'. Speciálním případem takovéto transformace potenciálů je tzv. transmutace, při které se transformuje jeden potenciál v druhý [20]: -EV'(w) V (z) = -E' dz dw dw dz. (1.22) (1.23) 1.2.1 Příklad 1: Hook a Kepler Známá dvojice potenciálů, které jsou transmutací jeden druhého, je Hookův a Keplerův potenciál. Uvažujme v rovině z Hookův profil indexu lomu (1.6): n{r) — y/l — r2 , (1.24) kterému při E — 1 odpovídá Hookův potenciál V(r) = i2, ji. Proveďme nyní transformaci druhou mocninou .2 W — Z Podle (1.19) se index lomu transformuje na 1 n (r) = 1, r — \w\ (1.25) (1.26) což je až na faktor 1/2 (který ale nemá vliv na trajektorie paprsků) tzv. Keplerův profil indexu lomu. Potenciál harmonického oscilátoru V se podle (1.22) transmutuje na Keplerův potenciál v V ) = 4 (1.27) s hodnotou energie E' — —1/8. Částice v Keplerově potenciálu, a tím také paprsky v indexu lomu (1.26), opisují elipsy s ohniskem v počátku soustavy souřadnic. Tyto elipsy jsou obrazy Hookových elips zobrazené Kapitola 1. Síření paprsků v absolutních instrumentech 6 Obrázek 1.2: (a) Trajektorie paprsků v Keplerově profilu indexu lomu. Paprsky opisují elipsy s ohniskem ve středu čočky. Čárkovaně je vyznačena jednotková kružnice, (b) Eatonova čočka jako zpětný reflektor. funkcí w(z) — z . Několik trajektorií paprsků v Keplerově indexu lomu je vykresleno v obrázku 1.2a. Keplerův profil je absolutním instrumentem, který zobrazuje každý bod sám na sebe. Použijeme-li Keplerův profil pouze v oblasti uvnitř jednotkové kružnice a obklopíme ho prostředím o jednotkovém indexu lomu, dostaneme tzv. Eatonovu čočku. Eatonova čočka funguje jako zpětný reflektor (viz obrázek 1.2b) a je také absolutním instrumentem [4]. Poznamenejme ještě, že funkce w(z) — z2 zobrazí komplexní rovinu na dva Riemannovy listy. Každý ze dvou Riemannových listů odpovídá polorovině v z. Zatímco v rovině z paprsek opíše jednu Hookovu elipsu, jeho obraz ve w opíše Keplerovu elipsu dvakrát. 1.2.2 Příklad 2: Transformace logaritmem Jako druhý příklad transformace analytickou funkcí uvedeme transformaci logaritmem w(z) = lnz. (1.28) Zapíšeme-li z v exponenciálním tvaru, z — re1(p , dostaneme w = u + iv — lnr + i 0) se zobrazuje na vnějšek (r > 1) jednotkové kružnice. Uvažujme v prostoru z index lomu Prostředí s tímto rozložením indexu lomu je absolutním instrumentem známým jako M a xwellovo rybí oko [2]. Index lomu (1.30) se podle předpisu (1.19) transformuje na n (M, v) e"+ l v 1 1 + e2 w cosh u' (1.31) Díky tomu, že index lomu n (1.30) je radiálně symetrický, závisí transformovaný index lomu n1 pouze na souřadnici u. Podívejme se, jaké jsou trajektorie paprsků v prostředí s indexem lomu n1 . Síření světla v tomto prostředí odpovídá podle (1.4) pohyb částice v potenciálu V>{u,v) = - \ — ^ r (1.32) £ cosh u při volbě E' — 0. Uvažujme částici umístěnou v potenciálu (1.32), která se v čase t — 0 nachází v počátku soustavy souřadnic. Protože E' — 0, je velikost rychlosti částice v tomto okamžiku rovna jedné. Potenciál V1 nezávisí na souřadnici v, a proto je rychlost částice ve směru v konstantní: v = sina, (1.33) kde a je úhel, který svírá v čase t — 0 vektor rychlosti s osou u. Pro souřadnici v pohybu částice tak platí v = rsinoc. (1.34) Také kinetická energie částice související s pohybem ve směru osy v je konstantní: „ v2 sin2 a Tv — — — — - — = const. (1.35) 2 2 Pohyb částice ve směru u je určen rovnicí ^ = y/2(Eu-V), (1.36) kde Eu — Tu + V(w) — —Tv je energie připadající na směr u. Dosazením za Eu a V dostaneme du (1 / cosh2 u) - sin2 a át= , d U (1.37) Kapitola 1. Síření paprsků v absolutních instrumentech 8 Integrací získáme čas t jako funkci souřadnice u du'rt ľU Jo Jo Í7[ (1.38) ' ( l / c o s h 2 ^ ) - s i n 2 a Substitucí tan a sinh u — sin £ dostaneme 1 /.arcsin(tanasinhtt) arcsin(tanasinhw) t = - — / d<^ = ^ (1.39) sin a Jo sin a a tedy sin (ř sin a) = tan a sinh u. (1.40) Protože t sin a = v, viz (1.34), částice se pohybuje po křivce sin v = tan ct sinh u. (1-41) V případě a — 0 je trajektorií přímka v = 0. Trajektorie několika paprsků v indexu lomu n' jsou vykresleny v obrázku 1.3. Tyto trajektorie jsou obrazy kružnic, po kterých se šíří paprsky v Maxwellově rybím oku, ve zobrazení komplexním logaritmem. Prostředí s indexem lomu n' je absolutním instrumentem, ve kterém má každý bod nekonečně mnoho obrazů. Obrazy bodu {UQ,VQ) vznikají v bodech («0,vo + ITÍK) a (—uo7vo + n(2l + 1)) s nenulovým celočíselným k a celočíselným /, viz obrázek 1.3b. Kapitola 1. Síření paprsků v absolutních instrumentech 9 (a) (b) Obrázek 1.3: (a) Křivky dané rovnicí (1.41), po kterých se šíří paprsky v indexu lomu n'. Křivky jsou ve směru osy v 27T-periodické, (b) Prostředí s indexem lomu n' je absolutním instrumentem, ve kterém má každý bod nekonečně mnoho obrazů. Kapitola 2 Inverzní problém V této kapitole se budeme věnovat inverznímu problému. Inverzní problém v optice spočíva v nalezení indexu lomu, ve kterém se budou paprsky šířit požadovaným způsobem. Připomeňme si nejprve některé situace, pro které známe řešení inverzního problému. 2.1 Inverzní problém zadaný úhlem Požadované zobrazovací vlastnosti prostředí mohou být zadány například rozptylovým úhlem paprsků. Problém, jak ze známého úhlu vychýlení paprsků určit index lomu prostředí, popsal podrobně R. K . Luneburg v [6]. Zabýval se například sféricky symetrickým prostředím sestávajícím z koule s indexem lomu n(r) vnořené do prostředí s konstantním indexem lomu. V takovémto uspořádání paprsky přicházejí po přímce z nekonečna, průchodem čočkou jsou odchýleny od původního směru a poté pokračují opět po přímce do nekonečna. Ze závislosti polárního úhlu, který opíše paprsek uvnitř čočky, na momentu hybnosti paprsku určil rozložení indexu lomu v čočce. Inverzní problém pro paprsky, jejichž trajektorie jsou omezeny jen na určitou oblast prostoru, byl vyřešen v [7]. Zde byl odvozen inverzní vzorec pro paprsky ve sféricky symetrickém prostředí s trajektoriemi, jejichž radiální souřadnice je omezena dvěma body vratu. Požadované zobrazovací vlastnosti prostředí byly zadány polárním úhlem A->• r pro r e [0, ro]. Rovnice (2.12) tak přestavuje předpis, jak ze známé funkce A T I (Ľ) získat inverzní funkci k p, a tím i implicitně index lomu. Nalezení funkce / K úplnému vyřešení inverzního problému ještě potřebujeme najít funkci / , která bude splňovat rovnici f(L,L) -Ľ===dL=l. (2.13) L ' 'yfp2 ^2 V integrálu provedeme substituci L — t a zavedeme funkci g, čímž rovnici (2.13) upravíme na Ľg(L2 ,Ľ2 )=f(L,Ľ), (2.14) P g(L2 j) 2 S { ' } dt = ^ . (2.15) L2 v / p 2 - ^ ^ z Rovnice typu b ^ l l d t = h(b) (2.16) y/b — t je Ábelova integrální rovnice [22] pro neznámou funkci g{a,t). Tato rovnice má řešení , ( « , , ) = i | / ' ^ L d , (2.17) Ttdt Ja y/t — S Kapitola 2. Inverzní problém 14 V našem případě je a — L2 , b — p 2 a h(b) — 2/b. Spočtěme nejprve integrál vystupující ve vyjádření funkce g(a,t): Ks) y/t^š ds 2ds _ 2 y/t + y/t-a 'a Sy/t—S yft yft — y/t — a kde ve druhém kroku jsme po substituci t — s — x využili vzorce [22] dx (c2 — d2 x)\fx cd Dosazením (2.18) do (2.17) dostaneme 1 c + d\fx c — d\fx g(a,t) = 1 , y/t + y/t-a 2 l n — ; hTt \ t3 /2 y/t-y/t-a tyjt-a Hledaná funkce / je tedy podle (2.14) tvaru " ^ 2, 1 / 1 Ľ + yJĽ2 -L2 f(L,L) = - - - p ä l n . V ^ g + Tri Ľ 2 Ľ-VĽ2 ^!2 ĽVĽ2 ^!2 (2.18) (2.19) (2.20) (2.21) Tím je inverzní problém vyřešen. Na jeho aplikaci v konkrétních situacích se podíváme v sekci 2.3. 