Perturbation of nonnegative time scale quadratic functionals

HILSCHER, Roman and Viera RŮŽIČKOVÁ. Perturbation of nonnegative time scale quadratic functionals. In Difference Equations, Special Functions, and Orthogonal Polynomials. Londýn: World Scientific, 2007, p. 266-275. ISBN 978-981-270-643-0.

Basic information

• Original name: Perturbation of nonnegative time scale quadratic functionals
• Name in Czech: Perturbace nezáporných kvadratických funkcionálů na časových škálách
• Authors: HILSCHER, Roman (203 Czech Republic, guarantor) and Viera RŮŽIČKOVÁ (703 Slovakia).
• Edition: Londýn, Difference Equations, Special Functions, and Orthogonal Polynomials, p. 266-275, 10 pp. 2007.
• Publisher: World Scientific

Other information

• Original language: English
• Type of outcome: Proceedings paper
• Field of Study: 10101 Pure mathematics
• Country of publisher: United Kingdom of Great Britain and Northern Ireland
• Confidentiality degree: is not subject to a state or trade secret
• WWW: URL
• RIV identification code: RIV/00216224:14310/07:00020419
• Organization unit: Faculty of Science
• ISBN: 978-981-270-643-0
• UT WoS: 000261024200022
• Keywords in English: Quadratic functional; Nonnegativity; Positivity; Time scale; Time scale symplectic system; Hamiltonian system
• Tags: Hamiltonian system, Nonnegativity, Positivity, Quadratic functional, time scale, Time scale symplectic system
• Tags: International impact, Reviewed

Abstract

In this paper we consider a bounded time scale T=[a,b], a quadratic functional F(x,u) defined over such time scale, and its perturbation G(x,u)=F(x,u)+\alpha|x(a)|^2, where the endpoints of F are zero, while the initial endpoint x(a) of G can vary and x(b) is zero. It is known that there is no restriction on x(a) in G when studying the positivity of these functionals. We prove that, when studying the nonnegativity, the initial state x(a) in G must be restricted to a certain subspace, which is the kernel of a specific conjoined basis of the associated time scale symplectic system. This result generalizes a known discrete-time special case, but it is new for the corresponding continuous-time case. We provide several examples which illustrate the theory.

Abstract (in Czech)

V tomto článku uvažujeme omezenou časovou škálu (time scale) T=[a,b], kvadratický funkcionál F(x,u) definovaný na takové časové škále a jeho perturbovaný funkcionál G(x,u)=F(x,u)+\alpha|x(a)|^2, přičemž koncové podmínky na funkcionál F jsou nulové, zatímco počáteční hodnoty x(a) funkcionálu G se mohou měnit a x(b) je nula. Je známo, že při studiu pozitivity těchto funkcionálů není žádné omezení na x(a). V této práci ukazujeme, že pro studium nezápornosti musí být počáteční hodnota x(a) v jistém podprostoru, který je roven jádru specifické izotropické báze příslušného symplektického systému na uvažované časové škále. Tento výsledek zobecňuje známý případ, kdy je časová škála diskrétní, ale je nový pro případ spojitý. Dále uvádíme několik příkladů, které ilustrují danou teorii.

Links

• GA201/04/0580, research and development project: Name: Diferenční rovnice a dynamické rovnice na "time scales"

Investor: Czech Science Foundation, Difference Equations and Dynamic Equations on Time Scales.

• 1K04001, research and development project: Name: Podmínky optimality na "time scales"

Investor: Ministry of Education, Youth and Sports of the CR, Optimality conditions on time scales