6.2 Plošný integrál 2. druhu
Plošným integrálem 2. druhu nazýváme integrál $\displaystyle\iint_S\vec{F}\cdot\,\text{d}\vec{S}=\displaystyle\iint_S\vec{F}\cdot\vec{n}\,\text{d} {S}$ obecného vektorového pole $\vec{F}(x,y,z)$, definovaného na orientované, po částech diferencovatelné ploše $S$, kde $\vec{n}=(n_x,n_y,n_z)$ je jednotkový vektor normály orientované plochy $S$. Explicitní zápis plošného integrálu 2. druhu v kartézské souřadné soustavě bude, v případě že všechny tři souřadnice $x,\,y,\,z$ jsou na dané ploše (soustavě ploch) vzájemně nezávislé, mít tvar
$$ \int_y\int_z F_x\,\text{d} y\,\text{d} z\,\Big|_{x=\text{konst.}}+\int_z\int_x F_y\,\text{d} z\,\text{d} x\,\Big|_{y=\text{konst.}}+
\int_x\int_y F_z\,\text{d} x\,\text{d} y\,\Big|_{z=\text{konst.}}, $$
6.20
kde $F_x,\,F_y,\,F_z$ jsou jednotlivé složky vektoru $\vec{F}$. V případě, že můžeme na dané ploše stanovit některou ze souřadnic jako závislou na druhých dvou, bude mít (analogicky k rovnici 6.14) parametrizovaný plošný integrál 2. druhu tvar
$$ \begin{align}
\int_{u_1}^{u_2}\int_{v_1}^{v_2}\left\{F_x(\xi,\eta,\zeta)
\left[\left(\frac{\partial\eta}{\partial u},\,\frac{\partial\zeta}{\partial u}\right)\times
\left(\frac{\partial\eta}{\partial v},\,\frac{\partial\zeta}{\partial v}\right)\right]+ \\
+ F_y(\xi,\eta,\zeta)
\left[\left(\frac{\partial\zeta}{\partial u},\,\frac{\partial\xi}{\partial u}\right)\times
\left(\frac{\partial\zeta}{\partial v},\,\frac{\partial\xi}{\partial v}\right)\right]+\right.\nonumber\\
+ \left. F_z(\xi,\eta,\zeta)\left[\left(\frac{\partial\xi}{\partial u},\,\frac{\partial\eta}{\partial u}\right)\times
\left(\frac{\partial\xi}{\partial v},\,\frac{\partial\eta}{\partial v}\right)\right]\right\}\text{d} u\,\text{d} v\,.
\end{align}$$
6.21
Pořadí parametrů $u$ a $v$ ve vektorových součinech je dáno požadovanou orientací normály plochy. Typickou fyzikální aplikací plošného integrálu 2. druhu je výpočet toku $\Phi$ vektorového pole $\vec{F}$ orientovanou plochou ${\vec S}$.
Příklady
6.31
Pomocí plošného integrálu 2. druhu určete tok vektorového pole $\vec{F}=\left(x^2,y^2,z^2\right)$ uzavřenou plochou
$S=\left\{(x,y,z)\,|\,x\in\langle A,\,2A\rangle,\,y\in\langle B,\,2B\rangle,\,z\in\langle C,\,2C\rangle\right\}$.
$\Phi_F=3ABC(A+B+C)$
6.32
Pomocí plošného integrálu 2. druhu určete tok vektorového pole $\vec{F}=\left(x^2,y^2,z^2\right)$ uzavřenou plochou
$S=\left\{(x,y,z)\,|\,x^2+y^2=R^2,\,z\in\langle 0,\,H\rangle\right\}$.
$\Phi_F=\pi R^2H^2$
6.33
Pomocí plošného integrálu 2. druhu určete tok vektorového pole
$\vec{F}=\left(x^2,y^2,z^2\right)$ uzavřenou plochou, tvořenou povrchem tělesa z příkladu 6.16.
$\Phi_F=\dfrac{\pi R^2H^2}{3}$
6.34
Pomocí plošného integrálu 2. druhu určete tok vektorového pole $\vec{F}=\left(x^3-y^3,x^3+y^3,z\right)$ povrchem tělesa $
\mathcal{V}=\left\{(x,y,z)\,|\,z\in\langle 0,\,H\rangle,\,x^2+y^2\le\dfrac{R^2}{H^2}(H-z)^2\right\}$.
