M8195 Seminář z teorie čísel

Přírodovědecká fakulta
podzim 2014
Rozsah
0/2. 2 kr. (příf plus uk k 1 zk 2 plus 1 > 4). Ukončení: z.
Vyučující
Mgr. Michal Bulant, Ph.D. (přednášející)
prof. RNDr. Radan Kučera, DSc. (přednášející)
Garance
prof. RNDr. Radan Kučera, DSc.
Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Dodavatelské pracoviště: Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Rozvrh seminárních/paralelních skupin
M8195/01: Čt 11:00–12:50 M6,01011, M. Bulant, R. Kučera
Předpoklady
M7230 Galoisova teorie
V tomto semestru je seminář doporučen studentům, kteří jej navštěvovali v předchozích dvou semestrech. Je nezbytná znalost Galoisovy teorie a základů algebraické teorie čísel.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
V tomto semestru budeme pokračovat ve studiu knihy D.A.Coxe, kterou jsme četli již dva semestry. Tato kniha je zaměřena na řešení následujícího problému: pro dané přirozené číslo n je třeba určit, která prvočísla p lze zapsat ve tvaru p = x^2 + n . y^2 s celočíselnými x, y. Je-li n=1, lze poměrně elementárně dokázat, že to jsou právě prvočísla nedávající po dělení čtyřmi zbytek 3. Pro n=2 jsou to právě prvočísla nedávající po dělení osmi zbytek 5 nebo 7. Vyřešit tento problém pomocí elementárních metod lze však jen pro několik hodnot n. Zodpovědět tuto otázku pro obecné n je velmi obtížný úkol, pro jehož řešení je nutné vybudovat značně hluboký aparát teorie čísel. Na Coxově knize je právě velmi zdařile ukázána motivace: co vlastně vedlo matematiky k tomu, aby konstruovali a pracovali s velmi abstraktními objekty algebraické teorie čísel.
Tento semestr bude věnován základům teorie těles tříd a aplikaci této teorie na studovaný problém.
Na konci tohoto kurzu bude student schopen vysvětlit souvislost mezi problémem vyjadřování prvočísel binárními kvadratickými formami a tělesem tříd odpovídajícího řádu imaginárního kvadratického tělesa.
Osnova
  • 1. Řády v imaginárních kvadratických tělesech;
  • 2. Teorie těles tříd a Čebotarevova věta o hustotě;
  • 3. Tělesa tříd odpovídající řádům a p = x^2 + n . y^2.
Literatura
  • COX, David A. Primes of the form x² + ny² : Fermat, class field theory, and complex multiplication. New York, N.Y.: John Wiley & Sons, 1989, xi, 351. ISBN 0471190799. info
Záložky
https://is.muni.cz/ln/tag/PříF:M8195!
Výukové metody
Přednášky, domácí úkoly.
Metody hodnocení
Zápočet bude udělen na základě aktivní práce v semináři: studium anglické literatury v průběhu celého semestru, pravidelné odevzdávání řešených domácích úkolů. Pro udělení zápočtu stuudenti musí odevzdat alespoň polovinu domácích úloh.
Další komentáře
Studijní materiály
Předmět je vyučován každý semestr.
Předmět je zařazen také v obdobích podzim 2007 - akreditace, jaro 2008 - akreditace, jaro 2011 - akreditace, podzim 2010 - akreditace, jaro 2005, podzim 2005, jaro 2006, podzim 2006, jaro 2007, podzim 2007, jaro 2008, podzim 2008, jaro 2009, podzim 2009, jaro 2010, podzim 2010, jaro 2011, podzim 2011, jaro 2012, podzim 2011 - akreditace, jaro 2012 - akreditace, podzim 2012, jaro 2013, podzim 2013, jaro 2014, jaro 2015, podzim 2015, jaro 2016, podzim 2016, jaro 2017, podzim 2017, jaro 2018, podzim 2018, jaro 2019, podzim 2019, jaro 2020, podzim 2020, jaro 2021, podzim 2021, jaro 2022, podzim 2022, jaro 2023, podzim 2023, jaro 2024, podzim 2024, jaro 2025.