MIN401 Matematika IV

Přírodovědecká fakulta
jaro 2020

Předmět se v období jaro 2020 nevypisuje.

Rozsah
4/2/0. 8 kr. Ukončení: zk.
Vyučující
prof. RNDr. Zdeněk Pospíšil, Dr. (přednášející)
prof. RNDr. Jan Slovák, DrSc. (přednášející)
Garance
prof. RNDr. Jan Slovák, DrSc.
Ústav matematiky a statistiky - Ústavy - Přírodovědecká fakulta
Dodavatelské pracoviště: Ústav matematiky a statistiky - Ústavy - Přírodovědecká fakulta
Předpoklady
Středoškolská matematika. Elementární algebraické a kombinatorické znalosti a dovednosti (obsah MIN101)
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
předmět má 18 mateřských oborů, zobrazit
Cíle předmětu
Jde o čtvrtou část čtyřsemestrálního bloku kurzů matematiky. V celém bloku jsou prezentovány základy algebry a teorie čísel, lineární algebry, analýzy, numerických metod, kombinatoriky a teorie pravděpodobnosti a statistiky. V tomto semestru se jedná o základní úlohy teorie čísel a aplikace v šifrování. Ve druhé polovině pak algebraické pojmy a jejich aplikace.
Výstupy z učení
Na konci tohoto kurzu bude student schopen: porozumět a používat metody teorie čísel pro řešení středně obtížných úloh; rozumět tomu, jak jsou výsledky teorie čísel aplikovány v kryptografii; chápat základní výpočetní souvislosti;
rozumět algebraickým pojmům a vysvětlit obecné důsledky a souvislosti;
Osnova
  • 1. Teorie čísel (4 týdny) – dělitelnost - gcd, rozšířený Euklidův algoritmus (Bezout); počítání s velkými čísly (zejména gcd, modulární umocňování); prvočísla - vlastnosti, základní věta aritmetiky, faktorizace, testování prvočíselnosti a složenosti (Rabin-Miller, Mersenneho prvočísla); kongruence - základní vlastnosti, Malá Fermatova věta; Eulerova věta; řešení lineárních kongruencí a jejich soustav; binomické kongruence a primitivní kořeny; diskrétní logaritmus; prvočísla - testování prvočíselnosti až po AKS, hledání dělitele, eliptické křivky (úvod); Legendreův symbol a zákon kvadratické reciprocity; další testy prvočíselnosti;
  • 2. Aplikace teorie čísel (2 týdny) – stručný úvod do asymetrické kryptografie (RSA, DH, ElGamal, DSA, ECC); základy teorie kódování - lineární a polynomiální kódy; aplikace Fourierovy transformace pro rychlé výpočty (např. Schönhage-Strassen)
  • 3. Úvod do algebry (7 týdnů) – Booleovské algebry a svazy, grupy, permutace, symetrie, modulární grupy, homomorfismy a faktorgrupy, akce grupy – Burnsideovo lemma. Okruhy a tělesa, polynomy a jejich kořeny, dělitelnost v oborech integrity, zejména dělitelnost v Z a v okruhu polynomů (nad tělesem), ideály. Konečná tělesa a jejich základní vlastnosti, využití v computer science. Polynomy více proměnných – Gröbnerova báze.
Literatura
    doporučená literatura
  • J. Slovák, M. Panák a kolektiv, Matematika drsně a svižně, učebnice v přípravě
  • RILEY, K.F., M.P. HOBSON a S.J. BENCE. Mathematical Methods for Physics and Engineering. second edition. Cambridge: Cambridge University Press, 2004. 1232 s. ISBN 0 521 89067 5. info
  • GILBERT, William J. a W. Keith NICHOLSON. Modern algebra with applications. 2nd ed. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2004. xvii, 330. ISBN 9780471469889. info
Výukové metody
Dvě dvouhodinové přednášky kombinující teorii a řešené příklady. Seminární skupiny zaměřené na zvládnutí početních úloh.
Metody hodnocení
Přednášky kombinující teorii a řešené příklady budou založeny na materiálech k samostatnému studium, které by mělo samotným přednáškám předcházet. Seminární skupiny zaměřené na zvládnutí početních/praktických úloh.
Další komentáře
Předmět je vyučován každoročně.
Výuka probíhá každý týden.
Předmět je zařazen také v obdobích jaro 2021.