6 Dvojný a trojný integrálVe výsledcích příkladů s geometrickými nebo fyzikálními veličinami nejsou uváděny příslušné jednotky.

Na integrál funkce $f(x,y)$ dvou proměnných $x,y$ (dvojný integrál), která je spojitá na dvourozměrné oblasti $\mathcal{S}=(a,b)\times(c,d)$, kde $a\le x\le b$ a $c\le y\le d$, je možné aplikovat tzv. Fubiniho větu o výpočtu $n$-rozměrných integrálů pomocí $n$ výpočtů jednoduchých integrálů,

$$ \iint_\mathcal{S}f(x,y)\,\text{d} x\,\text{d} y=\int_a^b\left(\int_c^d f(x,y)\,\text{d} y\right)\,\text{d} x=\int_c^d\left(\int_a^b f(x,y)\,\text{d} x\right)\,\text{d} y. $$

6.1

Pokud je oblast $\mathcal{S}$ ohraničená způsobem $\mathcal{S}=(a,b)\times\left[\phi_1(x),\phi_2(x)\right]$, kde $a\leq x\leq b$ a kde pro spojité funkce $\phi_1(x),\,\phi_2(x)$ proměnné $x$ na celém intervalu $a,b$ platí $\phi_1(x)\leq y\leq\phi_2(x)$, je integrál spojité funkce $f(x,y)$ dvou proměnných definován jako

$$ \iint_\mathcal{S}f(x,y)\,\text{d} x\,\text{d} y=\int_a^b\left(\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(x,y)\,\text{d} y\right)\,\text{d} x=\int_a^b\,\text{d} x\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x,y)\,\text{d} y. $$

6.2

Analogickým způsobem je na třírozměrné oblasti $\mathcal{V}=(a,b)\times\left[\phi_1(x),\phi_2(x)\right]\times\left[\psi_1(x,y),\psi_2(x,y)\right]$, kde $a\le x\le b$, kde pro spojité funkce $\phi_1(x),\,\phi_2(x)$ proměnné $x$ na celém intervalu $a,b$ platí $\phi_1(x)\le y\le\phi_2(x)$ a kde pro spojité funkce $\psi_1(x,y),\,\psi_2(x,y)$ dvou proměnných $x,y$ na celé oblasti $\mathcal{S}=(a,b)\times\left[\phi_1(x),\phi_2(x)\right]$ platí $\psi_1(x,y)\le z\le\psi_2(x,y)$, integrál spojité funkce $f(x,y,z)$ tří proměnných (trojný integrál) definován jako

$$ \begin{aligned} \iiint_\mathcal{V}f(x,y,z)\,\text{d} x\,\text{d} y\,\text{d} z&=\int_a^b\left[\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} \left(\int_{\psi_1(x,y)}^{\psi_2(x,y)}f(x,y,z)\,\text{d} z\right)\,\text{d} y\right]\text{d} x \\ &= \int_a^b\,\text{d} x\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} \text{d} y\int_{\psi_1(x,y)}^{\psi_2(x,y)}f(x,y,z)\,\text{d} z.\end{aligned} $$

6.3

Transformaci souřadnic dvojného integrálu lze definovat (viz obrázek 6.1) pomocí prostého regulárního zobrazení $\Phi:\Omega\to\mathbb{R}^2(x,y)$, zadaného transformačními rovnicemi $x=\xi(u,v),\,y=\eta(u,v)$, kde $\Omega\subset\mathbb{R}^2(u,v)$ je otevřená oblast. Pokud $A\subset\mathbb{R}^2(x,y)$ a $B\subset\mathbb{R}^2(u,v)$ jsou uzavřené oblasti, kdy $A\subset\Omega,\,B\subset\Omega$, a pokud funkce $f(x,y)$ dvou proměnných $x$ a $y$ je spojitá v oblasti $A=\Phi(B)$, potom platí

$$ \iint_A f(x,y)\,\text{d} x\,\text{d} y=\iint_B f\left[\xi(u,v),\eta(u,v)\right]J(u,v)\,\text{d} u\,\text{d} v. $$

6.4

Výraz

$$ J(u,v)=\left|\det\right|\begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u}&\dfrac{\partial x}{\partial v}\\[6pt]\dfrac{\partial y}{\partial u}&\dfrac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}, $$

