Královna Alžběta pozoruje demonstraci lidí na ulici z balkónu v Buckinghamském paláci. Ulice vede kolmo od paláce, přímo pod balkonem. Začátek průvodu na ulici je 17 m od paty paláce. Výška balkónu od země je 17 m. Královna vidí začátek a konec průvodu na ulici pod úhlem 15 stupňů. Kolik je na demonstraci lidí, když víme, že v úseku jednoho m na ulici je 150 lidí?
Řešení:
Obrázek podle zadání se dá vytvořit velmi rychle, pokud to ale uděláme nepřesně, nebo některé informace opomineme, může se nám stát, že dojdeme ke špatným nebo k žádným výsledkům.
Na obrázku bod A znázorňuje balkón, odkud královna Alžběta sleduje dav. Výška balkónu a = 17 m. Vzdálenost od oknu k začátku davu je také 17 m. Zde žádní lidé nejsou. Demonstranti zaplňují prostor označený písmenem x. Úhel α, ve kterém vidí královna demonstranty je 15°. Modrou odvěsnu můžeme spočítat z Pythagorovy věty díky tomu, že známe "a". X už ale tak jednoduše vypočítat nelze, protože druhý trojúhelník není pravoúhlý. Mohli bychom sice pravoúhlý trojúhelník se stranou x dokreslit, ale neznáme žádné jeho rozměry. Podle kosinové věty pro obecný trojúhelník také nemůžeme postupovat, protože známe jen dvě ze tří potřebných hodnot.
Nejjednodušší bude využít toho, že známe úhel α a dokážeme dopočítat zbývající doplňkový úhel (například podle vzorce pro výpočet goniometrické funkce tg nebo cotg). Celkový úhel pak můžeme využít k vypočítání základny, od ní odečíst vzdálenost "a" a tak získat "x". Zeleně naznačený úhel β můžeme vypočítat podle vzorců pro goniometrické funkce. Známe protilehlou a přilehlou odvěsnu, proto využijeme vzorec pro výpočet tg (nebo cotg). Zjistíme, že β má velikost 45°. Můžeme také využít toho, že se jedná o rovnoramenný trojúhelník. Součet všech jeho vnitřních úhlů je 180°. Víme, že je pravoúhlý. Na dva zbylé úhly tedy připadá 90°. Oba jsou stené, úhel β spoítáme takto 90:2=45°.
Celkový úhel u vrcholu A je 15°+45°, tedy 60°.
Nyní tedy známe úhel, známe délku přilehlé odvěsny
(17 m). Využijeme vzorec pro výpočet goniometrické funkce tg, aby jsme zjistili velikost základny.
Od ní odečteme "a" 17 metrů a získáme "x". To je 12,41 m.
To ale ještě není výsledek. Máme spočítat, kolik demonstrantů v tomto prostoru je. Na 1 m připadá 150 demonstrantů. X tedy vynásobíme 150.
Odpověď:
V davu, který královna Alžběta pozoruje z balkónu je asi 1862 lidí.
Na obrázku bod A znázorňuje balkón, odkud královna Alžběta sleduje dav. Výška balkónu a = 17 m. Vzdálenost od oknu k začátku davu je také 17 m. Zde žádní lidé nejsou. Demonstranti zaplňují prostor označený písmenem x. Úhel α, ve kterém vidí královna demonstranty je 15°. Modrou odvěsnu můžeme spočítat z Pythagorovy věty díky tomu, že známe "a". X už ale tak jednoduše vypočítat nelze, protože druhý trojúhelník není pravoúhlý. Mohli bychom sice pravoúhlý trojúhelník se stranou x dokreslit, ale neznáme žádné jeho rozměry. Podle kosinové věty pro obecný trojúhelník také nemůžeme postupovat, protože známe jen dvě ze tří potřebných hodnot.
Nejjednodušší bude využít toho, že známe úhel α a dokážeme dopočítat zbývající doplňkový úhel (například podle vzorce pro výpočet goniometrické funkce tg nebo cotg). Celkový úhel pak můžeme využít k vypočítání základny, od ní odečíst vzdálenost "a" a tak získat "x". Zeleně naznačený úhel β můžeme vypočítat podle vzorců pro goniometrické funkce. Známe protilehlou a přilehlou odvěsnu, proto využijeme vzorec pro výpočet tg (nebo cotg). Zjistíme, že β má velikost 45°. Můžeme také využít toho, že se jedná o rovnoramenný trojúhelník. Součet všech jeho vnitřních úhlů je 180°. Víme, že je pravoúhlý. Na dva zbylé úhly tedy připadá 90°. Oba jsou stené, úhel β spoítáme takto 90:2=45°.
Celkový úhel u vrcholu A je 15°+45°, tedy 60°.