2.2.2 Opticky homogenní koule v nehomogenním prostředí Uvažovaný případ, tj. koule s proměnným indexem lomu obklopená prostředím s konstantním indexem lomu, lze snadno modifikovat na obrácený případ koule o konstantním indexu lomu no vnořené do prostředí s indexem lomu n(r), kde n(ro) — no. Uvažujme paprsek s momentem hybnosti L, který prochází homogenní koulí a poté vstoupí do nehomogenní oblasti. Zde opíše křivku, jejíž nejvzdálenější bod od počátku soustavy souřadnic, vnější bod vratu, označíme r+(L). Poté paprsek opět vstoupí do homogenní oblasti. Je zadána doba AT2(L), za kterou paprsek dorazí od hranice koule do bodu vratu. Řešení tohoto inverzního problému můžeme najít stejným způsobem jako v předchozím případě s jediným rozdílem spočívajícím v tom, že v integrálu (2.10) integrujeme od xo do x+ (L) — ln r + (L). Takto dostaneme výsledek r+(L) /"^o . /s , is i l n ^ ^ = / f(L,L)AT2(L)dL. (2.22) ro JL 2.2.3 Paprsky omezené v prostoru Třetí případ, kterým se budeme zabývat, v sobě spojí oba předchozí. Uvažujme index lomu n(r) takový, že funkce p má jediné maximum v bodě ro, pro r < ro je p rostoucí a pro r > ro je klesající. V takovémto indexu lomu opisuje paprsek s momentem hybnosti L křivku, jejíž radiální souřadnice je omezena vnitřním r_(L) a vnějším r+(L) bodem vratu: r-(L) < r< r+(L). (2.23) Kapitola 2. Inverzní problém 15 Přitom r±(L) jsou body, ve kterých je funkční hodnota funkce p rovna momentu hybnosti: P ( r ± ) = L . Paprsek s maximálním možným momentem hybnosti, LQ — p (ro), opisuje kružnici o poloměru ro. Zadáme dobu A T ( L ) , za kterou paprsek dorazí z vnitřního do vnějšího bodu vratu. Řešení inverzního problému najdeme obdobným způsobem jako v případě prostorově neomezených paprsků. Předpoklad o průběhu funkce p nám umožní provést záměnu pořadí integrace podobně jako v (2.11) a dostaneme r+(Ľ) fL o , r , is i l n ^ - { = / f(L,L ) A T ( L ) dL . (2.24) r_(L) J L 2.3 Příklady použití inverzních formulí Příklad 1: Eatonova čočka Vraťme se k Eatonově čočce, o které byla řeč v úvodu kapitoly. Ověříme, že inverzní formule (2.12) s dobou ATI (L) určenou rovnicí (2.3) skutečně dává index lomu Eatonovy čočky. V případě Eatonovy čočky je ro = 1 a LQ — 1. Dosazením ATI (L) Z (2.3) do rovnice (2.12) dostaneme - In r_(L) = fLf{LX){^ + V ^ ) é L = h+h, (2.25) kde h značíme integrál z / ( L , Ĺ) násobené prvním sčítancem v závorce a h značíme integrál z / ( L , L ) násobené druhým sčítancem. Integrály h a h řešíme metodou per partes a po úpravách dostaneme ŕ f 1 1 , Ľ+vij^i? i \ , 1 l + y / T ^ Ž 2 - In , , (2.26) 2 l-VT^L? 7 2 = A ^ ^ ľ ^ l n z 7 T ^ ^ + ^ Z w ^ l d L i i + \ / r ^ ž 2 - l n 2 Dosazením za Ti a ^ v rovnici (2.25) dostáváme - l n ( l + V Í - L A . (2.27) - l n r _ ( L ) = l n 1 + ^ 1 ^ - ln ( l + y 7 ! - L 2 ) , (2.28) 1 — v 1 — L 2 ^ ' a tedy r_(L) = l - V T ^ L 2 . (2.29) Kapitola 2. Inverzní problém 16 Protože v bodě vratu je L — p, našli jsme radiální souřadnici r jako funkci p: r(p) = 1 (2.30) neboli r — l — y l — [rn)2 . Odtud již snadno vyjádříme hledaný index lomu ( 2 . 3 1 ) r < 1, (2.32) což je skutečně index lomu Eatonovy čočky. Příklad 2: Luneburgova čočka Jako druhý příklad použití (2.12) uvedeme Luneburgovu čočku, která má stejně jako Eatonova jednotkový poloměr, a platí pro ni tedy ro = 1 = LQ. ATI (L) pro Luneburgovu čočku určíme z ATI (L) Eatonovy čočky využitím transmutace. Index lomu v Luneburgově čočce je transmutací indexu lomu v Eatonově čočce vynásobeného jednou polovinou, viz sekce 1.2.1. Čas, který stráví daný paprsek v Luneburgově čočce, je tak roven polovině doby, kterou stráví jeho obraz v Eatonově čočce. Protože transformace analytickou funkcí zachovává úhly, je úhel, který svírá daný paprsek s radiálním směrem, v obou prostředích stejný. Proto se paprsek s daným momentem hybnosti zobrazí na paprsek o stejném momentu hybnosti. Vynásobením ATI (L) Eatonovy čočky (2.3) jednou polovinou tak získáme ATI (L) pro Luneburgovu čočku: ATI (L) pro Luneburgovu čočku se od ATI (L) Eatonovy čočky (2.3) liší pouze faktorem 1/2. Můžeme tak využít výsledků předchozího příkladu a rovnici pro index lomu v Luneburgově čočce získat drobnou úpravou rovnice (2.28) - vynásobením její pravé strany faktorem 1/2: (2.33) (2.34) Odtud dostaneme r jako funkci p (2.35) a hledaný index lomu je tak n — \fl — r2 , r < 1. (2.36) Kapitola 2. Inverzní problém 17 Vztah mezi body vratu Kromě nalezení indexu lomu nám inverzní formule také umožňují najít vztah mezi body vratu paprsků v určitém typu prostředí. Uvažujme index lomu, ve kterém paprsky opisují prostorově omezené trajektorie a který vyhovuje předpokladům části 2.2.3. Zvolme ro = 1 = LQ. Podívejme se, co dostaneme, budeme-li požadovat, aby paprsek strávil na cestě od vnitřního bodu vratu k jednotkové kružnici pevně danou část doby, za kterou se dostane z vnitřního bodu vratu do vnějšího, tedy aby platilo A T I ( L ) = / ? A T ( L ) (2.37) pro nějaké konstantní p G (0,1). Z rovnic (2.12) a (2.24) dostaneme - l n r _ ( L ) = j p l n ^ Í , (2.38) odkud získáme vztah mezi body vratu: r+{L) = rý{L). (2.39) Zdůrazněme, že pro získání tohoto výsledku není třeba znát konkrétní předpis funkce / , výsledek plyne již ze skutečnosti, že funkce / existuje. Konstantní A T Podívejme se ještě na speciální případ prostředí, ve kterém platí (2.37), a to na prostředí, kde je navíc A T konstantní. V souvislosti s absolutními instrumenty nás tento případ zajímá, protože je-li A T konstantní, pak je konstantní i úhel A

\. Za čas A T dorazí všechny paprsky do svého dalšího bodu vratu. Tyto body vratu leží na vlnoploše, která musí být kolmá k paprskům, a proto mají všechny body vratu stejnou polární souřadnici (fe. Uhel mezi body vratu A

l . (2.47) Vyjádřením n z rovnic (2.46) a (2.47) zjistíme, že pro jt> = 1 /2 je hledaným indexem lomu tzv. zobecněné Maxwellovo rybí oko: = r l - ^ / A T + r l + ^ / A T - < 2 - 4 8 > Pokud je A T rovno racionálnímu násobku čísla 7t, tak paprsky opisují uzavřené trajektorie, přičemž uvnitř jednotkové kružnice stráví stejnou dobu jako vně. Pro p ^ 1/2 je hledaný index lomu kombinací dvou zobecněných Maxwellových ok: nír) = -, ^—r—, (2.49) { X r < 1 2PA 1 ~ (2-50) 2 ( p - l ) A T r > 1 Závěrem kapitoly poznamenejme, že jak jsme viděli, inverzní problém lze formulovat i pomocí času - ať už času, za který paprsek projde čočkou (viz 2.2.1), nebo času, za který dorazí od jednoho bodu vratu k následujícímu (viz 2.2.3). Zároveň jsme ovšem viděli, že řešení takto formulovaného inverzního problému je značně komplikované, jak je patrné z tvaru funkce / (2.21), což znesnadňuje použití získaných výsledků. Kapitola 3 Frekvenční spektra a módy V této a zbývajících kapitolách se budeme věnovat absolutním instrumentům z pohledu vlnové optiky. Budeme uvažovat absolutní instrumenty jako prostředí bez absorpce a bez disperze, tj. zanedbáme závislost indexu lomu na frekvenci. Naše úvahy budeme směřovat ke konkrétnímu příkladu absolutního instrumentu, kterým bude 2D instrument s Hookovým profilem indexu lomu. V této kapitole, kterou věnujeme spektrům a módům, si připravíme půdu pro následující kapitoly, ve kterých budeme analyzovat chování pulsu (kapitola 4) a vlnových klubek (kapitola 5) v Hookově profilu a prozkoumáme, jak se změní charakter šíření vln, obklopíme-li instrument kruhovým zrcadlem. Budeme uvažovat skalární vlny, jejichž šíření je v prostředí s indexem lomu n(r) určeno vlnovou rovnicí , . n2 (r) d2 y/(r,t) . . 