6.5

v rovnici 6.4 je Jakobián dvourozměrné souřadnicové transformace. V případě trojného integrálu funkce $f(x,y,z)$ tří proměnných $x,y,z$, spojité v uzavřené oblasti $A\subset\mathbb{R}^3(x,y,z)$, s transformačními rovnicemi $x=\xi(u,v,w),\,y=\eta(u,v,w),\,z=\zeta(u,v,w)$, v oblasti $B\subset\mathbb{R}^3(u,v,w)$ analogicky k rovnici 6.4 platí,

$$ \iiint_A f(x,y,z)\,\text{d} x\,\text{d} y\,\text{d} z=\iiint_B f\left[\xi(u,v,w),\eta(u,v,w),\zeta(u,v,w)\right]J(u,v,w)\,\text{d} u\,\text{d} v\,\text{d} w. $$

6.6

Výraz

$$ J(u,v,w)=\left|\det\right|\begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u}&\dfrac{\partial x}{\partial v}&\dfrac{\partial x}{\partial w}\\[6pt] \dfrac{\partial y}{\partial u}&\dfrac{\partial y}{\partial v}&\dfrac{\partial y}{\partial w}\\[6pt] \dfrac{\partial z}{\partial u}&\dfrac{\partial z}{\partial v}&\dfrac{\partial z}{\partial w} \end{pmatrix}, $$

6.7

v rovnici 6.6 je Jakobián trojrozměrné souřadnicové transformace. Významné a často používané jsou Jakobiány souřadnicových transformací (podrobný popis je v příloze A) z kartézské do válcové souřadné soustavy, kdy $(u,v,w)=(\rho,\phi,z)$, s transformačními rovnicemi $x=\rho\cos\phi$, $y=\rho\sin\phi$, $z=z$, kde $J=\rho$, a z kartézské do kulové souřadné soustavy, kdy $(u,v,w)=(r,\theta,\phi)$, s transformačními rovnicemi $x=r\sin\theta\cos\phi$, $y=r\sin\theta\sin\phi$, $z=r\cos\theta$, kde $J=r^2\sin\theta$.

Obrázek 6.1: Schéma transformace obecných souřadnic, popsané rovnicí 6.4, kde $\Phi$ symbolizuje vzájemně jednoznačné zobrazení. $\mathcal{C}_1,\,\mathcal{C}_2$ jsou souřadnicové křivky, pro které platí $\mathcal{C}_1\!:x=x(u,v_0),y=y(u,v_0)$, $\mathcal{C}_2\!:x=x(u_0,v),y=y(u_0,v)$, čárkované čáry, ohraničující zvýrazněnou plochu, můžeme označit jako: $\mathcal{C}_1^+(u,v_0+\,\Delta v)$, $\mathcal{C}_1^-(u,v_0-\,\Delta v)$, $\mathcal{C}_2^+(u_0+\,\Delta u,v)$, $\mathcal{C}_2^-(u_0-\,\Delta u,v)$. Tečné vektory $\vec{t}_u,\,\vec{t}_v$ k souřadnicovým křivkám v bodě $u_0,v_0$ stanovíme podle rovnice 6.12.

nahoru

6.1 Plošný integrál 1. druhu

Plošným integrálem 1. druhu nazýváme (analogicky ke křivkovému integrálu 1. druhu v odstavci 6.1) integrál $\displaystyle\iint_S\,f\,\text{d} S$ skalární funkce $f(x,y,z)$, spojitě diferencovatelné na úseku (hladké, tj. spojitě diferencovatelné) plochy $S$, kde $\text{d} S$ je element plochy $S$. Stanovíme-li například souřadnice $x$ a $y$ jako nezávisle proměnné a funkci $z=z(x,y)$ jako závisle proměnnou, můžeme tečné vektory $\vec{t}_x,\vec{t}_y$ k ploše $S$ ve směrech souřadnicových os $x,y$ určit jako parciální derivace funkce dané plochy (viz odstavec 5.1) podle příslušných směrů, tedy

$ \vec{t}_x=\left(\dfrac{\partial x}{\partial x},\frac{\partial y}{\partial x},\dfrac{\partial z}{\partial x}\right)=\left(1,0,\dfrac{\partial z}{\partial x}\right)$, $\vec{t}_y=\left(\dfrac{\partial x}{\partial y},\dfrac{\partial y}{\partial y},\dfrac{\partial z}{\partial y}\right)=\left(0,1,\dfrac{\partial z}{\partial y}\right)$.

