Informace o předmětu

F3063 Integrování forem

Rozsah

2/2/0. 4 kr. Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Michael Krbek, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Dodavatelské pracoviště: Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta

Předpoklady

( M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II )||( M1100F Matematická analýza I && M2100F Matematická analýza II )
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)

Cíle předmětu

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních antisymetrických tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze,

Integrování diferenciálních forem: Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než standardně vyučovanými metodami tzv. "klasické analýzy" (na druhé straně však již toto modernější pojetí je třeba považovat za klasické, zatímco běžně užívané metody spiše za konzervativní). Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny klasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.

Předmět sleduje především tyto cíle:

* Ukázat studentům obecnější a účinnější přístup k teorii integrálu.
* Propojit obecnou matematickou teorii s praktickými geometrickými a fyzikálními aplikacemi a ukázat jejich těsnou souvislost.

Výstupy z učení

Absolvováním předmětu získá student tyto znalosti a dovednosti:

* Obecný přehled o problematice vektorových a tenzorových polí jako geometrických (invariantních) objektech na euklidovských prostorech.
* Praktickou dovednost při počítání s vektory a tenzory ve vícerozměrných prostorech (algebra) a vektorovými a tenzorovými poli v euklidovských prostorech (analýza).
* Porozumění pojmu diferenciální formy a dovednost při prováděni algebraických i analytických operací s ní (vnější součin, vnější derivace, pulback).
* Pochopení pojmu riemannovského integrálu z diferenciální k-formy na k-rozměrném útvaru v obecně n-rozměrném euklidovském prostoru (k menší nebo rovno n), pochopení pojmu křivkového a plošného integrálu jako speciálních případů.
* Znalost obecného Stokesova teorému převádějícího integraci (k-1)-formy po hranici k-rozměrného útvaru M na integraci vnější derivace této formy po útvaru M, jeho důkazu a jeho klasických aplikací (věty Greenova, klasická Stokesova, Gaussova-Ostrogradského).
* Praktická dovednost při výpočtech integrálů, včetně užití obecného Stokesova teorému, výpočet práce silového pole, toku vektorového pole plochou, apod.
* Dovednost při využití obecného Stokesova teorému při odvození diferenciálních (lokálních) přírodních zákonů ze zákonů integrálních (globálních), např. rovnice mechaniky kontinua, Maxwellovy rovnice v klasické elektrodynamice, apod.
* Praktická dovednost při výpočtu objemů n-rozměrných útvarů integrací objemového elementu (délky křivek, obsahy ploch, objemy těles).

Osnova

• 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce.
• 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu.
• 3. Prostory kovariantních tenzorů, algebraické operace.
• 4. Antisymetrické tenzory, vnější součin.
• 5. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy.
• 6. Vnější derivace.
• 7. Indukovaná zobrazení -- tečné zobrazení asociované se zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 8. Indukovaná zobrazení -- inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 9. Integrál diferenciální formy na singulární krychli.
• 10. Stokesův teorém.
• 11. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty.
• 12. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.
• 13. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou.
• 14. Praktické výpočty.

Literatura

povinná literatura
• MUSILOVÁ, Jana a Pavla MUSILOVÁ. Matematika : pro porozumění i praxi : netradiční výklad tradičních témat vysokoškolské matematiky. První vydání. Brno: VUTIUM, 2017, xv, 365. ISBN 9788021455030. info

doporučená literatura
• SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
• KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info
• NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info

Výukové metody

Přednáška: teoretická výuka kombinovaná s praktickými příklady. Cvičení: teoretické cvičení zaměřené na procvičení základních pojmů a tvrzení, samostatné řešení úloh, včetně úloh komplexnějšího charakteru.

Metody hodnocení

Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části-(a) příklady, (b) test) a ústní. V části (a) řeší studenti rozsáhlejší a komplexnější příklady, prokazují schopnost samostatně řešit typické problémy. V části (b) prokazují jednak porozumění důležitým pojmům a teorémům, jednak orientovanost v celé problematice předmětu.

Navazující předměty

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice

Informace učitele

Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty prezenční formy studia:

1. Absolvování tří tematicky zaměřených průběžných písemek, termíny budou oznámeny alespoň dva týdny předem. Každá písemka je klasifikována podle stupnice uvedené ve Studijním a zkušebním řádu MU. Je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna písemka. K dosažení hodnocení alespoň E na dané písemce je třeba získat nejméně 50 procent z maximálního počtu bodů.
2. Odevzdání domácích úkolů. Domácí úkoly a jejich opravy je nutné odevzdávat vždy do týdne po uplynutí příslušného cvičení. Výjimku tvoří pouze omluvitelné situace, jako je například nemoc podložená lékařským potvrzením nebo nekonání výuky; v takovém případě je třeba odevzdat úkoly v bezprostředně následující výuce předmětu.
3. Účast na všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit vypracováním dvou náhradních příkladů za každé cvičení. Náhradní příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2012.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty kombinované formy studia (studenti kombinované formy mohou též zvolit jako alternativu požadavky pro studenty prezenční formy):

1. Absolvování závěrečné písemky pokrývající látku celého semestru. Termín písemky bude oznámen mailem rozeslaným prostřednictvím Informačního systému v prvním prosincovém týdnu 2011.
2. Odevzdání domácích úkolů shodných s úkoly pro prezenční formu (viz výše).
3. Odevzdání náhradních příkladů za neúčasti ve cvičení (dva příklady za každé cvičení, shodné s příklady pro prezenční formu - viz výše).
4. Domácí úkoly i příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2012.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Požadavky na úspěšné ukončení předmětu:

1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice).
Písemná část zkoušky: Část (a) - příklady - ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b) - test - prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Ústní část zkoušky: Diskuse o širší problematice úloh z písemné části. Každá část zkoušky je klasifikována, je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna její část (známky z písemné části zkoušky nabývají platnosti až po potvrzení zkoušejícím).
Výsledek ukončení předmětu se stanoví ze všech známek získaných během semestru a všech známek u zkoušky takto: Výsledná známka = (1x známka z první průběžné písemky + 1x známka z druhé průběžné písemky + 1x známka z třetí průběžné písemky + 2x známka z příkladů + 2x známka z testu + 4x známka z ústní zkoušky)/11.
Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.

Další komentáře

Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován jednou za dva roky.
Výuka probíhá každý týden.
S.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování forem

Rozsah

2/2/0. 4 kr. Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Michael Krbek, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Dodavatelské pracoviště: Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta

Rozvrh

St 11:00–12:50 F4,03017

• Rozvrh seminárních/paralelních skupin:

F3063/01: Čt 17:00–18:50 F3,03015, M. Krbek

Předpoklady

( M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II )||( M1100F Matematická analýza I && M2100F Matematická analýza II )
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)

Cíle předmětu

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních antisymetrických tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze,

Integrování diferenciálních forem: Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než standardně vyučovanými metodami tzv. "klasické analýzy" (na druhé straně však již toto modernější pojetí je třeba považovat za klasické, zatímco běžně užívané metody spiše za konzervativní). Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny klasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.

Předmět sleduje především tyto cíle:

* Ukázat studentům obecnější a účinnější přístup k teorii integrálu.
* Propojit obecnou matematickou teorii s praktickými geometrickými a fyzikálními aplikacemi a ukázat jejich těsnou souvislost.

Výstupy z učení

Absolvováním předmětu získá student tyto znalosti a dovednosti:

* Obecný přehled o problematice vektorových a tenzorových polí jako geometrických (invariantních) objektech na euklidovských prostorech.
* Praktickou dovednost při počítání s vektory a tenzory ve vícerozměrných prostorech (algebra) a vektorovými a tenzorovými poli v euklidovských prostorech (analýza).
* Porozumění pojmu diferenciální formy a dovednost při prováděni algebraických i analytických operací s ní (vnější součin, vnější derivace, pulback).
* Pochopení pojmu riemannovského integrálu z diferenciální k-formy na k-rozměrném útvaru v obecně n-rozměrném euklidovském prostoru (k menší nebo rovno n), pochopení pojmu křivkového a plošného integrálu jako speciálních případů.
* Znalost obecného Stokesova teorému převádějícího integraci (k-1)-formy po hranici k-rozměrného útvaru M na integraci vnější derivace této formy po útvaru M, jeho důkazu a jeho klasických aplikací (věty Greenova, klasická Stokesova, Gaussova-Ostrogradského).
* Praktická dovednost při výpočtech integrálů, včetně užití obecného Stokesova teorému, výpočet práce silového pole, toku vektorového pole plochou, apod.
* Dovednost při využití obecného Stokesova teorému při odvození diferenciálních (lokálních) přírodních zákonů ze zákonů integrálních (globálních), např. rovnice mechaniky kontinua, Maxwellovy rovnice v klasické elektrodynamice, apod.
* Praktická dovednost při výpočtu objemů n-rozměrných útvarů integrací objemového elementu (délky křivek, obsahy ploch, objemy těles).

Osnova

• 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce.
• 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu.
• 3. Prostory kovariantních tenzorů, algebraické operace.
• 4. Antisymetrické tenzory, vnější součin.
• 5. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy.
• 6. Vnější derivace.
• 7. Indukovaná zobrazení -- tečné zobrazení asociované se zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 8. Indukovaná zobrazení -- inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 9. Integrál diferenciální formy na singulární krychli.
• 10. Stokesův teorém.
• 11. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty.
• 12. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.
• 13. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou.
• 14. Praktické výpočty.

Literatura

povinná literatura
• MUSILOVÁ, Jana a Pavla MUSILOVÁ. Matematika : pro porozumění i praxi : netradiční výklad tradičních témat vysokoškolské matematiky. První vydání. Brno: VUTIUM, 2017, xv, 365. ISBN 9788021455030. info

doporučená literatura
• SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
• KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info
• NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info

Výukové metody

Přednáška: teoretická výuka kombinovaná s praktickými příklady. Cvičení: teoretické cvičení zaměřené na procvičení základních pojmů a tvrzení, samostatné řešení úloh, včetně úloh komplexnějšího charakteru.

Metody hodnocení

Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části-(a) příklady, (b) test) a ústní. V části (a) řeší studenti rozsáhlejší a komplexnější příklady, prokazují schopnost samostatně řešit typické problémy. V části (b) prokazují jednak porozumění důležitým pojmům a teorémům, jednak orientovanost v celé problematice předmětu.

Navazující předměty

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice

Informace učitele

Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty prezenční formy studia:

1. Absolvování tří tematicky zaměřených průběžných písemek, termíny budou oznámeny alespoň dva týdny předem. Každá písemka je klasifikována podle stupnice uvedené ve Studijním a zkušebním řádu MU. Je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna písemka. K dosažení hodnocení alespoň E na dané písemce je třeba získat nejméně 50 procent z maximálního počtu bodů.
2. Odevzdání domácích úkolů. Domácí úkoly a jejich opravy je nutné odevzdávat vždy do týdne po uplynutí příslušného cvičení. Výjimku tvoří pouze omluvitelné situace, jako je například nemoc podložená lékařským potvrzením nebo nekonání výuky; v takovém případě je třeba odevzdat úkoly v bezprostředně následující výuce předmětu.
3. Účast na všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit vypracováním dvou náhradních příkladů za každé cvičení. Náhradní příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2012.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty kombinované formy studia (studenti kombinované formy mohou též zvolit jako alternativu požadavky pro studenty prezenční formy):

1. Absolvování závěrečné písemky pokrývající látku celého semestru. Termín písemky bude oznámen mailem rozeslaným prostřednictvím Informačního systému v prvním prosincovém týdnu 2011.
2. Odevzdání domácích úkolů shodných s úkoly pro prezenční formu (viz výše).
3. Odevzdání náhradních příkladů za neúčasti ve cvičení (dva příklady za každé cvičení, shodné s příklady pro prezenční formu - viz výše).
4. Domácí úkoly i příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2012.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Požadavky na úspěšné ukončení předmětu:

1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice).
Písemná část zkoušky: Část (a) - příklady - ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b) - test - prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Ústní část zkoušky: Diskuse o širší problematice úloh z písemné části. Každá část zkoušky je klasifikována, je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna její část (známky z písemné části zkoušky nabývají platnosti až po potvrzení zkoušejícím).
Výsledek ukončení předmětu se stanoví ze všech známek získaných během semestru a všech známek u zkoušky takto: Výsledná známka = (1x známka z první průběžné písemky + 1x známka z druhé průběžné písemky + 1x známka z třetí průběžné písemky + 2x známka z příkladů + 2x známka z testu + 4x známka z ústní zkoušky)/11.
Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.

Další komentáře

Studijní materiály
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován jednou za dva roky.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování forem

Rozsah

2/2/0. 4 kr. Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Michael Krbek, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Dodavatelské pracoviště: Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta

Rozvrh

Po 15:00–16:50 F4,03017, Út 10:00–11:50 F2 6/2012

Předpoklady

( M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II )||( M1100F Matematická analýza I && M2100F Matematická analýza II )
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)

Cíle předmětu

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních antisymetrických tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze,

Integrování diferenciálních forem: Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než standardně vyučovanými metodami tzv. "klasické analýzy" (na druhé straně však již toto modernější pojetí je třeba považovat za klasické, zatímco běžně užívané metody spiše za konzervativní). Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny klasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.

Předmět sleduje především tyto cíle:

* Ukázat studentům obecnější a účinnější přístup k teorii integrálu.
* Propojit obecnou matematickou teorii s praktickými geometrickými a fyzikálními aplikacemi a ukázat jejich těsnou souvislost.

Výstupy z učení

Absolvováním předmětu získá student tyto znalosti a dovednosti:

* Obecný přehled o problematice vektorových a tenzorových polí jako geometrických (invariantních) objektech na euklidovských prostorech.
* Praktickou dovednost při počítání s vektory a tenzory ve vícerozměrných prostorech (algebra) a vektorovými a tenzorovými poli v euklidovských prostorech (analýza).
* Porozumění pojmu diferenciální formy a dovednost při prováděni algebraických i analytických operací s ní (vnější součin, vnější derivace, pulback).
* Pochopení pojmu riemannovského integrálu z diferenciální k-formy na k-rozměrném útvaru v obecně n-rozměrném euklidovském prostoru (k menší nebo rovno n), pochopení pojmu křivkového a plošného integrálu jako speciálních případů.
* Znalost obecného Stokesova teorému převádějícího integraci (k-1)-formy po hranici k-rozměrného útvaru M na integraci vnější derivace této formy po útvaru M, jeho důkazu a jeho klasických aplikací (věty Greenova, klasická Stokesova, Gaussova-Ostrogradského).
* Praktická dovednost při výpočtech integrálů, včetně užití obecného Stokesova teorému, výpočet práce silového pole, toku vektorového pole plochou, apod.
* Dovednost při využití obecného Stokesova teorému při odvození diferenciálních (lokálních) přírodních zákonů ze zákonů integrálních (globálních), např. rovnice mechaniky kontinua, Maxwellovy rovnice v klasické elektrodynamice, apod.
* Praktická dovednost při výpočtu objemů n-rozměrných útvarů integrací objemového elementu (délky křivek, obsahy ploch, objemy těles).

Osnova

• 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce.
• 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu.
• 3. Prostory kovariantních tenzorů, algebraické operace.
• 4. Antisymetrické tenzory, vnější součin.
• 5. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy.
• 6. Vnější derivace.
• 7. Indukovaná zobrazení -- tečné zobrazení asociované se zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 8. Indukovaná zobrazení -- inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 9. Integrál diferenciální formy na singulární krychli.
• 10. Stokesův teorém.
• 11. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty.
• 12. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.
• 13. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou.
• 14. Praktické výpočty.

Literatura

povinná literatura
• MUSILOVÁ, Jana a Pavla MUSILOVÁ. Matematika : pro porozumění i praxi : netradiční výklad tradičních témat vysokoškolské matematiky. První vydání. Brno: VUTIUM, 2017, xv, 365. ISBN 9788021455030. info

doporučená literatura
• SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
• KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info
• NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info

Výukové metody

Přednáška: teoretická výuka kombinovaná s praktickými příklady. Cvičení: teoretické cvičení zaměřené na procvičení základních pojmů a tvrzení, samostatné řešení úloh, včetně úloh komplexnějšího charakteru.

Metody hodnocení

Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části-(a) příklady, (b) test) a ústní. V části (a) řeší studenti rozsáhlejší a komplexnější příklady, prokazují schopnost samostatně řešit typické problémy. V části (b) prokazují jednak porozumění důležitým pojmům a teorémům, jednak orientovanost v celé problematice předmětu.

Navazující předměty

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice

Informace učitele

Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty prezenční formy studia:

1. Absolvování tří tematicky zaměřených průběžných písemek, termíny budou oznámeny alespoň dva týdny předem. Každá písemka je klasifikována podle stupnice uvedené ve Studijním a zkušebním řádu MU. Je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna písemka. K dosažení hodnocení alespoň E na dané písemce je třeba získat nejméně 50 procent z maximálního počtu bodů.
2. Odevzdání domácích úkolů. Domácí úkoly a jejich opravy je nutné odevzdávat vždy do týdne po uplynutí příslušného cvičení. Výjimku tvoří pouze omluvitelné situace, jako je například nemoc podložená lékařským potvrzením nebo nekonání výuky; v takovém případě je třeba odevzdat úkoly v bezprostředně následující výuce předmětu.
3. Účast na všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit vypracováním dvou náhradních příkladů za každé cvičení. Náhradní příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2012.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty kombinované formy studia (studenti kombinované formy mohou též zvolit jako alternativu požadavky pro studenty prezenční formy):

1. Absolvování závěrečné písemky pokrývající látku celého semestru. Termín písemky bude oznámen mailem rozeslaným prostřednictvím Informačního systému v prvním prosincovém týdnu 2011.
2. Odevzdání domácích úkolů shodných s úkoly pro prezenční formu (viz výše).
3. Odevzdání náhradních příkladů za neúčasti ve cvičení (dva příklady za každé cvičení, shodné s příklady pro prezenční formu - viz výše).
4. Domácí úkoly i příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2012.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Požadavky na úspěšné ukončení předmětu:

1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice).
Písemná část zkoušky: Část (a) - příklady - ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b) - test - prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Ústní část zkoušky: Diskuse o širší problematice úloh z písemné části. Každá část zkoušky je klasifikována, je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna její část (známky z písemné části zkoušky nabývají platnosti až po potvrzení zkoušejícím).
Výsledek ukončení předmětu se stanoví ze všech známek získaných během semestru a všech známek u zkoušky takto: Výsledná známka = (1x známka z první průběžné písemky + 1x známka z druhé průběžné písemky + 1x známka z třetí průběžné písemky + 2x známka z příkladů + 2x známka z testu + 4x známka z ústní zkoušky)/11.
Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.