1S A y ( r , ř ) - y Y d y =q(r,t), (3.1) kde c je rychlost světla ve vakuu a q je funkce popisující zdroje vlnění. V této a následujících kapitolách budeme používat jednotky, ve kterých je c — 1. Ve dvourozměrném prostředí při takové volbě polarizace, že vektor intenzity elektrického pole směřuje kolmo k rovině instrumentu, je (3.1) rovnicí pro intenzitu elektrického pole. V případě, kdy nejsou přítomny žádné zdroje, tj. g(r, t) — 0, a za předpokladu harmonické závislosti v/na čase, y(r,í) — i//(r)e~i a w , dostaneme pro ty/(r) Helmholtzovu rovnici Ay(r) + © V (r) \jf(r) = 0. (3.2) V této kapitole budeme hledat řešení Helmholtzovy rovnice, tedy módy absolutních instrumentů, a příslušná spektra frekvencí co. Nejprve v sekci 3.1 představíme analogii mezi Helmholtzovou a Schródingerovou rovnicí, díky které jsme například schopni analyticky vyjádřit spektrum a módy v Hookově profilu indexu lomu ze známého spektra a stacionárních stavů harmonického oscilátoru. V sekci 3.2 pak popíšeme, jakým způsobem získáme spektrum a módy v Hookově profilu se zrcadlem. 3.1 Módy analyticky Ukážeme, jak lze využít výsledků známých z kvantové mechaniky částice v potenciálové jámě k určení frekvenčních spekter a módů některých absolutních instrumentů. Ze známého spektra energií a příslušných vlastních funkcí kvantové částice v potenciálové jámě můžeme pro -19- Kapitola 3. Frekvenční spektra a módy 20 určitý typ potenciálů V (r) vhodným naskakováním vlastních funkcí získat módy absolutního instrumentu s indexem lomu odpovídajícím potenciálu V(r). Přitom využíváme formální podobnosti Helmholtzovy a stacionární Schródingerovy rovnice. Uvedený postup je platný pro 2D i 3D absolutní instrumenty a v části 3.1.1 ho využijeme k analytickému vyjádření frekvenčního spektra a módů absolutního instrumentu s Hookovým profilem indexu lomu. Uvažujme absolutní instrument s rozložením indexu lomu n(r), kde šíření paprsků odpovídá pohybu klasické částice o jednotkové hmotnosti s energií e v potenciálu V(r). Pak jsou index lomu a tento potenciál propojeny vztahem n2 (r) = e - V ( r ) . (3.3) Uvažujme nyní kvantovou částici o jednotkové hmotnosti v potenciálové jámě zadané stejným potenciálem V(r). Povolené energie vázaných stavů kvantové částice a jim příslušné vlnové funkce splňují stacionární Schródingerovu rovnici A0(r) + 2 [ £ - V ( r ) ] 0 ( r ) = O, (3.4) kde jsme položili h — 1. Předpokládejme, že známe spektrum energií Ej a vlastní funkce j (r). S jejich pomocí chceme najít spektrum frekvencí a módy absolutního instrumentu s indexem lomu n(r), který souvisí s potenciálem V(r) prostřednictvím rovnice (3.3). Hledané frekvence (Oj a módy y/)-(r) splňují Helmholtzovu rovnici Ay(r) + © V (r) \jf(r) = 0. (3.5) Na první pohled je patrná podobnost rovnic (3.4) a (3.5). Tu můžeme pro určitý typ potenciálů využít k nalezení frekvencí (Oj a módů y/j. Odlišnost rovnic (3.4) a (3.5) tkví v přítomnosti potenciálu V(r), který je stejný pro všechny dvojice Ej, j(r). Aby rovnice (3.4) přešla na (3.5), potřebujeme s měnícím se j nějakým způsobem měnit potenciál V(r). Zaveďme proto klíčový předpoklad ohledně průběhu potenciálu: předpokládejme, že potenciál je homogenní funkcí souřadnic stupně s, tj. platí V{ar) = as V{r) (3.6) pro určité nenulové reálné s a pro každé kladné a. Vezměme nyní Schródingerovu rovnici (3.4) pro Ej a j(r) a proveďme škálování parametrem aj, jehož hodnotu určíme později: n-^O/r, 0 / G R + . (3.7) Tím dostaneme A a . r ^ ( a i - r ) + 2 [ J E y - - y ( a y r ) ] j(ajr) = 0, (3.8) kde A a . r označuje Laplaceův operátor, ve kterém namísto souřadnic vektoru r vystupují souřadnice vektoru Oí/r. Rovnici (3.8) vynásobíme aj, a protože ccJAajr — A, dostaneme A^(ay -r) +2aj [Ej - ajV(r)] 0/(ct;r) = 0, (3.9) kde jsme také využili skutečnosti, že potenciál je homogenní funkcí stupně s. Pokud pro dané Ej najdeme a j takové, aby platilo Ej — ea1 -, kde e bylo zavedeno v rovnici (3.3), můžeme cd Kapitola 3. Frekvenční spektra a módy 21 ze závorky ve druhém členu rovnice (3.9) vytknout a v závorce pak zůstane výraz e — V(r), který je roven n2 (r). Rovnice (3.9) tak přejde na A0j(ay -r) + aj+s nz (r)(j)j(ajr) = 0. (3.10) Vidíme, že řešení Schrôdingerovy rovnice naškálované vhodně zvoleným parametrem je řešením Helmholtzovy rovnice s frekvencí určenou tímto parametrem. Ze známého spektra energií kvantové částice v potenciálu, který je homogenní funkcí, získáme spektrum frekvencí absolutního instrumentu takto: pro jednotlivé hodnoty energií Ej najdeme škálovací parametry aj podle vztahu Ej = £ďj, (3.11) odpovídající frekvence je pak dána jako (Oj = af+s)l2 . (3.12) Spektrum frekvencí absolutního instrumentu tedy souvisí s energiemi kvantové částice prostřednictvím vztahu \ — *>/=(?)*• ( 3 '1 3 ) Příslušný mód y)-(r) absolutního instrumentu dostaneme naškálováním vlnové funkce (j>j(r) parametrem ay. yfj(r) = (j>j(ajr). (3.14) 3.1.1 Analytické vyjádření spektra a módů pro Hookův profil Postup uvedený v předchozí části použijeme pro analytické vyjádření spektra frekvencí a módů 2D instrumentu s Hookovým profilem indexu lomu. Využijeme přitom analogie s 2D harmonickým kvantovým oscilátorem. Hookův profil indexu lomu je dán předpisem n(r) = \f2-r1 . (3.15) Tento vztah použijeme i pro r > y/2, kde je index lomu imaginární. Do této oblasti zasahují vlny pouze evanescentně, a jsou tedy prostorově omezené, což má za následek diskrétní povahu frekvenčního spektra. S indexem lomu (3.15) je spojen harmonický potenciál r 2 V(r) = - (3.16) prostřednictvím vztahu (3.3) s hodnotou e = 1. Potenciál (3.16) je homogenní funkcí druhého stupně, máme tedy s — 2. Ze vztahů (3.13) a (3.12) v předchozí části dostáváme pro s — 2 souvislost mezi spektrem energií kvantového oscilátoru a spektrem frekvencí absolutního instrumentu: Ej = CDj = a]. (3.17) Kapitola 3. Frekvenční spektra a módy 22 Spektrum C0j je shodné se spektrem Ej a škálovací parametr je pro dané j roven y/čS]. Spektrum energií izotropního 2D harmonického oscilátoru známé z kvantové mechaniky [23]je Emp= \m\ +1+2/7, m G { . . . , - 1 , 0 , 1 , . . . } , (3.18) p G { 0 , 1 , 2 , . . . } . Příslušné stacionární stavy vyjádřené v polárních souřadnicích (r, mp(r, y/côr: ¥mp(r, (p) = V^Nmp ofi M L ^ 1 {m2 ) e - ^ + i m < P , (3.22) kde co je pro dané map určena vztahem (3.21). Funkce \pmp je navíc oproti mp (3.19) vynásobená y/čô, aby zůstalo zachováno normování. V sérii grafů 3.1 je vykreslena radiální závislost módů, tj. \ffmp(r, 0), pro několik nejnižších hodnot mapa pro srovnání také radiální závislost vlastních funkcí mp(r,0) harmonického oscilátoru. 3.1.2 Od Keplerova profilu ke dvourozměrnému atomu vodíku Analogie mezi Helmholtzovou a Schródingerovou rovnicí lze využít i opačným směrem, tj. ze známého spektra frekvencí absolutního instrumentu získat spektrum energií kvantové částice. Můžeme tak například ze spektra 2D absolutního instrumentu s Keplerovým profilem určit spektrum energií dvourozměrné obdoby atomu vodíku. Spektrum a módy v Keplerově profilu Spektrum frekvencí a módy v absolutním instrumentu s Keplerovým profilem indexu lomu najdeme využitím souvislosti Keplerova a Hookova indexu lomu, kterou jsme se zabývali Kapitola 3. Frekvenční spektra a módy 23 v části 1.2.1 o transmutaci. V části 1.2jsme ukázali, že řeší-li funkce ty/ Helmholtzovu rovnici s nějakým indexem lomu, pak funkce ty/ v souřadnicích transformovaných analytickou funkcí řeší Helmholtzovu rovnici s transformovaným indexem lomu (1.19). Souřadnice v rovině (x, y) jsme spojili v komplexní proměnnou z — x + iy. Viděli jsme, že Hookův index lomu se při transformaci souřadnic funkcí w (z) — z2 transmutuje na index lomu =\m\ + \+P> m ^ { . . . , - 1 , 0 , 1 , . . . } , (3.25) P e {0,1,2,...