6.8

Vektor $\vec{\nu}$ normály plochy $S$ (tj. vektor kolmý k ploše $S$) určíme jako vektorový součin tečných vektorů $\vec{t}_x\times\vec{t}_y$ (jejichž pořadí ve vektorovém součinu závisí na požadované orientaci normály), jeho velikost (viz rovnice 2.1) bude $\|\vec{\nu}\|=\|\vec{t}_x\times\vec{t}_y\|$, tedy

$$\begin{aligned} \vec{\nu} &=\pm(\vec{t}_x\times\vec{t}_y)=\pm\left(-\frac{\partial z}{\partial x},- \frac{\partial z}{\partial y},1\right), \\ \|\vec{\nu}\| &=\|\vec{t}_x\times\vec{t}_y\|= \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}. \end{aligned}$$

6.9

Samotný plošný element je vektorem, orientovaným ve směru normálového vektoru, kde velikost plošného elementu je určena velikostí normálového vektoru. Ve zvolené kartézské parametrizaci tedy můžeme psát

$$\begin{aligned} \text{d}\vec{S} &=\vec{\nu}\,\text{d} x\,\text{d} y=\pm\left(-\frac{\partial z}{\partial x},-\frac{\partial z}{\partial y},1\right)\,\text{d} x\,\text{d} y, \\ \text{d} {S} &=\|\vec{\nu}\|\text{d} x\,\text{d} y= \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\,\text{d} x\,\text{d} y. \end{aligned}$$

6.10

Zjevně tedy platí $\text{d} \vec{S}=\dfrac{\vec{\nu}}{\|\vec{\nu}\|}\,\text{d} S=\vec{n}\,\text{d} S$, kde $\vec{n}$ je jednotkový normálový vektor. Explicitní zápis plošného integrálu 1. druhu v kartézské bázi, kde $a\le x\le b$, $\phi_1(x)\le y\le\phi_2(x)$ (srovnej rovnice 6.1, 6.2) a $z=z(x,y)$, tedy bude:

$$ \iint_Sf(x,y,z)\,\text{d} S=\int_a^b\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(x,y,z) \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\,\text{d} x\,\text{d} y. $$

6.11

Nalezneme-li vhodné parametry $u,\,v$ (např. $\theta,\,\phi$ na kulové ploše), můžeme funkci $f$ i plochu $S$ parametrizovat pomocí transformačních rovnic $x=\xi(u,v),\,y=\eta(u,v),\,z=\zeta(u,v)$ (viz rovnice 6.6). Tečné vektory $\vec{t}_u,\,\vec{t}_v$ k dané ploše $S$ v souřadnicových směrech $u,\,v$ (viz obrázek 6.1 stanovíme jako parciální derivace funkce dané plochy (viz odstavec 5.1) podle příslušných směrů, tedy

$$ \vec{t}_u=\left(\frac{\partial\xi}{\partial u},\,\frac{\partial\eta}{\partial u},\,\frac{\partial\zeta}{\partial u}\right),\quad \vec{t}_v=\left(\frac{\partial\xi}{\partial v},\,\frac{\partial\eta}{\partial v},\,\frac{\partial\zeta}{\partial v}\right). $$

6.12

Normálový vektor $\vec{\nu}\,^\prime$ (který nebude totožný s vektorem $\vec{\nu}$ z rovnice 6.9, bude mít sice stejný směr ale různou délku) určíme opět jako vektorový součin tečných vektorů $\vec{\nu}\,^\prime=\pm(\vec{t}_u\times\vec{t}_v)$, jeho velikost $\|\vec{\nu}\,^\prime\|=\|\vec{t}_u\times\vec{t}_v\|$. Analogicky k rovnici 6.10 dostáváme:

$$ \text{d}\vec{S}=\vec{\nu}\,^\prime\,\text{d} u\,\text{d} v,\quad\,\text{d} S=\|\vec{\nu}\,^\prime\|\text{d} u\,\text{d} v= \|\vec{t}_u\times\vec{t}_v\|\text{d} u\,\text{d} v. $$

