Vztah – aritmetický průměr ∼ geometrický průměr
Dokažte, že platí: aritmetický průměr dvou nezáporných čísel je větší nebo roven jejich geometrickému průměru.
Důkaz 1.
- algebraicky
-
$$\begin{aligned}
\dfrac {a+b} 2 & \ge \sqrt{ab} \\
(a+b)^2 & \ge 4ab \\
a^2 + 2ab + b^2 & \ge 4ab \\
a^2 - 2ab + b^2 & \ge 0 \\
(a-b)^2 & \ge 0 \text { - platí vždy}
\end{aligned} $$
- geometricky
-
- sestrojíme úsečku AC o velikosti $a+b$
- sestrojíme kružnici $k$ o poloměru $\dfrac {a+b} 2$
- v bodě B narýsujeme kolmici k úsečce AC
- v trojúhelníku ACD je úsečka BD výškou ke straně AC
- podle Euklidovy věty $v=\sqrt{ab}$
$$ \begin{aligned} d & =a+b \\
r & = \frac{(a+b)} 2 \\
\frac {a+b} 2 & \ge \sqrt{ab} \end{aligned} $$
Jiný důkaz věty o vztahu aritmetického a geometrického průměru
- geometricky
-
$$ \begin{aligned}
(a+b)^2 & \ge 4ab \\
a+b & \ge 2\sqrt {ab} \\
\frac {a+b} 2 & \ge \sqrt {ab}
\end{aligned}
$$