4 Štatistická indukcia – praktická časť

Pred testovaním závislosti sa uistíme, či daný náhodný výber pochádza z dvojrozmerného normálneho rozdelenia. Postupujeme tak, že najskôr otestujeme normalitu náhodných veličín $X$, $Y$ a následne zobrazíme dvojrozmerný bodový diagram s elipsou $95\%$ konštantnej hustoty pravdepodobnosti, na základe ktorého posúdime dvojrozmernú normalitu dát. Toto overenie uskutočníme využitím systému STATISTICA.

Vytvoríme dátový súbor s 2 premennými a 27 prípadmi. Pomenujeme ich X, Y a do tabuľky zapíšeme odpovedajúce hodnoty. (Tabuľku neuvádzame z dôvodu rozsiahleho počtu pozorovaní.)

Grafické overenie jednorozmernej normality: Grafy – 2D grafy – Normální pravděpodobnostní grafy – odškrtneme Neurčovat prům. pozici svázaných pozorování – Proměnné; X, Y; OK – OK.

Testy hypotézy o normálnom rozdelení náhodných veličín: Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Tabulky četností; OK – záložka Normalita; zaškrtneme Lilieforsův test a Shapiro-Wilkův W test – Proměnné; X, Y; OK – Testy normality.

Normálne pravdepodobnostné grafy svedčia v prospech normálneho rozdelenia náhodných veličín, pretože body ležia takmer na alebo v blízkosti danej priamky, o čom svedčia aj výsledky testov hypotézy o normalite; $p$-hodnoty Lilieforsovej varianty Kolmogorovho-Smirnovho testu pre obe veličiny väčšie ako $0,2$ a $p$-hodnoty Shapiro-Wilksovho testu $0,2929$ a $0,3221$. Tieto hodnoty sú väčšie ako daná hladina významnosti $\alpha=0,01$, a preto nulovú hypotézu o normalite náhodných veličín $X$, $Y$ nezamietame.

Dvojrozmerný bodový diagram: Grafy – Bodové grafy – odškrtneme Typ proložení – Proměnné; X, Y; OK – záložka Detaily; Elipsa: normální, Koeficient 0,99 – OK. (Na zobrazenie celej elipsy je potrebné zväčšiť merítko: klikneme pravým tlačitkom na graf – možnosti grafu – osa; merítko a upravíme minimum a maximum podľa potreby)

Vykreslením dvojrozmerného bodového diagramu vidíme, že všetky body ležia vo vnútri elipsy, čo považujeme za splnený predpoklad dvojrozmernej normality.

Na hladine významnosti $1\,\%$ testujeme nulovú hypotézu

\[ \begin{aligned} H_0 \colon R=0 \end{aligned} \text{ oproti } \begin{aligned} H_1 \colon R \lt 0. \end{aligned} \]

So známou hodnotou výberového korelačného koeficienta $r=-0,93$ z výberu rozsahu $n=27$ spočítame testovaciu štatistiku $T$:

\begin{align*} t=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}=\frac{-0,93\cdot 5}{\sqrt{1-(-0,93)^2}}=-12,65 \text{.} \end{align*}

V štatistických tabuľkách nájdeme kvantil Studentovho rozdelenia pre spoľahlivosť $1- \alpha$ a stupne voľnosti $n-2$, tj. $t_{0,99}(25)=2,485$ a zostavíme ľavostranný kritický obor $W=( -\infty; -2,485\rangle$. Realizácia testovacej štatistiky $-12,65$ leží v kritickom obore $W$, a preto na hladine významnosti $1\,\%$ zamietame nulovú hypotézu v prospech alternatívnej hypotézy, že medzi veličinami nepriama závislosť skutočne existuje. Znamená to, že s klesajúcou nadmorskou výškou rastie hektárový výnos jačmeňa.

Do úvahy zoberieme to, že máme k dispozícii hodnotu výberového korelačného koeficienta a môžeme tak jednoducho spočítať $p$-hodnotu testu: Statistiky – Pravdpodobnostní kalkulátor – Korelace; vyplníme N: 27, r: $-$0,93; odškrtneme Oboustranné a zaškrtneme Výpočet p z r – Výpočet.

