MF002 Stochastická analýza

Přírodovědecká fakulta
jaro 2020
Rozsah
2/2/0. 4 kr. (příf plus uk k 1 zk 2 plus 1 > 4). Ukončení: zk.
Vyučující
Mgr. Ondřej Pokora, Ph.D. (přednášející)
Garance
doc. PaedDr. RNDr. Stanislav Katina, Ph.D.
Ústav matematiky a statistiky - Ústavy - Přírodovědecká fakulta
Dodavatelské pracoviště: Ústav matematiky a statistiky - Ústavy - Přírodovědecká fakulta
Rozvrh seminárních/paralelních skupin
MF002/01: Rozvrh nebyl do ISu vložen. O. Pokora
Předpoklady
Diferenciální a integrální počet jedné a více proměnných: derivace, limita, Riemannův integrál, Taylorův rozvoj.
Základy lineární algebry: vektorový prostor, norma, skalární součin.
Pravděpodobnost a statistika: pravděpodobnostní prostor, náhodná veličina, normální rozdělení pravděpodobnosti, střední hodnota, rozptyl, korelace, bodové a intervalové odhady parametrů, definice a základní charakteristiky náhodného procesu.
Software: alespoň základní zkušenost práce v R, statistická analýza datového souboru.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je otevřen studentům libovolného oboru.
Cíle předmětu
Tento kurz seznámí posluchače se základními principy a metodami stochastické analýzy a s modelováním reálných dějů (v ekonomii, finanční matematice, biologii, inženýrství) pomocí Wienerova procesu a difúzních procesů. V teoretické části kurzu se posluchač naučí zejména využívat Wienerův proces, počítat stochastické integrály, řešit stochastické diferenciální rovnice, využívat martingaly a uvědomit si propojení difuzních procesů a parciálních diferenciálních rovnic. V praktické části se posluchač naučí simulovat Wienerův proces a difuzní procesy na počítači, odhadovat parametry pomocí simulačních studií a modelovat reálné děje (vývoj ceny akcie, vývoj membránového potenciálu neuronu, vývoj ukazatele kvality, ocenování některých finančních derivátů).
Výstupy z učení
Po absolvování kurzu bude student schopen:
- popsat Wienerův proces a jeho vlastnosti využít jej při modelování;
- řešit základní typy stochastických diferenciálních rovnic;
- popsat princip ekvivalentní (např. rizikově neutrální) pravděpodobnosti;
- modelovat vývoj ceny akcie a membránového potenciálu neuronu pomocí simulace trajektorií Wienerova procesu;
- aplikovat fundamentální postup oceňování finančních derivátů a spočítat cenu evropské a binární bariérové opce;
Osnova
  • Náhodné procesy a jejich vlastnosti, L2 prostor, Hilbertův prostor.
  • Wienerův proces (Brownův pohyb) a jeho konstrukce.
  • Lineární a kvadratická variace.
  • Itoův a Stratonovičův stochastický integrál.
  • Itoovo lemma, Itoův proces, stochastická diferenciální rovnice.
  • Martingaly, věta o martingalové reprezentaci.
  • Radonova-Nikodymova derivace, Cameronova-Martinova věta, Girsanovova věta.
  • Blackův-Scholesův model, opce, geometrický Brownův pohyb.
  • Markovské procesy se spojitým časem, difúze, Ornsteinův-Uhlenbeckův proces.
  • Stochastická interpretace rovnice difúze a Laplaceovy rovnice, Feynmanova-Kacova věta.
Literatura
  • KARATZAS, Ioannis a Steven E. SHREVE. Brownian motion and stochastic calculus. New York: Springer, 1988. 23, 470. ISBN 0387976558. info
  • ØKSENDAL, Bernt. Stochastic differential equations : an introduction with applications. 6th ed. Berlin: Springer, 2005. xxvii, 365. ISBN 3540047581. info
  • KLOEDEN, Peter E., Eckhard PLATEN a Henri SCHURZ. Numerical solution of SDE through computer experiments. Berlin: Springer, 1994. xiv, 292. ISBN 3540570748. info
  • KARATZAS, Ioannis a Steven E. SHREVE. Methods of mathematical finance. New York: Springer-Verlag, 1998. xv, 415. ISBN 0387948392. info
  • HULL, John. Options, futures & other derivatives. 5th ed. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2003. xxi, 744. ISBN 0130090565. info
  • MELICHERČÍK, Igor, Ladislava OLŠAROVÁ a Vladimír ÚRADNÍČEK. Kapitoly z finančnej matematiky. [Bratislava: Miroslav Mračko, 2005. 242 s. ISBN 8080576513. info
Výukové metody
Přednáška: 2 h týdně.
Cvičení: 2 h týdně. Na cvičeních se mj. využívá prostředí R, studenti řeší i domácí úlohy a zpracovávají projekt.
Metody hodnocení
Cvičení: povinná aktivní účast, domácí úlohy a projekt.
Závěrečná zkouška: písemná a ústní část (váhy cca 2:1). Pro úspěšné absolvování je potřeba dosáhnout alespoň 50 % bodů.
Informace učitele
Výuka probíhá většinou v češtině nebo dle potřeby v angličtině, příslušná terminologie je za všech okolností uváděna i s anglickými ekvivalenty.
Mezi cílové dovednosti studia patří schopnost používat anglický jazyk pasivně i aktivně ve vlastní odbornosti a také v potenciálních oblastech aplikací matematiky.
Hodnocení ve všech případech může probíhat v češtině i v angličtině, dle volby studenta.
Další komentáře
Studijní materiály
Předmět je vyučován každoročně.
Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů
Předmět je zařazen také v obdobích jaro 2008 - akreditace, jaro 2011 - akreditace, jaro 2009, jaro 2010, jaro 2011, jaro 2012, jaro 2012 - akreditace, jaro 2013, jaro 2014, jaro 2015, jaro 2016, jaro 2017, jaro 2018, jaro 2019.
  • Statistika zápisu (nejnovější)
  • Permalink: https://is.muni.cz/predmet/sci/jaro2020/MF002