Další komentáře

Studijní materiály
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování forem

Rozsah

2/2/0. 4 kr. Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Michael Krbek, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Dodavatelské pracoviště: Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta

Rozvrh

Po 1. 3. až Pá 14. 5. Po 15:00–16:50 F1 6/1014

• Rozvrh seminárních/paralelních skupin:

F3063/01: Po 1. 3. až Pá 14. 5. Čt 16:00–17:50 F4,03017, M. Krbek

Předpoklady

( M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II )||( M1100F Matematická analýza I && M2100F Matematická analýza II )
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)

Cíle předmětu

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních antisymetrických tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze,

Integrování diferenciálních forem: Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než standardně vyučovanými metodami tzv. "klasické analýzy" (na druhé straně však již toto modernější pojetí je třeba považovat za klasické, zatímco běžně užívané metody spiše za konzervativní). Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny klasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.

Předmět sleduje především tyto cíle:

* Ukázat studentům obecnější a účinnější přístup k teorii integrálu.
* Propojit obecnou matematickou teorii s praktickými geometrickými a fyzikálními aplikacemi a ukázat jejich těsnou souvislost.

Výstupy z učení

Absolvováním předmětu získá student tyto znalosti a dovednosti:

* Obecný přehled o problematice vektorových a tenzorových polí jako geometrických (invariantních) objektech na euklidovských prostorech.
* Praktickou dovednost při počítání s vektory a tenzory ve vícerozměrných prostorech (algebra) a vektorovými a tenzorovými poli v euklidovských prostorech (analýza).
* Porozumění pojmu diferenciální formy a dovednost při prováděni algebraických i analytických operací s ní (vnější součin, vnější derivace, pulback).
* Pochopení pojmu riemannovského integrálu z diferenciální k-formy na k-rozměrném útvaru v obecně n-rozměrném euklidovském prostoru (k menší nebo rovno n), pochopení pojmu křivkového a plošného integrálu jako speciálních případů.
* Znalost obecného Stokesova teorému převádějícího integraci (k-1)-formy po hranici k-rozměrného útvaru M na integraci vnější derivace této formy po útvaru M, jeho důkazu a jeho klasických aplikací (věty Greenova, klasická Stokesova, Gaussova-Ostrogradského).
* Praktická dovednost při výpočtech integrálů, včetně užití obecného Stokesova teorému, výpočet práce silového pole, toku vektorového pole plochou, apod.
* Dovednost při využití obecného Stokesova teorému při odvození diferenciálních (lokálních) přírodních zákonů ze zákonů integrálních (globálních), např. rovnice mechaniky kontinua, Maxwellovy rovnice v klasické elektrodynamice, apod.
* Praktická dovednost při výpočtu objemů n-rozměrných útvarů integrací objemového elementu (délky křivek, obsahy ploch, objemy těles).

Osnova

• 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce.
• 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu.
• 3. Prostory kovariantních tenzorů, algebraické operace.
• 4. Antisymetrické tenzory, vnější součin.
• 5. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy.
• 6. Vnější derivace.
• 7. Indukovaná zobrazení -- tečné zobrazení asociované se zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 8. Indukovaná zobrazení -- inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 9. Integrál diferenciální formy na singulární krychli.
• 10. Stokesův teorém.
• 11. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty.
• 12. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.
• 13. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou.
• 14. Praktické výpočty.

Literatura

povinná literatura
• MUSILOVÁ, Jana a Pavla MUSILOVÁ. Matematika : pro porozumění i praxi : netradiční výklad tradičních témat vysokoškolské matematiky. První vydání. Brno: VUTIUM, 2017, xv, 365. ISBN 9788021455030. info

doporučená literatura
• SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
• KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info
• NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info

Výukové metody

Přednáška: teoretická výuka kombinovaná s praktickými příklady. Cvičení: teoretické cvičení zaměřené na procvičení základních pojmů a tvrzení, samostatné řešení úloh, včetně úloh komplexnějšího charakteru.

Metody hodnocení

Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části-(a) příklady, (b) test) a ústní. V části (a) řeší studenti rozsáhlejší a komplexnější příklady, prokazují schopnost samostatně řešit typické problémy. V části (b) prokazují jednak porozumění důležitým pojmům a teorémům, jednak orientovanost v celé problematice předmětu.

Navazující předměty

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice

Informace učitele

Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty prezenční formy studia:

1. Absolvování tří tematicky zaměřených průběžných písemek, termíny budou oznámeny alespoň dva týdny předem. Každá písemka je klasifikována podle stupnice uvedené ve Studijním a zkušebním řádu MU. Je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna písemka. K dosažení hodnocení alespoň E na dané písemce je třeba získat nejméně 50 procent z maximálního počtu bodů.
2. Odevzdání domácích úkolů. Domácí úkoly a jejich opravy je nutné odevzdávat vždy do týdne po uplynutí příslušného cvičení. Výjimku tvoří pouze omluvitelné situace, jako je například nemoc podložená lékařským potvrzením nebo nekonání výuky; v takovém případě je třeba odevzdat úkoly v bezprostředně následující výuce předmětu.
3. Účast na všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit vypracováním dvou náhradních příkladů za každé cvičení. Náhradní příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2012.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty kombinované formy studia (studenti kombinované formy mohou též zvolit jako alternativu požadavky pro studenty prezenční formy):

1. Absolvování závěrečné písemky pokrývající látku celého semestru. Termín písemky bude oznámen mailem rozeslaným prostřednictvím Informačního systému v prvním prosincovém týdnu 2011.
2. Odevzdání domácích úkolů shodných s úkoly pro prezenční formu (viz výše).
3. Odevzdání náhradních příkladů za neúčasti ve cvičení (dva příklady za každé cvičení, shodné s příklady pro prezenční formu - viz výše).
4. Domácí úkoly i příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat před koncem semestru.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Požadavky na úspěšné ukončení předmětu:

1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice).
Písemná část zkoušky: Část (a) - příklady - ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b) - test - prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Ústní část zkoušky: Diskuse o širší problematice úloh z písemné části. Každá část zkoušky je klasifikována, je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna její část (známky z písemné části zkoušky nabývají platnosti až po potvrzení zkoušejícím).
Výsledek ukončení předmětu se stanoví ze všech známek získaných během semestru a všech známek u zkoušky takto: Výsledná známka = (1x známka z první průběžné písemky + 1x známka z druhé průběžné písemky + 1x známka z třetí průběžné písemky + 2x známka z příkladů + 2x známka z testu + 4x známka z ústní zkoušky)/11.
Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.

Další komentáře

Studijní materiály
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování forem

Rozsah

2/2/0. 4 kr. Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Michael Krbek, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Dodavatelské pracoviště: Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta

Rozvrh

St 12:00–13:50 F4,03017

• Rozvrh seminárních/paralelních skupin:

F3063/01: St 14:00–15:50 F1 6/1014, M. Krbek

Předpoklady

( M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II )||( M1100F Matematická analýza I && M2100F Matematická analýza II )
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)

Cíle předmětu

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních antisymetrických tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze,

Integrování diferenciálních forem: Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než standardně vyučovanými metodami tzv. "klasické analýzy" (na druhé straně však již toto modernější pojetí je třeba považovat za klasické, zatímco běžně užívané metody spiše za konzervativní). Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny klasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.

Předmět sleduje především tyto cíle:

* Ukázat studentům obecnější a účinnější přístup k teorii integrálu.
* Propojit obecnou matematickou teorii s praktickými geometrickými a fyzikálními aplikacemi a ukázat jejich těsnou souvislost.

Výstupy z učení

Absolvováním předmětu získá student tyto znalosti a dovednosti:

* Obecný přehled o problematice vektorových a tenzorových polí jako geometrických (invariantních) objektech na euklidovských prostorech.
* Praktickou dovednost při počítání s vektory a tenzory ve vícerozměrných prostorech (algebra) a vektorovými a tenzorovými poli v euklidovských prostorech (analýza).
* Porozumění pojmu diferenciální formy a dovednost při prováděni algebraických i analytických operací s ní (vnější součin, vnější derivace, pulback).
* Pochopení pojmu riemannovského integrálu z diferenciální k-formy na k-rozměrném útvaru v obecně n-rozměrném euklidovském prostoru (k menší nebo rovno n), pochopení pojmu křivkového a plošného integrálu jako speciálních případů.
* Znalost obecného Stokesova teorému převádějícího integraci (k-1)-formy po hranici k-rozměrného útvaru M na integraci vnější derivace této formy po útvaru M, jeho důkazu a jeho klasických aplikací (věty Greenova, klasická Stokesova, Gaussova-Ostrogradského).
* Praktická dovednost při výpočtech integrálů, včetně užití obecného Stokesova teorému, výpočet práce silového pole, toku vektorového pole plochou, apod.
* Dovednost při využití obecného Stokesova teorému při odvození diferenciálních (lokálních) přírodních zákonů ze zákonů integrálních (globálních), např. rovnice mechaniky kontinua, Maxwellovy rovnice v klasické elektrodynamice, apod.
* Praktická dovednost při výpočtu objemů n-rozměrných útvarů integrací objemového elementu (délky křivek, obsahy ploch, objemy těles).

Osnova

• 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce.
• 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu.
• 3. Prostory kovariantních tenzorů, algebraické operace.
• 4. Antisymetrické tenzory, vnější součin.
• 5. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy.
• 6. Vnější derivace.
• 7. Indukovaná zobrazení -- tečné zobrazení asociované se zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 8. Indukovaná zobrazení -- inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 9. Integrál diferenciální formy na singulární krychli.
• 10. Stokesův teorém.
• 11. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty.
• 12. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.
• 13. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou.
• 14. Praktické výpočty.

Literatura

povinná literatura
• MUSILOVÁ, Jana a Pavla MUSILOVÁ. Matematika : pro porozumění i praxi : netradiční výklad tradičních témat vysokoškolské matematiky. První vydání. Brno: VUTIUM, 2017, xv, 365. ISBN 9788021455030. info

doporučená literatura
• SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
• KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info
• NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info

Výukové metody

Přednáška: teoretická výuka kombinovaná s praktickými příklady. Cvičení: teoretické cvičení zaměřené na procvičení základních pojmů a tvrzení, samostatné řešení úloh, včetně úloh komplexnějšího charakteru.

Metody hodnocení

Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části-(a) příklady, (b) test) a ústní. V části (a) řeší studenti rozsáhlejší a komplexnější příklady, prokazují schopnost samostatně řešit typické problémy. V části (b) prokazují jednak porozumění důležitým pojmům a teorémům, jednak orientovanost v celé problematice předmětu.

Navazující předměty

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice

Informace učitele

Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty prezenční formy studia:

1. Absolvování tří tematicky zaměřených průběžných písemek, termíny budou oznámeny alespoň dva týdny předem. Každá písemka je klasifikována podle stupnice uvedené ve Studijním a zkušebním řádu MU. Je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna písemka. K dosažení hodnocení alespoň E na dané písemce je třeba získat nejméně 50 procent z maximálního počtu bodů.
2. Odevzdání domácích úkolů. Domácí úkoly a jejich opravy je nutné odevzdávat vždy do týdne po uplynutí příslušného cvičení. Výjimku tvoří pouze omluvitelné situace, jako je například nemoc podložená lékařským potvrzením nebo nekonání výuky; v takovém případě je třeba odevzdat úkoly v bezprostředně následující výuce předmětu.
3. Účast na všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit vypracováním dvou náhradních příkladů za každé cvičení. Náhradní příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2012.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty kombinované formy studia (studenti kombinované formy mohou též zvolit jako alternativu požadavky pro studenty prezenční formy):

1. Absolvování závěrečné písemky pokrývající látku celého semestru. Termín písemky bude oznámen mailem rozeslaným prostřednictvím Informačního systému v prvním prosincovém týdnu 2011.
2. Odevzdání domácích úkolů shodných s úkoly pro prezenční formu (viz výše).
3. Odevzdání náhradních příkladů za neúčasti ve cvičení (dva příklady za každé cvičení, shodné s příklady pro prezenční formu - viz výše).
4. Domácí úkoly i příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2012.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Požadavky na úspěšné ukončení předmětu:

1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice).
Písemná část zkoušky: Část (a) - příklady - ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b) - test - prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Ústní část zkoušky: Diskuse o širší problematice úloh z písemné části. Každá část zkoušky je klasifikována, je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna její část (známky z písemné části zkoušky nabývají platnosti až po potvrzení zkoušejícím).
Výsledek ukončení předmětu se stanoví ze všech známek získaných během semestru a všech známek u zkoušky takto: Výsledná známka = (1x známka z první průběžné písemky + 1x známka z druhé průběžné písemky + 1x známka z třetí průběžné písemky + 2x známka z příkladů + 2x známka z testu + 4x známka z ústní zkoušky)/11.
Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.

Další komentáře

Studijní materiály
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování forem

Rozsah

2/2/0. 4 kr. (plus 2 za zk). Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Michael Krbek, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Dodavatelské pracoviště: Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta

Rozvrh

Po 17. 9. až Pá 14. 12. St 12:00–13:50 F4,03017

• Rozvrh seminárních/paralelních skupin:

F3063/01: Po 17. 9. až Pá 14. 12. Čt 9:00–10:50 F4,03017

Předpoklady

M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)

Cíle předmětu

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních antisymetrických tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze,

Integrování diferenciálních forem: Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než standardně vyučovanými metodami tzv. "klasické analýzy" (na druhé straně však již toto modernější pojetí je třeba považovat za klasické, zatímco běžně užívané metody spiše za konzervativní). Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny klasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.

Předmět sleduje především tyto cíle:

* Ukázat studentům obecnější a účinnější přístup k teorii integrálu.
* Propojit obecnou matematickou teorii s praktickými geometrickými a fyzikálními aplikacemi a ukázat jejich těsnou souvislost.

Výstupy z učení

Absolvováním předmětu získá student tyto znalosti a dovednosti:

* Obecný přehled o problematice vektorových a tenzorových polí jako geometrických (invariantních) objektech na euklidovských prostorech.
* Praktickou dovednost při počítání s vektory a tenzory ve vícerozměrných prostorech (algebra) a vektorovými a tenzorovými poli v euklidovských prostorech (analýza).
* Porozumění pojmu diferenciální formy a dovednost při prováděni algebraických i analytických operací s ní (vnější součin, vnější derivace, pulback).
* Pochopení pojmu riemannovského integrálu z diferenciální k-formy na k-rozměrném útvaru v obecně n-rozměrném euklidovském prostoru (k menší nebo rovno n), pochopení pojmu křivkového a plošného integrálu jako speciálních případů.
* Znalost obecného Stokesova teorému převádějícího integraci (k-1)-formy po hranici k-rozměrného útvaru M na integraci vnější derivace této formy po útvaru M, jeho důkazu a jeho klasických aplikací (věty Greenova, klasická Stokesova, Gaussova-Ostrogradského).
* Praktická dovednost při výpočtech integrálů, včetně užití obecného Stokesova teorému, výpočet práce silového pole, toku vektorového pole plochou, apod.
* Dovednost při využití obecného Stokesova teorému při odvození diferenciálních (lokálních) přírodních zákonů ze zákonů integrálních (globálních), např. rovnice mechaniky kontinua, Maxwellovy rovnice v klasické elektrodynamice, apod.
* Praktická dovednost při výpočtu objemů n-rozměrných útvarů integrací objemového elementu (délky křivek, obsahy ploch, objemy těles).

Osnova

• 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce.
• 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu.
• 3. Prostory kovariantních tenzorů, algebraické operace.
• 4. Antisymetrické tenzory, vnější součin.
• 5. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy.
• 6. Vnější derivace.
• 7. Indukovaná zobrazení -- tečné zobrazení asociované se zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 8. Indukovaná zobrazení -- inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 9. Integrál diferenciální formy na singulární krychli.
• 10. Stokesův teorém.
• 11. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty.
• 12. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.
• 13. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou.
• 14. Praktické výpočty.

Literatura

povinná literatura
• MUSILOVÁ, Jana a Pavla MUSILOVÁ. Matematika : pro porozumění i praxi : netradiční výklad tradičních témat vysokoškolské matematiky. První vydání. Brno: VUTIUM, 2017, xv, 365. ISBN 9788021455030. info

doporučená literatura
• SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
• KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info
• NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info

Výukové metody

Přednáška: teoretická výuka kombinovaná s praktickými příklady. Cvičení: teoretické cvičení zaměřené na procvičení základních pojmů a tvrzení, samostatné řešení úloh, včetně úloh komplexnějšího charakteru.

Metody hodnocení

Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části-(a) příklady, (b) test) a ústní. V části (a) řeší studenti rozsáhlejší a komplexnější příklady, prokazují schopnost samostatně řešit typické problémy. V části (b) prokazují jednak porozumění důležitým pojmům a teorémům, jednak orientovanost v celé problematice předmětu.

