F2712 Mathematics 2

Faculty of Science
Spring 2008 - for the purpose of the accreditation
Extent and Intensity
3/2/0. 4 credit(s) (fasci plus compl plus > 4). Type of Completion: zk (examination).
Teacher(s)
prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (lecturer)
Mgr. Pavla Musilová, Ph.D. (seminar tutor)
Ing. Stanislav Petráš (seminar tutor)
Guaranteed by
prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Department of Theoretical Physics and Astrophysics – Physics Section – Faculty of Science
Contact Person: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Prerequisites (in Czech)
Středoškolská matematika, problematika předmětu Matematika I
Course Enrolment Limitations
The course is also offered to the students of the fields other than those the course is directly associated with.
fields of study / plans the course is directly associated with
Course objectives (in Czech)
Předmět je pokračováním Matematiky I, spolu s níž tvoří úvod do základů matematické analýzy, lineární algebry a teorie pravděpodobnosti. Je určen studentům bakalářských nefyzikálních a profesních fyzikálních programů. Jeho cílem je naučit studenty používat matematické postupy běžné v přírodních vědách, nikoli však jako pouhé rutinní procedury, ale s pochopením jejich podstaty. Výklad problematiky je založen spíše na názorném zavádění pojmů motivovaném potřebou konkrétního výpočetního aparátu přírodních věd (fyziky, chemie, biologie, věd o Zemi), popř. i geometrie, a na intuitivně pochopitelném vysvětlení vlastností těchto pojmů, než na tradičním schématu definice - věta --důkaz. Matematická tvrzení jsou však vždy formulována korektně, s uvedením potřebných předpokladů a pro názornost i protipříkladů. Pozornost je věnována rozvíjení znalostí a obecnějším vlastnostem pojmů, bez kterých se studium žádné přírodní vědy nemůže obejít: pojem funkce a základní pojmy lineární algebry. Student programů a oborů, kde je matematika přímo součástí vědní discipliny samotné, mohou předmět chápat jako průpravu pro absolvování nezbytných teoretických matematických disciplin.
Syllabus (in Czech)
  • 4.Lineární algebra podruhé (Výlet do vyšší dimenze: kde selhává geometrická představa, jsou algebraické procedury nenahraditelné.) 4.1 Vektorové prostory (1. týden) (Je možné, že na matici lze hledět jako na vektor a s vektorem pracovat jako s maticí? ) * grupa, okruh, pole -- v lineární algebře potřebujeme nutně struktury, které samy ještě linearitu nevykazují * vektorový prostor konečné dimenze: axiomy, lineární závislost a nezávislost, báze, příklady -- matice jako vektory * reprezentace vektorů v bázích: vektory jako matice a jak poznáme, že jde o stejný vektor, jen báze je jiná ? * vektorové podprostory, součet a průnik podprostorů, doplňky podprostorů, dimenze a báze podprostorů 4.2 Lineární zobrazení vektorových prostorů (2. týden) (Vzor a obraz mohou být prvky různých vektorových prostorů, linearita zobrazení zachovává operace.) * definice lineárního zobrazení, příklady lineárních zobrazení * reprezentace lineárních zobrazení v bázích -- matice opět ve hře * jádro a obraz lineárního zobrazení * projekce 5. Souřadnicové systémy (Geometrům ani fyzikům nestačí pravoúhlé souřadnice. Třeba i proto, že se jim v nich nelíbí rovnice kružnice nebo popis pohybu planet.) 