V tabuľke v políčku p sa zobrazila hodnota $0,00000$, čo značí, že je $p$-hodnota testu veľmi malá a teda menšia ako hladina významnosti $0,01$, podľa čoho zamietame na hladine významnosti $1\,\%$ nulovú hypotézu v prospech alternatívnej hypotézy.

Výpočet $p$-hodnoty jednostranného testu z $p$-hodnoty obojstranného testu ozn. $p$ prebieha v závislosti od znamienka výberového korelačného koeficienta. Ak je $r\lt 0$, potom sa $p$-hodnota ľavostranného testu rovná $p/2$, resp. $1-p/2$ pre pravostranný test. Ak je $r>0$, potom sú $p$-hodnoty jednostranných testov presne opačné, tj. $1-p/2$ pre ľavovostranný test a $p/2$ pre pravostranný test. V našom prípade sa teda jedná o $p$-hodnotu ľavostranného testu.

Ďalšou možnosťou riešenia je výpočet z tabuľky dát, kedy nám STATISTICA poskytne, okrem iného, aj hodnotu testovacej štatistiky. Tento spôsob si ukážeme v nasledujúcom príklade.

Postup overenia dvojrozmernej normality je analogický ako v predchádzajúcom príklade, naďalej sa ale obmedzíme na testy normality a dvojrozmerný bodový diagram vynechaním normálne pravdepodobnostných grafov.

Pretože sú $p$-hodnoty oboch testov jednorozmernej normality väčšie ako hladina významnosti $0,05$ a v dvojrozmernom bodovom diagrame vypĺňajú body vnútro elipsy, hodnotíme predpoklad dvojrozmernej normality za oprávnený.

Označme požadované množstvo ako veličinu $X$ a cenu ako $Y$. K dispozícii máme výber rozsahu $n=13$. Závislosť medzi veličinami vyjadríme pomocou výberového korelačného koefcienta $R_{12}$. Na jeho výpočet spočítame najprv realizácie výberových priemerov $M_1$ a $M_2$, výberových smerodajných odchýliek $S_1$ a $S_2$ a výberovej kovariancie $S_{12}$:

\begin{align*} m_1&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i=\frac{1}{13}(45+55+\cdots+61)=\frac{704}{13}=54,154\text{,}\\ m_2&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i=\frac{1}{13}(40+63+\cdots+80)=\frac{828}{13}=63,692\text{,}\\ s_1&=\small\sqrt{\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - nm_1^2\right)}=\sqrt{\frac{1}{12}\left(45^2+55^2+\cdots+61^2 - 13\frac{704^2}{13^2}\right)}=10,862\text{,}\\ s_2&=\small\sqrt{\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^{n} y_i^2 - nm_2^2\right)}=\sqrt{\frac{1}{12}\left(40^2+63^2+\cdots+80^2 - 13\frac{828^2}{13^2}\right)}=23,139\text{,}\\ s_{12}&=\small\frac{1}{n-1}\left( \sum_{i=1}^n x_iy_i-nm_1m_2\right)=\frac{1}{12}\left(45\cdot40+55\cdot63+\cdots+61\cdot80-13\frac{704}{13}\frac{828}{13}\right)\text{,}\\ s_{12}&=-157,032\text{.}\\ &\text{Dosadením konkrétnych hodnôt a jednoduchým výpočtom dostávame}\\ r&=\frac{s_{12}}{s_1s_2}=\frac{-1507,032}{10,862\cdot 23,139}=-0,625\text{.} \end{align*}

Hodnota výberového korelačného koeficienta svedčí o stredne silnej, nepriamej závislosti medzi požadovaným množstvom a cenou výrobku. To znamená, že s rastom ceny výrobku dochádza k poklesu jeho požadovaného množstva.

Tvrdenie o štatistickej významnosti danej závislosti overíme pomocou testu o korelačnom koeficiente. Testujeme nulovú hypotézu

\[ \begin{aligned} H_0 \colon R=0 \end{aligned} \text{ oproti} \begin{aligned} H_1 \colon R \ne 0 \end{aligned} \]

za pomoci testovacej štatistiky $T$; $t=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}\frac{-0,625\sqrt{11}}{\sqrt{1-(-0,625)^2}}=-2,654$.

