Computing Homotopy Classes for Diagrams

FILAKOVSKÝ, Marek a Lukáš VOKŘÍNEK. Computing Homotopy Classes for Diagrams. Discrete and Computational Geometry. Springer, 2023, roč. 70, č. 3, s. 866-920. ISSN 0179-5376. Dostupné z: https://dx.doi.org/10.1007/s00454-023-00513-0.

Základní údaje

• Originální název: Computing Homotopy Classes for Diagrams
• Autoři: FILAKOVSKÝ, Marek a Lukáš VOKŘÍNEK (203 Česká republika, domácí).
• Vydání: Discrete and Computational Geometry, Springer, 2023, 0179-5376.

Další údaje

• Originální jazyk: angličtina
• Typ výsledku: Článek v odborném periodiku
• Obor: 10101 Pure mathematics
• Stát vydavatele: Spojené státy
• Utajení: není předmětem státního či obchodního tajemství
• WWW: URL
• Impakt faktor: Impact factor: 0.800 v roce 2022
• Kód RIV: RIV/00216224:14310/23:00134379
• Organizační jednotka: Přírodovědecká fakulta
• Doi: http://dx.doi.org/10.1007/s00454-023-00513-0
• UT WoS: 001033657400003
• Klíčová slova anglicky: Equivariant homotopy; Algorithm; Tverberg-type problem
• Štítky: rivok
• Příznaky: Mezinárodní význam, Recenzováno

Anotace

We present an algorithm that, given finite diagrams of simplicial sets X, A, Y, i.e., functors $${\mathcal {I}}^\textrm{op}\rightarrow {\textsf {s}} {\textsf {Set}}$$ I op → s Set , such that (X, A) is a cellular pair, $$\dim X\le 2\cdot {\text {conn}}Y$$ dim X ≤ 2 · conn Y , $${\text {conn}}Y\ge 1$$ conn Y ≥ 1 , computes the set $$[X,Y]^A$$ [ X , Y ] A of homotopy classes of maps of diagrams $$\ell :X\rightarrow Y$$ ℓ : X → Y extending a given $$f:A\rightarrow Y$$ f : A → Y . For fixed $$n=\dim X$$ n = dim X , the running time of the algorithm is polynomial. When the stability condition is dropped, the problem is known to be undecidable. Using Elmendorf’s theorem, we deduce an algorithm that, given finite simplicial sets X, A, Y with an action of a finite group G, computes the set $$[X,Y]^A_G$$ [ X , Y ] G A of homotopy classes of equivariant maps $$\ell :X\rightarrow Y$$ ℓ : X → Y extending a given equivariant map $$f:A\rightarrow Y$$ f : A → Y under the stability assumption $$\dim X^H\le 2\cdot {\text {conn}}Y^H$$ dim X H ≤ 2 · conn Y H and $${\text {conn}}Y^H\ge 1$$ conn Y H ≥ 1 , for all subgroups $$H\le G$$ H ≤ G . Again, for fixed $$n=\dim X$$ n = dim X , the algorithm runs in polynomial time. We further apply our results to Tverberg-type problem in computational topology: Given a k-dimensional simplicial complex K, is there a map $$K\rightarrow {\mathbb {R}}^d$$ K → R d without r-tuple intersection points? In the metastable range of dimensions, $$rd\ge (r+1) k+3$$ r d ≥ ( r + 1 ) k + 3 , the problem is shown algorithmically decidable in polynomial time when k, d, and r are fixed.

Návaznosti

• GBP201/12/G028, projekt VaV: Název: Ústav Eduarda Čecha pro algebru, geometrii a matematickou fyziku

Investor: Grantová agentura ČR, Ústav Eduarda Čecha pro algebru, geometrii a matematickou fyziku