}. Módy v Keplerově indexu lomu (označeny indexem K) získáme z módů v Hookově profilu (index H) jako < P f c P ) = V & ) P ( v ^ f l > / 2 ) . (3.26) Spektrum 2D atomu vodíku Paprskům v Keplerově profilu indexu lomu odpovídá klasická částice s energií e = —1/2 v potenciálu V(r) = - - , (3.27) r který je homogenní funkcí stupně s = — 1. S využitím vztahu mezi spektrem absolutního instrumentu a spektrem kvantové částice (3.13) dostaneme ze spektra frekvencí absolutního instrumentu s Keplerovým profilem (3.25) spektrum energií atomu vodíku ve dvou rozměrech: Kapitola 3. Frekvenční spektra a módy 24 Charakter spektra je velmi podobný 3D případu [24], ve kterém je E ip = - — — - — 7 7 2 ' (3-29) 2(l + p + l)z kde / je vedlejší kvantové číslo a p udává počet nulových bodů radiální části vlnové funkce. Dvourozměrný případ se od trojrozměrného liší pouze záměnou / + 1/2 za m [17]. 3.2 Módy numericky V kapitolách 4 a 5 budeme zkoumat šíření pulsů a vlnových klubek ve 2D absolutním instrumentu s Hookovým profilem indexu lomu, přitom nás bude mimo jiné zajímat, jak se změní šíření vlnění, přidáme-li do Hookova profilu kruhové zrcadlo. Zatímco v případě Hookova profilu bez zrcadla umíme spektrum frekvencí a módy vyjádřit analyticky, v případě se zrcadlem tomu tak není a je nutno použít numerický výpočet. Při hledání frekvencí a módů v Hookově profilu se zrcadlem postupujeme tak, že problém hledání frekvencí (O a vlnových funkcí ty/, které vyhovují Helmholtzově rovnici (3.2) převedeme na problém vlastních hodnot a vlastních vektorů, který pak řešíme numericky. V této části ukážeme, jakým způsobem převedeme hledání spektra a módů na problém vlastních hodnot a vlastních vektorů, a v sekci 3.2.1 předvedeme vlnové funkce a frekvence, které jsou výsledkem numerického výpočtu. Uvažujme 2D radiálně symetrický profil indexu lomu n(r) s kruhovým zrcadlem o poloměru R se středem v počátku soustavy souřadnic. Helmholtzovu rovnici (3.2) přepíšeme do polárních souřadnic (r, ľ [rÉj'(r)&(r) + (1 +2m) Éj(r)&(r)] dr + 0 ) 2 Y > ľ rn2 (r)^(r^k(r)ár = 0. (3.36) S definicí matice t/^ Ujk = - £ [rtfW&r) + (1 +2m) Éj(r)&(r)] dr (3.37) můžeme rovn ici (3.36) zapsat zkráceně jako G)2 '£ajGjk = 1 £ajUjk, (3.38) což je zobecn ěn ý vlastn í problém pro vlastn í hodnoty CO a vlastní vektory se složkami aj. Hledané frekven ce a módy získáme tak, že vezmeme konečný počet bázových funkcí Č,j, pro pevné m spočítáme prvky matic G a U a numerickým řešením zobecněného vlastního problému (3.38) dostaneme pro dané m hodnoty frekvencí CO a složky aj k nim příslušných vlastních vektorů v v bázi č,j. Tím získáme přibližnou radiální část u(r) — v (r) r™ vlnové funkce ty/(r, mp harmonického oscilátoru (vpravo) pro několiknejnižších hodnot m a p . V grafech módů \i/mp je čárkovanou čarou vyznačen poloměr r — y/l, kde je n — 0 a za který zasahují vlny pouze evanescentně. Kapitola 3. Frekvenční spektra a módy 27 m-O m= 1 p = 0 p=l p = 2 p = 3 Obrázek 3.2: Radiální závislost numericky spočítaných módů v Hookově profilu indexu lomu se zrcadlem v R = y/l. Módy číslujeme obdobně jako v případě bez zrcadla dvojicí indexů map, kde m má význam prostorové frekvence módu v úhlovém směru a p udává počet nulových bodů radiální části módové funkce. Kapitola 3. Frekvenční spektra a módy 28 20 40 60 Obrázek 3.3: Spektrum frekvencí v Hookově profilu indexu lomu se zrcadlem v R — y/2 a bez zrcadla. U módů s velkou hodnotou \m\ je korekce frekvence nejmenší, protože tyto módy v Hookově profilu téměř nezasahují do evanescentní oblasti, a přidání zrcadla je tak ovlivní jen málo. Naopak módy s malou hodnotou \m\ zasahují do evanescentní oblasti výrazněji, a přidání zrcadla tak způsobí větší změnu jejich frekvencí. Kapitola 4 Síření pulsu V této kapitole se podíváme, jaké vlnění vznikne v instrumentu vlivem bodového zdroje působícího po krátký časový úsek. Odvodíme Greenovu funkci, která určuje časový vývoj vlnění a spočítáme výraz pro časovou závislost koeficientů v rozvoji vlny do medových funkcí. Ukážeme, jak se šíří puls v Hookově profilu indexu lomu bez zrcadla a v Hookově profilu se zrcadlem. Vybuzení pulsů sérií bodových zdrojů použijeme v dalších kapitolách k vytvoření vlnového klubka. 4.1 Greenova funkce Při zkoumání šíření pulsů v absolutních instrumentech budeme potřebovat nalézt řešení nehomogenní vlnové rovnice A¥-n2 (r)^-=q(r,t), (4.1) kde q(r,t) popisuje působen í zdrojů vln ěn í. Učiníme tak metodou Greenovy funkce. Greenova funkce je řešením vlnové rovnice se zdrojem q(r,t) — 8 (r — ro) ô (t — to): ( A - n2 (r) ^ \ G(r, t; r0 , to) = 8(r - r0)8(t - to). (4.2) Greenova funkce G(r,ř;ro,řo) tak představuje pole v bodě r v čase t vyvolané bodovým zdrojem umístěným v bodě ro působícím po nekonečně krátký čas kolem okamžiku řoBudeme používat tzv. retardovanou Greenovu funkci, pro niž platí G(r, t; ro, ro) = 0 pro t < to. Se známou Greenovou funkcí pak získáme řešení vlnové rovnice s obecným zdrojem q(r,t) za předpokladu, že veškerá vlna vznikla působením tohoto zdroje, tedy y/(r, t —> —oo) = 0, jako \ff(r,t) = í ár0 í dř0 G(r,ř;r0 ,řo)^(ro,řo)- (4.3) JV J-co V této podkapitole nejprve najdeme Greenovu funkci pro Helmholtzovu rovnici a poté s jejím využitím i Greenovu funkci pro vlnovou rovnici. -29- Kapitola 4. Síření pulsu 30 4.1.1 Greenova funkce pro Helmholtzovu rovnici Absolutní instrumenty, kterými se zabýváme, mají diskrétní spektrum frekvencí a módů. Módy y/j příslušné frekvencím (ůj jsou řešením Helmholtzovy rovnice Aví/(r) + ©?n2 (r) y/j{r) = 0, (4.4) kde j zastupuje všechny indexy, kterými jsou jednotlivé módy označeny. Funkce y/j příslušné různým frekvencím (ůj jsou navzájem ortogonální s vahou n2 (r), což dokážeme následovně. Vezměme rovnici (4.4) pro j-tý mód, vynásobme j i yr* (r) a integrujme přes objem instrumentu. Dostaneme aj J n2 y/j y/* dr = - J y/* Ay/j dr. (4.5) Stejnou operaci provedeme pro navzájem zaměněné i a j. Výslednou rovnici komplexně sdružíme a odečteme od rovnice (4.5). Takto dostaneme O 2 - (O2 ) jv n2 y/j tfdr = Jv [y/j Ayr* - yr* Ay/j] dr. (4.6) Ukážeme, že pravá strana rovnice (4.6) je rovna nule. Oba členy integrandu upravíme následujícím způsobem: y/jAy/* = V.