Navazující předměty

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice

Informace učitele

Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty prezenční formy studia:

1. Absolvování tří tematicky zaměřených průběžných písemek, termíny budou oznámeny alespoň dva týdny předem. Každá písemka je klasifikována podle stupnice uvedené ve Studijním a zkušebním řádu MU. Je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna písemka. K dosažení hodnocení alespoň E na dané písemce je třeba získat nejméně 50 procent z maximálního počtu bodů.
2. Odevzdání domácích úkolů. Domácí úkoly a jejich opravy je nutné odevzdávat vždy do týdne po uplynutí příslušného cvičení. Výjimku tvoří pouze omluvitelné situace, jako je například nemoc podložená lékařským potvrzením nebo nekonání výuky; v takovém případě je třeba odevzdat úkoly v bezprostředně následující výuce předmětu.
3. Účast na všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit vypracováním dvou náhradních příkladů za každé cvičení. Náhradní příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2012.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty kombinované formy studia (studenti kombinované formy mohou též zvolit jako alternativu požadavky pro studenty prezenční formy):

1. Absolvování závěrečné písemky pokrývající látku celého semestru. Termín písemky bude oznámen mailem rozeslaným prostřednictvím Informačního systému v prvním prosincovém týdnu 2011.
2. Odevzdání domácích úkolů shodných s úkoly pro prezenční formu (viz výše).
3. Odevzdání náhradních příkladů za neúčasti ve cvičení (dva příklady za každé cvičení, shodné s příklady pro prezenční formu - viz výše).
4. Domácí úkoly i příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2012.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Požadavky na úspěšné ukončení předmětu:

1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice).
Písemná část zkoušky: Část (a) - příklady - ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b) - test - prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Ústní část zkoušky: Diskuse o širší problematice úloh z písemné části. Každá část zkoušky je klasifikována, je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna její část (známky z písemné části zkoušky nabývají platnosti až po potvrzení zkoušejícím).
Výsledek ukončení předmětu se stanoví ze všech známek získaných během semestru a všech známek u zkoušky takto: Výsledná známka = (1x známka z první průběžné písemky + 1x známka z druhé průběžné písemky + 1x známka z třetí průběžné písemky + 2x známka z příkladů + 2x známka z testu + 4x známka z ústní zkoušky)/11.
Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.

Další komentáře

Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování forem

Rozsah

2/2/0. 4 kr. (plus 2 za zk). Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Michael Krbek, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Dodavatelské pracoviště: Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta

Rozvrh

Po 18. 9. až Pá 15. 12. Út 8:00–9:50 F3,03015, St 12:00–13:50 F1 6/1014

Předpoklady

M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)

Cíle předmětu

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních antisymetrických tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze,

Integrování diferenciálních forem: Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než standardně vyučovanými metodami tzv. "klasické analýzy" (na druhé straně však již toto modernější pojetí je třeba považovat za klasické, zatímco běžně užívané metody spiše za konzervativní). Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny klasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.

Předmět sleduje především tyto cíle:

* Ukázat studentům obecnější a účinnější přístup k teorii integrálu.
* Propojit obecnou matematickou teorii s praktickými geometrickými a fyzikálními aplikacemi a ukázat jejich těsnou souvislost.

Absolvováním předmětu získá student tyto znalosti a dovednosti:

* Obecný přehled o problematice vektorových a tenzorových polí jako geometrických (invariantních) objektech na euklidovských prostorech.
* Praktickou dovednost při počítání s vektory a tenzory ve vícerozměrných prostorech (algebra) a vektorovými a tenzorovými poli v euklidovských prostorech (analýza).
* Porozumění pojmu diferenciální formy a dovednost při prováděni algebraických i analytických operací s ní (vnější součin, vnější derivace, pulback).
* Pochopení pojmu riemannovského integrálu z diferenciální k-formy na k-rozměrném útvaru v obecně n-rozměrném euklidovském prostoru (k menší nebo rovno n), pochopení pojmu křivkového a plošného integrálu jako speciálních případů.
* Znalost obecného Stokesova teorému převádějícího integraci (k-1)-formy po hranici k-rozměrného útvaru M na integraci vnější derivace této formy po útvaru M, jeho důkazu a jeho klasických aplikací (věty Greenova, klasická Stokesova, Gaussova-Ostrogradského).
* Praktická dovednost při výpočtech integrálů, včetně užití obecného Stokesova teorému, výpočet práce silového pole, toku vektorového pole plochou, apod.
* Dovednost při využití obecného Stokesova teorému při odvození diferenciálních (lokálních) přírodních zákonů ze zákonů integrálních (globálních), např. rovnice mechaniky kontinua, Maxwellovy rovnice v klasické elektrodynamice, apod.
* Praktická dovednost při výpočtu objemů n-rozměrných útvarů integrací objemového elementu (délky křivek, obsahy ploch, objemy těles).

Osnova

• 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce.
• 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu.
• 3. Prostory kovariantních tenzorů, algebraické operace.
• 4. Antisymetrické tenzory, vnější součin.
• 5. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy.
• 6. Vnější derivace.
• 7. Indukovaná zobrazení -- tečné zobrazení asociované se zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 8. Indukovaná zobrazení -- inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 9. Integrál diferenciální formy na singulární krychli.
• 10. Stokesův teorém.
• 11. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty.
• 12. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.
• 13. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou.
• 14. Praktické výpočty.

Literatura

povinná literatura
• KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info

doporučená literatura
• SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
• NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info

Výukové metody

Přednáška: teoretická výuka kombinovaná s praktickými příklady. Cvičení: teoretické cvičení zaměřené na procvičení základních pojmů a tvrzení, samostatné řešení úloh, včetně úloh komplexnějšího charakteru.

Metody hodnocení

Výuka: přednáška, klasické cvičení, 2 průběžné testy v 1. a 2. třetině semestru Zkouška: písemná (dvě části-(a) příklady, (b) test) a ústní. V části (a) řeší studenti rozsáhlejší a komplexnější příklady, prokazují schopnost samostatně řešit typické problémy. V části (b) prokazují jednak porozumění důležitým pojmům a teorémům, jednak orientovanost v celé problematice předmětu.

Navazující předměty

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice

Informace učitele

Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty prezenční formy studia:

1. Absolvování dvou tematicky zaměřených průběžných písemek, termíny budou oznámeny alespoň dva týdny předem. Každá písemka je klasifikována podle stupnice uvedené ve Studijním a zkušebním řádu MU. Je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna písemka. K dosažení hodnocení alespoň E na dané písemce je třeba získat nejméně 50 procent z maximálního počtu bodů.
2. Odevzdání domácích úkolů. Domácí úkoly a jejich opravy je nutné odevzdávat vždy do týdne po uplynutí příslušného cvičení. Výjimku tvoří pouze omluvitelné situace, jako je například nemoc podložená lékařským potvrzením nebo nekonání výuky; v takovém případě je třeba odevzdat úkoly v bezprostředně následující výuce předmětu.
3. Účast na všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit vypracováním dvou náhradních příkladů za každé cvičení. Náhradní příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2012.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty kombinované formy studia (studenti kombinované formy mohou též zvolit jako alternativu požadavky pro studenty prezenční formy):

1. Absolvování závěrečné písemky pokrývající látku celého semestru. Termín písemky bude oznámen mailem rozeslaným prostřednictvím Informačního systému v prvním prosincovém týdnu 2011.
2. Odevzdání domácích úkolů shodných s úkoly pro prezenční formu (viz výše).
3. Odevzdání náhradních příkladů za neúčasti ve cvičení (dva příklady za každé cvičení, shodné s příklady pro prezenční formu - viz výše).

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Požadavky na úspěšné ukončení předmětu:

1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice).
Písemná část zkoušky: Část (a) - příklady - ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b) - test - prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Ústní část zkoušky: Diskuse o širší problematice úloh z písemné části. Každá část zkoušky je klasifikována, je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna její část (známky z písemné části zkoušky nabývají platnosti až po potvrzení zkoušejícím).
Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.

Další komentáře

Studijní materiály
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování forem

Rozsah

2/2/0. 4 kr. (plus 2 za zk). Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Michael Krbek, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Dodavatelské pracoviště: Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta

Rozvrh

Po 19. 9. až Ne 18. 12. Út 16:00–17:50 MS1,01016, St 12:00–13:50 FLenc,03028

Předpoklady

M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)

Cíle předmětu

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních antisymetrických tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze,

Integrování diferenciálních forem: Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než standardně vyučovanými metodami tzv. "klasické analýzy" (na druhé straně však již toto modernější pojetí je třeba považovat za klasické, zatímco běžně užívané metody spiše za konzervativní). Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny klasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.

Předmět sleduje především tyto cíle:

* Ukázat studentům obecnější a účinnější přístup k teorii integrálu.
* Propojit obecnou matematickou teorii s praktickými geometrickými a fyzikálními aplikacemi a ukázat jejich těsnou souvislost.

Absolvováním předmětu získá student tyto znalosti a dovednosti:

* Obecný přehled o problematice vektorových a tenzorových polí jako geometrických (invariantních) objektech na euklidovských prostorech.
* Praktickou dovednost při počítání s vektory a tenzory ve vícerozměrných prostorech (algebra) a vektorovými a tenzorovými poli v euklidovských prostorech (analýza).
* Porozumění pojmu diferenciální formy a dovednost při prováděni algebraických i analytických operací s ní (vnější součin, vnější derivace, pulback).
* Pochopení pojmu riemannovského integrálu z diferenciální k-formy na k-rozměrném útvaru v obecně n-rozměrném euklidovském prostoru (k menší nebo rovno n), pochopení pojmu křivkového a plošného integrálu jako speciálních případů.
* Znalost obecného Stokesova teorému převádějícího integraci (k-1)-formy po hranici k-rozměrného útvaru M na integraci vnější derivace této formy po útvaru M, jeho důkazu a jeho klasických aplikací (věty Greenova, klasická Stokesova, Gaussova-Ostrogradského).
* Praktická dovednost při výpočtech integrálů, včetně užití obecného Stokesova teorému, výpočet práce silového pole, toku vektorového pole plochou, apod.
* Dovednost při využití obecného Stokesova teorému při odvození diferenciálních (lokálních) přírodních zákonů ze zákonů integrálních (globálních), např. rovnice mechaniky kontinua, Maxwellovy rovnice v klasické elektrodynamice, apod.
* Praktická dovednost při výpočtu objemů n-rozměrných útvarů integrací objemového elementu (délky křivek, obsahy ploch, objemy těles).

Osnova

• 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce.
• 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu.
• 3. Prostory kovariantních tenzorů, algebraické operace.
• 4. Antisymetrické tenzory, vnější součin.
• 5. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy.
• 6. Vnější derivace.
• 7. Indukovaná zobrazení -- tečné zobrazení asociované se zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 8. Indukovaná zobrazení -- inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 9. Integrál diferenciální formy na singulární krychli.
• 10. Stokesův teorém.
• 11. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty.
• 12. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.
• 13. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou.
• 14. Praktické výpočty.

Literatura

povinná literatura
• KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info

doporučená literatura
• SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
• NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info

Výukové metody

Přednáška: teoretická výuka kombinovaná s praktickými příklady. Cvičení: teoretické cvičení zaměřené na procvičení základních pojmů a tvrzení, samostatné řešení úloh, včetně úloh komplexnějšího charakteru.

Metody hodnocení

Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části-(a) příklady, (b) test) a ústní. V části (a) řeší studenti rozsáhlejší a komplexnější příklady, prokazují schopnost samostatně řešit typické problémy. V části (b) prokazují jednak porozumění důležitým pojmům a teorémům, jednak orientovanost v celé problematice předmětu.

Navazující předměty

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice

Informace učitele

Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty prezenční formy studia:

1. Absolvování tří tematicky zaměřených průběžných písemek, termíny budou oznámeny alespoň dva týdny předem. Každá písemka je klasifikována podle stupnice uvedené ve Studijním a zkušebním řádu MU. Je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna písemka. K dosažení hodnocení alespoň E na dané písemce je třeba získat nejméně 50 procent z maximálního počtu bodů.
2. Odevzdání domácích úkolů. Domácí úkoly a jejich opravy je nutné odevzdávat vždy do týdne po uplynutí příslušného cvičení. Výjimku tvoří pouze omluvitelné situace, jako je například nemoc podložená lékařským potvrzením nebo nekonání výuky; v takovém případě je třeba odevzdat úkoly v bezprostředně následující výuce předmětu.
3. Účast na všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit vypracováním dvou náhradních příkladů za každé cvičení. Náhradní příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2012.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty kombinované formy studia (studenti kombinované formy mohou též zvolit jako alternativu požadavky pro studenty prezenční formy):

1. Absolvování závěrečné písemky pokrývající látku celého semestru. Termín písemky bude oznámen mailem rozeslaným prostřednictvím Informačního systému v prvním prosincovém týdnu 2011.
2. Odevzdání domácích úkolů shodných s úkoly pro prezenční formu (viz výše).
3. Odevzdání náhradních příkladů za neúčasti ve cvičení (dva příklady za každé cvičení, shodné s příklady pro prezenční formu - viz výše).
4. Domácí úkoly i příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2012.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Požadavky na úspěšné ukončení předmětu:

1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice).
Písemná část zkoušky: Část (a) - příklady - ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b) - test - prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Ústní část zkoušky: Diskuse o širší problematice úloh z písemné části. Každá část zkoušky je klasifikována, je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna její část (známky z písemné části zkoušky nabývají platnosti až po potvrzení zkoušejícím).
Výsledek ukončení předmětu se stanoví ze všech známek získaných během semestru a všech známek u zkoušky takto: Výsledná známka = (1x známka z první průběžné písemky + 1x známka z druhé průběžné písemky + 1x známka z třetí průběžné písemky + 2x známka z příkladů + 2x známka z testu + 4x známka z ústní zkoušky)/11.
Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.

Další komentáře

Studijní materiály
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování forem

Rozsah

2/2/0. 4 kr. (plus 2 za zk). Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Michael Krbek, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Dodavatelské pracoviště: Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta

Rozvrh

Po 8:00–9:50 F2 6/2012, Čt 15:00–16:50 Fs1 6/1017

Předpoklady

M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)

Cíle předmětu

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních antisymetrických tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze,

Integrování diferenciálních forem: Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než standardně vyučovanými metodami tzv. "klasické analýzy" (na druhé straně však již toto modernější pojetí je třeba považovat za klasické, zatímco běžně užívané metody spiše za konzervativní). Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny klasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.

Předmět sleduje především tyto cíle:

* Ukázat studentům obecnější a účinnější přístup k teorii integrálu.
* Propojit obecnou matematickou teorii s praktickými geometrickými a fyzikálními aplikacemi a ukázat jejich těsnou souvislost.

Absolvováním předmětu získá student tyto znalosti a dovednosti:

* Obecný přehled o problematice vektorových a tenzorových polí jako geometrických (invariantních) objektech na euklidovských prostorech.
* Praktickou dovednost při počítání s vektory a tenzory ve vícerozměrných prostorech (algebra) a vektorovými a tenzorovými poli v euklidovských prostorech (analýza).
* Porozumění pojmu diferenciální formy a dovednost při prováděni algebraických i analytických operací s ní (vnější součin, vnější derivace, pulback).
* Pochopení pojmu riemannovského integrálu z diferenciální k-formy na k-rozměrném útvaru v obecně n-rozměrném euklidovském prostoru (k menší nebo rovno n), pochopení pojmu křivkového a plošného integrálu jako speciálních případů.
* Znalost obecného Stokesova teorému převádějícího integraci (k-1)-formy po hranici k-rozměrného útvaru M na integraci vnější derivace této formy po útvaru M, jeho důkazu a jeho klasických aplikací (věty Greenova, klasická Stokesova, Gaussova-Ostrogradského).
* Praktická dovednost při výpočtech integrálů, včetně užití obecného Stokesova teorému, výpočet práce silového pole, toku vektorového pole plochou, apod.
* Dovednost při využití obecného Stokesova teorému při odvození diferenciálních (lokálních) přírodních zákonů ze zákonů integrálních (globálních), např. rovnice mechaniky kontinua, Maxwellovy rovnice v klasické elektrodynamice, apod.
* Praktická dovednost při výpočtu objemů n-rozměrných útvarů integrací objemového elementu (délky křivek, obsahy ploch, objemy těles).

Osnova

• 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce.
• 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu.
• 3. Prostory kovariantních tenzorů, algebraické operace.
• 4. Antisymetrické tenzory, vnější součin.
• 5. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy.
• 6. Vnější derivace.
• 7. Indukovaná zobrazení -- tečné zobrazení asociované se zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 8. Indukovaná zobrazení -- inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 9. Integrál diferenciální formy na singulární krychli.
• 10. Stokesův teorém.
• 11. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty.
• 12. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.
• 13. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou.
• 14. Praktické výpočty.

Literatura

povinná literatura
• KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info

doporučená literatura
• SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
• NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info

Výukové metody

Přednáška: teoretická výuka kombinovaná s praktickými příklady. Cvičení: teoretické cvičení zaměřené na procvičení základních pojmů a tvrzení, samostatné řešení úloh, včetně úloh komplexnějšího charakteru.

Metody hodnocení

Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části-(a) příklady, (b) test) a ústní. V části (a) řeší studenti rozsáhlejší a komplexnější příklady, prokazují schopnost samostatně řešit typické problémy. V části (b) prokazují jednak porozumění důležitým pojmům a teorémům, jednak orientovanost v celé problematice předmětu.

Navazující předměty

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice

Informace učitele

Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty prezenční formy studia:

1. Absolvování tří tematicky zaměřených průběžných písemek, termíny budou oznámeny alespoň dva týdny předem. Každá písemka je klasifikována podle stupnice uvedené ve Studijním a zkušebním řádu MU. Je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna písemka. K dosažení hodnocení alespoň E na dané písemce je třeba získat nejméně 50 procent z maximálního počtu bodů.
2. Odevzdání domácích úkolů. Domácí úkoly a jejich opravy je nutné odevzdávat vždy do týdne po uplynutí příslušného cvičení. Výjimku tvoří pouze omluvitelné situace, jako je například nemoc podložená lékařským potvrzením nebo nekonání výuky; v takovém případě je třeba odevzdat úkoly v bezprostředně následující výuce předmětu.
3. Účast na všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit vypracováním dvou náhradních příkladů za každé cvičení. Náhradní příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2012.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty kombinované formy studia (studenti kombinované formy mohou též zvolit jako alternativu požadavky pro studenty prezenční formy):

1. Absolvování závěrečné písemky pokrývající látku celého semestru. Termín písemky bude oznámen mailem rozeslaným prostřednictvím Informačního systému v prvním prosincovém týdnu 2011.
2. Odevzdání domácích úkolů shodných s úkoly pro prezenční formu (viz výše).
3. Odevzdání náhradních příkladů za neúčasti ve cvičení (dva příklady za každé cvičení, shodné s příklady pro prezenční formu - viz výše).
4. Domácí úkoly i příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2012.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Požadavky na úspěšné ukončení předmětu:

1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice).
Písemná část zkoušky: Část (a) - příklady - ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b) - test - prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Ústní část zkoušky: Diskuse o širší problematice úloh z písemné části. Každá část zkoušky je klasifikována, je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna její část (známky z písemné části zkoušky nabývají platnosti až po potvrzení zkoušejícím).
Výsledek ukončení předmětu se stanoví ze všech známek získaných během semestru a všech známek u zkoušky takto: Výsledná známka = (1x známka z první průběžné písemky + 1x známka z druhé průběžné písemky + 1x známka z třetí průběžné písemky + 2x známka z příkladů + 2x známka z testu + 4x známka z ústní zkoušky)/11.
Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.

