Diferenciální geometrie křivek a ploch

13. Isometrická zobrazení – Příklad 13.2 – Katenoid a helikoid

Nechť je dána část katenoidu (po vyjmutí jednoho poledníku)
a část helikoidu
.

Ukažte, že zobrazení je izometrií. Které křivky na helikoidu odpovídají v tomto zobrazení rovnoběžkám a poledníkům katenoidu?

Řešení

PDF

Nejdříve ověříme izometrii ploch pomocí procedury G pro výpočet koeficientů první základní formy plochy (viz příklad 9.1):

> restart:with(linalg):
> G:=proc(surf,u,v)

end:

> catenoid:=(u,v)->[cosh(u)*cos(v),cosh(u)*sin(v),u];

> G(catenoid,u,v);

> helicoid:=(u,v)->[u*cos(v),u*sin(v),v];

> G(unapply(subs(u=sinh(u),helicoid(u,v)),u,v),u,v);

Nyní ověříme, že i plochy příslušné izometrické deformace dávají tutéž první základní formu plochy:

> f:=evalm(cos(t)*catenoid(u,v+t)+sin(t)*helicoid(sinh(u),v+t-Pi/2)):
> surf:=unapply([f[1],f[2],f[3]],u,v):
> G(surf,u,v);

Následující programový kód vytváří animaci izometrické deformace mezi katenoidem a helikoidem.

> with(plots):setoptions3d(scaling=constrained):
> for i from 0 to 50 do

od:

> display(seq(P[i],i=0..50),insequence=true);

Další programový kód po spuštění znázorňuje, jak se postupně mění parametrické křivky na zadaných plochách:

> for i from 0 to 50 do

od:

> ANIM:=display([seq(P[i], i=0..50)], insequence=true):
> ANIM1:=display([seq(u_CURVE[i], i=0..50)], insequence=true):
> ANIM2:=display([seq(v_CURVE[i], i=0..50)], insequence=true):
> display(ANIM1,ANIM);display(ANIM2,ANIM);