6.13

Plošný integrál 1. druhu v parametrickém vyjádření bude mít explicitní tvar

$$ \int_{u_1}^{u_2}\int_{v_1}^{v_2}f\left(\xi,\eta,\zeta\right) \left\|\left(\frac{\partial\xi}{\partial u},\,\frac{\partial\eta}{\partial u},\,\frac{\partial\zeta}{\partial u}\right)\times \left(\frac{\partial\xi}{\partial v},\,\frac{\partial\eta}{\partial v},\,\frac{\partial\zeta}{\partial v}\right)\right\|\text{d} u\,\text{d} v. $$

6.14

Vzájemná souvislost mezi rovnicemi 6.10 a 6.13 je dána rovnicí 6.4, z níž vyplývá: $\vec{\nu}\,\text{d} x\,\text{d} y =\vec{\nu}\,^\prime J(u,v)\,\text{d} u\,\text{d} v$ a zároveň $\|\vec{\nu}\|\text{d} x\,\text{d} y=\|\vec{\nu}\,^\prime\|J(u,v)\,\text{d} u\,\text{d} v$, kde $J(u,v)$ je Jakobián souřadnicové transformace, daný rovnicí 6.5.

Například pro kulovou plochu o poloměru $R$ se středem v počátku souřadnic, s kartézskou rovnicí $z(x,y)=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$, s vnější normálou, bude mít rovnice 6.10 konkrétní podobu

$$ \begin{aligned} \text{d}\vec{S} &=\left(\frac{x}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}, \frac{y}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}},\,1\right)\,\text{d} x\,\text{d} y,\\ \text{d} S&=\frac{R\,\text{d} x\,\text{d} y}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}},\quad x^2+y^2\ne R^2, \end{aligned} $$

6.15

jejím zintegrováním v mezích $x\in\left\langle-R,R\right\rangle$, $y\in\left\langle-\sqrt{R^2-x^2},\sqrt{R^2-x^2}\right\rangle$ dostáváme $S=2\pi R^2$, což je velikost části kulové plochy nad rovinou $z=0$. Parametrizovaná rovnice 6.13 bude mít podobu

$$ \begin{aligned} \text{d}\vec{S} &=\left(R^2\sin^2\theta\cos\phi,\,R^2\sin^2\theta\sin\phi,\,R^2\sin\theta\cos\theta\right) \text{d}\theta\,\text{d}\,\phi,\\ \text{d} S &=R^2\sin\theta\,\text{d}\theta\,\text{d}\phi, \end{aligned} $$

6.16

jejím zintegrováním v mezích $\theta\in\left\langle 0,\pi\right)$, $\phi\in\left\langle 0,2\pi\right)$ dostáváme $S=4\pi R^2$. Vzhledem k tomu, že Jakobián, odpovídající rovnici 6.5 bude v tomto případě $R^2\sin\theta\cos\theta$, snadno se z rovnic 6.15, 6.16 přesvědčíme o platnosti vztahu $\|\vec{\nu}\|\text{d} x\,\text{d} y=\|\vec{\nu}\,^\prime\|J(\theta,\phi)\,\text{d}\theta\,\text{d}\phi$.

Pomocí plošného integrálu 1. druhu lze určit geometrické a fyzikální charakteristiky dané plochy: Položíme-li $f=1$, výsledkem bude celková velikost plochy $S$. Položíme-li $f=\sigma$ (plošná hustota), dostáváme $\sigma\,\text{d} S=\text{d} m$, tedy element hmotnosti plochy $S$, výsledkem integrace bude celková hmotnost $m$ dané plochy,

$$ m=\iint_S\,\text{d} m=\iint_S\sigma\,\text{d} S. $$

6.17

Pokud položíme například $f=z\sigma$, dostáváme tzv. statický moment $S_z$ dané plochy vzhledem k ose $z$, jeho vydělením hmotností dostáváme $z$-ovou souřadnici středu hmotnosti $z_T$ plochy (obdobně pro ostatní souřadnicové směry), tedy

$$ \begin{aligned} x_T&=\frac{1}{m}\iint_S x\,\text{d} m=\frac{1}{m}\iint_S x\sigma\,\text{d} S,\\ y_T&=\frac{1}{m}\iint_S y\,\text{d} m, \\ z_T&=\frac{1}{m}\iint_S z\,\text{d} m. \end{aligned} $$

