MA0003 Algebra 1

Pedagogická fakulta
jaro 2025
Rozsah
2/2/0. 5 kr. Ukončení: zk.
Vyučováno kontaktně
Vyučující
doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc. (přednášející)
RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D. (přednášející)
RNDr. Petra Antošová, Ph.D. (cvičící)
Mgr. Zdena Staňová (cvičící)
Garance
RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D.
Katedra matematiky – Pedagogická fakulta
Dodavatelské pracoviště: Katedra matematiky – Pedagogická fakulta
Rozvrh seminárních/paralelních skupin
MA0003/PrezPred01: Út 17:00–18:50 D21 učebna, B. Fajmon
MA0003/PrezSem01: St 9:00–10:50 D44 učebna, P. Antošová
MA0003/PrezSem02: St 15:00–16:50 D214 učebna, P. Antošová
MA0003/PrezSem03: Čt 11:00–12:50 D44 učebna, P. Antošová
Předpoklady
Předmět je zaměřen na získání základních znalostí a vědomostí z teorie binárních algebraických operací, algebraických struktur a jejich morfismů. Nedílnou součástí je seznámení s teorií cyklických grup a faktorových struktur. PŘEDPOKLADEM PŘEDMĚTU JSOU ZNALOSTI PŘEDMĚTU "ZÁKLADY MATEMATIKY" (MA0001).
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je určen pouze studentům mateřských oborů.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Na konci kurzu bude student schopen porozumět a vysvětlit základní pojmy a znalosti a řešit úlohy a problémy z následujících tématických okruhů: Binární algebraická operace v množině, vlastnosti operací. Algebraické struktury s jednou operací, jejich podstruktury a homomorfismy. Algebraické struktury se dvěma operacemi, jejich podstruktury a homomorfismy. Cyklické grupy. Faktorové struktury (vytvořující rozklad, rozklad podle podgrupy, invariantní podgrupa, faktorgrupa, rozklad podle ideálu, faktorokruh). Speciálně dovednost nalézt kořeny polynomu, počítat s komplexními čísly (včetně počítání n-té mocniny a n-té odmocniny z komplexního čísla).
Výstupy z učení
Po absolvování kursu budou studenti a) mít znalosti základních pojmů v teorii aritmetických operací, jako je sčítání, násobení, průnik, sjednocení, sečítání a násobení zbytkových tříd celých čísel; b) mít dovednosti při řešení algebraických rovnic v různých částech matematiky; c) znát důkazové metody a metody matematického usuzování pro některé vlastnosti matematických operací; d) schopni výpočtů s komplexními čísly, včetně výpočtu mocniny a odmocniny z komplexního čísla.
Osnova
  • Osnova přednášky a cvičení: Na cvičení by měly zaznít tyto definice a věty: okruh, obor integrity, těleso, binární operace, nenuloví dělitelé nuly, řád prvku grupy, inverzní prvek, permutace, kořen polynomu, násobnost kořene polynomu, základní věta algebry, algoritmus, jak se odstraní z polynomu násobné kořeny (popis i použití algoritmu).
  • Přednáška 1: Základní vlastnosti operace -- příklady.
  • Cvičení 1: Vlastnosti operací, pojmenování algebraických struktur s jednou operací, určování jednoduchých struktur, určování struktur s operací zadanou tabulkou.
  • Přednáška 2: Základní vlastnosti operace -- věty.
  • Cvičení 2: Určování struktur zadaných tabulkou i předpisem, podgrupy (hledání podgrup, ověřování podgrup).
  • Přednáška 3: Podgrupa grupy -- příklady a věty.
  • Cvičení 3: Generátory podgrup, cyklická grupa, zbytkové třidy, nekomutativní grupy (symetrie, permutace).
  • Přednáška 4: Homomorfismus a izomorfismus algebraických struktur -- příklady.
