\documentclass[12pt,a4paper]{article}

\usepackage{cmap}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{mathtools}

\usepackage{array}

\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}
\let\phi\varphi

\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{3mm plus 2mm minus 1mm}

\usepackage{microtype}

\begin{document}
\section*{Zadání}\noindent Máme podprostor $\mathcal{A}$ zadaný obecně:
\[\begin{array}{*{5}{r@{}}}
 & 2x_{2} & {}-2x_{3} & {}+1 & {}=0\\
 & 3x_{2} & {}+2x_{3} & {}+2 & {}=0\\
\end{array}
\]
a podprostor $\mathcal{B}$ zadaný také obecně:
\[\begin{array}{*{5}{r@{}}}
 & 2x_{2} & {}-2x_{3} & {}+1 & {}=0\\
\end{array}
\]
Naším úkolem je zjistit, jestli jsou oba podprostory rovnoběžné.\section*{Ověření rovnoběžnosti podprostorů}
Při určování rovnoběžnosti potřebujeme, aby oba podprostory byly zadány stejně. V našem případě jsou oba podprostory zadány obecně, a tak nemusíme žádný převádět na jiný typ vyjádření.

Podprostory jsou rovnoběžné, jestliže platí
\[\dim(U+V) = \max(\dim(U), \dim(V)),\]
kde $U$ je zaměření podprostoru $\mathcal{A}$ a $V$ zaměření podprostoru $\mathcal{B}$. Jinými slovy, musí být
\[h(S) = \max(h(M), h(N)),
\]
kde $M$ je matice soustavy, která zadává podprostor $\mathcal{A}$, $N$ je matice soustavy, která zadává podprostor $\mathcal{B}$, a $S$ je matice soustavy, která zadává podprostor $\mathcal{A}+\mathcal{B}$ (ta vznikne \uv{slepením} obou matic). Umístění podprostoru je ovšem v případě určování rovnoběžnosti irelevantní, a tak nás budou zajímat pouze matice soustav bez absolutních členů. Zjistíme nejprve, jaké hodnosti mají matice soustav rovnic, jimiž jsou podprostory zadány.
\subsection*{zjištění hodnosti matice $M$}
Převedeme matici $M$:
\[\left(\begin{array}{*{3}r}0 & 2 & -2\\0 & 3 & 2\end{array}\right)
\]
na schodovitý tvar.

Protože 1.~sloupec je nulový, tak jej přeskočíme.

Pokračujeme dalším sloupcem. K~2.~řádku přičteme $-\frac{3}{2}$\discretionary{-}{-}{-}násobek 1.~řádku. Matice $M$ tedy nyní je:
\[\left(\begin{array}{*{3}r}0 & 2 & -2\\0 & 0 & 5\end{array}\right)
\]

Matici $M$ jsme tak převedli do schodovitého tvaru.

Počet nenulových řádků, a tedy i hodnost matice je 2.
\subsection*{zjištění hodnosti matice $N$}
Matice $N$:
\[\left(\begin{array}{*{3}r}0 & 2 & -2\end{array}\right)\]
již je ve schodovitém tvaru.

Počet nenulových řádků, a tedy i hodnost matice je 1.
\subsection*{zjištění hodnosti matice $S$}
Nyní vytvoříme součet podprostorů (tj. obě matice prostě napíšeme \uv{pod sebe}) a zjistíme hodnost matice součtu.

Převedeme matici $S$:
\[\left(\begin{array}{*{3}r}0 & 2 & -2\\0 & 0 & 5\\0 & 2 & -2\end{array}\right)
\]
na schodovitý tvar.

Protože 1.~sloupec je nulový, tak jej přeskočíme.

Pokračujeme dalším sloupcem. K~3.~řádku přičteme $-1$\discretionary{-}{-}{-}násobek 1.~řádku. Po odstranění nulových řádků tedy matice $S$ je:
\[\left(\begin{array}{*{3}r}0 & 2 & -2\\0 & 0 & 5\end{array}\right)
\]

Matici $S$ jsme tak převedli do schodovitého tvaru.

Počet nenulových řádků, a tedy i hodnost matice je 2.

\subsection*{rozhodnutí o rovnoběžnosti}
Matice příslušné k jednotlivým podprostorům tedy mají hodnosti 2 a 1 a je tedy $\max(2, 1) = 2$. Matice příslušná k součtu podprostorů má hodnost 2, přičemž $2 = 2$. Podprostory tedy jsou rovnoběžné.
\end{document}