6.18

Položíme-li $f=r^2\sigma$, kde $r$ je vzdálenost obecného bodu plochy od zvolené přímky v prostoru (osy $o$), dostáváme moment setrvačnosti $J_o$ dané plochy vzhledem k této ose. Momenty setrvačnosti plochy $S$ např. vzhledem k jednotlivým kartézským souřadnicovým osám potom budou

$$ \begin{aligned} J_x&=\iint_S(y^2+z^2)\,\text{d} m=\iint_S(y^2+z^2)\,\sigma\,\text{d} S, \\ J_y&=\iint_S(z^2+x^2)\,\text{d} m,\\ J_z&=\iint_S(x^2+y^2)\,\text{d} m. \end{aligned}$$

6.19

nahoru

Příklady

V kartézských souřadnicích i pomocí vhodné parametrizace vypočítejte obsah plochy $S\in\mathbb{R}^2$, ohraničené následujícími křivkami:

6.1

$y=x^2,\,y=\text{e} x^2,\,y=\dfrac{1}{x},\,y=\dfrac{4}{x}$

$1$

6.2

$y=x^2,\,y=16\,x^2,\,y=\dfrac{2\sqrt[3]{2}}{x^2},\,y=\dfrac{16}{x^2}$

$8$

6.3

$y=x^3,\,y=\dfrac{x^3}{3},\,y=\dfrac{1}{x},\,y=\dfrac{\text{e}}{x}$

$\dfrac{\left(\text{e}-1\right)\ln 3}{4}$

6.4

$y=1,\,y=\text{e},\,y=\text{e}^{0,2x},\,y=\text{e}^{0,4x}$

$2,\!5$

Pomocí vhodné parametrizace, případně v kartézských souřadnicích, vypočítejte obsah plochy $S\in\mathbb{R}^3$

6.5

$S\!=\!\left\{x^2\!+\!y^2\!+\!z^2\!=\!R^2,\,x^2\!+\!y^2\le a^2,\,z\ge 0,\,a\le R\right\}$ (kulový vrchlík)

$2\pi R\left[R-\sqrt{R^2-a^2}\right]$

$S=\left\{x^2+z^2=a^2,\,z\ge 0\right\}$

6.6

$|x|\le|y|\le a$
$2a^2(\pi-2)$
$|x|>|y|$
$4a^2$

6.7

$S=\left\{x^2+z^2=a^2,\,x^2+y^2\leq a^2,\,z\geq 0\right\}$

$4a^2$

6.8

Prostorová křivka, daná průnikem kulové plochy $S=\left\{x^2+y^2+z^2=R^2\right\}$ a válcové plochy $S^\prime=\left\{(x-a)^2+y^2=a^2\right\}$, kde $a=R/2$, vymezuje na povrchu kulové plochy uzavřenou plochu (tzv. Vivianiho okno). Vypočítejte obsah této plochy.

$2R^2\left(\pi-2\right)$

6.9

Vypočítejte obsah části zemského povrchu, ohraničeného v jednom směru dvěma sousedními poledníky (například 15. a 16.) a ve druhém směru dvěma sousedními rovnoběžkami:

0. (rovníkem) a 1.,
$\text{cca}\,\,12\,364\,\text{km}^2$
49. a 50.,
$\text{cca}\,\,8\,030\,\text{km}^2$
89. a 90. (pólem).
$\text{cca}\,\,108\,\text{km}^2$

Obsahy jednotlivých ploch udejte v $\text{km}^2$. Poloměr Země, $R=6371\,\text{km}$, považujte za konstantu.

V kartézských souřadnicích i pomocí vhodné parametrizace vypočítejte plošné integrály 1. druhu:

6.10

$\displaystyle\iint_S x^2z\,\text{d} S,\quad\text{kde}\quad S=\left\{x^2+y^2+z^2=R^2,\,z\ge 0\right\}$.

$\dfrac{\pi R^5}{4}$

6.11

$\displaystyle\iint_S\sqrt{2}\,x^2z\,\text{d} S,\quad\text{kde}\quad S=\left\{x^2+y^2-z^2=0,\,z\in\langle 0,H\rangle\right\}$.

