Commuting Linear Operators and Decompositions; Applications to Einstein Manifolds

ŠILHAN, Josef a Rod GOVER. Commuting Linear Operators and Decompositions; Applications to Einstein Manifolds. Acta Applicandae Mathematicae. Kluwer, 2008, roč. 109, č. 2, s. 555-589. ISSN 0167-8019.

Základní údaje

• Originální název: Commuting Linear Operators and Decompositions; Applications to Einstein Manifolds
• Název česky: Komutující linearární operátory a jejich rozklady;Applikace pro Einsteinovy variety
• Autoři: ŠILHAN, Josef (203 Česká republika, garant) a Rod GOVER (554 Nový Zéland).
• Vydání: Acta Applicandae Mathematicae, Kluwer, 2008, 0167-8019.

Další údaje

• Originální jazyk: angličtina
• Typ výsledku: Článek v odborném periodiku
• Obor: 10101 Pure mathematics
• Stát vydavatele: Nizozemské království
• Utajení: není předmětem státního či obchodního tajemství
• WWW: URL
• Impakt faktor: Impact factor: 0.430
• Kód RIV: RIV/00216224:14310/08:00035610
• Organizační jednotka: Přírodovědecká fakulta
• UT WoS: 000273785300012
• Klíčová slova anglicky: Commuting linear operators; Conformally invariant operators; Einstein manifolds; Symmetries of differential operators
• Štítky: Commuting linear operators, Conformally invariant operators, Einstein manifolds, Symmetries of differential operators
• Příznaky: Mezinárodní význam, Recenzováno

Anotace

For linear operators which factor P=P0 P1 ... Pp , with suitable assumptions concerning commutativity of the factors, we introduce several notions of a decomposition. When any of these hold then questions of null space and range are subordinated to the same questions for the factors, or certain compositions thereof. When the operators Pi are polynomial in other commuting operators D1,...,Dk then we show that, in a suitable sense, generically such factorisation of Pi yield decompositions algebraically. In the case of operators on a vector space over an algebraically closed field this boils down to elementary algebraic geometry arising from the polynomial formula for P. The results and formulae are independent of the Dj and so the theory provides a route to studying the solution space and the inhomogenous problem Pu=f without any attempt to 'diagonalise' the Dj. Applications include the construction of fundamental solutions (or Greens functions) for PDE; analysis of the symmetry algebra for PDE; direct decompositions of Lie group representations into Casimir generalised eigenspaces and related decompositions of vector bundle section spaces on suitable geometries. Operators P polynomial in a single other operator D form the simplest case of the general development and here we give universal formulae for the projectors administering the decomposition. As a concrete geometric application, on Einstein manifolds we describe the direct decomposition of the solution space and the general inhomogeneous problem for the conformal Laplacian operators of Graham-Jenne-Mason-Sparling.

Anotace česky

Pro lineární operátory tvaru P=P0 P1...Pp (spolu s vhodnými předpoklady týkajících se komutativity jednotlivých faktorů Pi) definujeme několik verzí jistých rozkladů. Jestliže libovolný z těchto rozkladů nastane, otázky jádra a obrazu P jsou určeny stejnými otázkami pro jednotlivé faktory (nebo jejich vhodnými složeními). Například jsou-li operátory Pi polynomiální v jiných komutujících operátorech D1,...,Dk pak ukážeme, že (ve vhodně obecném smyslu) takové rozklady nastanou algebraicky. V případě operátorů na vektorovém prostoru nad algebraicky uzavřeným polem se tyto rozklady dají popsat explicitně použitím algebraické geometrie (použitím polynomiální formule pro P). Výsledné formule jsou nezávislé na konkrétní volbě Dj a proto tato teorie poskytuje cestu ke studiu prostoru řešení operátoru P a také nehomogonneního problému Pu=f bez nutnosti 'diagonalizovat' operátory Dj. Mezi aplikacemi jsou například konstrukce fundamentálních řešení (nebo Greenovy funkce) pro PDE; analýza algebry symmetrií pro PDE; přímý rozklad reprezentací Lieových group na Casimírovy zobecněné vlastní prostory (a související rozklady prostoru řezů vektorových bandlů vhodných geometrií). Operátory P polynomiální v jediném operátoru D tvoří nejjednoduší případ vyvinuté teorie a my ukážeme univerzální formule pro projekce, které řídí studované rozklady. Konkrétní geometrickou aplikaci ukážeme na Einsteinovských varietách: zde popíšeme přímé rozklady prostoru řešení a řešení obecného nehomogenního problému konformního Laplacova operátoru (zkonstruovaného Grahamem, Jennen, Masonem a Sparlingem).

Návaznosti

• LC505, projekt VaV: Název: Centrum Eduarda Čecha pro algebru a geometrii

Investor: Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy ČR, Centrum Eduarda Čecha pro algebru a geometrii