Další komentáře

Studijní materiály
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování forem

Rozsah

2/2/0. 4 kr. (plus 2 za zk). Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Michael Krbek, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Dodavatelské pracoviště: Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta

Rozvrh

St 15:00–16:50 F3,03015, Čt 17:00–18:50 F1 6/1014

Předpoklady

M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)

Cíle předmětu

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních antisymetrických tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze,

Integrování diferenciálních forem: Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než standardně vyučovanými metodami tzv. "klasické analýzy" (na druhé straně však již toto modernější pojetí je třeba považovat za klasické, zatímco běžně užívané metody spiše za konzervativní). Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny klasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.

Předmět sleduje především tyto cíle:

* Ukázat studentům obecnější a účinnější přístup k teorii integrálu.
* Propojit obecnou matematickou teorii s praktickými geometrickými a fyzikálními aplikacemi a ukázat jejich těsnou souvislost.

Absolvováním předmětu získá student tyto znalosti a dovednosti:

* Obecný přehled o problematice vektorových a tenzorových polí jako geometrických (invariantních) objektech na euklidovských prostorech.
* Praktickou dovednost při počítání s vektory a tenzory ve vícerozměrných prostorech (algebra) a vektorovými a tenzorovými poli v euklidovských prostorech (analýza).
* Porozumění pojmu diferenciální formy a dovednost při prováděni algebraických i analytických operací s ní (vnější součin, vnější derivace, pulback).
* Pochopení pojmu riemannovského integrálu z diferenciální k-formy na k-rozměrném útvaru v obecně n-rozměrném euklidovském prostoru (k menší nebo rovno n), pochopení pojmu křivkového a plošného integrálu jako speciálních případů.
* Znalost obecného Stokesova teorému převádějícího integraci (k-1)-formy po hranici k-rozměrného útvaru M na integraci vnější derivace této formy po útvaru M, jeho důkazu a jeho klasických aplikací (věty Greenova, klasická Stokesova, Gaussova-Ostrogradského).
* Praktická dovednost při výpočtech integrálů, včetně užití obecného Stokesova teorému, výpočet práce silového pole, toku vektorového pole plochou, apod.
* Dovednost při využití obecného Stokesova teorému při odvození diferenciálních (lokálních) přírodních zákonů ze zákonů integrálních (globálních), např. rovnice mechaniky kontinua, Maxwellovy rovnice v klasické elektrodynamice, apod.
* Praktická dovednost při výpočtu objemů n-rozměrných útvarů integrací objemového elementu (délky křivek, obsahy ploch, objemy těles).

Osnova

• 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce.
• 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu.
• 3. Prostory kovariantních tenzorů, algebraické operace.
• 4. Antisymetrické tenzory, vnější součin.
• 5. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy.
• 6. Vnější derivace.
• 7. Indukovaná zobrazení -- tečné zobrazení asociované se zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 8. Indukovaná zobrazení -- inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 9. Integrál diferenciální formy na singulární krychli.
• 10. Stokesův teorém.
• 11. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty.
• 12. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.
• 13. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou.
• 14. Praktické výpočty.

Literatura

povinná literatura
• KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info

doporučená literatura
• SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
• NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info

Výukové metody

Přednáška: teoretická výuka kombinovaná s praktickými příklady. Cvičení: teoretické cvičení zaměřené na procvičení základních pojmů a tvrzení, samostatné řešení úloh, včetně úloh komplexnějšího charakteru.

Metody hodnocení

Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části-(a) příklady, (b) test) a ústní. V části (a) řeší studenti rozsáhlejší a komplexnější příklady, prokazují schopnost samostatně řešit typické problémy. V části (b) prokazují jednak porozumění důležitým pojmům a teorémům, jednak orientovanost v celé problematice předmětu.

Navazující předměty

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice

Informace učitele

Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty prezenční formy studia:

1. Absolvování tří tematicky zaměřených průběžných písemek, termíny budou oznámeny alespoň dva týdny předem. Každá písemka je klasifikována podle stupnice uvedené ve Studijním a zkušebním řádu MU. Je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna písemka. K dosažení hodnocení alespoň E na dané písemce je třeba získat nejméně 50 procent z maximálního počtu bodů.
2. Odevzdání domácích úkolů. Domácí úkoly a jejich opravy je nutné odevzdávat vždy do týdne po uplynutí příslušného cvičení. Výjimku tvoří pouze omluvitelné situace, jako je například nemoc podložená lékařským potvrzením nebo nekonání výuky; v takovém případě je třeba odevzdat úkoly v bezprostředně následující výuce předmětu.
3. Účast na všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit vypracováním dvou náhradních příkladů za každé cvičení. Náhradní příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2012.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty kombinované formy studia (studenti kombinované formy mohou též zvolit jako alternativu požadavky pro studenty prezenční formy):

1. Absolvování závěrečné písemky pokrývající látku celého semestru. Termín písemky bude oznámen mailem rozeslaným prostřednictvím Informačního systému v prvním prosincovém týdnu 2011.
2. Odevzdání domácích úkolů shodných s úkoly pro prezenční formu (viz výše).
3. Odevzdání náhradních příkladů za neúčasti ve cvičení (dva příklady za každé cvičení, shodné s příklady pro prezenční formu - viz výše).
4. Domácí úkoly i příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2012.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Požadavky na úspěšné ukončení předmětu:

1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice).
Písemná část zkoušky: Část (a) - příklady - ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b) - test - prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Ústní část zkoušky: Diskuse o širší problematice úloh z písemné části. Každá část zkoušky je klasifikována, je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna její část (známky z písemné části zkoušky nabývají platnosti až po potvrzení zkoušejícím).
Výsledek ukončení předmětu se stanoví ze všech známek získaných během semestru a všech známek u zkoušky takto: Výsledná známka = (1x známka z první průběžné písemky + 1x známka z druhé průběžné písemky + 1x známka z třetí průběžné písemky + 2x známka z příkladů + 2x známka z testu + 4x známka z ústní zkoušky)/11.
Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.

Další komentáře

Studijní materiály
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování forem

Rozsah

2/2/0. 4 kr. (plus 2 za zk). Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Michael Krbek, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Dodavatelské pracoviště: Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta

Rozvrh

Po 8:00–9:50 F4,03017, Čt 8:00–9:50 Fs1 6/1017

Předpoklady

M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)

Cíle předmětu

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních antisymetrických tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze,

Integrování diferenciálních forem: Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než standardně vyučovanými metodami tzv. "klasické analýzy" (na druhé straně však již toto modernější pojetí je třeba považovat za klasické, zatímco běžně užívané metody spiše za konzervativní). Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny klasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.

Předmět sleduje především tyto cíle:

* Ukázat studentům obecnější a účinnější přístup k teorii integrálu.
* Propojit obecnou matematickou teorii s praktickými geometrickými a fyzikálními aplikacemi a ukázat jejich těsnou souvislost.

Absolvováním předmětu získá student tyto znalosti a dovednosti:

* Obecný přehled o problematice vektorových a tenzorových polí jako geometrických (invariantních) objektech na euklidovských prostorech.
* Praktickou dovednost při počítání s vektory a tenzory ve vícerozměrných prostorech (algebra) a vektorovými a tenzorovými poli v euklidovských prostorech (analýza).
* Porozumění pojmu diferenciální formy a dovednost při prováděni algebraických i analytických operací s ní (vnější součin, vnější derivace, pulback).
* Pochopení pojmu riemannovského integrálu z diferenciální k-formy na k-rozměrném útvaru v obecně n-rozměrném euklidovském prostoru (k menší nebo rovno n), pochopení pojmu křivkového a plošného integrálu jako speciálních případů.
* Znalost obecného Stokesova teorému převádějícího integraci (k-1)-formy po hranici k-rozměrného útvaru M na integraci vnější derivace této formy po útvaru M, jeho důkazu a jeho klasických aplikací (věty Greenova, klasická Stokesova, Gaussova-Ostrogradského).
* Praktická dovednost při výpočtech integrálů, včetně užití obecného Stokesova teorému, výpočet práce silového pole, toku vektorového pole plochou, apod.
* Dovednost při využití obecného Stokesova teorému při odvození diferenciálních (lokálních) přírodních zákonů ze zákonů integrálních (globálních), např. rovnice mechaniky kontinua, Maxwellovy rovnice v klasické elektrodynamice, apod.
* Praktická dovednost při výpočtu objemů n-rozměrných útvarů integrací objemového elementu (délky křivek, obsahy ploch, objemy těles).

Osnova

• 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce.
• 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu.
• 3. Prostory kovariantních tenzorů, algebraické operace.
• 4. Antisymetrické tenzory, vnější součin.
• 5. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy.
• 6. Vnější derivace.
• 7. Indukovaná zobrazení -- tečné zobrazení asociované se zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 8. Indukovaná zobrazení -- inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 9. Integrál diferenciální formy na singulární krychli.
• 10. Stokesův teorém.
• 11. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty.
• 12. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.
• 13. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou.
• 14. Praktické výpočty.

Literatura

povinná literatura
• KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info

doporučená literatura
• SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
• NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info

Výukové metody

Přednáška: teoretická výuka kombinovaná s praktickými příklady. Cvičení: teoretické cvičení zaměřené na procvičení základních pojmů a tvrzení, samostatné řešení úloh, včetně úloh komplexnějšího charakteru.

Metody hodnocení

Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části-(a) příklady, (b) test) a ústní. V části (a) řeší studenti rozsáhlejší a komplexnější příklady, prokazují schopnost samostatně řešit typické problémy. V části (b) prokazují jednak porozumění důležitým pojmům a teorémům, jednak orientovanost v celé problematice předmětu.

Navazující předměty

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice

Informace učitele

Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty prezenční formy studia:

1. Absolvování tří tematicky zaměřených průběžných písemek, termíny budou oznámeny alespoň dva týdny předem. Každá písemka je klasifikována podle stupnice uvedené ve Studijním a zkušebním řádu MU. Je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna písemka. K dosažení hodnocení alespoň E na dané písemce je třeba získat nejméně 50 procent z maximálního počtu bodů.
2. Odevzdání domácích úkolů. Domácí úkoly a jejich opravy je nutné odevzdávat vždy do týdne po uplynutí příslušného cvičení. Výjimku tvoří pouze omluvitelné situace, jako je například nemoc podložená lékařským potvrzením nebo nekonání výuky; v takovém případě je třeba odevzdat úkoly v bezprostředně následující výuce předmětu.
3. Účast na všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit vypracováním dvou náhradních příkladů za každé cvičení. Náhradní příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2012.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty kombinované formy studia (studenti kombinované formy mohou též zvolit jako alternativu požadavky pro studenty prezenční formy):

1. Absolvování závěrečné písemky pokrývající látku celého semestru. Termín písemky bude oznámen mailem rozeslaným prostřednictvím Informačního systému v prvním prosincovém týdnu 2011.
2. Odevzdání domácích úkolů shodných s úkoly pro prezenční formu (viz výše).
3. Odevzdání náhradních příkladů za neúčasti ve cvičení (dva příklady za každé cvičení, shodné s příklady pro prezenční formu - viz výše).
4. Domácí úkoly i příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2012.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Požadavky na úspěšné ukončení předmětu:

1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice).
Písemná část zkoušky: Část (a) - příklady - ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b) - test - prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Ústní část zkoušky: Diskuse o širší problematice úloh z písemné části. Každá část zkoušky je klasifikována, je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna její část (známky z písemné části zkoušky nabývají platnosti až po potvrzení zkoušejícím).
Výsledek ukončení předmětu se stanoví ze všech známek získaných během semestru a všech známek u zkoušky takto: Výsledná známka = (1x známka z první průběžné písemky + 1x známka z druhé průběžné písemky + 1x známka z třetí průběžné písemky + 2x známka z příkladů + 2x známka z testu + 4x známka z ústní zkoušky)/11.
Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.

Další komentáře

Studijní materiály
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování forem

Rozsah

2/2/0. 4 kr. (plus 2 za zk). Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Michael Krbek, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Dodavatelské pracoviště: Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta

Rozvrh

Čt 8:00–9:50 F1 6/1014, Čt 14:00–15:50 F4,03017

Předpoklady

M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)
• Fyzika (program PřF, N-FY)

Cíle předmětu

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních antisymetrických tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze,

Integrování diferenciálních forem: Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než standardně vyučovanými metodami tzv. "klasické analýzy" (na druhé straně však již toto modernější pojetí je třeba považovat za klasické, zatímco běžně užívané metody spiše za konzervativní). Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny klasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.

Předmět sleduje především tyto cíle:

* Ukázat studentům obecnější a účinnější přístup k teorii integrálu.
* Propojit obecnou matematickou teorii s praktickými geometrickými a fyzikálními aplikacemi a ukázat jejich těsnou souvislost.

Absolvováním předmětu získá student tyto znalosti a dovednosti:

* Obecný přehled o problematice vektorových a tenzorových polí jako geometrických (invariantních) objektech na euklidovských prostorech.
* Praktickou dovednost při počítání s vektory a tenzory ve vícerozměrných prostorech (algebra) a vektorovými a tenzorovými poli v euklidovských prostorech (analýza).
* Porozumění pojmu diferenciální formy a dovednost při prováděni algebraických i analytických operací s ní (vnější součin, vnější derivace, pulback).
* Pochopení pojmu riemannovského integrálu z diferenciální k-formy na k-rozměrném útvaru v obecně n-rozměrném euklidovském prostoru (k menší nebo rovno n), pochopení pojmu křivkového a plošného integrálu jako speciálních případů.
* Znalost obecného Stokesova teorému převádějícího integraci (k-1)-formy po hranici k-rozměrného útvaru M na integraci vnější derivace této formy po útvaru M, jeho důkazu a jeho klasických aplikací (věty Greenova, klasická Stokesova, Gaussova-Ostrogradského).
* Praktická dovednost při výpočtech integrálů, včetně užití obecného Stokesova teorému, výpočet práce silového pole, toku vektorového pole plochou, apod.
* Dovednost při využití obecného Stokesova teorému při odvození diferenciálních (lokálních) přírodních zákonů ze zákonů integrálních (globálních), např. rovnice mechaniky kontinua, Maxwellovy rovnice v klasické elektrodynamice, apod.
* Praktická dovednost při výpočtu objemů n-rozměrných útvarů integrací objemového elementu (délky křivek, obsahy ploch, objemy těles).

Osnova

• 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce.
• 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu.
• 3. Prostory kovariantních tenzorů, algebraické operace.
• 4. Antisymetrické tenzory, vnější součin.
• 5. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy.
• 6. Vnější derivace.
• 7. Indukovaná zobrazení -- tečné zobrazení asociované se zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 8. Indukovaná zobrazení -- inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 9. Integrál diferenciální formy na singulární krychli.
• 10. Stokesův teorém.
• 11. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty.
• 12. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.
• 13. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou.
• 14. Praktické výpočty.

Literatura

povinná literatura
• KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info

doporučená literatura
• SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
• NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info

Výukové metody

Přednáška: teoretická výuka kombinovaná s praktickými příklady. Cvičení: teoretické cvičení zaměřené na procvičení základních pojmů a tvrzení, samostatné řešení úloh, včetně úloh komplexnějšího charakteru.

Metody hodnocení

Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části: (a) příklady, (b) test) a ústní

Navazující předměty

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice

Informace učitele

Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty prezenční formy studia:

1. Absolvování tří tematicky zaměřených průběžných písemek, termíny budou oznámeny alespoň dva týdny předem. Každá písemka je klasifikována podle stupnice uvedené ve Studijním a zkušebním řádu MU. Je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna písemka. K dosažení hodnocení alespoň E na dané písemce je třeba získat nejméně 50 procent z maximálního počtu bodů.
2. Odevzdání domácích úkolů. Domácí úkoly a jejich opravy je nutné odevzdávat vždy do týdne po uplynutí příslušného cvičení. Výjimku tvoří pouze omluvitelné situace, jako je například nemoc podložená lékařským potvrzením nebo nekonání výuky; v takovém případě je třeba odevzdat úkoly v bezprostředně následující výuce předmětu.
3. Účast na všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit vypracováním dvou náhradních příkladů za každé cvičení. Náhradní příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2012.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty kombinované formy studia (studenti kombinované formy mohou též zvolit jako alternativu požadavky pro studenty prezenční formy):

1. Absolvování závěrečné písemky pokrývající látku celého semestru. Termín písemky bude oznámen mailem rozeslaným prostřednictvím Informačního systému v prvním prosincovém týdnu 2011.
2. Odevzdání domácích úkolů shodných s úkoly pro prezenční formu (viz výše).
3. Odevzdání náhradních příkladů za neúčasti ve cvičení (dva příklady za každé cvičení, shodné s příklady pro prezenční formu - viz výše).
4. Domácí úkoly i příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2012.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Požadavky na úspěšné ukončení předmětu:

1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice).
Písemná část zkoušky: Část (a) - příklady - ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b) - test - prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Ústní část zkoušky: Diskuse o širší problematice úloh z písemné části. Každá část zkoušky je klasifikována, je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna její část (známky z písemné části zkoušky nabývají platnosti až po potvrzení zkoušejícím).
Výsledek ukončení předmětu se stanoví ze všech známek získaných během semestru a všech známek u zkoušky takto: Výsledná známka = (1x známka z první průběžné písemky + 1x známka z druhé průběžné písemky + 1x známka z třetí průběžné písemky + 2x známka z příkladů + 2x známka z testu + 4x známka z ústní zkoušky)/11.
Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.