(y/jVy/*)-Vy/*.Vy/j. (4.7) Cleny se skalárním součinem gradientů se odečtou a pravá strana rovnice (4.6) přejde na í [ V . ( v í y V v í ) - V . ( v í ř V v í y ) ] d r . (4.8) J v Podle Stokesovy věty převedeme tento integrál na integrál po hranici V í [y/jVy/*-y/*Vy/j]-dS. (4.9) J aV V případě se zrcadlem jsou módy y/j na hranici nulové a v případě bez zrcadla jde objem instrumentu do nekonečna, kde jsou funkce y/j i jejich gradienty nulové. Integrál (4.9) je tak roven nule. Pravá strana rovnice (4.6) je tedy pro všechna i a j rovna nule, proto musí platit í v/y-(r) i//f(r)n2 (r)dr = 0 pro (ůj^(Ou (4.10) J v a módy příslušné různým frekvencím jsou tak navzájem ortogonální. Pokud je spektrum frekvencí degenerované a jedné hodnotě frekvence přísluší více módů, zvolíme je tak, aby byly ortogonální. Tím získáme ortogonální systém funkcí y/j, které navíc normujeme tak, aby ^ ^ • ( r ) v / ; ( r ) n 2 ( r ) d r = 5y 7 . (4.11) Nyní odvodíme Greenovu funkci pro Helmholtzovu rovnici Ga (r; ro), která je definována následovně: AGĎ ) (r;ro) + ©V(r)GĎ ) (r;ro) = 5 ( r - r o ) . (4.12) Kapitola 4. Síření pulsu 31 Greenovu funkci budeme hledat jako superpozici módových funkcí s neznámými koeficienty Ay. Gf l ,(r;r0 ) = £AJ -V0-(r). (4.13) j Dosazením tohoto rozvoje do (4.12) dostaneme £Ay(ffl2 -ffl?)n2 (r)vo-(r) = 5 ( r - r 0 ) . (4.14) i Vynásobením celé rovnice yf(r) a integrací přes r s využitím ortonormality funkcí vyjádříme koeficienty Ay. (O1 -(Oj a tím získáváme i samotnou Greenovu funkci pro Helmholtzovu rovnici G£ 0 (r,r0 ) = V: • (4-16) 4.1.2 Greenova funkce pro vlnovou rovnici Našli jsme Greenovu funkci pro Helmholtzovu rovnici a nyní se vraťme zpět k vlnové rovnici (4.1). Bodový zdroj lokalizovaný v bodě ro s harmonickou časovou závislostí e _ i a ) ^ _ í ° ) vyvolá odezvu Ga,(r;r0 )e-i í o ( í ~í o ) > piatí: (A-n2 (r)J^ [ G ^ r ^ e - ^ - ^ ] = ô(r-r0)o-[(O ^. (4.17) Hledaná Greenova funkce G(r,ř;ro,řo) představuje odezvu na zdroj <5(r — ro)<5(r — to). Abychom ji našli, rozložíme 8(t — to) prostřednictvím Fourierovy transformace na harmonické složky Q-'^'-'O) 1 8(t-t0) = — e-m ('-'°)d(0 (4.18) 2n J-co a sečteme odezvy na tyto složky. Greenovu funkci G(r, t; ro, to) tak dostanemejako Fourierovu transformaci Gc o (r;ro): 1 r°° G(r,t;ro,to) = — G ^ r ^ e - ^ - ^ d © . (4.19) I7t J-co Dosazením vyjádření (4.16) za Gc o (r;ro) máme 1 ľ00 e^^'^'o) G(r,ř;r0 ,ř0 ) = —£v^(ro)VO(r ) / — 7 T d ř 0 - <4 -2 0 ) • J —00 CO — CO-J J Pro určení Greenovy funkce nám zbývá spočítat integrál 00 e - i c o ( ř - ř o j 00 co2 -co} dco. (4.21) Kapitola 4. Síření pulsu 32 Integrovaná funkce má na reálné ose singularity v bodech C0 — ±C0j. Výpočet proto rozšíříme do komplexní roviny, kde budeme řešit integrál po vhodně zvolené uzavřené křivce. Při integraci se vyhneme pólům na reálné ose tak, aby výsledek byl v souladu s fyzikální představou vlnění šířícího se v čase vpřed. Prakticky to provedeme tak, že k co ve jmenovateli přičteme kladný imaginární člen ie, čímž posuneme póly pod reálnou osu. Při této volbě dostaneme, jak vzápětí ukážeme, pro t < to nulový a pro t > to nenulový výsledek. Po integraci provedeme limitu £ —> 0 / oo e-ico(ř-řo) r e-ico(ř-řo) —= Tdco = lim / = -dco. (4.22) oo C02 -C0J e^Oj-oo ( ( o + i e ) 2 - 0 ) 2 J J Pro t > to uzavřeme křivku v dolní polorovině (viz obrázek 4.1), kde Im (O < 0, půlkružnicí s poloměrem jdoucím do nekonečna. Integrál po této půlkružnici je nulový a do celkové hodnoty křivkového integrálu přispívá pouze integrace po reálné ose. Z reziduové věty dostaneme výsledek integrace — (ln/(Oj) sin [aj (t— to)] (v limitě e —> 0). Pro t 0. Pak integrace po půlkružnici nepřispívá do integrálu. Vzhledem k tomu, že v horní polorovině nemá integrand žádné singularity, je celkový křivkový integrál, a tím i integrál po reálné ose, roven nule. Im OJ Im OJ Re OJ (a) ř > ř0 (b) t < t0 Obrázek 4.1: Volba integrační křivky při výpočtu integrálu (4.22) v komplexní rovině. Máme tedy co -ÍCO(Í-ÍO) í - | f sin [ ^ ( ř - ř o ) ! ř > řo —= Td0) = < •> (4.23) -oo coz -cof [o t < to Hledané vyjádření Greenovy funkce pro vlnovou rovnici je sin [o)j (t — to G (r, ř; ro, ř0 ) = - 0 (ř - řo) £ ^ ^ Wj (r0 ) ¥j M , (4.24) j <°j kde 6 (ř — řo) je Heavisidova skoková funkce s funkční hodnotou 0 pro t < to a 1 pro t > ÍQ. Kapitola 4. Síření pulsu 33 4.2 Výpočet koeficientů Působením zdroje q(r,t) vybudíme v absolutním instrumentu vlnu \j/(r,t). Funkci y/(r,t) lze v každém čase jednoznačně vyjádřit jako superpozici módů y/)-(r) s nějakými koeficienty Cj(t): oo \l/(r,t) = Y,Cj(t)Wj(r). (4.25) Nyní spočítáme výraz pro tyto koeficienty. Funkce y/)-(r) budeme uvažovat normované s váhovou funkcí n2 (r), tedy / Vj{r)Yt(r)n2 (r)dr = ôjk. Vlnění y/(r,t) vzniklé působením zdroje q(r,t) je určeno Greenovou funkcí jako \l/(r,t)= í d r 0 f dt0 G(r,ř;r0 ,řo) q(r0,t0). JV J-oo Greenovu funkci (4.24) pro účely tohoto výpočtu zapíšeme pomocí exponenciál: (4.26) (4.27) G(r,r;r0 ,ro) = e ( f - í o ) X 1 ,-i(»/(ř- + 7c). (4.37) Máme-li prostorovou závislost vlny y v nějakém čase, pak rotací o TC a obrácením znaménka dostaneme prostorové rozložení vlny v čase o n později. Zejména je-li vlna v čase t lokalizovaná kolem nějakého bodu, pak v čase t + n bude lokalizovaná s opačnou výchylkou kolem protilehlého bodu. 4.3.2 Šíření pulsu Obecné rysy šíření vlnění v Hookově profilu indexu lomu bez zrcadla popsané výše demonstrujeme simulací šíření pulsu v tomto prostředí. Pro srovnání se také podíváme na vývoj pulsu Kapitola 4. Síření pulsu 36 v absolutním instrumentu s Hookovým profilem indexu lomu, který je obklopen zrcadlem o poloměru R — \fl. Spektrum frekvencí a módy tohoto instrumentu jsme představili v sekci 3.2.1. Obrázky 4.4 až 4.6 ukazují časový vývoj pulsu vyslaného z bodu r — 0,8. Použili jsme zdroj s časovou závislostí ve tvaru (4.31) s frekvencí COo — 10 a šířkou At — 0,2 lokalizovaný kolem času tz — 0. Série obrázků zachycuje vývoj pulsu v průběhu jedné periody vlnové funkce v Hookově profilu bez zrcadla. Obrázky jsou uspořádány ve dvojicích, kde vždy levý z obrázků ukazuje puls v Hookově profilu bez zrcadla a pravý obrázek ukazuje puls v Hookově profilu se zrcadlem. V obrázcích je vykreslena kružnice v r — y/2, kde je n — 0 a v pravém obrázku je zde umístěno zrcadlo. Sloupec vlevo znázorňuje rostoucí čas, přičemž celá výška sloupce odpovídá času 2TÍ, tedy jedné periodě vlnové funkce v Hookově profilu bez zrcadla. Animace 1 na přiloženém C D ukazuje šíření tohoto pulsu až do času 6TÍ. V Hookově profilu bez zrcadla je šíření pulsu podle očekávání periodické s periodou 2TÍ. Vzhledem k závislosti koeficientů Cj(t) na čase prostřednictvím sinu, Cj(t) ~ sin [cOj (t — řz )], viz vyjádření (4.35), je vlnová funkce v časech, které jsou celými násobky TÍ, nulová. Všimněme si dále, že puls, který je původně lokalizován napravo od středu, se blíží jako sbíhavá vlna k protilehlému bodu. Při průchodu „ohniskem" dojde ke změně fáze a v čase krátce po t — TÍ je v souladu s úvahami vyloženými v sekci 4.3.1 vlna lokalizována kolem bodu protilehlého výchozímu s opačnou výchylkou, než měla krátce po t — 0. Naproti tomu puls v Hookově profilu se zrcadlem, jak je vidět v sérii obrázků a ještě lépe v animaci, periodický není, časem se deformuje a rozplývá se, což souvisí s tím, že spektrum v Hookově profilu se zrcadlem nevykazuje takovou pravidelnost jako v případě bez zrcadla. Obrázek 4.3 ukazuje puls v Hookově profilu se zrcadlem v časech, které odpovídají necelým dvěma a třem periodám klubka v instrumentu bez zrcadla. Vidíme, že puls je už značně zdeformovaný a delokalizovaný. Na přiloženém C D je zařazena také animace, která zachycuje časový vývoj pulsu vyslaného ze středu čočky v průběhu doby 6TÍ (animace 2). (b)(a) Obrázek 4.3: Puls v instrumentu se zrcadlem v časech, které odpovídají necelým dvěma (a) a třem (b) periodám klubka v instrumentu bez zrcadla. Obrázek 4.4: Časový vývoj pulsu, 1. část. Všimněme si, že v levých obrázcích vlna zasahuje i za kružnici r — \/2 a v pravých nikoliv. Obrázek 4.5: Časový vývoj pulsu, 2. část. Obrázek 4.6: Časový vývoj pulsu, 3.