Kritický obor tvaru

$W=\left(-\infty;-t_{0,975}(11)\right\rangle \cup \left\langle t_{0,975}(11); \infty\right)=\left(-\infty;-2,201\right\rangle \cup \left\langle 2,201; \infty\right)$

môžeme zjednodušiť porovnaním absolútnej hodnoty testovacej štatistiky s kvantilom Studentovho rozdelenia, tj. $\vert t\vert \geq t_{0,975}(11)$. Pretože platí $\vert -2,654\vert>2,201$ ($\Rightarrow t\in W$), zamietame nulovú hypotézu na hladine významnosti $5\,\%$ a preukázali sme, že medzi požadovaným množstvom a cenou výrobku existuje štatisticky významná závislosť.

Vytvoríme dátový súbor s 2 premennými a 13 prípadmi. Pomenujeme ich X (požadované množstvo), Y (cena) a do tabuľky zapíšeme odpovedajúce hodnoty.

Postup: Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Korelační matice; OK – 2 seznamy (obd. matice); X, Y; OK – záložka Možnosti; zaklikneme Zobrazit detailní tabulku výsledků – Výpočet.

Výberový korelačný koeficient nadobúda hodnotu $-0,6248$ a testovacia štatistika pre test o korelačnom koeficiente hodnotu $-2,6542$. Pri odpovedajúcej $p$-hodnote testu $0,0224$ a hladine významnosti $\alpha=0,05$ zamietame nulovú hypotézu o nezávislosti veličín, pretože platí $0,0224\lt 0,05$.

Testujeme nulovú hypotézu

\[ \begin{aligned} H_0 \colon R=0 \end{aligned} \text{ oproti } \begin{aligned} H_1 \colon R \neq 0. \end{aligned} \]

Poznáme hodnotu koeficienta $r=0,27$ a taktiež rozsah výberu $n=42$, ktorý je dostatočne veľký na to, aby sme pri testovaní hypotézy o nezávislosti pomocou intervalu, uvedeného v 3.2 nahradili kvantil Studentovho rozdelenia kvantilom štandardizovaného normálneho rozdelenia, tj. $t_{0,975}(40) \rightarrow u_{0,975}=1,96$. Zostavíme obojstranný interval a pozrieme sa, či obsahuje hodnotu výberového korelačného koeficienta.

\begin{align*} ( D,H ) &=\left( -\frac{ u_{0,975}}{\sqrt{ u_{0,975}+n-2}},\frac{ u_{0,975}}{\sqrt{ u_{0,975}+n-2}}\right ) = \left( -\frac{ 1,96}{\sqrt{ 1,96+40}}, \frac{ 1,96}{\sqrt{ 1,96+40}} \right)\\ & = ( -0,303;0,303) \end{align*}

Keďže hodnota $0,27 \in ( -0,301;0,301) $, nezamietame na hladine významnosti $5\,\%$ nulovú hypotézu o nezávislosti náhodných veličín.

Nakoľko nie je výpočet daného intervalu implementovaný v systéme STATISTICA, využijeme ju ako inteligentnú kalkulačku.

Vytvoríme dátový súbor s 2 premennými a 1 prípadom. Prvú premennú pomenujeme D (dolná hranica) a do dlhého mena napíšeme:

$=-VNormal(0,975;0;1)/Sqrt(VNormal(0,975;0;1)+42-2)$.

Druhú premennú pomenujeme H (horná hranica) a do dlhého mena napíšeme:

$=VNormal(0,975;0;1)/Sqrt(VNormal(0,975;0;1)+42-2)$.

Získali sme hranice intervalu, ktorý má tak tvar $( -0,3026;0,3026) $. Pretože interval pokrýva hodnotu výberového korelačného koeficienta $0,27$, nezamietame nulovú hypotézu na hladine významnosti $5\,\%$.