Další komentáře

Studijní materiály
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování forem

Rozsah

2/2/0. 4 kr. (plus 2 za zk). Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Lenka Czudková, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.

Rozvrh

Út 11:00–12:50 F4,03017, St 8:00–9:50 F1 6/1014

Předpoklady

M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)
• Fyzika (program PřF, N-FY)

Cíle předmětu

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních antisymetrických tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze,

Integrování diferenciálních forem: Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než standardně vyučovanými metodami tzv. "klasické analýzy" (na druhé straně však již toto modernější pojetí je třeba považovat za klasické, zatímco běžně užívané metody spiše za konzervativní). Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny klasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.

Předmět sleduje především tyto cíle:

* Ukázat studentům obecnější a účinnější přístup k teorii integrálu.
* Propojit obecnou matematickou teorii s praktickými geometrickými a fyzikálními aplikacemi a ukázat jejich těsnou souvislost.

Absolvováním předmětu získá student tyto znalosti a dovednosti:

* Obecný přehled o problematice vektorových a tenzorových polí jako geometrických (invariantních) objektech na euklidovských prostorech.
* Praktickou dovednost při počítání s vektory a tenzory ve vícerozměrných prostorech (algebra) a vektorovými a tenzorovými poli v euklidovských prostorech (analýza).
* Porozumění pojmu diferenciální formy a dovednost při prováděni algebraických i analytických operací s ní (vnější součin, vnější derivace, pulback).
* Pochopení pojmu riemannovského integrálu z diferenciální k-formy na k-rozměrném útvaru v obecně n-rozměrném euklidovském prostoru (k menší nebo rovno n), pochopení pojmu křivkového a plošného integrálu jako speciálních případů.
* Znalost obecného Stokesova teorému převádějícího integraci (k-1)-formy po hranici k-rozměrného útvaru M na integraci vnější derivace této formy po útvaru M, jeho důkazu a jeho klasických aplikací (věty Greenova, klasická Stokesova, Gaussova-Ostrogradského).
* Praktická dovednost při výpočtech integrálů, včetně užití obecného Stokesova teorému, výpočet práce silového pole, toku vektorového pole plochou, apod.
* Dovednost při využití obecného Stokesova teorému při odvození diferenciálních (lokálních) přírodních zákonů ze zákonů integrálních (globálních), např. rovnice mechaniky kontinua, Maxwellovy rovnice v klasické elektrodynamice, apod.
* Praktická dovednost při výpočtu objemů n-rozměrných útvarů integrací objemového elementu (délky křivek, obsahy ploch, objemy těles).

Osnova

• 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce.
• 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu.
• 3. Prostory kovariantních tenzorů, algebraické operace.
• 4. Antisymetrické tenzory, vnější součin.
• 5. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy.
• 6. Vnější derivace.
• 7. Indukovaná zobrazení -- tečné zobrazení asociované se zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 8. Indukovaná zobrazení -- inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 9. Integrál diferenciální formy na singulární krychli.
• 10. Stokesův teorém.
• 11. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty.
• 12. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.
• 13. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou.
• 14. Praktické výpočty.

Literatura

povinná literatura
• KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info

doporučená literatura
• SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
• NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info

Výukové metody

Přednáška: teoretická výuka kombinovaná s praktickými příklady. Cvičení: teoretické cvičení zaměřené na procvičení základních pojmů a tvrzení, samostatné řešení úloh, včetně úloh komplexnějšího charakteru.

Metody hodnocení

Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části: (a) příklady, (b) test) a ústní

Navazující předměty

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice

Informace učitele

Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty prezenční formy studia:

1. Absolvování tří tematicky zaměřených průběžných písemek, termíny budou oznámeny alespoň dva týdny předem. Každá písemka je klasifikována podle stupnice uvedené ve Studijním a zkušebním řádu MU. Je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna písemka. K dosažení hodnocení alespoň E na dané písemce je třeba získat nejméně 50 procent z maximálního počtu bodů.
2. Odevzdání domácích úkolů. Domácí úkoly a jejich opravy je nutné odevzdávat vždy do týdne po uplynutí příslušného cvičení. Výjimku tvoří pouze omluvitelné situace, jako je například nemoc podložená lékařským potvrzením nebo nekonání výuky; v takovém případě je třeba odevzdat úkoly v bezprostředně následující výuce předmětu.
3. Účast na všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit vypracováním dvou náhradních příkladů za každé cvičení. Náhradní příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2012.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty kombinované formy studia (studenti kombinované formy mohou též zvolit jako alternativu požadavky pro studenty prezenční formy):

1. Absolvování závěrečné písemky pokrývající látku celého semestru. Termín písemky bude oznámen mailem rozeslaným prostřednictvím Informačního systému v prvním prosincovém týdnu 2011.
2. Odevzdání domácích úkolů shodných s úkoly pro prezenční formu (viz výše).
3. Odevzdání náhradních příkladů za neúčasti ve cvičení (dva příklady za každé cvičení, shodné s příklady pro prezenční formu - viz výše).
4. Domácí úkoly i příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2012.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Požadavky na úspěšné ukončení předmětu:

1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice).
Písemná část zkoušky: Část (a) - příklady - ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b) - test - prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Ústní část zkoušky: Diskuse o širší problematice úloh z písemné části. Každá část zkoušky je klasifikována, je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna její část (známky z písemné části zkoušky nabývají platnosti až po potvrzení zkoušejícím).
Výsledek ukončení předmětu se stanoví ze všech známek získaných během semestru a všech známek u zkoušky takto: Výsledná známka = (1x známka z první průběžné písemky + 1x známka z druhé průběžné písemky + 1x známka z třetí průběžné písemky + 2x známka z příkladů + 2x známka z testu + 4x známka z ústní zkoušky)/11.
Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.

Další komentáře

Studijní materiály
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování a řady

Rozsah

4/2/0. 6 kr. (příf plus uk plus > 4). Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Michael Krbek, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.

Rozvrh

Po 13:00–14:50 F3,03015, Po 17:00–18:50 F4,03017, Čt 14:00–15:50 F2 6/2012

Předpoklady

M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)
• Fyzika (program PřF, M-FY)
• Fyzika (program PřF, N-FY)

Cíle předmětu

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje

-- teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních antisymetrických tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze,
-- výklad problematiky nekonečných řad.

(1) Integrování diferenciálních forem: Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než standardně vyučovanými metodami tzv. "klasické analýzy" (na druhé straně však již toto modernější pojetí je třeba považovat za klasické, zatímco běžně užívané metody spiše za konzervativní). Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny klasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.

(2) Nekonečné řady: Těžiště této části předmětu spočívá, po výkladu nejnutnějších tvrzení o číselných posloupnostech a řadách, v problematice řad funkcí (konvergence, stejnoměrná konvergence). Pozornost je soustředěna na mocninné a Fourierovy řady, jejich aplikace při řešení diferenciálních rovnic a aplikace ve fyzice.

Předmět sleduje především tyto cíle:

* Ukázat studentům obecnější a účinnější přístup k teorii integrálu.
* Propojit obecnou matematickou teorii s praktickými geometrickými a fyzikálními aplikacemi a ukázat jejich těsnou souvislost.

Absolvováním předmětu získá student tyto znalosti a dovednosti:

* Obecný přehled o problematice vektorových a tenzorových polí jako geometrických (invariantních) objektech na euklidovských prostorech.
* Praktickou dovednost při počítání s vektory a tenzory ve vícerozměrných prostorech (algebra) a vektorovými a tenzorovými poli v euklidovských prostorech (analýza).
* Porozumění pojmu diferenciální formy a dovednost při prováděni algebraických i analytických operací s ní (vnější součin, vnější derivace, pulback).
* Pochopení pojmu riemannovského integrálu z diferenciální k-formy na k-rozměrném útvaru v obecně n-rozměrném euklidovském prostoru (k menší nebo rovno n), pochopení pojmu křivkového a plošného integrálu jako speciálních případů.
* Znalost obecného Stokesova teorému převádějícího integraci (k-1)-formy po hranici k-rozměrného útvaru M na integraci vnější derivace této formy po útvaru M, jeho důkazu a jeho klasických aplikací (věty Greenova, klasická Stokesova, Gaussova-Ostrogradského).
* Praktická dovednost při výpočtech integrálů, včetně užití obecného Stokesova teorému, výpočet práce silového pole, toku vektorového pole plochou, apod.
* Dovednost při využití obecného Stokesova teorému při odvození diferenciálních (lokálních) přírodních zákonů ze zákonů integrálních (globálních), např. rovnice mechaniky kontinua, Maxwellovy rovnice v klasické elektrodynamice, apod.
* Praktická dovednost při výpočtu objemů n-rozměrných útvarů integrací objemového elementu (délky křivek, obsahy ploch, objemy těles).
* Zvládnutí základů teorie konvergence číselných a funkčních nekonečných řad.
* Pochopení rozdílnosti definice konvergence a stejnoměrné konvergence posloupností funkcí, resp. nekonečných řad funkcí.
* Praktické výpočty týkající se konvergence mocninných a Fourierových řad.

Osnova

• 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce.
• 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu.
• 3. Prostory kovariantních tenzorů, algebraické operace.
• 4. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy.
• 5. Vnější derivace. Inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 6. Integrál diferenciální formy na singulární krychli.
• 7. Stokesův teorém.
• 8. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty.
• 9. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.
• 10. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou.
• 11. Základy teorie konvergence nekonečných číselných řad.
• 12. Posloupnosti a řady funkcí, konvergence, stejnoměrná konverence.
• 13. Mocninné a Fourierovy řady.
• 14. Aplikace teorie nekonečných řad: Řešení diferenciálních rovnic, aproximace funkcí, fyzikální aplikace.

Literatura

• KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info
• SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
• NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info
• DOŠLÁ, Zuzana a Vítězslav NOVÁK. Nekonečné řady. 2. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2007, iv, 113. ISBN 9788021043343. info

Výukové metody

Přednáška: teoretická výuka kombinovaná s praktickými příklady. Cvičení: teoretické cvičení zaměřené na procvičení základních pojmů a tvrzení, samostatné řešení úloh, včetně úloh komplexnějšího charakteru.

Metody hodnocení

Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části: (a) příklady, (b) test) a ústní

Navazující předměty

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice

Informace učitele

Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty prezenční formy studia:

1. Absolvování tří tematicky zaměřených průběžných písemek, termíny budou oznámeny alespoň dva týdny předem. Každá písemka je klasifikována podle stupnice uvedené ve Studijním a zkušebním řádu MU. Je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna písemka. K dosažení hodnocení alespoň E na dané písemce je třeba získat nejméně 50 procent z maximálního počtu bodů.
2. Odevzdání domácích úkolů. Domácí úkoly a jejich opravy je nutné odevzdávat vždy do týdne po uplynutí příslušného cvičení. Výjimku tvoří pouze omluvitelné situace, jako je například nemoc podložená lékařským potvrzením nebo nekonání výuky; v takovém případě je třeba odevzdat úkoly v bezprostředně následující výuce předmětu.
3. Účast na všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit vypracováním dvou náhradních příkladů za každé cvičení. Náhradní příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2011.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty kombinované formy studia (studenti kombinované formy mohou též zvolit jako alternativu požadavky pro studenty prezenční formy):

1. Absolvování závěrečné písemky pokrývající látku celého semestru. Termín písemky bude oznámen mailem rozeslaným prostřednictvím Informačního systému v prvním prosincovém týdnu 2010.
2. Odevzdání domácích úkolů shodných s úkoly pro prezenční formu (viz výše).
3. Odevzdání náhradních příkladů za neúčasti ve cvičení (dva příklady za každé cvičení, shodné s příklady pro prezenční formu - viz výše).
4. Domácí úkoly i příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2011.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Požadavky na úspěšné ukončení předmětu:

1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice).
Písemná část zkoušky: Část (a) - příklady - ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b) - test - prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Ústní část zkoušky: Diskuse o širší problematice úloh z písemné části. Každá část zkoušky je klasifikována, je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna její část (známky z písemné části zkoušky nabývají platnosti až po potvrzení zkoušejícím).
Výsledek ukončení předmětu se stanoví ze všech známek získaných během semestru a všech známek u zkoušky takto: Výsledná známka = (1x známka z první průběžné písemky + 1x známka z druhé průběžné písemky + 1x známka z třetí průběžné písemky + 2x známka z příkladů + 2x známka z testu + 4x známka z ústní zkoušky)/11.
Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.

Další komentáře

Studijní materiály
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování a řady

Rozsah

4/2/0. 6 kr. (příf plus uk plus > 4). Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Lenka Czudková, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.

Rozvrh

St 7:00–10:50 F3,03015, Pá 8:00–9:50 F3,03015

Předpoklady

M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)
• Fyzika (program PřF, M-FY)
• Fyzika (program PřF, N-FY)

Cíle předmětu

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje

-- teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních antisymetrických tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze,
-- výklad problematiky nekonečných řad.

(1) Integrování diferenciálních forem: Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než standardně vyučovanými metodami tzv. "klasické analýzy" (na druhé straně však již toto modernější pojetí je třeba považovat za klasické, zatímco běžně užívané metody spiše za konzervativní). Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny klasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.

(2) Nekonečné řady: Těžiště této části předmětu spočívá, po výkladu nejnutnějších tvrzení o číselných posloupnostech a řadách, v problematice řad funkcí (konvergence, stejnoměrná konvergence). Pozornost je soustředěna na mocninné a Fourierovy řady, jejich aplikace při řešení diferenciálních rovnic a aplikace ve fyzice.

Předmět sleduje především tyto cíle:

* Ukázat studentům obecnější a účinnější přístup k teorii integrálu.
* Propojit obecnou matematickou teorii s praktickými geometrickými a fyzikálními aplikacemi a ukázat jejich těsnou souvislost.

Absolvováním předmětu získá student tyto znalosti a dovednosti:

* Obecný přehled o problematice vektorových a tenzorových polí jako geometrických (invariantních) objektech na euklidovských prostorech.
* Praktickou dovednost při počítání s vektory a tenzory ve vícerozměrných prostorech (algebra) a vektorovými a tenzorovými poli v euklidovských prostorech (analýza).
* Porozumění pojmu diferenciální formy a dovednost při prováděni algebraických i analytických operací s ní (vnější součin, vnější derivace, pulback).
* Pochopení pojmu riemannovského integrálu z diferenciální k-formy na k-rozměrném útvaru v obecně n-rozměrném euklidovském prostoru (k menší nebo rovno n), pochopení pojmu křivkového a plošného integrálu jako speciálních případů.
* Znalost obecného Stokesova teorému převádějícího integraci (k-1)-formy po hranici k-rozměrného útvaru M na integraci vnější derivace této formy po útvaru M, jeho důkazu a jeho klasických aplikací (věty Greenova, klasická Stokesova, Gaussova-Ostrogradského).
* Praktická dovednost při výpočtech integrálů, včetně užití obecného Stokesova teorému, výpočet práce silového pole, toku vektorového pole plochou, apod.
* Dovednost při využití obecného Stokesova teorému při odvození diferenciálních (lokálních) přírodních zákonů ze zákonů integrálních (globálních), např. rovnice mechaniky kontinua, Maxwellovy rovnice v klasické elektrodynamice, apod.
* Praktická dovednost při výpočtu objemů n-rozměrných útvarů integrací objemového elementu (délky křivek, obsahy ploch, objemy těles).
* Zvládnutí základů teorie konvergence číselných a funkčních nekonečných řad.
* Pochopení rozdílnosti definice konvergence a stejnoměrné konvergence posloupností funkcí, resp. nekonečných řad funkcí.
* Praktické výpočty týkající se konvergence mocninných a Fourierových řad.

Osnova

• 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce.
• 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu.
• 3. Prostory kovariantních tenzorů, algebraické operace.
• 4. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy.
• 5. Vnější derivace. Inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 6. Integrál diferenciální formy na singulární krychli.
• 7. Stokesův teorém.
• 8. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty.
• 9. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.
• 10. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou.
• 11. Základy teorie konvergence nekonečných číselných řad.
• 12. Posloupnosti a řady funkcí, konvergence, stejnoměrná konverence.
• 13. Mocninné a Fourierovy řady.
• 14. Aplikace teorie nekonečných řad: Řešení diferenciálních rovnic, aproximace funkcí, fyzikální aplikace.

Literatura

• KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info
• SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
• NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info
• DOŠLÁ, Zuzana a Vítězslav NOVÁK. Nekonečné řady. 2. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2007, iv, 113. ISBN 9788021043343. info

Výukové metody

Přednáška: teoretická výuka kombinovaná s praktickými příklady. Cvičení: teoretické cvičení zaměřené na procvičení základních pojmů a tvrzení, samostatné řešení úloh, včetně úloh komplexnějšího charakteru.

Metody hodnocení

Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části: (a) příklady, (b) test) a ústní

Navazující předměty

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice

Informace učitele

Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty prezenční formy studia:

1. Absolvování tří tematicky zaměřených průběžných písemek, termíny budou oznámeny alespoň dva týdny předem. Každá písemka je klasifikována podle stupnice uvedené ve Studijním a zkušebním řádu MU. Je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna písemka. K dosažení hodnocení alespoň E na dané písemce je třeba získat nejméně 50 procent z maximálního počtu bodů.
2. Odevzdání domácích úkolů. Úkoly budou po každém cvičení zveřejněny na stránce http://physics.muni.cz/~czudkova/. Každý úkol je možno opravovat nejvýše jednou. Domácí úkoly a jejich opravy je nutné odevzdávat vždy do týdne po uplynutí příslušného cvičení. Výjimku tvoří pouze omluvitelné situace, jako je například nemoc podložená lékařským potvrzením nebo nekonání výuky; v takovém případě je třeba odevzdat úkoly v bezprostředně následující výuce předmětu.
3. Účast na všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit vypracováním dvou náhradních příkladů za každé cvičení. Každý soubor náhradních příkladů lze opravovat nejvýše jednou. Náhradní příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2010.
4. Dodatečné informace k ukončení předmětu jsou od 3. prosince 2009 zveřejněny na stránce http://physics.muni.cz/~czudkova/, položka "Výuka".