  • Cvičení 4: Nekomutativní grupy -- symetrie, permutace.
  • Přednáška 5: Homomorfismus a izomorfismus algebraických struktur -- věty.
  • Cvičení 5: Algebraické struktury se 2 operacemi zadané tabulkou i předpisem, zbytkové třídy.
  • Přednáška 6: Struktury se dvěma operacemi: polookruh, okruh, obor integrity, těleso.
  • Cvičení 6: Polynomy 01. Dělení polynomů (Hornerovo schéma jako dělení polynomů a zjišťování funkční hodnoty), Eukleidův algoritmus.
  • Přednáška 7: Komplexní čísla, operace v komplexním oboru, řešení algebraických rovnic v komplexním oboru.
  • Cvičení 7: Polynomy 02. Hornerovo schéma včetně hledání racionálních kořenů, hledání vícenásobných kořenů.
  • Přednáška 8: rezerva, popřípadě téma: komplexní čísla a komplexní funkce;
  • Cvičení 8: ZÁPOČTOVÁ PÍSEMKA: (kalkulačky ne) 75 minut: max 30 bodů, počítá se do zkoušky; Euklidův algoritmus, Hornerovo schéma, hledání rac. kořenů polynomu; algoritmus, jak se odstraní z polynomu násobné kořeny (popis i použití algoritmu). Struktura s jednou operací předpisem nebo tabulkou. Určení, zda je daná množina s operací podgrupa. Permutace … vygenerujte podgrupu z 1 až 2 prvků … nebo permutační rovnice.
  • Přednáška 9: Polynomy -- přehled algebraických metod hledání kořenů polynomu.
  • Cvičení 9: Numerické metody: metoda půlení intervalu, Newtonova metoda tečen.
  • Přednáška 10: Polynomy -- přehled numerických metod hledání kořenů polynomu (metoda půlení intervalu, Newtonova metoda tečen).
  • Cvičení 10: Komplexní čísla – algebraický, goniometrický a exponenciální tvar, znázorňování v Gaussově rovině (poloroviny, mezikruží).
  • Přednáška 11: Peanovy axiomy na množině N, algebraická konstrukce číselných oborů Z a Q.
  • Cvičení 11: Násobení a dělení v goniometrickém tvaru, Moivreova věta, binomické rovnice.
  • Přednáška 12: Algebraická konstrukce číselných oborů R a C. Cvičení 10: Násobení a dělení v goniometrickém tvaru, Moivreova věta, binomické rovnice.
  • Cvičení 12: Rovnice s komplexními koeficienty.
Literatura
    doporučená literatura
  • PINTER, Charles C. A book of abstract algebra. Second edition. Mineola, New York: Dover Publications, 2010, xiv, 384. ISBN 9780486474175. info
  • HORÁK, Pavel. Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 1998, 221 s. ISBN 8021018534. info
Výukové metody
Budou zvoleny metody adekvátní k obsahu předmětu a typu studentů (1. ročník vysokoškolského studia).
Metody hodnocení
Zkouška bude sestávat z několika záchytných bodů, které všechny musí student splnit na jisté úrovni: a) písemka ze cvičení - max. 30 bodů, úkolem je splnit aspoň na 60 procent; b) závěrečná písemná část zkoušky -- max. 70 bodů, úkolem je splnit aspoň na 50 procent.
Náhradní absolvování
Kontaktujte vyučující předmětu a domluvte se na splnění individuálních úkolů.
Informace učitele
Použitá literatura:
Charles C. Pinter: The Book of Abstract Algebra. Dover Publications 2010, reprint of the second edition from 1990.


Fajmon, B.: Algebra 1: elektronický text, bude doplněn do IS v aktuální podobě v den první přednášky.

Další komentáře
Studijní materiály
Předmět je vyučován každoročně.
Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů
Předmět je zařazen také v obdobích jaro 2018, jaro 2019, jaro 2020, jaro 2021, jaro 2022, jaro 2023, jaro 2024, jaro 2026.
  • Statistika zápisu (nejnovější)
  • Permalink: https://is.muni.cz/predmet/ped/jaro2025/MA0003