5.1 Kartézská soustava souřadnic z jiného pohledu (3. týden) (Tou pravoúhlou soustavou však v každém případě začneme.) * kartézské souřadnice v R2 a R3 * souřadnicové přímky a roviny * elementární plocha a objem 5.2 Křivočaré soustavy souřadnic (3. a 4. týden) (Souřadnicové přímky a roviny se deformují.) * parciální derivace: malá předběžná exkurze do světa funkcí více proměnných * polární a válcové souřadnice, jejich souřadnicové křivky a plochy, elementární plocha a objem * kulové souřadnice, souřadnicové křivky a plochy, elementární plocha a objem * obecné křivočaré souřadnice, jejich souřadnicové křivky a plochy, elementární plocha a objem 6.Lineární algebra naposledy (Lineární operátor třídí vektory do podprostorů.) 6.1 Skalární součin (5. a 6. týden) (Co znamená kolmost, úhly a délky ve vyšší dimenzi.) * skalární součin -- nová struktura na starém podkladu * ortonormální báze * ortogonální projekce, metoda nejmenších čtverců z pohledu algebry 6.2 Problém vlastních hodnot (7. a 8. týden) (Lineární operátor zachovává směr některých vybraných vektorů, změní pouze jejich délku.) * vlastní vektory a vlastní hodnoty lineárních operátorů, diagonalizace, spektrum * ortogonální a symetrické operátory a jejich diagonální tvar: diagonální matice je pěkná a hlavně jednoduchá * lineární operátory a tenzorové veličiny * linearita v technických aplikacích 7.Obyčejné diferenciální rovnice (Příroda neodkrývá své závislosti rovnou, informuje nás o změnách, jazykem matematiky o derivacích.) 7.1 Rovnice prvního řádu (9. týden) (Co má společného jaderný rozpad s pohlcováním záření v látce?) * rovnice se separovanými proměnnými, zákon rozpadu jader, pohlcování rtg záření v látce, řešení rovnic * linearita (už zase) a exponenciální zákony * lineární rovnice 7.2 Lineární rovnice druhého (i vyššího) řádu (9. a 10. týden) (Od zrychlení k trajektorii a od diferenciálních rovnic k algebraickým.) * homogenní lineární rovnice s konstantními koeficienty * nehomogenní lineární rovnice, řešení metodou variace konstant * pohybové rovnice jednoduchých soustav, kmity, ... 7.3 Soustavy lineárních diferenciálních rovnic (11. týden) (Opět pomůže lineární algebra.) * soustavu rovnic libovolného řádu lze převést na soustavu prvního řádu (a zpět) * soustavy rovnic prvního řádu * soustavy rovnic druhého řádu: kmity soustav s více objekty, příklady z nefyzikálních disciplin 8.Zmínka o funkcích více proměnných (Sledujeme-li závislost funkce na jedné z proměnných, zacházíme s ostatními jako s konstantami.) 8.1 Funkce a jejich grafy (12. týden) (Graf funkce dvou proměnných ještě umíme nakreslit.) * funkce dvou a tří proměnných * grafy funkcí dvou proměnných, kvadratické plochy * parciální derivace, řetězové pravidlo pro derivování složených funkcí * úplný diferenciál -- zase linearita * gradient -- směr největšího spádu grafu funkce, vrstevnice nebo ekvipotenciální plocha - křivka nebo plocha nulového spádu funkce 8.2 Diferenciální operátory (13. týden) (Také jsou lineární.) * vektorové funkce více proměnných, siločáry, indukční čáry, proudnice a vůbec integrální čáry vektorových polí * divergence a rotace vektorového pole, operátor "nabla" a Laplaceův operátor
Literature
  • http://physics.muni.cz/~pavla/teaching.php
  • KVASNICA, Jozef. Matematický aparát fyziky. Vyd. 2., opr. Praha: Academia, 1997, 383 s. ISBN 8020000887. info
Language of instruction
Czech
Further comments (probably available only in Czech)
The course is taught annually.
The course is taught: every week.
The course is also listed under the following terms Spring 2011 - only for the accreditation, Spring 2004, Spring 2005, Spring 2006, Spring 2007, Spring 2008, Spring 2009, Spring 2010, Spring 2011, Spring 2012, spring 2012 - acreditation, Spring 2013, Spring 2014, Spring 2015, Spring 2016, Spring 2017, spring 2018, Spring 2019, Spring 2020, Spring 2021, Spring 2022, Spring 2023, Spring 2024, Spring 2025.