Dva spolužáci se hádali, jestli bude trojúhelník s délkami stran 18 cm, 12 cm a 25 cm ostroúhlý, nebo tupoúhlý. Spočítejte velikost všech vnitřních úhlů takového trojúhelníku a rozhodněte tento spor.

Řešení:

Ze zadání je patrné, že se jedná o obecný trojúhelník. Značení v trojúhelníku může být libovolné, pouze je potřeba dodržet odpovídající označení úhlů a protilehlých stran. Proti úhlu α strana a, proti úhlu β strana b atd. Pro obecný trojúhelník platí vztahy dané sinovou a kosinovou větou. Na základě nich se dají ale počítat i vztahy v pravoúhlém trojúhelníku. Jednotlivé úhly můžeme spočítat z příslušných rovnic. Úhel α z první, úhel β z druhé, úhel γ ze třetí.

Máme za úkol spočítat velikost všech vnitřních úhlů. K tomu můžeme postupně využít všechny rovnice. Kratší je ale postup s využitím obou vět. Z první, kosinové, spočítáme jeden úhel a další ze sinové věty. Budeme už znát jeden úhel i příslušnou stranu. Třetí úhel dopočítáme jednoduše. Od 180° odečteme dva spočtené úhly.

Využijeme například druhý vzorec kosinové věty. Stranu b známe, proto z ní vypočítáme úhel β.

Ze sinové věty spočítáme úhel α. Třetí úhel (γ) spočítáme s využitím pravidla pro součet vnitřních úhlů trojúhelníku, který musí být 180°. Od 180° odečteme úhly α a β. Tak získáme úhel γ.

Máme ještě rozhodnout, zda je trojúhelník pravoúhlý, ostroúhlý, nebo tupoúhlý. Aby byl tupoúhlý, stačí, když jeden z jeho úhlů bude větší než 90°. Tím, že úhel β je větší než 90°, je trojúhelník tupoúhlý.

Odpověď:

Vnitřní úhly trojúhelníka jsou 26,74°; 42,16° a 111,1°. Tento trojúhelník je tupoúhlý.