6.2 Plošný integrál 2. druhu

Plošným integrálem 2. druhu nazýváme integrál $\displaystyle\iint_S\vec{F}\cdot\,\text{d}\vec{S}=\displaystyle\iint_S\vec{F}\cdot\vec{n}\,\text{d} {S}$ obecného vektorového pole $\vec{F}(x,y,z)$ , definovaného na orientované, po částech diferencovatelné ploše $S$ , kde $\vec{n}=(n_x,n_y,n_z)$ je jednotkový vektor normály orientované plochy $S$ . Explicitní zápis plošného integrálu 2. druhu v kartézské souřadné soustavě bude, v případě že všechny tři souřadnice $x,\,y,\,z$ jsou na dané ploše (soustavě ploch) vzájemně nezávislé, mít tvar

$\int_y\int_z F_x\,\text{d} y\,\text{d} z\,\Big|_{x=\text{konst.}}+\int_z\int_x F_y\,\text{d} z\,\text{d} x\,\Big|_{y=\text{konst.}}+ \int_x\int_y F_z\,\text{d} x\,\text{d} y\,\Big|_{z=\text{konst.}},$

6.20

kde $F_x,\,F_y,\,F_z$ jsou jednotlivé složky vektoru $\vec{F}$ . V případě, že můžeme na dané ploše stanovit některou ze souřadnic jako závislou na druhých dvou, bude mít (analogicky k rovnici 6.14) parametrizovaný plošný integrál 2. druhu tvar

$\begin{align} \int_{u_1}^{u_2}\int_{v_1}^{v_2}\left\{F_x(\xi,\eta,\zeta) \left[\left(\frac{\partial\eta}{\partial u},\,\frac{\partial\zeta}{\partial u}\right)\times \left(\frac{\partial\eta}{\partial v},\,\frac{\partial\zeta}{\partial v}\right)\right]+ \\ + F_y(\xi,\eta,\zeta) \left[\left(\frac{\partial\zeta}{\partial u},\,\frac{\partial\xi}{\partial u}\right)\times \left(\frac{\partial\zeta}{\partial v},\,\frac{\partial\xi}{\partial v}\right)\right]+\right.\nonumber\\ + \left. F_z(\xi,\eta,\zeta)\left[\left(\frac{\partial\xi}{\partial u},\,\frac{\partial\eta}{\partial u}\right)\times \left(\frac{\partial\xi}{\partial v},\,\frac{\partial\eta}{\partial v}\right)\right]\right\}\text{d} u\,\text{d} v\,. \end{align}$

6.21

Pořadí parametrů $u$ a $v$ ve vektorových součinech je dáno požadovanou orientací normály plochy. Typickou fyzikální aplikací plošného integrálu 2. druhu je výpočet toku $\Phi$ vektorového pole $\vec{F}$ orientovanou plochou ${\vec S}$ .

nahoru

Příklady

6.31

Pomocí plošného integrálu 2. druhu určete tok vektorového pole

$\vec{F}=\left(x^2,y^2,z^2\right)$ uzavřenou plochou

$S=\left\{(x,y,z)\,|\,x\in\langle A,\,2A\rangle,\,y\in\langle B,\,2B\rangle,\,z\in\langle C,\,2C\rangle\right\}$ .

$\Phi_F=3ABC(A+B+C)$

6.32

Pomocí plošného integrálu 2. druhu určete tok vektorového pole

$\vec{F}=\left(x^2,y^2,z^2\right)$ uzavřenou plochou

$S=\left\{(x,y,z)\,|\,x^2+y^2=R^2,\,z\in\langle 0,\,H\rangle\right\}$ .

$\Phi_F=\pi R^2H^2$

6.33

Pomocí plošného integrálu 2. druhu určete tok vektorového pole

$\vec{F}=\left(x^2,y^2,z^2\right)$ uzavřenou plochou, tvořenou povrchem tělesa z příkladu 6.16.

$\Phi_F=\dfrac{\pi R^2H^2}{3}$

6.34

Pomocí plošného integrálu 2. druhu určete tok vektorového pole

$\vec{F}=\left(x^3-y^3,x^3+y^3,z\right)$ povrchem tělesa

$\mathcal{V}=\left\{(x,y,z)\,|\,z\in\langle 0,\,H\rangle,\,x^2+y^2\le\dfrac{R^2}{H^2}(H-z)^2\right\}$ .