Je známy rozsah $n=80$ a koeficient $r=0,72$. Na konštrukciu intervalu spoľahlivosti pre korelačný koeficient použijeme Fisherovu Z-transformáciu výberového korelačného koeficienta, teda

\begin{align*} z= \frac{1}{2}\mathrm{ln}\left(\frac{1+r}{1-r}\right)=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\left( \frac{1+0,72}{1-0,72}\right)&=0,908\text{.}\\ \end{align*}

Zo štatistických tabuliek poznáme hodnotu kvantilu štandardizovaného normálneho rozdelenia $u_{0,975}=1,96$. Spočítame najprv interval spoľahlivosti pre $ \frac{1}{2}\mathrm{ln}\left(\frac{1+R}{1-R}\right)$:

\begin{align*} P\biggl(z -\frac{u_{1-\alpha/2}}{\sqrt{n-3}}\lt \frac{1}{2}\mathrm{ln}\left(\frac{1+R}{1-R}\right) \lt z~+\frac{u_{1-\alpha/2}}{\sqrt{n-3}} \biggr)&=1-\alpha \text{,} \\ P\biggl(0,908 -\frac{u_{0,975}}{\sqrt{77}}\lt \frac{1}{2}\mathrm{ln}\left(\frac{1+R}{1-R}\right) \lt 0,908 +\frac{u_{0,975}}{\sqrt{77}} \biggr)&=0,95 \text{,} \\ P\biggl(0,685\lt \frac{1}{2}\mathrm{ln}\left(\frac{1+R}{1-R}\right) \lt 1,131 \biggr)&=0,95\text{.} \end{align*}

Podľa vzťahu $Z=\mathrm{arctgh}\,R_{12}\Rightarrow R_{12}=\mathrm{tgh}\,Z $, pričom $\mathrm{tgh}\,x=\frac{\mathrm{e}^x{}-{}\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x{}+{}\mathrm{e}^{-x}}$, prevedieme interval spoľahlivosti do mierky korelačného koeficienta:

\begin{align*} P\biggl(\mathrm{tgh}\,0,685\lt R \lt \mathrm{tgh}\,1,131 \biggr)&=0,95 \text{,}\\ P\biggl(\frac{\mathrm{e}^{0,685}-\mathrm{e}^{-0,685}}{\mathrm{e}^{0,685}+\mathrm{e}^{-0,685}}\lt R \lt \frac{\mathrm{e}^{1,131}-\mathrm{e}^{-1,131}}{\mathrm{e}^{1,131}+\mathrm{e}^{-1,131}} \biggr)&=0,95\text{.} \end{align*}

Po vyčíslení dostávame interval $( 0,59;0,81 )$, ktorý obsahuje hodnotu korelačného koeficienta so spoľahlivosťou $95\,\%$.

Vytvoríme dátový súbor s 2 premennými a 1 prípadom, ktoré nazveme D a H. Do dlhého mena premennej D napíšeme:

$=TanH(0,5*log((1+0,72)/(1-0,72))-VNormal(0,975;0;1)/sqrt(77))$.

Do dlhého mena premennej H napíšeme:

$=TanH(0,5*log((1+0,72)/(1-0,72))+VNormal(0,975;0;1)/sqrt(77))$.

Z výstupnej tabuľky dostávame hranice $95\%$ intervalu spoľahlivosti pre korelačný koeficient. Daný interval je teda v tvare $( 0,5943;0,8114 )$.

2.spôsob: Využijeme modul „Analýza síly testu“: Statistiky – Analýza síly testu – Odhad intervalu – Jedna korelace,t-test; OK – Vyplníme Pozorované R: 0,72; Velik.vzorku (N): 80; Spolehlivost: 0,95; zaškrtneme Fisherovo Z (původ.) – Vypočítat.

Získavame totožné výsledky, hranice intervalu spoľahlivosti $0,5943$ a $0,8114$.

Je daná konštanta $c=0,85$, koeficient $r=0,614$ a rozsah $n=17$. Testujeme nulovú hypotézu

\[ \begin{aligned} H_0 \colon R=0,85 \end{aligned} \text{ oproti } \begin{aligned} H_1 \colon R\lt 0,85\text{.} \end{aligned} \]

Z hodnoty výberového korelačného koeficienta spočítame jeho Fisherovu Z-transformáciu a následne testovaciu štatistiku U:

\begin{align*} z&=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\left(\frac{1+r}{1-r}\right)=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\left( \frac{1+0,614}{1-0,614}\right)=0,715 \text{,}\\ u&=\biggl(z-{}\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,\frac{1+c}{1-c}{}-{} \frac{c}{2(n-1)}\biggr)\sqrt{n-3}=\\ &=\biggl(0,715-{}\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,\frac{1,85}{0,15}{}-{} \frac{0,85}{2\cdot16}\biggr)\sqrt{14}=-2,124\text{.} \end{align*}

S kvantilom $u_{0,95}=1,645$ zostavíme ľavostranný kritický obor $W=(-\infty; -1,645\rangle$. Hodnota testovacej štatistiky $u \in W$, a preto na hladine významnosti $5\,\%$ zamietame nulovú hypotézu v prospech alternatívy, čo znamená, že závislosť medzi stupňami polymerácie nie je tak silná, ako sa predpokladalo.