část. Kapitola 5 Vlnová klubka V této kapitole se budeme zabývat chováním vlnových klubek ve 2D absolutním instrumentu s Hookovým profilem indexu lomu. Jak jsme viděli v sekci 1.1.1, v Hookově profilu se paprsky šíří po elipsách se středem ve středu instrumentu. Paprskům s různým momentem hybnosti L odpovídají elipsy s různou výstředností. Nyní se podíváme na šíření světla v Hookově profilu z pohledu vlnové optiky. Paprsek o určitém momentu hybnosti nahradíme vlnovým klubkem, které se pohybuje po stejné elipse. Vysvětlíme některé aspekty šíření takovýchto vlnových klubek. Ukážeme, jak umístění zrcadla kolem instrumentu ovlivní chování vlnového klubka. Část 5.1 věnujeme vlnovému klubku, které odpovídá paprsku s maximálním momentem hybnosti. Takový paprsek, a tím i vlnové klubko opisují jednotkovou kružnici. V části 5.2 se podíváme na vlnové klubko, které se pohybuje po elipse. V části 5.3 ukážeme, jak se změní chování klubka, započítáme-li závislost indexu lomu na frekvenci, kterou až do části 5.3 zanedbáváme. 5.1 Vlnové klubko na jednotkové kružnici Při hledání způsobu, jakým bychom mohli vytvořit vlnové klubko, které co nejlépe odpovídá paprsku s určitým momentem hybnosti, se ukázalo, že vhodnou metodou je vybudit klubko řadou bodových zdrojů. Zdroje rozmístíme po oblouku kružnice nebo elipsy a z jednotlivých zdrojů postupně vyšleme puls. Při vhodném načasování pulsů vzniknejejich kombinací vlnové klubko, které se bude šířit po zvolené elipse či kružnici. Použijeme pulsy, kterými jsme se zabývali v předchozí kapitole, tj. pulsy, jejichž zdrojová funkce v čase osciluje se zvolenou frekvencí (OQ a je lokalizovaná kolem času tz. Celková zdrojová funkce bude mít tedy tvar ('-'z)2 q(r,t)= £ 5 ( r - r z ) c o s [ í O o ( ř - ř z ) ] e W . (5.1) zdroje Chceme vytvořit vlnové klubko, které odpovídá paprsku s maximálním momentem hybnosti, L = 1, opisujícímu jednotkovou kružnici. Polohy zdrojů, rz , proto umístíme podél oblouku jednotkové kružnice. Časy tz, ve kterých vyšleme jednotlivé pulsy, zvolíme vůči sobě vzájemně posunuté tak, aby doba, o kterou se liší časy vypuštění pulsů ze sousedních -40- Kapitola 5. Vlnová klubka 41 zdrojů, byla stejná jako doba, za kterou by dorazil paprsek od jednoho zdroje ke druhému. Paprsek urazí vzdálenost dl za čas dt — n(r)dl, a protože na jednotkové kružnici je index lomu roven jedné, je vzájemné zpoždění pulsů číselně rovno délce oblouku mezi nimi. Výsledná vlna vzniklá působením řady zdrojů popsaných funkcí (5.1) je kde y/j jsou kmitové módy absolutního instrumentu a koeficienty cj pro daný zdroj jsou určeny výrazem (4.35). Vlnové klubko, jehož časový vývoj je zachycen v obrázku 5.6, vzniklo působením 20 zdrojů rozmístěných po čtvrtině jednotkové kružnice. Zdroje byly umístěny v prvním kvadrantu ve vzájemných úhlových rozestupech n/AO. Byly použity zdroje o frekvenci řOo = 10 a šířce Gaussovy funkce At — 0,25. Obrázky jsou stejně jako v předchozí kapitole seřazeny ve dvojicích. Vlevo je vykresleno vlnové klubko v Hookově profilu indexu lomu bez zrcadla a obrázek vpravo ukazuje vlnové klubko v Hookově profilu se zrcadlem umístěným na poloměru R — \J2, kde je index lomu nulový. Čas je znázorněn rostoucím sloupcem vlevo s maximální výškou 2%. Animace vývoje vlnového klubka z obrázku 5.6 je zařazena na přiloženém C D (animace 3). Upozorněme, že začátek animace a první dva obrázky série 5.6, kdy klubko prochází prvním kvadrantem (ve kterém jsou umístěny zdroje), nezobrazují klubko v procesu jeho vzniku. Vzhledem k posunutí integrační meze v integrálu (4.33) při výpočtu koeficientů cj je to, co v úvodních obrázcích vidíme, výsledné klubko, tedy superpozice vln vyslaných ze všech zdrojů, volně propagované zpět v čase (viz komentář pod rovnicí (4.33)). Klubko v Hookově profilu bez zrcadla Zaměřme se nejprve na vlnové klubko v Hookově profilu indexu lomu bez zrcadla. Vidíme, že v souladu s úvahami popsanými v sekci 4.3.1 je vývoj klubka 2^-periodický, přičemž po polovině periody je vlna lokalizována v místě protilehlém výchozímu místu a má opačnou výchylku, než měla na počátku. Všimněme si také, že rychlost vlnoploch, tedy fázová rychlost klubka, je o něco větší než grupová rychlost, kterou se pohybuje klubko jako celek. Abychom lépe porozuměli tomuto jevu, podívejme se, které z módů jsou ve vlnovém klubku obíhajícím po jednotkové kružnici nejsilněji zastoupeny. Paprsku s daným momentem hybnosti L chceme přiřadit vlnu, která je charakterizována hodnotami indexu m, který určuje úhlovou závislost módů, a hodnotami vlnového čísla k — CO/c. Abychom našli spojitost mezi těmito veličinami, představme si na chvíli místo paprsku foton. Hybnost fotonu v prostředí s indexem lomu n je p = khn. Velikost jeho momentu hybnosti je \hnr x k| = hkL, což je zároveň rovno hm. Dostáváme tak souvislost mezi indexem m, vlnovým číslem k a momentem hybnosti L: y(r,f) = EvO'(r ) £ cj(t,tz,rz), (5.2) j zdroje m ~ kL. (5.3) Paprsek opisující jednotkovou kružnici je paprsek s nejvyšší možnou hodnotou momentu hybnosti L. Ve vlnovém klubku tak budou nejvíce zastoupeny módy, které mají pro dané m co nejmenší k. Protože používáme jednotky, ve kterých je c — 1, je vlnové číslo k číselně rovno Kapitola 5. Vlnová klubka 42 frekvenci (O. Ze spektra všech možných frekvencí (O (odvozeného v sekci 3.1.1) co \m\ + l+2p. m e { . . . , - 1 , 0 , 1 , . . . } . p e {0,1,2,...} (5.4) budou proto v superpozici nejsilněji zastoupeny módy s indexem p — 0. Toto zastoupení módů můžeme kvantifikovat například energií, která připadá na jednotlivé módy. Máme-li vlnu, která je superpozicí módů \\fmp s koeficienty cmp (t), pak podle R E F je energie připadající na mód \\fmp (5.5)Emp — A -mp\ ~l~ ®mp \ c mp\ kde A je konstanta a tečkou značíme derivaci podle času. V grafu 5.1 je pro uvažované klubko vynesena závislost energie, která připadá na mód \\fmp, na indexu m pro tři nejnižší hodnoty indexu p. Vidíme, že největší energii mají módy s indexem p — 0 a s indexem m okolo nějaké střední hodnoty, která souvisí s frekvencí zdrojů COQ. Energie módů s indexem p > 0 je daleko menší, pro p — 2 už je prakticky nulová. • p = 0 • p = 1 • p = 2 Obrázek 5.1: Energie módů v závislosti na indexu m pro tři nejnižší hodnoty indexu p. Dostáváme tak souvislost frekvence (O s indexem m (O & m+ 1. (5.6) Grupovou rychlost vlnového klubka najdeme jako rychlost, se kterou se pohybuje místo, kde jsou módy ve fázi, a interferují tedy konstruktivně. Fáze j-tého módu je nij(p — COjt. Jestliže v čase t jsou j-tý a l-tý mód ve fázi v místě s polární souřadnicí