$\Phi_F=\dfrac{\pi R^2H}{30}\left(9R^2+10\right)$

6.35

Pomocí plošného integrálu 2. druhu určete tok vektorového pole

$\vec{F}=(x^3,y^3,z^3)$ plochou, danou předpisem

$S=\left\{(x,y,z)\,|\,x^2+y^2+z^2=R^2\right\}$ .

$\Phi_F=\dfrac{12}{5}\pi R^5$

6.36

Je dáno silové pole

$\vec{F}=(x^3-x^2,\,y^3-y^2,\,z^3-z^2)$ . Pomocí plošného integrálu 2. druhu vypočítejte jeho tok povrchem tělesa

$\mathcal{V}=\left\{(x,y,z)\,|\,x,y,z\in\langle 0,R\rangle,\,x^2+y^2+z^2\le R^2\right\}$ .

$\Phi_F=\dfrac{3\pi R^4}{40}\left(4R-5\right)$

6.37

Pomocí plošného integrálu 2. druhu vypočítejte tok vektorového pole

$\vec{F}=(x,y,z)$ povrchem tělesa z příkladu 7.35. Proč je výsledná hodnota trojnásobkem výsledné hodnoty z uvedeného příkladu?

$\Phi_F=\dfrac{3\pi^2 a^3}{4}$

6.38

Pomocí plošného integrálu 2. druhu vypočítejte tok vektorového pole

$\vec{F}=(x^3,y^3,z^3)$ uzavřenou plochou, tvořenou povrchem tělesa z příkladu 7.35

$\Phi_F=\dfrac{27}{64}\pi^2 a^5=\left(\dfrac{3}{4}\right)^3\pi^2 a^5$

6.39

Pomocí plošného integrálu 2. druhu vypočítejte tok vektorového pole

$\vec{F}=(z^2,x^2,y^2)$ kruhovou plochou o poloměru

$R$ se středem v bodě

$x,y,z=A,B,C$ , ležící v rovině

$z=C$ .

$\dfrac{\pi R^4}{4}+\pi B^2R^2$

6.40

Pomocí plošného integrálu 2. druhu vypočítejte tok vektorového pole

$\vec{F}=(y,z,x)$ rovinnou plochou ve tvaru obdélníka s vrcholy v bodech

$(1,0,0)$ ,

$(3,0,1)$ ,

$(3,2,1)$ ,

$(1,2,0)$ , ve směru normály

$\vec{\nu}$ této plochy jejíž složka

$\nu_x$ je kladně orientovaná.

$-6$

6.41

Pomocí plošného integrálu 2. druhu vypočítejte tok vektorového pole

$\vec{F}=(3,z,y)$ rovinnou plochou ve tvaru obdélníka s vrcholy v bodech

$(0,0,1)$ ,

$(0,1,3)$ ,

$(2,1,3)$ ,

$(2,0,1)$ , ve směru normály

$\vec{\nu}$ této plochy jejíž složka

$\nu_y$ je kladně orientovaná.

$7$

6.42

Pomocí plošného integrálu 2. druhu vypočítejte tok vektorového pole

$\vec{F}=(3,z,y)$ , rovinnou plochou ve tvaru obdélníka s vrcholy v bodech

$(0,0,1)$ ,

$(0,2,2)$ ,

$(5,2,2)$ ,

$(5,0,1)$ , ve směru normály

$\vec{\nu}$ této plochy jejíž složka

$\nu_y$ je kladně orientovaná.

$-\dfrac{5}{2}$

6.43

Pomocí plošného integrálu 2. druhu vypočítejte tok vektorového pole

$\vec{F}=(y,z,x)$ rovinnou plochou ve tvaru lichoběžníka s vrcholy v bodech

$(1,1,1)$ ,

$(1,3,3)$ ,

$(2,4,5)$ ,

$(2,1,2)$ , ve směru normály

$\vec{\nu}$ této plochy jejíž složka

$\nu_y$ je kladně orientovaná.

$\dfrac{53}{6}$

6.44

Pomocí plošného integrálu 2. druhu vypočítejte tok vektorového pole

$\vec{F}=(x,z,y)$ rovinnou plochou ve tvaru trojúhelníka s vrcholy v bodech

$(3,0,2)$ ,

$(1,2,0)$ ,

$(0,0,7)$ , ve směru normály

$\vec{\nu}$ této plochy jejíž složka

$\nu_y$ je kladně orientovaná.

$\dfrac{98}{3}$