Približný výpočet dostaneme postupom: Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Testy rozdílů: r,%,průmery; OK – Rozdíl medzi dvěma korelačními koeficienty; do políčka r1 zapíšeme hodnotu koeficienta 0,614, rozsah 17 do N1, do políčka r2 zapíšeme danú konštantu 0,85 a do N2 maximálnu hodnotu 32767; zaklikneme Jednostr. – Výpočet.

Políčko N2 by malo obsahovať hodnotu „nekonečno“, v STATISTICE preto nastavujeme maximálnu možnú hodnotu ($32767$).

Získavame $p$-hodnotu testu rovnú $0,0215$. Na hladine významnosti $5\,\%$ zamietame nulovú hypotézu, pretože platí $0,0215\lt 0,05$.

Pre prípad presného výpočtu založenom na testovacej štatistike $U$ sme vytvorili makro $testhodnotykoef.svb$. Zdrojový kód uvádzame v prílohách (Test hypotézy o danej hodnote korelačného koeficienta – zdrojový kód).

Postupujeme: Soubor – Otevřít; vyberieme testhodnotykoef.svb – klávesou F5 spustíme makro – tabuľka Koeficient r; 0,614; OK – tabuľka Rozsah výberu; 17; OK – tabuľka Konstanta c; 0,85 – tabuľka Hladina významnosti; 0,05; OK – tabuľka Alternativna hypoteza; vyberieme Lavostranna altenativa; OK.

Z výstupnej tabuľky dostávame okrem rozsahu predovšetkým hodnotu testovacej štatistiky $-2,1230$, hodnotu kvantilu kritického oboru $1,6449$ a $p$-hodnotu $0,0169$ $\rightarrow$ $0,0169\lt 0,05$ a nulovú hypotézu zamietame na hladine významnosti $5\,\%$.

Rozsah výberu pre chlapcov označíme $n=12$, pre dievčatá $n^*=15$ a k nim odpovedajúce výberové korelačné koeficienty $r=0,6033$ a $r^*=0,5833$. Testujeme nulovú hypotézu \[ \begin{aligned} H_0 \colon R=R^* \end{aligned} \text{ oproti } \begin{aligned} H_1 \colon R\ne R^* \text{.} \end{aligned} \]

Opäť počítame Fisherove Z-transformácie výberových korelačných koeficientov a testovaciu štatistiku U:

\begin{align*} z&=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\left(\frac{1+r}{1-r}\right)=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\left(\frac{1+0,6033}{1-0,6033}\right)=0,698\text{,} \\ z^*&=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\left(\frac{1+r^*}{1-r^*}\right)=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\left(\frac{1+0,5833}{1-0,5833}\right)=0,667 \text{,} \end{align*} \[ u=\frac{z-z^*}{\sqrt{\frac{1}{n-3}+\frac{1}{n^*-3}}}=\frac{0,698-0,667}{\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{12}}}=0,07\text{.}\]

S hodnotou kvantilu štandardizovaného normálneho rozdelenia $u_{0,975}=1,96$ má kritický obor tvar $W=(-\infty;-1,96\rangle \cup \langle 1,96; \infty)$. Keďže realizácia testovacej štatistiky $0,07 \notin W$, nulovú hypotézu o rovnosti korelačných koeficientov nezamietame na asymptotickej hladine významnosti $5\,\%$.

Za pomoci systému spočítame $p$-hodnotu testu, podľa postupu z predchádzajúceho príkladu: Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Testy rozdílů: r, %, průmery; OK – Rozdíl medzi dvěma korelačními koeficienty; r1=0,6033, N1=12, r2=0,5833 a N2=15; zaklikneme Oboustr. – Výpočet.

Vzhľadom na vysokú $p$-hodnotu $0,9448$, väčšiu než $\alpha=0,05$, nezamietame nulovú hypotézu o zhode korelačných koeficientov na asymptotickej hladine významnosti $5\,\%$.

