## Diagrammatic methods in modern condensed matter physics
(Propagátory a diagramatické poruchové přístupy ve fyzice kondenzovaných látek)

Rozsah: 2/1

Vyučující: Jiří Chaloupka

### Cíle předmětu:

Uvedení do problematiky popisu mnohačásticových systémů pomocí propagátorů a
jejich diagramatického vyčíslování. Na konci kurzu by studenti měli mít přehled
o příslušném formalismu a možnostech jeho aplikací v teorii kondenzovaných
látek. Kromě porozumění formálním aspektům a schopnosti řešit jednoduché úlohy
by měli získat vhled do souvislosti s experimentálními technikami a využívat
jej při interpretací experimentálních dat.

### Výukové metody a hodnocení:

Výuka bude probíhat formou přednášek a cvičení, na kterých budou prováděny
drobnější výpočty doplňující látku předcházející přednášky a prezentovány
rozsáhlejší projekty zadávané studentům v průběhu semestru. Předmět bude
zakončen formou kolokvia. Od studentů bude vyžadováno obecné porozumění
problematice předmětu, aktivní přístup na cvičení a řešení jednoho
rozsáhlejšího projektu. Příklady projektů: výpočet a rozbor Lindhardovy
funkce pro různé dimenze, výpočet selfenergie v rámci GW aproximace, řešení
modelu Engelsberga a Schrieffera.

### Osnova:

1. Greenovy funkce a propagátory v úlohách klasické fyziky a jednočásticové kvantové mechaniky
    - stacionární případ: elektrostatické úlohy, Coulombův potenciál
    - nestacionární případ: difúzní a vlnová rovnice
    - časový vývoj v kvantové mechanice, řešení nestacionární Schrödingerovy rovnice metodou propagátorů
    - časová a frekvenční doména, různé typy propagátorů a jejich analytické vlastnosti
    - souvislost se spektrem vlastních stavů/módů, spektrální hustota
2. Motivační úloha: Pohyb elektronu v mříži s příměsovým atomem
    - propagátor elektronu v přiblížení těsné vazby
    - poruchové započtení rozptylu na příměsi, grafické vyjádření poruchové teorie
    - vázané a rezonanční stavy
3. Připomenutí formalismu druhého kvantování a statistického popisu kvantových systémů mnoha částic
4. Propagátory
    - zavedení a formální vlastnosti propagátorů v mnohačásticových kvantových systémech
    - spektrální reprezentace a souvislost různých typů propagátorů
    - příklady: propagátor elektronu v neinteragujícím elektronovém plynu, 
                kvantová tečka v kontaktu s kovem (Andersonův model příměsi)
    - Matsubarovy propagátory pro konečné teploty
5. Výpočet amplitud pomocí diagramatické poruchové teorie
    - Dysonova poruchová řada pro operátor časového vývoje
    - Wickův teorém
    - Feynmanovy diagramy a pravidla pro jejich vyčíslování 
    - zacházení s frekvenčními integracemi a sumacemi přes Matsubarovy frekvence
6. Neinteragující elektronový plyn
    - teorie lineární odezvy, Kubova formule
    - neinteragující elektronový plyn v externím potenciálu, Linhardova funkce
    - dielektrická funkce, paramagnetická susceptibilita
    - RKKY interakce, pozorování jejích projevů pomocí spinově polarizovaného STM
7. Elektronový plyn s coulombovskou interakcí
    - Hartreeho-Fockova aproximace
    - stíněná coulombovská interakce v rámci RPA aproximace, plazmony, Landauovo tlumení
    - selfenergie elektronu v GW aproximaci
8. Itinerantní magnetismus
    - Hubbardův model
    - spinová susceptibilita v rámci RPA aproximace
    - magnetická nestabilita a kritické chování v její blízkosti:
      paramagnony a logaritmická singularita v efektivní hmotnosti elektronů
9. Interagující elektron-fononový systém
    - mřížové vibrace a propagátor volného fononu
    - elektron-fononová interakce
    - renormalizace elektronů a fononů vzájemnou interakcí (polaron, Kohnovy anomálie)
10. Supravodivost
    - Cooperova nestabilita
    - zavedení anomálních propagátorů a Nambuho maticová formulace
    - BCS rovnice pro supravodivou mezeru

### Literatura: 

- A.A. Abrikosov, L. P. Gorkov a I.E. Dzyaloshinski: Methods of Quantum Field Theory in Statistical Physics, Dover Publications, New York, 1975
- S. Doniach a E. H. Sondheimer: Green's Functions for Solid State Physicists, Imperial College Press, London, 1998
- G. D. Mahan: Many-Particle Physics, Kluwer Academic/Plenum Publishers, New York, 2000
- G. Rickayzen: Green's Functions and Condensed Matter, Dover Publications, New York, 2013