V kombinatorické geometrii je velmi dobře známý problém, kolik barev je třeba na obarvení všech bodů roviny tak, aby žádné dva body ve vzdálenosti 1 neměly stejnou barvu: http://en.wikipedia.org/wiki/Hadwiger%E2%80%93Nelson_problem Zrovna nedávno (2018) v řešení tohoto základního problému došlo k velkému a nečekanému posunu. Vaším úkolem však je zkoumat jisté rozšíření tohoto problému, kdy zakážeme stejné barvy dvojicím bodů ve vzdálenostech 1 a 3. Kolik je pak třeba barev na všechny body roviny?

a) Pro začátek ukažte nějak jednoduše (třeba s využitím výsledku pro vzdálenost pouze 1), že stačí konečně mnoho barev. To je jen zahřívací kolo, které samo o sobě na bonus nestačí, ale je potřeba jej v řešení mít.

b) Najděte konfiguraci ("konečný obrázek") bodů, která vynucuje co nejvíce barev. Nezáleží, jak tu konfiguraci najdete, jen musíte dokázat, proč na tyto vybrané body je potřeba mnoha barev.

c) Pokuste se nalézt netriviální horní odhad, tj. obarvení roviny co nejméně barvami takové, že žádné dva body ve vzdálenosti 1 ani 3 nejsou stejné barvy.

d) A pokud vám ještě zadání nestačí, zamyslete se, jak se úloha změní, pokud zakážeme stejné barvy ve vzdálenostech 1 a d, kde d>1 je nějaké reálné číslo. Opět vždy bude stačit konečně mnoho barev. Dokážete si však vhodnou volbou d "pomoci" k lepšímu dolnímu nebo hornímu odhadu? (Lepšímu ve vztahu k vaším výsledkům pro d=3.)

Jelikož i původní problém se vzdáleností jen 1 je dosud nevyřešen, skutečně neočekáváme úplné řešení ani zde. Avšak pohrajte si a zkuste, kam se dostanete. Body se budou udělovat relativně podle toho, jak daleko se dostanete a o kolik lepší budete než ostatní řešitelé.