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období. Termín opravné písemky bude oznámen mailem rozeslaným prostřednictvím Informačního systému v prvním prosincovém týdnu 2009.
Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty kombinované formy studia (studenti kombinované formy mohou též zvolit jako alternativu požadavky pro studenty prezenční formy):

1. Absolvování závěrečné písemky pokrývající látku celého semestru. Písemka bude obsahovat tři odděleně klasifikované tematické části (viz průběžné písemky pro prezenční formu). Klasifikace je dána stupnicí uvedenou ve Studijním a zkušebním řádu MU. Písemka je úspěšná pouze v případě, že nejvýše jedna z jejích částí je hodnocena stupněm F. Další pravidla klasifikace jsou shodná s pravidly pro prezenční formu. Termín písemky bude oznámen mailem rozeslaným prostřednictvím Informačního systému v prvním prosincovém týdnu 2009.
2. Odevzdání domácích úkolů shodných s úkoly pro prezenční formu (viz výše). Každý domácí úkol lze opravovat nejvýše jednou.
3. Odevzdání náhradních příkladů za neúčasti ve cvičení (dva příklady za každé cvičení, shodné s příklady pro prezenční formu - viz výše). Každý soubor náhradních příkladů lze opravovat nejvýše jednou.
4. Domácí úkoly i příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2010.
5. Dodatečné informace k ukončení předmětu jsou od 3. prosince 2009 zveřejněny na stránce http://physics.muni.cz/~czudkova/, položka "Výuka".

Porušení pravidel 1. až 4. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Požadavky na úspěšné ukončení předmětu:

1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice).
Písemná část zkoušky: Část (a) - příklady - ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b) - test - prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Ústní část zkoušky: Diskuse o širší problematice úloh z písemné části. Každá část zkoušky je klasifikována, je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna její část (známky z písemné části zkoušky nabývají platnosti až po potvrzení zkoušejícím).
Výsledek ukončení předmětu se stanoví ze všech známek získaných během semestru a všech známek u zkoušky takto: Výsledná známka = (1x známka z první průběžné písemky + 1x známka z druhé průběžné písemky + 1x známka z třetí průběžné písemky + 2x známka z příkladů + 2x známka z testu + 4x známka z ústní zkoušky)/11.
Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.

Další komentáře

Studijní materiály
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování forem

Rozsah

3/2/0. 4 kr. (příf plus uk plus > 4). Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Lenka Czudková, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.

Rozvrh

Čt 13:00–15:50 F4,03017

• Rozvrh seminárních/paralelních skupin:

F3063/01: Čt 8:00–9:50 F2 6/2012, L. Czudková
F3063/02: Út 9:00–10:50 F4,03017, L. Czudková

Předpoklady

M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)
• Fyzika (program PřF, M-FY)
• Fyzika (program PřF, N-FY)

Cíle předmětu

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních antisymetrických tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze. Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než standardně vyučovanými metodami tzv. "klasické analýzy" (na druhé straně však již toto modernější pojetí je třeba považovat za klasické, zatímco běžně užívané metody spiše za konzervativní). Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny klasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem. Předmět sleduje především tyto cíle:

* Ukázat studentům obecnější a účinnější přístup k teorii integrálu.
* Propojit obecnou matematickou teorii s praktickými geometrickými a fyzikálními aplikacemi a ukázat jejich těsnou souvislost.

Absolvováním předmětu získá student tyto znalosti a dovednosti:

* Obecný přehled o problematice vektorových a tenzorových polí jako geometrických (invariantních) objektech na euklidovských prostorech.
* Praktickou dovednost při počítání s vektory a tenzory ve vícerozměrných prostorech (algebra) a vektorovými a tenzorovými poli v euklidovských prostorech (analýza).
* Porozumění pojmu diferenciální formy a dovednost při prováděni algebraických i analytických operací s ní (vnější součin, vnější derivace, pulback).
* Pochopení pojmu riemannovského integrálu z diferenciální k-formy na k-rozměrném útvaru v obecně n-rozměrném euklidovském prostoru (k menší nebo rovno n), pochopení pojmu křivkového a plošného integrálu jako speciálních případů.
* Znalost obecného Stokesova teorému převádějícího integraci (k-1)-formy po hranici k-rozměrného útvaru M na integraci vnější derivace této formy po útvaru M, jeho důkazu a jeho klasických aplikací (věty Greenova, klasická Stokesova, Gaussova-Ostrogradského).
* Praktická dovednost při výpočtech integrálů, včetně užití obecného Stokesova teorému, výpočet práce silového pole, toku vektorového pole plochou, apod.
* Dovednost při využití obecného Stokesova teorému při odvození diferenciálních (lokálních) přírodních zákonů ze zákonů integrálních (globálních), např. rovnice mechaniky kontinua, Maxwellovy rovnice v klasické elektrodynamice, apod.
* Praktická dovednost při výpočtu objemů n-rozměrných útvarů integrací objemového elementu (délky křivek, obsahy ploch, objemy těles).

Osnova

• 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce.
• 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu.
• 3. Zobecnění integrálu - rozklad jednotky.
• 4. Prostory kovariantních tenzorů.
• 5. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy.
• 6. Vnější součin, vnější derivace.
• 7. Inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 8. Integrál diferenciální formy na singulární krychli.
• 9. Stokesův teorém.
• 10. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty.
• 11. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů.
• 12. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou.
• 13. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.

Literatura

• KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info
• SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
• NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info

Metody hodnocení

Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části: (a) příklady, (b) test) a ústní

Navazující předměty

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice

Informace učitele

Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty prezenční formy studia:

1. Absolvování tří tematicky zaměřených průběžných písemek, termíny budou oznámeny alespoň dva týdny předem:
   1. topologie, diferencovatelné funkce, Riemannův integrál,
   2. algebra tenzorů, počítání s diferenciálními formami, integrál z diferenciálních forem,
   3. integrální věty, fyzikální aplikace.
   Každá písemka je klasifikována podle stupnice uvedené ve Studijním a zkušebním řádu MU. Je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna písemka. K dosažení hodnocení alespoň E na dané písemce je třeba získat nejméně 50 procent z maximálního počtu bodů.
2. Odevzdání domácích úkolů. Úkoly budou po každém cvičení zveřejněny na stránce http://physics.muni.cz/~czudkova/. Každý úkol je možno opravovat nejvýše jednou. Domácí úkoly a jejich opravy je nutné odevzdávat vždy do týdne po uplynutí příslušného cvičení. Výjimku tvoří pouze omluvitelné situace, jako je například nemoc podložená lékařským potvrzením nebo nekonání výuky; v takovém případě je třeba odevzdat úkoly v bezprostředně následující výuce předmětu.
3. Účast na všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit vypracováním dvou náhradních příkladů za každé cvičení. Každý soubor náhradních příkladů lze opravovat nejvýše jednou. Náhradní příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 18. ledna 2009.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období. Termín opravné písemky bude oznámen mailem rozeslaným prostřednictvím Informačního systému v prvním prosincovém týdnu 2008.
Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty kombinované formy studia (studenti kombinované formy mohou též zvolit jako alternativu požadavky pro studenty prezenční formy):

1. Absolvování závěrečné písemky pokrývající látku celého semestru. Písemka bude obsahovat tři odděleně klasifikované tematické části (viz průběžné písemky pro prezenční formu). Klasifikace je dána stupnicí uvedenou ve Studijním a zkušebním řádu MU. Písemka je úspěšná pouze v případě, že nejvýše jedna z jejích částí je hodnocena stupněm F. Další pravidla klasifikace jsou shodná s pravidly pro prezenční formu. Termín písemky bude oznámen mailem rozeslaným prostřednictvím Informačního systému v prvním prosincovém týdnu 2008.
2. Odevzdání domácích úkolů shodných s úkoly pro prezenční formu (viz výše). Každý domácí úkol lze opravovat nejvýše jednou.
3. Odevzdání náhradních příkladů za neúčasti ve cvičení (dva příklady za každé cvičení, shodné s příklady pro prezenční formu - viz výše). Každý soubor náhradních příkladů lze opravovat nejvýše jednou.
4. Domácí úkoly i příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 18. ledna 2009.

Porušení pravidel 1. až 4. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Požadavky na úspěšné ukončení předmětu:

1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice).
Písemná část zkoušky: Část (a) - příklady - ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b) - test - prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Ústní část zkoušky: Diskuse o širší problematice úloh z písemné části. Každá část zkoušky je klasifikována, je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna její část (známky z písemné části zkoušky nabývají platnosti až po potvrzení zkoušejícím).
Výsledek ukončení předmětu se stanoví ze všech známek získaných během semestru a všech známek u zkoušky takto: Výsledná známka = (1x známka z první průběžné písemky + 1x známka z druhé průběžné písemky + 1x známka z třetí průběžné písemky + 2x známka z příkladů + 2x známka z testu + 4x známka z ústní zkoušky)/11.
Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.

Další komentáře

Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování forem

Rozsah

3/2/0. 4 kr. (příf plus uk plus > 4). Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Lenka Czudková, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.

Rozvrh

Čt 7:00–9:50 F3,03015, Pá 13:00–14:50 F3,03015

Předpoklady

M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)
• Fyzika (program PřF, M-FY)
• Fyzika (program PřF, N-FY)

Cíle předmětu

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze. Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než tzv. "klasicky". Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny kasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.

Osnova

• 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce. 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu. 3. Zobecnění integrálu - rozklad jednotky. 4. Prostory kovariantních tenzorů. 5. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy. 6. Vnější součin, vnější derivace. 7. Inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů. 8. Integrál diferenciální formy na singulární krychli. 9. Stokesův teorém. 10. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty. 11. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. 12. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou. 13. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.

Literatura

• KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info
• SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
• NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info

Metody hodnocení

Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části: (a) příklady, (b) test) a ústní

Navazující předměty

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice

Informace učitele

Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty prezenční formy:

1. Absolvování tří tematicky zaměřených písemek, termíny budou oznámeny alespoň dva týdny předem: (1) topologie, diferencovatelné funkce, Riemannův integrál, (2) algebra tenzorů, počítání s diferenciálními formami, integrál z diferenciálních forem, (3) integrální věty, fyzikální aplikace. Každá písemka je klasifikována podle stupnice uvedené ve Studijním a zkušebním řádu MU. Je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna písemka. K dosažení hodnocení alespoň E na dané písemce je třeba získat nejméně 50 procent z maximálního počtu bodů.
2. Odevzdání domácích úkolů. Úkoly, které budou průběžně zveřejňovány na stránce http://physics.muni.cz/~czudkova/, je třeba odevzdat nejpozději v následujícím cvičení. Každý úkol je možno opravovat nejvýše jednou.
3. Účast na všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit vypracováním dvou náhradních příkladů za každé cvičení. Každý soubor náhradních příkladů lze opravovat nejvýše jednou. Náhradní příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdtat do 20. ledna 2008.
4. Dodatečné informace k ukončení předmětu jsou k dispozici na stránce http://physics.muni.cz/~czudkova/, položka "Výuka".

Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty kombinované formy:

1. Absolvování závěrečné písemky pokrývající látku celého semestru. Písemka bude obsahovat tři odděleně klasifikované tematické části (viz dílčí písemky pro prezenční formu). Klasifikace je dána stupnicí uvedenou ve Studijním a zkušebním řádu MU. Písemka je úspěšná pouze v případě, že nejvýše jedna z jejích částí je hodnocena stupněm F. Další pravidla klasifikace jsou shodná s pravidly pro prezenční formu. Termín písemky bude oznámen mailem rozeslaným prostřednictvím Informačního systému v prvním prosincovém týdnu 2007.
2. Odevzdání domácích úkolů shodných s úkoly pro prezenční formu (viz výše). Každý domácí úkol lze opravovat nejvýše jednou.
3. Odevzdání náhradních příkladů za neúčasti ve cvičení (dva příklady za každé cvičení, shodné s příklady pro prezenční formu - viz výše). Každý soubor náhradních příkladů lze opravovat nejvýše jednou.
4. Domácí úkoly i příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2008.
5. Dodatečné informace k ukončení předmětu jsou k dispozici na stránce http://physics.muni.cz/~czudkova/, položka "Výuka".

Požadavky na úspěšné ukončení předmětu: 1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice). Písemná zkouška: Část (a)-příklady ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b)-test prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Ústní část zkoušky: Diskuse o širší problematice úloh z písemné části. Každá část je klasifikována. Výsledek ukončení předmětu se stanoví ze všech známek získaných během semestru a všech známek u zkoušky s vahou 1. Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.

Další komentáře

Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování forem

Rozsah

3/2/0. 4 kr. (příf plus uk plus > 4). Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Lenka Czudková, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.

Rozvrh

St 11:00–13:50 F3,03015, Čt 8:00–9:50 F4,03017

Předpoklady

M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)
• Fyzika (program PřF, M-FY)
• Fyzika (program PřF, N-FY)

Cíle předmětu

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze. Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než tzv. "klasicky". Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny kasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.

Osnova

• 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce. 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu. 3. Zobecnění integrálu - rozklad jednotky. 4. Prostory kovariantních tenzorů. 5. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy. 6. Vnější součin, vnější derivace. 7. Inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů. 8. Integrál diferenciální formy na singulární krychli. 9. Stokesův teorém. 10. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty. 11. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. 12. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou. 13. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.

Literatura

• KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info
• SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
• NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info

Metody hodnocení

Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části: (a) příklady, (b) test) a ústní

Navazující předměty

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice

Informace učitele

Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce: 1. Získání alespoň 50% bodů (z celkového dosažitelného součtu) ze tří tematicky zaměřených písemek, ohlášených dva týdny předem: (1) topologie, diferencovatelné funkce, Riemannův integrál, (2) algebra tenzorů, počítání s diferenciálními formami, integrál z diferenciálních forem, (3) integrální věty, fyzikální aplikace. 2. Účast ve všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit vzorovým vyřešením a odevzdáním příkladů zveřejňovaných na adrese http://www.physics.muni.cz/~czudkova. 3. Vzorové vyřešení domácích úloh (celkem 20 příkladů za semestr). Příklady budou zveřejňovány na adrese http://www.physics.muni.cz/~czudkova nejpozději v den příslušného cvičení. Příklady je nutno odevzdávat průběžně, nejpozději do dvou týdnů po proběhnutí příslušného cvičení. Pro studenty kombinované formy platí tytéž požadavky, první z nich však lze po domluvě narhadit napsáním jediné písemky (úspěšnost alespoň 50%), která pokrývá látku celého semestru. Požadavky na úspěšné ukončení předmětu: 1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice). Písemná zkouška: Část (a)-příklady ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b)-test prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.

Další komentáře

Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování forem

Rozsah

3/2/0. 4 kr. (příf plus uk plus > 4). Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Lenka Czudková, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.

Rozvrh

St 10:00–11:50 F4,03017, Čt 7:00–9:50 F4,03017

Předpoklady

M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)
• Fyzika (program PřF, M-FY)
• Fyzika (program PřF, N-FY)

Cíle předmětu

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze. Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než tzv. "klasicky". Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny kasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.

Osnova

• 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce. 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu. 3. Zobecnění integrálu - rozklad jednotky. 4. Prostory kovariantních tenzorů. 5. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy. 6. Vnější součin, vnější derivace. 7. Inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů. 8. Integrál diferenciální formy na singulární krychli. 9. Stokesův teorém. 10. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty. 11. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. 12. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou. 13. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.

Literatura

• KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info
• SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
• NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info

Metody hodnocení

Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části: (a) příklady, (b) test) a ústní

Navazující předměty

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice

Informace učitele

Přístup ke zkoušce je podmíněn úspěšným absolvováním cvičení. Požadavky cvičení: 1. Získání alespoň 50% bodů (v celkovém součtu) ze tří tematicky zaměřených písemek, ohlášených dva týdny předem: (1) topologie,diferencovatelné funkce, Riemannův integrál, (2) algebra tenzorů, počítání s diferenciálními formami, integrál z diferenciálních forem, (3) integrální věty, fyzikální aplikace. 2. Účast ve všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit jinými požadavky po předchozí dohodě s cvičícím učitelem. 3. Vypracování domácích úloh: Celkem 20 příkladů za semestr. Příklady budou zveřejňovány na adrese http://www.physics.muni.cz/~czudkova nejpozději v den příslušného cvičení. Příklady je nutno odevzdávat průběžně, nejpozději do dvou týdnů po proběhnutí příslušného cvičení. Pro studenty kombinované formy platí tytéž požadavky, první z nich však lze po domluvě narhadit napsáním jediné písemky (úspěšnost alespoň 50%) pokrývající látku celého semestru. Požadavky na úspěšné ukončení předmětu: 1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice). Písemná zkouška: Část (a)-příklady ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b)-test prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.

Další komentáře

Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování forem

Rozsah

3/2/0. 4 kr. (příf plus uk plus > 4). Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Lenka Czudková, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.

Rozvrh

Čt 7:00–9:50 F3,03015

• Rozvrh seminárních/paralelních skupin:

F3063/01: Čt 16:00–17:50 F1 6/1014, L. Czudková
F3063/02: Čt 18:00–19:50 F3,03015, L. Czudková

Předpoklady

M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)
• Fyzika (program PřF, M-FY)
• Fyzika (program PřF, N-FY)

Cíle předmětu

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze. Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než tzv. "klasicky". Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny kasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.

Osnova

• 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce. 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu. 3. Zobecnění integrálu - rozklad jednotky. 4. Prostory kovariantních tenzorů. 5. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy. 6. Vnější součin, vnější derivace. 7. Inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů. 8. Integrál diferenciální formy na singulární krychli. 9. Stokesův teorém. 10. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty. 11. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. 12. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou. 13. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.

