M2150 Algebra I

Přírodovědecká fakulta
jaro 2025
Rozsah
2/2/0. 4 kr. (příf plus uk k 1 zk 2 plus 1 > 4). Ukončení: zk.
Vyučováno kontaktně
Vyučující
prof. RNDr. Radan Kučera, DSc. (přednášející)
doc. Mgr. Ondřej Klíma, Ph.D. (cvičící)
Mgr. Pavel Francírek, Ph.D. (pomocník)
Mgr. Jan Vondruška (pomocník)
Garance
prof. RNDr. Radan Kučera, DSc.
Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Dodavatelské pracoviště: Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Předpoklady
! MUC32 Algebra && !(NOW( MUC32 Algebra ))
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
předmět má 9 mateřských oborů, zobrazit
Cíle předmětu
Cílem tohoto úvodního předmětu je dát studentům nezbytné základní algebraické znalosti, které jsou předpokládány v některých navazujících kurzech.
Výstupy z učení
Na konci tohoto kurzu bude student schopen:
* definovat základní pojmy teorie grup a okruhů;
* vysvětlit probírané teoretické výsledky;
* aplikovat probírané postupy na konkrétní úlohy.
Osnova
  • Dělitelnost celých čísel, Eukleidův algoritmus, Bezoutova rovnost.
  • Kongruence, zbytkové třídy, sčítání a násobení.
  • Binární operace na množině, pologrupa, (komutativní) grupa; příklady grup a pologrup (čísla, permutace, zbytkové třídy, matice, vektory).
  • Pojem (komutativního) okruhu, oboru integrity, tělesa, jejich základní vlastnosti.
  • Základní vlastnosti grup (včetně pojmů mocnina a řád prvku, exponent grupy).
  • Podgrupa (včetně podgrupy generované množinou), cyklická grupa.
  • Homomorfismus a izomorfismus grup, součin grup, klasifikace cyklických grup a konečných komutativních grup.
  • Rozklad grupy podle podgrupy (Lagrangeova věta a její důsledky).
  • Podokruh okruhu (včetně podokruhu generovaného množinou).
  • Homomorfismus a izomorfismus okruhů, součin okruhů.
  • Dělitelnost v komutativních okruzích.
  • Polynomy (základní vlastnosti, dělení polynomů se zbytkem, Eukleidův algoritmus, hodnota polynomu v nějakém prvku, kořen polynomu, násobné kořeny, souvislost s derivací polynomu).
  • Polynomy nad okruhy komplexních, reálných, racionálních a celých čísel (ireducibilní polynomy, hledání kořenů polynomu).
  • Polynomy více proměnných, symetrické polynomy, elementární symetrické polynomy a jejich využití.
Literatura
  • ROSICKÝ, Jiří. Algebra. 4., přeprac. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2002, 133 s. ISBN 80-210-2964-1. info
Výukové metody
Přednášky: teoretická výuka. Cvičení: řešení konkrétních problémů s cílem porozumět základním pojmům a tvrzením, domácí úlohy (odpovědníky).
Metody hodnocení
Zkouška má dvě části, písemnou a ústní. Pro složení písemné části, která se skládá za 7 příkladů, je nutné získat alespoň 50% bodů (35 bodů ze 70). Studenti, kteří uspějí v písemné části, musí v následující ústní části prokázat, že jsou schopni definovat a pracovat s užívanými pojmy, formulovat probíraná tvrzení a dokazovat ta jednodušší z nich.
Navazující předměty
Další komentáře
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.
Výuka probíhá každý týden.
Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů
Předmět je zařazen také v obdobích jaro 2008 - akreditace, jaro 2011 - akreditace, podzim 2002, jaro 2003, jaro 2004, jaro 2005, jaro 2006, jaro 2007, jaro 2008, jaro 2009, jaro 2010, jaro 2011, jaro 2012, jaro 2012 - akreditace, jaro 2013, jaro 2014, jaro 2015, jaro 2016, jaro 2017, jaro 2018, jaro 2019, jaro 2020, jaro 2021, jaro 2022, jaro 2023, jaro 2024.