i s At m: mi (5.7) Úhlová grupová rychlost tak souvisí se směrnicí závislosti (Onam a podle (5.6) je vg — 1. Kapitola 5. Vlnová klubka 43 Fázová rychlost je rychlost, kterou se pohybuje daná hodnota fáze, a je rovna frekvenci dělené vlnovým číslem. V našem případě, protože nás zajímá úhlová fázová rychlost (tj. úhlová rychlost pohybu vlnoplochy), hraje roli vlnového čísla index m. Úhlovou fázovou rychlost dostaneme jako v/ = - = l + - = l + — , (5.8) m m 2TÍ kde X je polární úhel, který vytyčuje jedna vlnová délka vln v klubku. Fázová rychlost je tedy větší než grupová rychlost o tolik, že daná fáze za dobu jedné periody urazí o jednu vlnovou délku větší vzdálenost než klubko samotné. To je přesně to, co pozorujeme v obrázcích 5.6 a v animaci 3. V prvním ze série obrázků 5.6, kde t — 0, má uprostřed klubka vlnová funkce kladné hodnoty (vykresleny modře) a naopak ve třetím z obrázků, kde t — Tí, má vlnové klubko uprostřed červenou barvu, která odpovídá záporným hodnotám vlnové funkce. Rychlost, kterou se pohybuje určitá fáze, je větší než rychlost pohybu klubka jako celku o tolik, že se modrý pruh za dobu TÍ dostane na místo červeného. Za dobu jedné periody pak modrý pruh v souladu s (5.8) „předběhne" klubko o jednu vlnovou délku. Klubko v Hookově profilu se zrcadlem Zaměřme teď svoji pozornost na vlnové klubko v Hookově profilu indexu lomu se zrcadlem (na obrázku 5.6 vpravo). V posledním obrázku ze série 5.6 již začíná být vidět, jakým způsobem ovlivní přidání zrcadla chování vlnového klubka. Fázová rychlost vln v klubku se přidáním zrcadla zvýší, což souvisí s tím, že přidáním zrcadla se zvýší hodnoty vlastních frekvencí, jak jsme viděli v části 3.2.1. Grupová rychlost vlnového klubka se naopak přidáním zrcadla zmenší. Že je tomu skutečně tak, je vidět v obrázku 5.2, který zachycuje vlnová klubka po delší době, konkrétně v časech t — 2TÍ a t — 4-TÍ. Na obrázcích je patrné, že oblast vlnového klubka s největšími výchylkami (nejvýrazněji vybarvené) se v instrumentu se zrcadlem zpožďuje vzhledem ke klubku v instrumentu bez zrcadla. Vlnové klubko v instrumentu se zrcadlem se navíc časem rozplývá. V grafu 5.3 je vykreslena závislost frekvence módů na indexu m pro případy se zrcadlem i bez zrcadla. Vidíme, že přidáním zrcadla jsou více ovlivněny módy s menším m, jejichž frekvence se zvýší výrazněji než u módů s větším m. Směrnice závislosti CO na m se tak zmenší a s tím souvisí menší grupová rychlost vlnového klubka. 5.2 Vlnové klubko na elipse Paprsek s momentem hybnosti L se v Hookově profilu indexu lomu šíří po elipse, přičemž body vratu jsou řešením rovnice rn(r) — L. Vlnové klubko, které odpovídá takovému paprsku vybudíme řadou bodových zdrojů rozmístěných po části této elipsy. Vyslání pulsů ze sousedních zdrojů opozdíme o čas, za který by paprsek dorazil od jednoho zdroje ke druhému, tj. /n(r) dl, kde integrujeme po oblouku elipsy mezi těmito zdroji. Obrázky 5.7 a 5.8 ukazují vlnové klubko, které odpovídá paprsku s momentem hybnosti L = 0,7. Klubko jsme vybudili řadou zdrojů umístěných podél čtvrtiny elipsy tak, jak je znázorněno v obrázku 5.4. Použili jsme zdroje o frekvenci COQ — 12 a šířce Gaussovy funkce Ar = 0,2. Kapitola 5. Vlnová klubka 44 (b) t = An Obrázek 5.2: Vlnové klubko na jednotkové kružnici v časech t — 2n a t — 4-n. Série obrázku 5.7 zachycuje vývoj vlnového klubka v Hookové profilu indexu lomu bez zrcadla v průběhu jedné periody. Obrázky jsou uspořádány podle rostoucího času do řádků. V obrázku 5.8 je vykresleno vlnové klubko v Hookově profilu se zrcadlem umístěným na poloměru R — y/l. Obrázek 5.8 ukazuje vývoj klubka od času t — 0 až po čas t — 3,3TT. Za tuto dobu vyková klubko necelé dva oběhy po elipse. Animace 4 na přiloženém C D nabízí srovnání vývoje tohoto vlnového klubka v Hookově profilu bez zrcadla a se zrcadlem. V obou případech, bez zrcadla i se zrcadlem, si můžeme všimnout, že fázová rychlost vlnového klubka je v oblastech kolem vzdálenějšího bodu vratu výrazně větší než v okolí bližšího bodu vratu, kde je téměř stejná jako grupová rychlost. V příloze je zařazena také animace vlnového klubka, které odpovídá paprsku s menším momentem hybnosti L — 0,2, a které tak opisuje elipsu o větší výstřednosti (animace 5). Přidání zrcadla způsobí změnu fázové a grupové rychlosti podobně jako u vlnového klubka obíhajícího po kružnici. Klubko v instrumentu se zrcadlem se také bude časem rozplývat. Kromě těchto jevů pozorovaných i v předchozí části o klubku na kružnici se v případě vlnového klubka na elipse objevuje s přidáním zrcadla další jev. V Hookově profilu se zrcadlem se elipsa, kterou klubko opisuje, stáčí proti směru, ve kterém klubko po elipse obíhá. Pro vysvětlení tohoto jevu se nejprve podívejme, jak se stáčí elipsa, po které se šíří pa- Kapitola 5. Vlnová klubka 45 a> 15 h • 10 • • se zrcadlem * • bez zrcadla 2 4 6 8 10 12 14 Obrázek 5.3: Frekvence módů, které jsou nejsilněji zastoupeny ve vlnovém klubku obíhajícím po jednotkové kružnici. prsek v absolutním instrumentu se zrcadlem o menším poloměru. Umístíme-li do absolutního instrumentu zrcadlo o takovém poloměru, aby ho paprsek zasáhl, bude se elipsa, jejíž část paprsek opisuje, otáčet. Při každém odrazu od zrcadla se elipsa stočí proti směru obíhání paprsku o úhel vymezený průsečíky elipsy se zrcadlem, jak je nakresleno v obrázku 5.5. Budeme-li místo paprsku sledovat vývoj vlnového klubka, které tomuto paprsku odpovídá, bude toto klubko kopírovat trajektorii paprsku. Když umístíme zrcadlo na poloměr R — A/2, tedy tak daleko, že paprsek k zrcadlu nedorazí a k odrazu nedojde, bude se přesto elipsa, po které se šíří klubko, stáčet. Děje se tak proto, že vlna na rozdíl od paprsku není úplně lokalizovaná a zasahuje až k zrcadlu. Zvolíme-li větší poloměr zrcadla, bude se elipsa stáčet pomaleji, jak je vidět v animaci 6, která srovnává vývoj klubka v Hookově profilu se zrcadlem na poloměru y/l a na poloměru 1,5. 5.3 Vlnové klubko s uvážením disperze Až doposud jsme v našich úvahách zanedbávali disperzi. Podívejme se na závěr, jak se změní chování vlnového klubka v absolutním instrumentu, vezmeme-li v úvahu závislost indexu lomu na frekvenci. Uvažujme index lomu ň(r, Co), který závisí na frekvenci CO prostřednictvím nějaké funkce h: n(r, co) = n(r)/z(ct)), (5.9) kde n(r) je index lomu absolutního instrumentu bez disperze. Jako n(r) použijeme opět Hookův profil indexu lomu. Index lomu pro vlnu o dané frekvenci tak bude mít stejný tvar jako původní profil bez disperze, pouze bude vynásobený konstantou. Vynásobením profilu indexu lomu konstantou se nezmění módy absolutního instrumentu. Změní se pouze hodnoty vlastních frekvencí. Původní vlastní frekvence CO absolutního instrumentu, ve kterém Kapitola 5. Vlnová klubka 46 neuvažujeme disperzi, se započítáním disperze změní na frekvence Čb tak, aby n(r)co — ň(r, cb)čb. Frekvence Čb budou tedy řešením rovnice CO — Čbh(cb). Pro jednoduchost budeme uvažovat funkci h ve tvaru h(cb) — ačb + b. Konstanty a a b volíme tak, aby h byla rostoucí a aby platilo h(l) — 1. Obrázek 5.9 ukazuje časový vývoj vlnového klubka v Hookově profilu s uvážením disperze (vpravo) ve srovnání s vlnovým klubkem v instrumentu, ve kterém disperzi nezapočítáváme (vlevo). Vlnové klubko se pohybuje po jednotkové kružnici a vzniklo použitím zdrojů s parametry At — 0,3 a Cůo — 9 při volbě konstant a — 0,003 a b = 0,997. Časový vývoj tohoto vlnového klubka je zachycen také v animaci 7. Vlastní frekvence se započítáním disperze zmenší, proto je fázová rychlost klubka v prostředí s disperzí menší než v prostředí bez disperze. Větší frekvence se zmenší výrazněji. To způsobí, že vlnové klubko v prostředí s disperzí se vzhledem ke klubku v prostředí bez disperze zpožďuje. V obrázcích také vidíme, že klubko v prostředí s disperzí se časem rozplývá. Animace 8 ukazuje srovnání vývoje vlnového klubka opisujícího elipsu v prostředí s disperzí a v prostředí, ve kterém disperzi neuvažujeme. Kapitola 5. Vlnová klubka 47 Obrázek 5.4: Rozmístění zdrojů (černé body), jejichž působením jsme vybudili vlnové klubko opisující elipsu. Obrázek 5.5: Stáčení elipsy, jejíž oblouky opisuje paprsek, v Hookově profilu se zrcadlem umístěným na poloměru R < \/2. Na kružnici vykreslené tenkou čarou je index lomu roven nule, kružnice vykreslená tlustou čarou představuje