Literatura

• KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info
• SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
• NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info

Metody hodnocení

Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části: (a) příklady, (b) test) a ústní

Navazující předměty

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice

Informace učitele

Přístup ke zkoušce je podmíněn úspěšným absolvováním cvičení. Požadavky cvičení: 1. Získání alespoň 50% bodů z písemek v průběhu semestru. Písemky budou tři: (1) 14.10.2004--topologie,diferencovatelné funkce, Riemannův integrál. (2) 25.11.2004--algebra tenzorů, počítání s diferenciálními formami, integrál z diferenciálních forem. (3) 23.12.2004--integrální věty, fyzikální aplikace. 2. Účast ve všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit jinými požadavky po předchozí dohodě s cvičícím učitelem. 3. Vypracování domácích úloh: Celkem 20 příkladů za semestr. Příklady budou zveřejňovány na adrese http://www.physics.muni.cz/~czudkova s třítýdenním předstihem před příslušným cvičením. Příklady je nutno odevzdávat průběžně, nejpozději do dvou týdnů po proběhnutí příslušného cvičení. Požadavky na úspěšné ukončení předmětu: 1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice). Písemná zkouška: Část (a)-příklady ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b)-test prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.

Další komentáře

Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování forem

Rozsah

3/2/0. 4 kr. (příf plus uk plus > 4). Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Tomáš Radlička, Ph.D. (cvičící)
Mgr. Lenka Czudková, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.

Předpoklady

M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)
• Fyzika (program PřF, M-FY)
• Fyzika (program PřF, N-FY)

Cíle předmětu

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze. Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než tzv. "klasicky". Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny kasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.

Osnova

• 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce. 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu. 3. Zobecnění integrálu - rozklad jednotky. 4. Prostory kovariantních tenzorů. 5. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy. 6. Vnější součin, vnější derivace. 7. Inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů. 8. Integrál diferenciální formy na singulární krychli. 9. Stokesův teorém. 10. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty. 11. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. 12. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou. 13. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.

Literatura

• KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info
• SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
• NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info

Metody hodnocení

Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části: (a) příklady, (b) test) a ústní

Navazující předměty

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice

Informace učitele

Přístup ke zkoušce je podmíněn úspěšným absolvováním cvičení. Požadavky cvičení: 1. Získání alespoň 50% bodů z písemek v průběhu semestru. Písemky budou tři: (1) 10.10.2003--topologie,diferencovatelné funkce, Riemannův integrál. (2) 14.11.2003--algebra tenzorů, počítání s diferenciálními formami, integrál z diferenciálních forem. (3) 19.12.2003--integrální věty, fyzikální aplikace. 2. Účast ve všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit jinými požadavky po předchozí dohodě s cvičícím učitelem. 3. Vypracování domácích úloh: Celkem 20 příkladů za semestr. Příklady budou zveřejňovány na adrese http://www.physics.muni.cz/~czudkova s třítýdenním předstihem před příslušným cvičením. Příklady je nutno odevzdávat průběžně, nejpozději do dvou týdnů po proběhnutí příslušného cvičení. Požadavky na úspěšné ukončení předmětu: 1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice). Písemná zkouška: Část (a)-příklady ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b)-test prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.

Další komentáře

Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.
Výuka probíhá každý týden.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování forem

Rozsah

3/2/0. 4 kr. (příf plus uk plus > 4). Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Tomáš Radlička, Ph.D. (cvičící)
Mgr. Ing. Jitka Janová, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.

Předpoklady

M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)
• Fyzika (program PřF, M-FY)
• Fyzika (program PřF, N-FY)

Cíle předmětu

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze. Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než tzv. "klasicky". Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny kasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.

Osnova

• 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce. 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu. 3. Zobecnění integrálu - rozklad jednotky. 4. Prostory kovariantních tenzorů. 5. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy. 6. Vnější součin, vnější derivace. 7. Inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů. 8. Integrál diferenciální formy na singulární krychli. 9. Stokesův teorém. 10. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty. 11. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. 12. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou. 13. Objemový element. 14. Objemy Riemannových variet.

Literatura

• KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info
• SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
• NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info

Metody hodnocení

Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části: (a) příklady, (b) test) a ústní

Navazující předměty

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice

Informace učitele

Požadavky na úspěšné ukončení předmětu: 1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice). Písemná zkouška: Část (a)-příklady ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b)-test prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.

Další komentáře

Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.
Výuka probíhá každý týden.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování forem

Rozsah

3/2/0. 6 kr. Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Pavla Musilová, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Ústav fyziky a technologií plazmatu – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.

Předpoklady

M1050 Dif. a int. počet f. jedné p. && M2050 Dif. p. v. pr. a dif. rovnice
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)
• Fyzika (program PřF, M-FY)
• Fyzika (program PřF, N-FY)

Cíle předmětu

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze. Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než tzv. "klasicky". Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny kasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.

Osnova

• 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce. 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu. 3. Zobecnění integrálu - rozklad jednotky. 4. Prostory kovariantních tenzorů. 5. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy. 6. Vnější součin, vnější derivace. 7. Inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů. 8. Integrál diferenciální formy na singulární krychli. 9. Stokesův teorém. 10. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty. 11. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. 12. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou. 13. Objemový element. 14. Objemy Riemannových variet.

Literatura

• KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info
• SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
• NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info

Metody hodnocení

Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části: (a) příklady, (b) test) a ústní

Navazující předměty

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice

Informace učitele

Požadavky na úspěšné ukončení předmětu: 1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice). Písemná zkouška: Část (a)-příklady ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b)-test prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.

Další komentáře

Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.
Výuka probíhá každý týden.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování forem

Rozsah

3/2/0. 6 kr. Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Michael Krbek, Ph.D. (cvičící)
Mgr. Pavla Musilová, Ph.D. (cvičící)

Garance

doc. RNDr. Zdeněk Bochníček, Dr.
Ústav fyziky a technologií plazmatu – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.

Předpoklady

M1050 Dif. a int. počet f. jedné p. && M2050 Dif. p. v. pr. a dif. rovnice

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)
• Fyzika (program PřF, M-FY)
• Fyzika (program PřF, N-FY)

Cíle předmětu

Základní kurs matematické analýzy pro fyziky. Riemannův integrál: základy topologie, integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, rozklad jednotky, věta o transformaci integrálu. Integrál diferenciální formy na euklidovském prostoru: tenzory,vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy, vnější součin, vnější derivace, integrál diferenicální formy na singulární krychlí, Stokesův teorém, objemový element, integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty, aplikace-geometrické a fyzikální chaakteristiky 1-, 2- a 3-rozměrných útvarů, práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou, objemy Riemannových variet.

Další komentáře

Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.
Výuka probíhá každý týden.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování forem

Rozsah

3/2/0. 6 kr. Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Michael Krbek, Ph.D. (cvičící)
Mgr. Pavla Musilová, Ph.D. (cvičící)

Garance

doc. RNDr. Zdeněk Bochníček, Dr.
Ústav fyziky a technologií plazmatu – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.

Předpoklady

M1050 Dif. a int. počet f. jedné p. && M2050 Dif. p. v. pr. a dif. rovnice

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)
• Fyzika (program PřF, M-FY)
• Fyzika (program PřF, N-FY)

Osnova

• Základní kurs matematické analýzy pro fyziky. Riemannův integrál: základy topologie, integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, rozklad jednotky, věta o transformaci integrálu. Integrál diferenciální formy na euklidovském prostoru: tenzory,vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy, vnější součin, vnější derivace, integrál diferenicální formy na singulární krychlí, Stokesův teorém, objemový element, integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty, aplikace-geometrické a fyzikální chaakteristiky 1-, 2- a 3-rozměrných útvarů, práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou, objemy Riemannových variet.

Další komentáře

Předmět je vyučován každoročně.
Výuka probíhá každý týden.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování forem

Předmět se v období jaro 2024 nevypisuje.

Rozsah

2/2/0. 4 kr. Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Michael Krbek, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Dodavatelské pracoviště: Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta

Předpoklady

( M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II )||( M1100F Matematická analýza I && M2100F Matematická analýza II )
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)

Cíle předmětu

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních antisymetrických tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze,

Integrování diferenciálních forem: Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než standardně vyučovanými metodami tzv. "klasické analýzy" (na druhé straně však již toto modernější pojetí je třeba považovat za klasické, zatímco běžně užívané metody spiše za konzervativní). Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny klasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.

Předmět sleduje především tyto cíle:

* Ukázat studentům obecnější a účinnější přístup k teorii integrálu.
* Propojit obecnou matematickou teorii s praktickými geometrickými a fyzikálními aplikacemi a ukázat jejich těsnou souvislost.

Výstupy z učení

Absolvováním předmětu získá student tyto znalosti a dovednosti:

* Obecný přehled o problematice vektorových a tenzorových polí jako geometrických (invariantních) objektech na euklidovských prostorech.
* Praktickou dovednost při počítání s vektory a tenzory ve vícerozměrných prostorech (algebra) a vektorovými a tenzorovými poli v euklidovských prostorech (analýza).
* Porozumění pojmu diferenciální formy a dovednost při prováděni algebraických i analytických operací s ní (vnější součin, vnější derivace, pulback).
* Pochopení pojmu riemannovského integrálu z diferenciální k-formy na k-rozměrném útvaru v obecně n-rozměrném euklidovském prostoru (k menší nebo rovno n), pochopení pojmu křivkového a plošného integrálu jako speciálních případů.
* Znalost obecného Stokesova teorému převádějícího integraci (k-1)-formy po hranici k-rozměrného útvaru M na integraci vnější derivace této formy po útvaru M, jeho důkazu a jeho klasických aplikací (věty Greenova, klasická Stokesova, Gaussova-Ostrogradského).
* Praktická dovednost při výpočtech integrálů, včetně užití obecného Stokesova teorému, výpočet práce silového pole, toku vektorového pole plochou, apod.
* Dovednost při využití obecného Stokesova teorému při odvození diferenciálních (lokálních) přírodních zákonů ze zákonů integrálních (globálních), např. rovnice mechaniky kontinua, Maxwellovy rovnice v klasické elektrodynamice, apod.
* Praktická dovednost při výpočtu objemů n-rozměrných útvarů integrací objemového elementu (délky křivek, obsahy ploch, objemy těles).

Osnova

• 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce.
• 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu.
• 3. Prostory kovariantních tenzorů, algebraické operace.
• 4. Antisymetrické tenzory, vnější součin.
• 5. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy.
• 6. Vnější derivace.
• 7. Indukovaná zobrazení -- tečné zobrazení asociované se zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 8. Indukovaná zobrazení -- inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 9. Integrál diferenciální formy na singulární krychli.
• 10. Stokesův teorém.
• 11. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty.
• 12. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.
• 13. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou.
• 14. Praktické výpočty.

Literatura

povinná literatura
• MUSILOVÁ, Jana a Pavla MUSILOVÁ. Matematika : pro porozumění i praxi : netradiční výklad tradičních témat vysokoškolské matematiky. První vydání. Brno: VUTIUM, 2017, xv, 365. ISBN 9788021455030. info

doporučená literatura
• SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
• KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info
• NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info

Výukové metody

Přednáška: teoretická výuka kombinovaná s praktickými příklady. Cvičení: teoretické cvičení zaměřené na procvičení základních pojmů a tvrzení, samostatné řešení úloh, včetně úloh komplexnějšího charakteru.

Metody hodnocení

Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části-(a) příklady, (b) test) a ústní. V části (a) řeší studenti rozsáhlejší a komplexnější příklady, prokazují schopnost samostatně řešit typické problémy. V části (b) prokazují jednak porozumění důležitým pojmům a teorémům, jednak orientovanost v celé problematice předmětu.

Navazující předměty

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice

Informace učitele

Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty prezenční formy studia:

1. Absolvování tří tematicky zaměřených průběžných písemek, termíny budou oznámeny alespoň dva týdny předem. Každá písemka je klasifikována podle stupnice uvedené ve Studijním a zkušebním řádu MU. Je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna písemka. K dosažení hodnocení alespoň E na dané písemce je třeba získat nejméně 50 procent z maximálního počtu bodů.
2. Odevzdání domácích úkolů. Domácí úkoly a jejich opravy je nutné odevzdávat vždy do týdne po uplynutí příslušného cvičení. Výjimku tvoří pouze omluvitelné situace, jako je například nemoc podložená lékařským potvrzením nebo nekonání výuky; v takovém případě je třeba odevzdat úkoly v bezprostředně následující výuce předmětu.
3. Účast na všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit vypracováním dvou náhradních příkladů za každé cvičení. Náhradní příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2012.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty kombinované formy studia (studenti kombinované formy mohou též zvolit jako alternativu požadavky pro studenty prezenční formy):

1. Absolvování závěrečné písemky pokrývající látku celého semestru. Termín písemky bude oznámen mailem rozeslaným prostřednictvím Informačního systému v prvním prosincovém týdnu 2011.
2. Odevzdání domácích úkolů shodných s úkoly pro prezenční formu (viz výše).
3. Odevzdání náhradních příkladů za neúčasti ve cvičení (dva příklady za každé cvičení, shodné s příklady pro prezenční formu - viz výše).
4. Domácí úkoly i příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2012.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Požadavky na úspěšné ukončení předmětu:

1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice).
Písemná část zkoušky: Část (a) - příklady - ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b) - test - prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Ústní část zkoušky: Diskuse o širší problematice úloh z písemné části. Každá část zkoušky je klasifikována, je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna její část (známky z písemné části zkoušky nabývají platnosti až po potvrzení zkoušejícím).
Výsledek ukončení předmětu se stanoví ze všech známek získaných během semestru a všech známek u zkoušky takto: Výsledná známka = (1x známka z první průběžné písemky + 1x známka z druhé průběžné písemky + 1x známka z třetí průběžné písemky + 2x známka z příkladů + 2x známka z testu + 4x známka z ústní zkoušky)/11.
Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.

Další komentáře

Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován jednou za dva roky.
Výuka probíhá každý týden.
S.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování forem

Údaje z období jaro 2012 - akreditace se nezveřejňují

Rozsah

2/2/0. 4 kr. (plus 2 za zk). Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Lenka Czudková, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Dodavatelské pracoviště: Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta

Předpoklady

M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)
• Fyzika (program PřF, N-FY)

Cíle předmětu

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje

-- teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních antisymetrických tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze,
-- výklad problematiky nekonečných řad.

(1) Integrování diferenciálních forem: Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než standardně vyučovanými metodami tzv. "klasické analýzy" (na druhé straně však již toto modernější pojetí je třeba považovat za klasické, zatímco běžně užívané metody spiše za konzervativní). Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny klasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.

(2) Nekonečné řady: Těžiště této části předmětu spočívá, po výkladu nejnutnějších tvrzení o číselných posloupnostech a řadách, v problematice řad funkcí (konvergence, stejnoměrná konvergence). Pozornost je soustředěna na mocninné a Fourierovy řady, jejich aplikace při řešení diferenciálních rovnic a aplikace ve fyzice.

Předmět sleduje především tyto cíle:

* Ukázat studentům obecnější a účinnější přístup k teorii integrálu.
* Propojit obecnou matematickou teorii s praktickými geometrickými a fyzikálními aplikacemi a ukázat jejich těsnou souvislost.

Absolvováním předmětu získá student tyto znalosti a dovednosti:

* Obecný přehled o problematice vektorových a tenzorových polí jako geometrických (invariantních) objektech na euklidovských prostorech.
* Praktickou dovednost při počítání s vektory a tenzory ve vícerozměrných prostorech (algebra) a vektorovými a tenzorovými poli v euklidovských prostorech (analýza).
* Porozumění pojmu diferenciální formy a dovednost při prováděni algebraických i analytických operací s ní (vnější součin, vnější derivace, pulback).
* Pochopení pojmu riemannovského integrálu z diferenciální k-formy na k-rozměrném útvaru v obecně n-rozměrném euklidovském prostoru (k menší nebo rovno n), pochopení pojmu křivkového a plošného integrálu jako speciálních případů.
* Znalost obecného Stokesova teorému převádějícího integraci (k-1)-formy po hranici k-rozměrného útvaru M na integraci vnější derivace této formy po útvaru M, jeho důkazu a jeho klasických aplikací (věty Greenova, klasická Stokesova, Gaussova-Ostrogradského).
* Praktická dovednost při výpočtech integrálů, včetně užití obecného Stokesova teorému, výpočet práce silového pole, toku vektorového pole plochou, apod.
* Dovednost při využití obecného Stokesova teorému při odvození diferenciálních (lokálních) přírodních zákonů ze zákonů integrálních (globálních), např. rovnice mechaniky kontinua, Maxwellovy rovnice v klasické elektrodynamice, apod.
* Praktická dovednost při výpočtu objemů n-rozměrných útvarů integrací objemového elementu (délky křivek, obsahy ploch, objemy těles).
* Zvládnutí základů teorie konvergence číselných a funkčních nekonečných řad.
* Pochopení rozdílnosti definice konvergence a stejnoměrné konvergence posloupností funkcí, resp. nekonečných řad funkcí.
* Praktické výpočty týkající se konvergence mocninných a Fourierových řad.

Osnova

• 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce.
• 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu.
• 3. Prostory kovariantních tenzorů, algebraické operace.
• 4. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy.
• 5. Vnější derivace. Inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 6. Integrál diferenciální formy na singulární krychli.
• 7. Stokesův teorém.
• 8. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty.
• 9. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.
• 10. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou.
• 11. Základy teorie konvergence nekonečných číselných řad.
• 12. Posloupnosti a řady funkcí, konvergence, stejnoměrná konverence.
• 13. Mocninné a Fourierovy řady.
• 14. Aplikace teorie nekonečných řad: Řešení diferenciálních rovnic, aproximace funkcí, fyzikální aplikace.

Literatura

• KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info
• SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
• NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info
• DOŠLÁ, Zuzana a Vítězslav NOVÁK. Nekonečné řady. 2. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2007, iv, 113. ISBN 9788021043343. info

Výukové metody

Přednáška: teoretická výuka kombinovaná s praktickými příklady. Cvičení: teoretické cvičení zaměřené na procvičení základních pojmů a tvrzení, samostatné řešení úloh, včetně úloh komplexnějšího charakteru.