$\Phi_F=\dfrac{\pi R^2H}{30}\left(9R^2+10\right)$
6.35
Pomocí plošného integrálu 2. druhu určete tok vektorového pole $\vec{F}=(x^3,y^3,z^3)$ plochou,
danou předpisem $S=\left\{(x,y,z)\,|\,x^2+y^2+z^2=R^2\right\}$.
$\Phi_F=\dfrac{12}{5}\pi R^5$
6.36
Je dáno silové pole $\vec{F}=(x^3-x^2,\,y^3-y^2,\,z^3-z^2)$. Pomocí plošného integrálu 2. druhu vypočítejte jeho tok
povrchem tělesa
$\mathcal{V}=\left\{(x,y,z)\,|\,x,y,z\in\langle 0,R\rangle,\,x^2+y^2+z^2\le R^2\right\}$.
$\Phi_F=\dfrac{3\pi R^4}{40}\left(4R-5\right)$
6.37
Pomocí plošného integrálu 2. druhu vypočítejte tok vektorového pole $\vec{F}=(x,y,z)$ povrchem tělesa
z příkladu 7.35. Proč je výsledná hodnota trojnásobkem výsledné hodnoty z uvedeného příkladu?
$\Phi_F=\dfrac{3\pi^2 a^3}{4}$
6.38
Pomocí plošného integrálu 2. druhu vypočítejte tok vektorového pole
$\vec{F}=(x^3,y^3,z^3)$ uzavřenou plochou, tvořenou povrchem tělesa
z příkladu 7.35
$\Phi_F=\dfrac{27}{64}\pi^2 a^5=\left(\dfrac{3}{4}\right)^3\pi^2 a^5$
6.39
Pomocí plošného integrálu 2. druhu vypočítejte tok vektorového pole $\vec{F}=(z^2,x^2,y^2)$ kruhovou plochou o poloměru $R$ se středem v bodě $x,y,z=A,B,C$, ležící v rovině $z=C$.
$\dfrac{\pi R^4}{4}+\pi B^2R^2$
6.40
Pomocí plošného integrálu 2. druhu vypočítejte tok vektorového pole $\vec{F}=(y,z,x)$ rovinnou plochou ve tvaru obdélníka s vrcholy v bodech $(1,0,0)$, $(3,0,1)$, $(3,2,1)$, $(1,2,0)$, ve směru normály $\vec{\nu}$ této plochy jejíž složka $\nu_x$ je kladně orientovaná.
$-6$
6.41
Pomocí plošného integrálu 2. druhu vypočítejte tok vektorového pole $\vec{F}=(3,z,y)$ rovinnou plochou ve tvaru obdélníka s vrcholy v bodech $(0,0,1)$, $(0,1,3)$, $(2,1,3)$, $(2,0,1)$, ve směru normály $\vec{\nu}$ této plochy jejíž složka $\nu_y$ je kladně orientovaná.
$7$
6.42
Pomocí plošného integrálu 2. druhu vypočítejte tok vektorového pole $\vec{F}=(3,z,y)$, rovinnou plochou ve tvaru obdélníka s vrcholy v bodech $(0,0,1)$, $(0,2,2)$, $(5,2,2)$, $(5,0,1)$, ve směru normály $\vec{\nu}$ této plochy jejíž složka $\nu_y$ je kladně orientovaná.
$-\dfrac{5}{2}$
6.43
Pomocí plošného integrálu 2. druhu vypočítejte tok vektorového pole $\vec{F}=(y,z,x)$ rovinnou plochou ve tvaru lichoběžníka s vrcholy v bodech $(1,1,1)$, $(1,3,3)$, $(2,4,5)$, $(2,1,2)$, ve směru normály $\vec{\nu}$ této plochy jejíž složka $\nu_y$ je kladně orientovaná.
$\dfrac{53}{6}$
6.44
Pomocí plošného integrálu 2. druhu vypočítejte tok vektorového pole $\vec{F}=(x,z,y)$ rovinnou plochou ve tvaru trojúhelníka s vrcholy v bodech $(3,0,2)$, $(1,2,0)$, $(0,0,7)$, ve směru normály $\vec{\nu}$ této plochy jejíž složka $\nu_y$ je kladně orientovaná.
$\dfrac{98}{3}$