zrcadlo. Odrazem paprsku (plná modrá čára) se stočí elipsa, po které se paprsek šíří, o úhel /3 vzhledem k elipse, kterou by paprsek opisoval, kdyby tam zrcadlo nebylo (přerušovaná modrá čára). Obrázek 5.6: Vlnové klubko opisující jednotkovou kružnici. Obrázek 5.7 periody. : Vlnové klubko opisující elipsu v Hookově profilu indexu lomu v průběhu jedné Obrázek 5.8: Vlnové klubko opisující elipsu v Hookově profilu se zrcadlem. Obrázky zachycují vývoj klubka po dobu 3,3n. Všimněme si stáčení elipsy proti směru obíhání klubka. Obrázek 5.9: Vlnové klubko se započítáním disperze (vpravo) ve srovnání s vlnovým klubkem v prostředí bez disperze (vlevo). Závěr V této práci jsme se zabývali absolutními instrumenty, a to z pohledu geometrické i vlnové optiky. V první části práce věnované geometrické optice jsme se po úvodním připomenutí známé analogie mezi šířením paprsků a pohybem klasické částice zabývali transformací indexu lomu analytickou funkcí a transmutací potenciálů. Ve druhé kapitole jsme se věnovali inverznímu problému ve sféricky symetrickém prostředí. Ukázali jsme, že inverzní problém lze formulovat nejen pomocí rozptylového úhlu nebo úhlu vymezeného body vratu paprsku. Další možností je zadat zobrazovací vlastnosti prostředí pomocí času, který stráví paprsek uvnitř čočky, nebo času, za který paprsek dorazí z jednoho bodu vratu do druhého. Přínosem této práce je vyřešení inverzního problému zadaného pomocí času. Inverzní problém jsme vyřešili pro případ čočky vnořené v opticky homogenním prostředí i pro případ prostředí, ve kterém jsou paprsky omezené na určitou oblast prostoru. Použití inverzních formulí jsme demonstrovali na několika příkladech. Ve druhé části práce jsme se zabývali vlnami v absolutních instrumentech, zejména v Hookově profilu indexu lomu. Z analogie mezi Helmholtzovou a Schródingerovou rovnicí jsme našli analytické vyjádření spektra frekvencí a módů v absolutním instrumentu s Hookovým profilem. Numericky jsme spočítali vlastní frekvence a módy v instrumentu s Hookovým profilem indexu lomu obklopeném kruhovým zrcadlem. S využitím Greenovy funkce jsme v těchto dvou instrumentech zkoumali časový vývoj pulsu vybuzeného bodovým zdrojem. Přínos diplomové práce spočívá ve vytvoření a prozkoumání chování vlnových klubek v absolutním instrumentu. K vybuzení vlnového klubka odpovídajícího paprsku o zvoleném momentu hybnosti jsme použili řadu bodových zdrojů. Vytvořili jsme animace srovnávající vývoj vlnových klubek v Hookově profilu bez zrcadla a se zrcadlem. Analyzovali jsme chování těchto klubek a vysvětlili jsme některé pozorované jevy. Viděli jsme, že na rozdíl od paprsků je chování vln přidáním zrcadla znatelně ovlivněno. Na závěr jsme opustili předpoklad prostředí bez disperze a prozkoumali jsme, jak se započítáním závislosti indexu lomu na frekvenci změní chování klubka. -52- Příloha CD s animacemi Animace 1. Časový vývoj pulsu vyslaného z bodu r — 0,8 zdrojem o frekvenci (ŮQ = 10 a šířce Ar = 0,2. Srovnání případů bez zrcadla (vlevo) a se zrcadlem (vpravo). Animace 2. Časový vývoj pulsu vyslaného z bodu r — 0 zdrojem o frekvenci (OQ = 10 a šířce Ar = 0,2. Srovnání případů bez zrcadla (vlevo) a se zrcadlem (vpravo). Animace 3. Vlnové klubko opisující jednotkovou kružnici. Klubko vzniklo působením 20 zdrojů o frekvenci řOo = 10 a šířce Ar = 0,25 rozmístěných po čtvrtině kružnice. Srovnání případů bez zrcadla (vlevo) a se zrcadlem (vpravo). Animace 4. Vlnové klubko odpovídající paprsku s momentem hybnosti L — 0,7. Klubko vzniklo působením zdrojů o frekvenci řOo = 12 a šířce At — 0,2. Srovnání případů bez zrcadla (vlevo) a se zrcadlem (vpravo). Animace 5. Vlnové klubko odpovídající paprsku s momentem hybnosti L — 0,2. Klubko vzniklo působením zdrojů o frekvenci řOo = 12 a šířce At — 0,2. Srovnání případů bez zrcadla (vlevo) a se zrcadlem (vpravo). Animace 6. Srovnání vlnových klubek opisujících elipsu v Hookově profilu se zrcadlem na poloměru R\ — \fl (vlevo) a se zrcadlem na poloměru Ri — 1,5 (vpravo). Paprsek odpovídající těmto klubkům by měl moment hybnosti L — 0,5. Byly použity zdroje o frekvenci a>0 = 12 a šířce At — 0,2. Animace 7. Vlnové klubko opisující jednotkovou kružnici v prostředí s disperzí (vpravo) ve srovnání s klubkem v prostředí, kde disperzi neuvažujeme (vlevo). Klubko vzniklo působením zdrojů o frekvenci řOo = 9 a šířce At — 0,3. Animace 8. Vlnové klubko odpovídající paprsku s momentem hybnosti L — 0,4 v prostředí s disperzí (vpravo) ve srovnání s klubkem v prostředí, kde disperzi neuvažujeme (vlevo). Klubko vzniklo působením zdrojů o frekvenci řOo = 10 a šířce At — 0,25. -53- Seznam použité literatury [1] Born, M . , Wolf E., Principles of optics, Cambridge University Press (2003). [2] Maxwell J. C , Problems, Cambridge and Dublin Mathematical Journal 8, 188 (1854). [3] Pendry J. B., Negative Refraction Makes a Perfect Lens, Physical Review Letters 85, 3966(2000). [4] Mifiano J. C , Perfect imaging in a homogeneous three-dimensional region, Optics Express, 66-71 (1952). [5] Eaton J. E., On spherically symmetric lenses, Transactions on Antennas and Propagation 14,9627-9635(2006). [6] Luneburg, R. K . Mathematical theory of optics, University of California Press (1964). [7] Tyc T , Herzánová L., Sarbort M . , Bering K., Absolute instruments and perfect imaging in geometrical optics, New Journal of Physics 13, 115004 (2011). [8] Tyc T , Magnifying absolute instruments for optically homogeneous regions, Physical Review A 84, 031801 (2011). [9] Leonhardt U., Perfect imaging without negative refraction, New Journal of Physics 11, 093040(2009). [10] Leonhardt U., Philbin T , Perfect imaging with positive refraction in three dimensions, Physical Review A 81, 011804 (2010). [11] M a Y. G., Sahebdivan S., Ong C. K., Tyc T , Leonhardt U., Evidencefor subwavelength imaging with positive refraction, New Journal of Physics 13, 033016 (2011). [12] Blaikie R. J., Comment on 'Perfect imaging without negative refraction', New Journal of Physics 12, 058001 (2010). [13] Leonhardt U., Reply to comment on 'Perfect imaging without negative refraction', New Journal of Physics 12, 058002 (2010). [14] Tyc T , Zhang X . , Perfect lenses in focus, Nature 480, 42 (2011). [15] Tyc T , Danner A., Resolution of Maxwell'sfisheyewith an optimal active drain, New Journal of Physics, přijato k publikaci (2014). -54- Seznam použité literatury 55 [16] Tyc T., Danner A., Frequency spectra of absolute optical instruments, New Journal of Physics 14, 085023 (2012). [17] Tyc T , Spectra of absolute instruments from the WKB approximation, New Journal of Physics 15, 1367-2630 (2013). [ 18] Šarbort M . , Non-Euclidean Geometry in Optics, Ph.D. disertace, Masarykova univerzita, Brno (2013). [19] Landau L . D., Lifshitz E. M . , Mechanics, 3rd edition, Butterworth-Heinenann (1981). [20] Leonhardt, U . , Philbin T , Geometry and Light: The Science od Invisibility, Dover Publications (2010). [21] Leonhardt U . , Optical Conformal Mapping, Science 312, 1777-1780 (2006). [22] Polyanin A . D., Manzhirov A . V., Handbook of Integral Equations, Chapman & Hall/CRC (2008). [23] Zelevinsky V., Quantum Physics, Volume 1: From Basics to Symmetries and Perturbations, Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. K G a A (2011). [24] Landau L. D., Lifshitz E. M . , Quantum Mechanics-Non-relativistic Theory, 3rd edition, Pergamon Press (1991).