Metody hodnocení

Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části: (a) příklady, (b) test) a ústní

Navazující předměty

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice

Informace učitele

Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty prezenční formy studia:

1. Absolvování tří tematicky zaměřených průběžných písemek, termíny budou oznámeny alespoň dva týdny předem. Každá písemka je klasifikována podle stupnice uvedené ve Studijním a zkušebním řádu MU. Je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna písemka. K dosažení hodnocení alespoň E na dané písemce je třeba získat nejméně 50 procent z maximálního počtu bodů.
2. Odevzdání domácích úkolů. Domácí úkoly a jejich opravy je nutné odevzdávat vždy do týdne po uplynutí příslušného cvičení. Výjimku tvoří pouze omluvitelné situace, jako je například nemoc podložená lékařským potvrzením nebo nekonání výuky; v takovém případě je třeba odevzdat úkoly v bezprostředně následující výuce předmětu.
3. Účast na všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit vypracováním dvou náhradních příkladů za každé cvičení. Náhradní příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2012.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty kombinované formy studia (studenti kombinované formy mohou též zvolit jako alternativu požadavky pro studenty prezenční formy):

1. Absolvování závěrečné písemky pokrývající látku celého semestru. Termín písemky bude oznámen mailem rozeslaným prostřednictvím Informačního systému v prvním prosincovém týdnu 2011.
2. Odevzdání domácích úkolů shodných s úkoly pro prezenční formu (viz výše).
3. Odevzdání náhradních příkladů za neúčasti ve cvičení (dva příklady za každé cvičení, shodné s příklady pro prezenční formu - viz výše).
4. Domácí úkoly i příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2012.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Požadavky na úspěšné ukončení předmětu:

1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice).
Písemná část zkoušky: Část (a) - příklady - ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b) - test - prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Ústní část zkoušky: Diskuse o širší problematice úloh z písemné části. Každá část zkoušky je klasifikována, je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna její část (známky z písemné části zkoušky nabývají platnosti až po potvrzení zkoušejícím).
Výsledek ukončení předmětu se stanoví ze všech známek získaných během semestru a všech známek u zkoušky takto: Výsledná známka = (1x známka z první průběžné písemky + 1x známka z druhé průběžné písemky + 1x známka z třetí průběžné písemky + 2x známka z příkladů + 2x známka z testu + 4x známka z ústní zkoušky)/11.
Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.

Další komentáře

Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.
Výuka probíhá každý týden.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování a řady

Údaje z období podzim 2011 - akreditace se nezveřejňují

Rozsah

4/2/0. 6 kr. (příf plus uk plus > 4). Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Michael Krbek, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.

Předpoklady

M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)
• Fyzika (program PřF, M-FY)
• Fyzika (program PřF, N-FY)

Cíle předmětu

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje

-- teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních antisymetrických tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze,
-- výklad problematiky nekonečných řad.

(1) Integrování diferenciálních forem: Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než standardně vyučovanými metodami tzv. "klasické analýzy" (na druhé straně však již toto modernější pojetí je třeba považovat za klasické, zatímco běžně užívané metody spiše za konzervativní). Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny klasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.

(2) Nekonečné řady: Těžiště této části předmětu spočívá, po výkladu nejnutnějších tvrzení o číselných posloupnostech a řadách, v problematice řad funkcí (konvergence, stejnoměrná konvergence). Pozornost je soustředěna na mocninné a Fourierovy řady, jejich aplikace při řešení diferenciálních rovnic a aplikace ve fyzice.

Předmět sleduje především tyto cíle:

* Ukázat studentům obecnější a účinnější přístup k teorii integrálu.
* Propojit obecnou matematickou teorii s praktickými geometrickými a fyzikálními aplikacemi a ukázat jejich těsnou souvislost.

Absolvováním předmětu získá student tyto znalosti a dovednosti:

* Obecný přehled o problematice vektorových a tenzorových polí jako geometrických (invariantních) objektech na euklidovských prostorech.
* Praktickou dovednost při počítání s vektory a tenzory ve vícerozměrných prostorech (algebra) a vektorovými a tenzorovými poli v euklidovských prostorech (analýza).
* Porozumění pojmu diferenciální formy a dovednost při prováděni algebraických i analytických operací s ní (vnější součin, vnější derivace, pulback).
* Pochopení pojmu riemannovského integrálu z diferenciální k-formy na k-rozměrném útvaru v obecně n-rozměrném euklidovském prostoru (k menší nebo rovno n), pochopení pojmu křivkového a plošného integrálu jako speciálních případů.
* Znalost obecného Stokesova teorému převádějícího integraci (k-1)-formy po hranici k-rozměrného útvaru M na integraci vnější derivace této formy po útvaru M, jeho důkazu a jeho klasických aplikací (věty Greenova, klasická Stokesova, Gaussova-Ostrogradského).
* Praktická dovednost při výpočtech integrálů, včetně užití obecného Stokesova teorému, výpočet práce silového pole, toku vektorového pole plochou, apod.
* Dovednost při využití obecného Stokesova teorému při odvození diferenciálních (lokálních) přírodních zákonů ze zákonů integrálních (globálních), např. rovnice mechaniky kontinua, Maxwellovy rovnice v klasické elektrodynamice, apod.
* Praktická dovednost při výpočtu objemů n-rozměrných útvarů integrací objemového elementu (délky křivek, obsahy ploch, objemy těles).
* Zvládnutí základů teorie konvergence číselných a funkčních nekonečných řad.
* Pochopení rozdílnosti definice konvergence a stejnoměrné konvergence posloupností funkcí, resp. nekonečných řad funkcí.
* Praktické výpočty týkající se konvergence mocninných a Fourierových řad.

Osnova

• 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce.
• 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu.
• 3. Prostory kovariantních tenzorů, algebraické operace.
• 4. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy.
• 5. Vnější derivace. Inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 6. Integrál diferenciální formy na singulární krychli.
• 7. Stokesův teorém.
• 8. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty.
• 9. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.
• 10. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou.
• 11. Základy teorie konvergence nekonečných číselných řad.
• 12. Posloupnosti a řady funkcí, konvergence, stejnoměrná konverence.
• 13. Mocninné a Fourierovy řady.
• 14. Aplikace teorie nekonečných řad: Řešení diferenciálních rovnic, aproximace funkcí, fyzikální aplikace.

Literatura

• KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info
• SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
• NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info
• DOŠLÁ, Zuzana a Vítězslav NOVÁK. Nekonečné řady. 2. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2007, iv, 113. ISBN 9788021043343. info

Výukové metody

Přednáška: teoretická výuka kombinovaná s praktickými příklady. Cvičení: teoretické cvičení zaměřené na procvičení základních pojmů a tvrzení, samostatné řešení úloh, včetně úloh komplexnějšího charakteru.

Metody hodnocení

Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části: (a) příklady, (b) test) a ústní

Navazující předměty

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice

Informace učitele

Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty prezenční formy studia:

1. Absolvování tří tematicky zaměřených průběžných písemek, termíny budou oznámeny alespoň dva týdny předem. Každá písemka je klasifikována podle stupnice uvedené ve Studijním a zkušebním řádu MU. Je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna písemka. K dosažení hodnocení alespoň E na dané písemce je třeba získat nejméně 50 procent z maximálního počtu bodů.
2. Odevzdání domácích úkolů. Domácí úkoly a jejich opravy je nutné odevzdávat vždy do týdne po uplynutí příslušného cvičení. Výjimku tvoří pouze omluvitelné situace, jako je například nemoc podložená lékařským potvrzením nebo nekonání výuky; v takovém případě je třeba odevzdat úkoly v bezprostředně následující výuce předmětu.
3. Účast na všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit vypracováním dvou náhradních příkladů za každé cvičení. Náhradní příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2011.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty kombinované formy studia (studenti kombinované formy mohou též zvolit jako alternativu požadavky pro studenty prezenční formy):

1. Absolvování závěrečné písemky pokrývající látku celého semestru. Termín písemky bude oznámen mailem rozeslaným prostřednictvím Informačního systému v prvním prosincovém týdnu 2010.
2. Odevzdání domácích úkolů shodných s úkoly pro prezenční formu (viz výše).
3. Odevzdání náhradních příkladů za neúčasti ve cvičení (dva příklady za každé cvičení, shodné s příklady pro prezenční formu - viz výše).
4. Domácí úkoly i příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2011.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Požadavky na úspěšné ukončení předmětu:

1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice).
Písemná část zkoušky: Část (a) - příklady - ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b) - test - prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Ústní část zkoušky: Diskuse o širší problematice úloh z písemné části. Každá část zkoušky je klasifikována, je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna její část (známky z písemné části zkoušky nabývají platnosti až po potvrzení zkoušejícím).
Výsledek ukončení předmětu se stanoví ze všech známek získaných během semestru a všech známek u zkoušky takto: Výsledná známka = (1x známka z první průběžné písemky + 1x známka z druhé průběžné písemky + 1x známka z třetí průběžné písemky + 2x známka z příkladů + 2x známka z testu + 4x známka z ústní zkoušky)/11.
Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.

Další komentáře

Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.
Výuka probíhá každý týden.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování a řady

Rozsah

4/2/0. 6 kr. (příf plus uk plus > 4). Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Michael Krbek, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.

Předpoklady

M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)
• Fyzika (program PřF, M-FY)
• Fyzika (program PřF, N-FY)

Cíle předmětu

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje

-- teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních antisymetrických tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze,
-- výklad problematiky nekonečných řad.

(1) Integrování diferenciálních forem: Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než standardně vyučovanými metodami tzv. "klasické analýzy" (na druhé straně však již toto modernější pojetí je třeba považovat za klasické, zatímco běžně užívané metody spiše za konzervativní). Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny klasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.

(2) Nekonečné řady: Těžiště této části předmětu spočívá, po výkladu nejnutnějších tvrzení o číselných posloupnostech a řadách, v problematice řad funkcí (konvergence, stejnoměrná konvergence). Pozornost je soustředěna na mocninné a Fourierovy řady, jejich aplikace při řešení diferenciálních rovnic a aplikace ve fyzice.

Předmět sleduje především tyto cíle:

* Ukázat studentům obecnější a účinnější přístup k teorii integrálu.
* Propojit obecnou matematickou teorii s praktickými geometrickými a fyzikálními aplikacemi a ukázat jejich těsnou souvislost.

Absolvováním předmětu získá student tyto znalosti a dovednosti:

* Obecný přehled o problematice vektorových a tenzorových polí jako geometrických (invariantních) objektech na euklidovských prostorech.
* Praktickou dovednost při počítání s vektory a tenzory ve vícerozměrných prostorech (algebra) a vektorovými a tenzorovými poli v euklidovských prostorech (analýza).
* Porozumění pojmu diferenciální formy a dovednost při prováděni algebraických i analytických operací s ní (vnější součin, vnější derivace, pulback).
* Pochopení pojmu riemannovského integrálu z diferenciální k-formy na k-rozměrném útvaru v obecně n-rozměrném euklidovském prostoru (k menší nebo rovno n), pochopení pojmu křivkového a plošného integrálu jako speciálních případů.
* Znalost obecného Stokesova teorému převádějícího integraci (k-1)-formy po hranici k-rozměrného útvaru M na integraci vnější derivace této formy po útvaru M, jeho důkazu a jeho klasických aplikací (věty Greenova, klasická Stokesova, Gaussova-Ostrogradského).
* Praktická dovednost při výpočtech integrálů, včetně užití obecného Stokesova teorému, výpočet práce silového pole, toku vektorového pole plochou, apod.
* Dovednost při využití obecného Stokesova teorému při odvození diferenciálních (lokálních) přírodních zákonů ze zákonů integrálních (globálních), např. rovnice mechaniky kontinua, Maxwellovy rovnice v klasické elektrodynamice, apod.
* Praktická dovednost při výpočtu objemů n-rozměrných útvarů integrací objemového elementu (délky křivek, obsahy ploch, objemy těles).
* Zvládnutí základů teorie konvergence číselných a funkčních nekonečných řad.
* Pochopení rozdílnosti definice konvergence a stejnoměrné konvergence posloupností funkcí, resp. nekonečných řad funkcí.
* Praktické výpočty týkající se konvergence mocninných a Fourierových řad.

Osnova

• 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce.
• 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu.
• 3. Prostory kovariantních tenzorů, algebraické operace.
• 4. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy.
• 5. Vnější derivace. Inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
• 6. Integrál diferenciální formy na singulární krychli.
• 7. Stokesův teorém.
• 8. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty.
• 9. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.
• 10. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou.
• 11. Základy teorie konvergence nekonečných číselných řad.
• 12. Posloupnosti a řady funkcí, konvergence, stejnoměrná konverence.
• 13. Mocninné a Fourierovy řady.
• 14. Aplikace teorie nekonečných řad: Řešení diferenciálních rovnic, aproximace funkcí, fyzikální aplikace.

Literatura

• KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info
• SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
• NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info
• DOŠLÁ, Zuzana a Vítězslav NOVÁK. Nekonečné řady. 2. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2007, iv, 113. ISBN 9788021043343. info

Výukové metody

Přednáška: teoretická výuka kombinovaná s praktickými příklady. Cvičení: teoretické cvičení zaměřené na procvičení základních pojmů a tvrzení, samostatné řešení úloh, včetně úloh komplexnějšího charakteru.

Metody hodnocení

Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části: (a) příklady, (b) test) a ústní

Navazující předměty

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice

Informace učitele

Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty prezenční formy studia:

1. Absolvování tří tematicky zaměřených průběžných písemek, termíny budou oznámeny alespoň dva týdny předem. Každá písemka je klasifikována podle stupnice uvedené ve Studijním a zkušebním řádu MU. Je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna písemka. K dosažení hodnocení alespoň E na dané písemce je třeba získat nejméně 50 procent z maximálního počtu bodů.
2. Odevzdání domácích úkolů. Domácí úkoly a jejich opravy je nutné odevzdávat vždy do týdne po uplynutí příslušného cvičení. Výjimku tvoří pouze omluvitelné situace, jako je například nemoc podložená lékařským potvrzením nebo nekonání výuky; v takovém případě je třeba odevzdat úkoly v bezprostředně následující výuce předmětu.
3. Účast na všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit vypracováním dvou náhradních příkladů za každé cvičení. Náhradní příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2011.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty kombinované formy studia (studenti kombinované formy mohou též zvolit jako alternativu požadavky pro studenty prezenční formy):

1. Absolvování závěrečné písemky pokrývající látku celého semestru. Termín písemky bude oznámen mailem rozeslaným prostřednictvím Informačního systému v prvním prosincovém týdnu 2010.
2. Odevzdání domácích úkolů shodných s úkoly pro prezenční formu (viz výše).
3. Odevzdání náhradních příkladů za neúčasti ve cvičení (dva příklady za každé cvičení, shodné s příklady pro prezenční formu - viz výše).
4. Domácí úkoly i příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2011.

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Požadavky na úspěšné ukončení předmětu:

1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice).
Písemná část zkoušky: Část (a) - příklady - ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b) - test - prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Ústní část zkoušky: Diskuse o širší problematice úloh z písemné části. Každá část zkoušky je klasifikována, je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna její část (známky z písemné části zkoušky nabývají platnosti až po potvrzení zkoušejícím).
Výsledek ukončení předmětu se stanoví ze všech známek získaných během semestru a všech známek u zkoušky takto: Výsledná známka = (1x známka z první průběžné písemky + 1x známka z druhé průběžné písemky + 1x známka z třetí průběžné písemky + 2x známka z příkladů + 2x známka z testu + 4x známka z ústní zkoušky)/11.
Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.

Další komentáře

Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.
Výuka probíhá každý týden.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

F3063 Integrování forem

Rozsah

3/2/0. 4 kr. (příf plus uk plus > 4). Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Lenka Czudková, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.

Předpoklady

M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Fyzika (program PřF, B-FY)
• Fyzika (program PřF, M-FY)
• Fyzika (program PřF, N-FY)

Cíle předmětu

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze. Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než tzv. "klasicky". Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny kasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.

Osnova

• 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce. 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu. 3. Zobecnění integrálu - rozklad jednotky. 4. Prostory kovariantních tenzorů. 5. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy. 6. Vnější součin, vnější derivace. 7. Inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů. 8. Integrál diferenciální formy na singulární krychli. 9. Stokesův teorém. 10. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty. 11. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. 12. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou. 13. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.

Literatura

• KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info
• SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
• NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info

Metody hodnocení

Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části: (a) příklady, (b) test) a ústní

Navazující předměty

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice

Informace učitele

Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce: 1. Získání alespoň 50% bodů (z celkového dosažitelného součtu) ze tří tematicky zaměřených písemek, ohlášených dva týdny předem: (1) topologie, diferencovatelné funkce, Riemannův integrál, (2) algebra tenzorů, počítání s diferenciálními formami, integrál z diferenciálních forem, (3) integrální věty, fyzikální aplikace. 2. Účast ve všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit vzorovým vyřešením a odevzdáním příkladů zveřejňovaných na adrese http://www.physics.muni.cz/~czudkova. 3. Vzorové vyřešení domácích úloh (celkem 20 příkladů za semestr). Příklady budou zveřejňovány na adrese http://www.physics.muni.cz/~czudkova nejpozději v den příslušného cvičení. Příklady je nutno odevzdávat průběžně, nejpozději do dvou týdnů po proběhnutí příslušného cvičení. Pro studenty kombinované formy platí tytéž požadavky, první z nich však lze po domluvě narhadit napsáním jediné písemky (úspěšnost alespoň 50%), která pokrývá látku celého semestru. Požadavky na úspěšné ukončení předmětu: 1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice). Písemná zkouška: Část (a)-příklady ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b)-test prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.

Další komentáře

Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.
Výuka probíhá každý týden.

Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů

• F6420 Diferenciální a integrální počet na varietách a jejich aplikace ve fyzice
  F3063  

• Statistika zápisu (jaro 2025, nejnovější)