Deterministické modely

4. příklad

Najděte Nashovu rovnováhu v Bertrandově modelu duopolu, kde se dva výrobci rozhodují o optimální ceně za poptávané množství

$$q_{i}(p_{i}, p_{−i}) = a − p_{i} + bp_{−i}$$

které závisí na ceně obou výrobků. Přitom $b \in \langle0,2)$ je tzv. elasticita nebo míra substituce.

Komentované řešení v Maplu

Řešení v programu Maple: bertrand.mw

7. příklad

Kdy je třeba vyhlásit zákaz koupání v přehradě, jestliže jsme minulé 4 dny v 8:00 ráno naměřili v odběrné nádobě hodnoty 2, 3, 5 a 7 mikrogramů. Hranice toxicity je 30 μg.

Komentované řešení v Maplu

Řešení v programu Maple: sinice.mw

8. příklad

S pomocí Maplu pro uvedené rovnice nakreslete řešení počáteční úlohy $x_0 = 3$, pro $r_0 = 2$, $K = 100$ a vhodně volené případné další parametry, nakreslete také funkce $r(t,x)$. Najděte obecná řešení rovnic a zkoumejte jejich tvar. Najděte inflexní body a řešení a vysvětlete, co znamenají.

Komentované řešení v Maplu

Řešení v programu Maple: sigmoidpopgrowth.mw

9. příklad

S pomocí vhodného programu (nebo bez něj) najděte rovnovážné body následujících rovnic a vyšetřete jejich stabilitu.

• logistická Verhulstova rovnice
• Richardsova rovnice
• Smithova rovnice
• Gompertzova rovnice

Komentované řešení v Maplu

Řešení v programu Maple: popgrowthanalyza.mw

Simulace exponenciálního růstu v Matlabu

Komentované řešení

Simulace v Matlabu: exponencialnirust.m

12. příklad

Najděte všechna řešení rovnice $f^{(2)}(x) = x$ pro $r = 2.1$ a ukažte, že cyklus periody 2 je stabilní. Rada: vyřaďte ta řešení, která jsou zároveň pevným bodem $f(x)$ (proč?), spočtěte v nich $Df^{(2)}$.

Komentované řešení v Maplu

Řešení v programu Maple: 2cyklus.mw

Komentované řešení

Řešení v programu XppAut: cobweb.ode

Simulace v Matlabu

Simulace v Matlabu: logistickyrust.m

Pokud zakreslíme závislost pevných bodů na parametru μ, dostaneme tzv. bufurkační diagram. Postupné zdvojování periody přechází v deterministický chaos.

Komentované řešení

Řešení v programu XppAut: logbif.ode

Kontrola chaosu v logistickém zobrazení

Uvažujeme logistickou rovnici, ve které kontrolujeme chaos neustálými pulzy $x_i = kx_i$ po $p$ iteracích. Definujeme zobrazení $F(x) = kf^{(p)}(x)$. Pevný bod $x^*$ regulovaného zobrazení $F)x)$ tedy bude splňovat $kf^{(p)}(x^*) = x^*$ a bude stabilní, pokud

$$|kDf^{(p)}(x^*)| < 1.$$

Označíme-li $\displaystyle C^p (x) = \frac{x}{f^{(p)}(x)} Df^{(p)}(x)$, dostáváme podmínku pro oblast kontrolovatelných hodnot: $|C^p(x)| < 1$.

Komentovaný výpočet

Výpočet v programu Maple: Cp.mw | Simulace v Matlabu: chaoscontrol.m

Model SI

Chceme modelovat epidemii infekční nemoci, kterou neumíme léčit, která však není smrtelná, např. herpes labialis, opar rtu.

Komentovaný výpočet v Maplu

Řešení v programu Maple: SI.mw

17. příklad

Uvažujme populaci ryb s Leslieho maticí

$$\displaystyle L = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 3 \\ 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0.25 & 0 \end{pmatrix}$$

Můžeme zvolit rovnoměrný výlov nebo výlov některé věkové skupiny. Je některá z variant výlovu dlouhodobě udržitelná?

Komentované řešení

Řešení v programu Maple: harvesting.mw

22. příklad

Vytvořte simulaci a zkoumejte vliv exogenních proměnných a parametrů na dynamiku modelu.

Komentované řešení

Simulace v programu XppAut: cournot.ode

23. příklad

Uvažujte revizi tohoto dynamického Cournotova modelu. Předpokládejte racionální chování firem tak, že budou měnit výrobu v závislosti na změně zisku. Čím větší je z navýšení výroby profit, tím ochotněji budou výrobu navyšovat a naopak.

Komentované řešení

Řešení v programu Maple: cournotspojity.mw