K dipozícii máme tri výbery rozsahov $n_1=100$, $n_2=142$, $n_3=175$ s výberovými korelačnými koeficientami $r^1=0,65$, $r^2=0,37$, $r^3=0,55$. Na vyriešenie problému použijeme test o zhode $k$ (v našom prípade $k=3$) korelačných koeficientov:

\[ \begin{aligned} H_0 \colon R_1=R_2=R_3 \end{aligned} \text{ oproti } \begin{aligned} H_1 \colon \text{„aspoň dva koeficienty sú rozdielne“}\text{.} \end{aligned} \]

Pre každý z výberov vypočítame Fisherovu Z-transformáciu:

\begin{align*} z_1&=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\left(\frac{1+r^1}{1-r^1}\right)=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\left( \frac{1+0,65}{1-0,65}\right)=0,775\text{,}\\ z_2&=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\left(\frac{1+r^2}{1-r^2}\right)=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\left( \frac{1+0,37}{1-0,37}\right)=0,388 \text{,}\\ z_3&=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\left(\frac{1+r^3}{1-r^3}\right)=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\left( \frac{1+0,55}{1-0,55}\right)=0,618 \text{.} \end{align*}

Platí $n=n_1+n_2+n_3=417$. Spočítame koeficient $b$ a následne testovaciu štatistiku $\chi^2$:

\begin{align*} b&=\small\frac{1}{n-3k}\sum_{i=1}^k(n_i-3)z_i=\frac{1}{417-9}(97\cdot0,775+139\cdot0,388+172\cdot0,618)=0,577 \text{,} \\ \chi^2&=\small\sum_{i=1}^k(n_i-3)(Z_i-b)^2=(97\cdot0,198^2+139\cdot(-0,189)^2+172\cdot0,041^2)=9,052 \text{.} \end{align*}

Pre $\alpha=0,05$ a kvantil $\chi_{0,95}^2(2)=5,99$ je kritický obor $W=\left\langle 5,99; \infty \right)$. Pretože štatistika $\chi^2 \in W$, na asymptotickej hladine významnosti $5\,\%$ zamietame nulovú hypotézu, že závislosť medzi koncentráciami látok A, B je vo všetkých troch skupinách rovnaká. Tukeyovým testom preto zistíme, medzi ktorými skupinami osôb existuje štatisticky významný rozdiel. S tabelovanou hodnotou $q_{k,\infty}(\alpha)=q_{3,\infty}(0,05)=3,31$ spočítame nerovnosti

\begin{align*} \vert z_i-z_j \vert &\geq q_{k,\infty}(\alpha)\cdot \sqrt{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n_i-3}+\frac{1}{n_j-3}\right)}\text{;}\\ \vert 0,775-0,388 \vert &\geq 3,31\cdot \sqrt{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{97}+\frac{1}{139}\right)} \rightarrow \vert 0,387 \vert \geq 0,310 \text{,}\\ \vert 0,775-0,618 \vert &\geq 3,31\cdot \sqrt{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{97}+\frac{1}{172}\right)} \rightarrow \vert 0,157 \vert \ngeq 0,297\text{,}\\ \vert 0,388-0,618 \vert &\geq 3,31\cdot \sqrt{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{139}+\frac{1}{172}\right)} \rightarrow \vert -0,230 \vert \ngeq 0,267 \text{.} \end{align*}

Nerovnosť platí iba v prvom prípade, čím sme dokázali, že medzi zdravými osobami a osobami trpiacimi chorobou $N$ existuje na hladine $0,05$ štatisticky významný rozdiel, pričom ostatné rozdiely sú štatisticky nevýznamné.

Systém STATISTICA nemá implementované testy pre tento typ úlohy, preto sme vytvorili makrá, testzhodykkoef.svb a Tukeytest.svb, odpovedajúce testu zhody $k$ korelačných koeficientov a Tukeyovmu testu. Zdrojové kódy uvádzame v prílohách (Test hypotézy o danej hodnote korelačného koeficienta, Test zhody k korelačných koeficientov).

Pred spustením makier vytvoríme dátovú tabuľku s 2 premennými a 3 prípadmi. Premenné nazveme K pre koeficienty, N pre rozsahy a zapíšeme odpovedajúce hodnoty.

