ZADÁNÍ
======
Máme podprostor A zadaný obecně:

	2x_2-2x_3+1=0
	3x_2+2x_3+2=0

a podprostor B zadaný také obecně:

	2x_2-2x_3+1=0

Naším úkolem je zjistit, jestli jsou oba podprostory rovnoběžné.

OVĚŘENÍ ROVNOBĚŽNOSTI PODPROSTORŮ
=================================
Při určování rovnoběžnosti potřebujeme, aby oba podprostory byly zadány stejně. V našem případě jsou oba podprostory zadány obecně, a tak nemusíme žádný převádět na jiný typ vyjádření.

Podprostory jsou rovnoběžné, jestliže platí
	dim(U+V) = max(dim(U), dim(V)),
kde U je zaměření podprostoru A a V zaměření podprostoru B. Jinými slovy, musí být
	h(S) = max(h(M), h(N)),
kde M je matice soustavy, která zadává podprostor A, N je matice soustavy, která zadává podprostor B, a S je matice soustavy, která zadává podprostor A+B (ta vznikne „slepením“ obou matic). Umístění podprostoru je ovšem v případě určování rovnoběžnosti irelevantní, a tak nás budou zajímat pouze matice soustav bez absolutních členů. Zjistíme nejprve, jaké hodnosti mají matice soustav rovnic, jimiž jsou podprostory zadány

zjištění hodnosti matice M
--------------------------
Převedeme matici M:
	(	0 	2 	-2 	)
	(	0 	3 	2 	)
na schodovitý tvar.

Protože 1. sloupec je nulový, tak jej přeskočíme.

Pokračujeme dalším sloupcem. K 2. řádku přičteme -3/2-násobek 1. řádku. Matice M tedy nyní je:
	(	0 	2 	-2 	)
	(	0 	0 	5 	)


Matici M jsme tak převedli do schodovitého tvaru.

Počet nenulových řádků, a tedy i hodnost matice je 2.

zjištění hodnosti matice N
--------------------------
Matice N:
	(	0 	2 	-2 	)
již je ve schodovitém tvaru.

Počet nenulových řádků, a tedy i hodnost matice je 1.

zjištění hodnosti matice S
--------------------------
Nyní vytvoříme součet podprostorů (tj. obě matice prostě napíšeme „pod sebe“) a zjistíme hodnost matice součtu.

Převedeme matici S:
	(	0 	2 	-2 	)
	(	0 	0 	5 	)
	(	0 	2 	-2 	)
na schodovitý tvar.

Protože 1. sloupec je nulový, tak jej přeskočíme.

Pokračujeme dalším sloupcem. K 3. řádku přičteme -1-násobek 1. řádku. Po odstranění nulových řádků tedy matice S je:
	(	0 	2 	-2 	)
	(	0 	0 	5 	)


Matici S jsme tak převedli do schodovitého tvaru.

Počet nenulových řádků, a tedy i hodnost matice je 2.

rozhodnutí o rovnoběžnosti
--------------------------
Matice příslušné k jednotlivým podprostorům tedy mají hodnosti 2 a 1 a je tedy max(2, 1) = 2. Matice příslušná k součtu podprostorů má hodnost 2, přičemž 2 = 2. Podprostory tedy jsou rovnoběžné.