$\dfrac{2\pi R^5}{5},\,R=H$

6.12

$\displaystyle\iint_S\left(x^2+y^2\right)\,\text{d} S,\quad\text{kde}\quad S=\left\{x^2+y^2+z^2=R^2,\,z\ge 0\right\}$.

$\dfrac{4}{3}\pi R^4$

6.13

$\displaystyle\iint_Sx^2y^2\,\text{d} S,\quad\text{kde}\quad S=\left\{x^2+y^2+z^2=R^2,\,z\ge 0\right\}$.

$\dfrac{2}{15}\pi R^6$

6.14

$\displaystyle\iint_Sx^2z^2\,\text{d} S,\quad\text{kde}\quad S=\left\{x^2+y^2+z^2=R^2,\,z\ge 0\right\}$.

$\dfrac{2}{15}\pi R^6$

6.15

$\displaystyle\iint_Sy^2\,\text{d} S,\quad\text{kde}\quad S=\left\{z=H-\dfrac{H}{R}\sqrt{x^2+y^2},\,z\in\langle 0,H\rangle\right\}$.

$\dfrac{\pi R^3}{4}\sqrt{R^2+H^2}$

6.16

$\displaystyle\iint_Sz\,\text{d} S,\quad\text{kde}\quad S=\left\{x+y+z=1,\,x\in\langle 0,1\rangle,\,y\in\langle 0,\,1-x\rangle\right\}$.

$\dfrac{1}{2\sqrt{3}}$

6.17

$\displaystyle\iint_S\dfrac{1}{x^2+y^2+z}\,\text{d} S,\quad\text{kde}\quad S=\left\{x^2+y^2+z=H,\,z\ge 0\right\}$.

$\dfrac{\pi}{6H}\left[(1+4H)^{\frac{3}{2}}-1\right]$

6.18

Vypočítejte hmotnost kulového vrchlíku $S=\left\{x^2+y^2+z^2=R^2,\,x^2+y^2\le\dfrac{R^2}{4},\,z\ge 0\right\}$ s plošnou hustotou $\sigma(x,y,z)=|x|+|y|+|z|$.

$R^3\left(\dfrac{11}{12}\pi+\sqrt{3}\right)$

6.19

Vypočítejte polohu středu hmotnosti plochy $S=\left\{x^2+y^2+z^2=R^2,\,z\ge 0\right\}$, jejíž plošná hustota $\sigma$ je dána funkcí $\sigma=x^2+z^2$.

$x_T=0,\,y_T=0,\,z_T=\dfrac{9R}{16}$

6.20

Vypočítejte polohu středu hmotnosti plochy $S=\left\{x^2+y^2-z^2=0,\,\,z\in\langle 0,H\rangle\right\}$, jejíž plošná hustota $\sigma$ je dána funkcí $\sigma=x^2+z^2$.

$x_T=0,\,y_T=0,\,z_T=\dfrac{4H}{5}$

6.21

Spirálová plocha s konstantní plošnou hustotou $\sigma$ je zadaná parametricky ve tvaru $x=u\cos v,\,y=u\sin v,\,z=v,\,u\in\langle 0,a\rangle,\,v\in\langle 0,2\pi\rangle$. Vypočítejte:

hmotnost této plochy,
$\pi\sigma\left[a\sqrt{1+a^2}+\ln\left(a+\sqrt{1+a^2}\right)\right]$
polohu jejího těžiště,
$\left(0,0,\pi\right)$
moment setrvačnosti vzhledem k její geometrické ose.
$\dfrac{\pi\sigma}{4}\left[\left(2a^3+a\right)\sqrt{1+a^2}-\ln\left(a+\sqrt{1+a^2}\right)\right]$

6.22

Vypočítejte následující parametry plochy z příkladu 6.14, pokud její plošná hustota bude $\sigma=x^2z$:

hmotnost této plochy,
$\dfrac{\pi}{20}HR^3\sqrt{R^2+H^2}$
polohu jejího těžiště,
$z_T=\dfrac{H}{3}$
moment setrvačnosti vzhledem k její geometrické ose.
$\dfrac{\pi}{42}HR^5\sqrt{R^2+H^2}$

6.23

Vypočítejte následující parametry plochy z příkladu 6.15, pokud její plošná hustota bude $\sigma=x^2+y^2$:

hmotnost této plochy,
$\dfrac{1}{2\sqrt{3}}$
polohu jejího těžiště.
$\left(\dfrac{2}{5},\,\dfrac{2}{5},\,\dfrac{1}{5}\right)$