Test zhody k korelačných koeficientov: Soubor – Otevřít; vyberieme testzhodykkoef.svb – klávesou F5 spustíme makro – tabuľka Výber premenných; z prvého zoznamu vyberieme K, z druhého N; OK – tabuľka Hladina významnosti; 0,05; OK.

Vo výslednej tabuľke nájdeme počet korelačných koeficientov $3$, hodnotu testovacej štatistiky $9,0518$, hodnotu kvantilu kritického oboru $5,9915$ a $p$-hodnotu testu $0,0108$. $P$-hodnota je menšia ako hladina významnosti $0,05$, podľa čoho zamietame nulovú hypotézu na hladine významnosti $5\,\%$ v prospech alternatívy.

Tukeyov test: Soubor – Otevřít; vyberieme Tukeytest.svb – klávesou F5 spustíme makro – tabuľka Výber premenných; z prvého zoznamu vyberieme K, z druhého N; OK – tabuľka Tabelovana hodnota; 3,31; OK.

Výsledná tabuľka Tukeyovho testu zobrazuje maticu rozdielov Fisherových Z-transformácií, z ktorých sú zvýraznené tie hodnoty, pre ktoré platí nerovnosť testu. Podľa indexov $i$, $j$ vidíme, že štatisticky významný rozdiel je medzi Fisherovými transformáciami $z_1$ a $z_2$, tj. medzi skupinami zdravých osôb a osôb trpiacimi chorobou $N$.

Makro Tukeytest.svb vytvára taktiež tabuľku kritických hodnôt testu označenú tabC, ktorej výpis je potlačený zakomentovaným príkazom tabC.Visible=True. V prípade, že chce čitateľ tabuľku zobraziť, stačí v zdrojovom kóde tento príkaz odkomentovať, tj. 'tabC.Visible=True nahradíme tabC.Visible=True.

Keďže máme k dispozícii poradia 10 poslucháčov, budeme testovať poradovú nezávislosť s nulovou hypotézou

\[ \begin{aligned} H_0 \colon R_s=0 \end{aligned} \text{ oproti } \begin{aligned} H_1 \colon R_s \ne 0 \end{aligned} \]

a ako testovacie kritérium použijeme Spearmanov korelačný koeficient $r_s$. Na jeho výpočet určíme najprv rozdiely $R_i -Q_i$:

$R_i-Q_i$	$-8$	$-1$	$-5$	$-1$	$1$	$4$	$-3$	$7$	$2$	$4$

\begin{align*} r_s&=1-\frac{6}{n(n^2-1)}\sum_{i=1}^n(R_i-Q_i)^2\\ &=1-\frac{6}{10(10^2-1)}((-8)^2+(-1)^2+\cdots+4^2)=-0,127 \text{.} \end{align*}

Pri hladine významnosti $\alpha=0,05$, rozsahu $n=10$ a tabuľkovej hodnote $r_{s,0,975}(10)=0,6364$ má kritický obor tvar $W=\bigl( -1; -0,6364 \bigr\rangle \cup \bigl\langle 0,6364; 1 \bigr)$. Hodnota Spearmanovho koeficienta korelácie $-0,127 \notin W$, a preto nulovú hypotézu o (poradovej) nezávislosti nervovej lability poslucháčov a výsledkov v štatistike nezamietame na hladine významnosti $5\,\%$.

Vytvoríme dátový súbor s 2 premennými $R_i$, $Q_i$ a 10 prípadmi, kde zapíšeme odpovedajúce poradia.

Spearmanov koeficient korelácie: Statistiky – Neparametrická statistika – Korelace (Spearman, Kendallovo tau, gama); OK – Proměnné; Ri, Qi; OK – Spearman.R.

Hodnotu Spearmanovho koeficienta korelácie porovnáme s kritickou tabelovanou hodnotou $r_{s,0,975}(10)=0,6364 \rightarrow \vert -0,1273\vert \lt 0,6364 \rightarrow$ nulovú hypotézu o (poradovej) nezávislosti nezamietame.

V tomto prípade typ dát nerozhoduje o postupe riešenia úlohy, rozhodneme tak ale podľa splneného resp. nesplneného predpokladu dvojrozmernej normality.

