M3130 Lineární algebra a geometrie III

Přírodovědecká fakulta
podzim 2020
Rozsah
2/2/0. 4 kr. (příf plus uk k 1 zk 2 plus 1 > 4). Doporučované ukončení: zk. Jiná možná ukončení: k.
Vyučující
doc. Lukáš Vokřínek, PhD. (přednášející)
Garance
doc. RNDr. Martin Čadek, CSc.
Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Dodavatelské pracoviště: Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Rozvrh
Po 8:00–9:50 M6,01011
  • Rozvrh seminárních/paralelních skupin:
M3130/01: St 14:00–15:50 M4,01024, L. Vokřínek
Předpoklady
M2110 Lineární algebra a geom. II
Znalost základních pojmů lineární algebry, včetně vlastních čísel a vektorů, znalost bilineárních a kvadratických forem.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Třetí ze serie přednášek o lineární algebře a geometrii je věnována třem základním tématům:
- polyedrům a optimalizaci lineárních funkcí na polyedrech,
- multilineární algebře a tenzorům,
- celočíselnám a polynomiálním maticím a jejich vztahu s Jordanovým kanonickým tvarem.
Na prvé téma navazují přednášky o geometrii křivek a ploch, Jordanův kanonický tvar se uplatňuje při řešení soustav lineárních diferenciálních rovnic a multilineární algebra je nezbytná pro diferenciální geometrii, fyzikální a technické aplikace.
Výstupy z učení
Na konci tohoto kurzu bude student schopen:
- rozumět struktuře polyedrů a řešit úlohu lineárního programování pomocí simplexové metody;
- počítat s tenzory v souřadnicích i bez nich;
- nalézt Smithův normální tvar matice a interpretovat jej, zejména z něj odvodit Jordanův kanonický tvar
Osnova
  • Afinní a projektivní prostory: definice afinního a projektivního prostoru, podprostory, afinita a kolineace, projektivní rozšíření afinního prostoru.
  • Polyedrální kužely a polyedry: různé definice a jejich porovnání, Farkasovo lemma, stěny polyedrů, úloha lineárního programování, dualita v lineárním programování, simplexová metoda
  • Multilineární algebra: duální vektorový prostor, duální báze, duální zobrazení, tenzorový součin, ekvivalence různých definic, vnější a symetrický součin, souřadnice tenzorů, funktor Hom a jeho vztah k tenzorovému součinu.
  • Celočíselné a polynomiální matice: Smithův normální tvar, souvislost s prezentací komutativních grup, klasifikace konečně generovaných komutativních grup, souvislost s charakteristickým a minimálním polynomem a s Jordanovým kanonickým tvarem.
Literatura
  • Čadek M, Vokřínek L: Lineární algebra a geometrie III, elektronický učební text PřF MU Brno, www.math.muni.cz/~koren
  • Slovák J.: Lineární algebra, elektronický učební text PřF MU Brno, www.math.muni.cz/~slovak
  • Kostrikin A., Manin Yu.: Linear algebra and geometry, Gordon and Breach Science Publishers, 1997
Výukové metody
Přednášky a cvičení.
Metody hodnocení
Ke zkoušce je nutné krom dostatečné účasti na cvičení - max 3 neúčasti (účast bude nahrazena odevzdáním domácích úloh v případě distanční výuky) také dosáhnout celkově více než poloviny bodů ze dvou písemek, ketré se budou psát během semestru ve cvičeních.
Zkouška se sestává z písemné a ústní části.
-----
Upřesnění z 30.12.:
Závěrečná zkouška proběhne v prezenční formě, pokud to bude možné zaručit pro všechny zkouškové termíny, v opačném případě proběhne zkouška distančně (takže bohužel spíš počítám s druhou variantou). Zkouška bude sestávat z písemné části (cca 50% teoretičtějších příkladů a 50% praktičtějších příkladů), na kterou bude potřeba získat alespoň 50% bodů, a z ústní části, která bude mít zásadní vliv na udělenou známku. Obsahově bude zkouška čerpat z látky probrané na cvičeních a přednáškách.
V případě distanční formy bude zadání písemné části vygenerované prostřednictvím odpovědníku v ISu a jeho řešení bude potřeba vypracovat včetně postupu, nafotit/naskenovat a nahrát do odevzdávárny v ISu v rámci časového limitu. Ústní část pak proběhne ve formě videohovoru - přípravy mi pošlete naskenované a budeme o nich diskutovat.
Navazující předměty
Informace učitele
http://www.math.muni.cz/~koren
Ke zkoušce je nutný zápočet ze cvičení. Zkouška je písemná a ústní. Písemná zkouška má početní a teoretickou část. Při ústní zkoušce se bude ověřovat porozumění přednesené látce a schopnost ji demonstrovat na jednoduchých příkladech. Nutná je znalost základních pojmů lineární algebry z předchozích semestrů.

Na cvičeních se budou psát dvě písemky. Zápočet bude udělen, pokud student splní podmínky na účast ve cvičeních (příp. na domácí úlohy) a zároveň za tyto písemky obdrží více než polovinu z udělených bodů. Studenti, kteří dosáhnou horšího výsledku, budou psát náhradni zápočtovou písemku. Na zápočet musí získat aspoň polovinu bodů.
Další komentáře
Studijní materiály
Předmět je vyučován každoročně.
Předmět je zařazen také v obdobích podzim 2007 - akreditace, podzim 2010 - akreditace, podzim 2002, podzim 2003, podzim 2004, podzim 2005, podzim 2006, podzim 2007, podzim 2008, podzim 2009, podzim 2010, podzim 2011, podzim 2011 - akreditace, podzim 2012, podzim 2013, podzim 2014, podzim 2015, podzim 2016, podzim 2017, podzim 2018, podzim 2019, podzim 2021, podzim 2022, podzim 2023, podzim 2024.