6.24

Vypočítejte hmotnost plochy z příkladu 6.16, pokud její plošná hustota bude $\sigma=x^2$:

$\dfrac{\pi}{16}\left[\left(4R^2+1\right)^{\frac{3}{2}}\left(\dfrac{4}{5}R^2-\dfrac{2}{15}\right)+\dfrac{2}{15}\right]$

6.25

Vypočítejte celkovou tlakovou sílu, kterou působí kapalina o konstantní hustotě $\rho$ na všechny stěny uzavřené nádoby, tvořené plochou z příkladu 6.14 a odpovídající podstavou (atmosférický tlak zanedbejte).

$\pi\rho gH\left(\dfrac{2}{3}R\sqrt{R^2+H^2}+R^2\right)$

6.26

Vypočítejte celkovou tlakovou sílu, kterou působí kapalina o konstantní hustotě $\rho$ na všechny stěny uzavřené nádoby, tvořené plochou z příkladu 6.16 a odpovídající podstavou (atmosférický tlak zanedbejte).

$\dfrac{\pi}{8}\rho g\left[\left(4R^2+1\right)^{\frac{3}{2}}\left(\dfrac{4}{5}R^2-\dfrac{2}{15}\right)+\dfrac{2}{15}\right]+\pi\rho gR^4$

6.27

Plášť vodojemu ve tvaru kužele, stojícího špičkou dolů, o poloměru horní vodorovné plochy $R=3\,\text{m}$ a výšce $H=4\,\text{m}$ je dimenzován tak, aby odolal celkové tlakové síle $10^6\,\text{N}$. Je dimenzován dostatečně, nedostatečně, nebo je přibližně na hranici konstrukční odolnosti? Uvažujte hodnoty konstant $\rho=1000\,\text{kg}\,\text{m}^{-3},\,g=9,81\,\text{m}\,\text{s}^{-2}$. Vliv atmosférického tlaku zanedbejte.

$F_p\approx 6,3\times 10^5\,\text{N}$. Plášť vodojemu je dimenzován dostatečně.

6.28

Nádoba ve tvaru kužele stojícího špičkou dolů je naplněna speciální kapalinou, v níž tlak roste s hloubkou jako $p=\rho_0 gh^2$, kde $\rho_0$ je hustota kapaliny na hladině a $h$ je hloubka daného místa v nádobě. Poloměr horní vodorovné plochy nádoby $R=0,\!5\,\text{m}$ a výška nádoby $H=1\,\text{m}$. Určete tlakovou sílu, které musí nádoba odolat. Uvažujte hodnoty konstant $\rho_0=1000\,\text{kg}\,\text{m}^{-3},\,g=9,81\,\text{m}\,\text{s}^{-2}$. Vliv atmosférického tlaku zanedbejte.

$F_p\approx 3000\,\text{N}$.

6.29

Plášť kulového vodojemu o poloměru $R=2\,\text{m}$ je dimenzován tak, aby odolal celkové tlakové síle $10^6\,\text{N}$. Je dimenzován dostatečně, nedostatečně, nebo je zhruba na hranici konstrukční odolnosti? Uvažujte hodnoty konstant $\rho=1000\,\text{kg}\,\text{m}^{-3},\,g=9,81\,\text{m}\,\text{s}^{-2}$. Vliv atmosférického tlaku zanedbejte.

$F_p\approx 10^6\,\text{N}$. Plášť vodojemu je dimenzován zhruba na hranici konstrukční odolnosti.

6.30

Mísa ve tvaru polokoule o poloměru $R=1\,\text{m}$ je naplněna speciální kapalinou, v níž tlak roste s hloubkou jako $p=\rho_0 gh^{\frac{3}{2}}$, kde $\rho_0$ je hustota kapaliny na hladině a $h$ je hloubka daného místa v nádobě. Určete tlakovou sílu, které musí nádoba odolat. Uvažujte hodnoty konstant $\rho_0=1000\,\text{kg}\,\text{m}^{-3},\,g=9,81\,\text{m}\,\text{s}^{-2}$. Vliv atmosférického tlaku zanedbejte.

$F_p\approx 25\,000\,\text{N}$.