Podľa tabuľky testov jednorozmernej normality zamietame normalitu náhodnej veličiny $X$. Porušenie normality naznačuje aj dvojrozmerný bodový diagram, a preto v rámci korektnosti použijeme Spearmanov korelačný koeficient, aj keď by takéto mierne odchýlenie od normality významne neovplynilo výsledok pri použití Pearsonovho (výberového) korelačného koeficienta.

Spočítame teda poradovú závislosť. Kedže máme k dispozícii realizácie náhodných veličín, určíme najprv ich poradové čísla (najnižšia hodnota má poradové číslo 1). Pre prehľadnosť a uľahčenie výpočtu Spearmanovho koeficienta $r_s$ zostavíme najskôr tabuľku obsahujúcu realizácie náhodných veličín, ich poradia a druhú mocninu rozdielu týchto poradí.

$x_{i}$	$y_{i}$	$R_{i}$	$Q_{i}$	$(R_{i}-Q_{i})^2$
8,6	7,5	12,5	20	56,3
5,2	6,9	6,5	17,5	121
8,6	5,3	12,5	10,5	4
8,7	3,7	14	2	144
14,6	8,4	20	25	25
2,1	4,7	2	7,5	30,3
7,3	4,5	10,5	6	20,3
10,9	8,3	16	23	49
31,7	8,3	27	23	16
14,4	8,3	19	23	16
13,2	6,1	17,5	13,5	16
13,2	3,9	17,5	3	210,3
4,2	6	4	12	64
3,5	4,3	3	4	1
6,8	4,7	9	7,5	2,3
7,3	7,4	10,5	19	72,3
5,2	6,4	6,5	15,5	81
18,1	3,2	23	1	484
8,9	4,4	15	5	100
28,2	9,6	26	26	0
22,4	8	25	21	16
1,6	6,4	1	15,5	210
18,5	4,8	24	9	225
5,1	11,1	5	27	484
15,9	6,9	21	17,5	12,3
17,5	6,1	22	13,5	72,3
5,8	5,3	8	10,5	6,3

\begin{align*} r_s&=1-\frac{6}{n(n^2-1)}\sum_{i=1}^n(R_i-Q_i)^2\\ &=1-\frac{6}{27(27^2-1)}(56,3+121+\cdots+6,3)=0,225 \text{.} \end{align*}

Táto nízka hodnota koeficienta $0,225$ naznačuje pomerne slabú poradovú závislosť medzi veličinami. V nasledujúcom kroku otestujeme, či skutočne existuje.

Staviame nulovú hypotézu

\[ \begin{aligned} H_0 \colon R_s=0 \end{aligned} \text{ oproti } \begin{aligned} H_1 \colon R_s \ne 0. \end{aligned} \]

Vzhľadom na veľkosť rozsahu výberu $n=27>20$ použijeme testovaciu štatistiku $T$:

\[ t=\frac{r_s\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r_s^2}}=\frac{0,225\cdot 5}{\sqrt{1-0,0506}}=1,155\text{.}\]

V tabuľkách nájdeme hodnotu kvantilu Studentovho rozdelenia $t_{0,975}(25)=2,0595$ a zostrojíme kritický obor pre daný test $W=(-\infty; -2,0595\rangle \cup \langle 2,0595; \infty )$. Hodnota testovacej štatistiky $1,155$ neleží v kritickom obore $W$, a preto na hladine významnosti $5\,\%$ nezamietame nulovú hypotézu. Nepreukázali sme, že medzi veličinami existuje závislosť.

Postup riešenia je takmer identický ako v minulom príklade. Vytvoríme dátový súbor s 2 premennými a 27 prípadmi určujúcimi realizácie veličín $X$, $Y$. Nie je potrebné zadávať poradové čísla, tie si STATISTICA pri výpočte určí automaticky (Z dôvodu rozsiahleho počtu pozorovaní tabuľku neuvádzame.).

Postup: Statistiky – Neparametrická statistika – Korelace (Spearman, \ldots);OK --Vytvoriť; Detailní report – Proměnné; X, Y; OK – Spearman.R.

Z výstupnej tabuľky nás predovšetkým zaujíma $p$-hodnota testu rovná $0,2623$, čo je hodnota väčšia ako $\alpha=0,05$, a preto nulovú hypotézu nezamietame na hladine významnosti $5\,\%$.