Problém 1.

Uvažujte rychle rostoucí zázračný strom, jehož výška první den přibude o polovinu jeho aktuální výšky. Druhý den se jeho výška zvětší o třetinu jeho aktuální výšky, den třetí pak vzroste o čtvrtinu atd. Kolikrát se jeho výška zvětší právě za 6 dní? Přesáhne jeho výška libovolnou hodnotu?

Problém 2.

Určete součet nekonečné řady $$\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n^2}+2^n}{6^n}.$$

Problém 3.

Uvažujte funkci $p(n) =k\cdot 0{,}\,4^n$ pro $n\in\mathbb{N}$. Určete hodnotu čísla $k$ tak, aby tato funkce $p$ byla pravděpodobnostní funkcí jisté diskrétní náhodné veličiny.

Problém 4.

Geometrické rozdělení popisuje počet neúspěchů před prvním úspěchem v řadě pokusů nebo také čekání na první úspěch. Značí se $X\sim Ge(p)$, $p\in(0,1)$. Pro jeho pravděpodobnostní funkci platí $$p(n) =(1-p)^np, \qquad n\in \mathbb{N}_0 :=\{0,1,\,\dots\}. $$ Určete střední hodnotu $E(X)$ a rozptyl $D(X)$ náhodné veličiny, která má geometrické rozdělení. Nápověda: Pro střední hodnotu platí $$E(X) =\sum_{n\in \mathbb{N}_0} n\cdot p(n)$$ a pro rozptyl $$D(X) =E\left(X^2\right) -E^2(X),$$ kde $$E\left(X^2\right) =\sum_{n\in \mathbb{N}_0} n^2\cdot p(n). $$

Problém 5.

Poissonovo rozdělení ($X\sim Po(\lambda)$) popisuje počet úspěchů v daném časovém (nebo prostorovém) intervalu. Jeho pravděpodobnostní funkce je $$p(n) =\frac{\lambda^n}{n!}\operatorname{e}^{-\lambda}, \qquad n \in \mathbb{N}_0 :=\{0,1,\,\dots\}, \, \lambda>0 . $$ Při korektuře knihy jsme našli v průměru osm chyb na dvaceti stránkách, tj. $\lambda =8$. Jaká je pravděpodobnost, že na dvaceti stránkách je více než deset chyb? Dále určete střední hodnotu a rozptyl počtu chyb na dvaceti stránkách. (Vzorce pro střední hodnotu a rozptyl jsou uvedeny v zadání Problému 4)

Problém 6.

Dokažte, že pro Poissonovo rozdělení $X\sim Po(\lambda)$ (popsané v Problému 5) platí $E(X) =\lambda$ a $D(X) =\lambda$ pro každé $\lambda > 0$. (Vzorce pro střední hodnotu a rozptyl jsou uvedeny v zadání Problému 4.)

Problém 7.

Určete střední hodnotu $E(X)$ a rozptyl $D(X)$ náhodné veličiny, která se řídí Borelovým rozdělením s pravděpodobnostní funkcí $$p(n) =\frac{1}{n!}\operatorname{e}^{-\mu n}(\mu n)^{n-1}, \qquad n\in\mathbb{N},\, \mu\in [0,1). $$ (Vzorce pro střední hodnotu a rozptyl jsou uvedeny v zadání Problému 4.)

Problém 8.

Použitím vhodné nekonečné geometrické řady vyřešte v $\mathbb{R}$ rovnici $$1-\text{tg}\,x+ \text{tg}^2\, x- \text{tg}^3\,x+\cdots = \frac{\text{tg}\,2x}{1+\text{tg}\,2x}.$$

Problém 9.

Je dán čtverec, jehož strana má délku 25 (jednotek). Do tohoto čtverce je vepsaný kruh a do něj další čtverec. Tímto způsobem pokračujte dál až do nekonečna. Určete, jaký je součet obsahů všech takto vzniklých čtverců.

Problém 10.

Určete počet lidí, kteří by byli na Zemi za 5 000 let, pokud by byl na počátku jeden pár, každý pár přivedl na svět právě dvě dívky a dva chlapce, a to ve svém věku 25—35 let, přičemž všichni lidé se vždy (neznaje genetickou degeneraci) dožijí 75 let.

Problém 11.

Sečtěte řadu $$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3 + 3n^2 + 2n}. $$

Problém 12.

Pokud víte, že $$\ln 2 = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \, \frac{(-1)^{n - 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \cdots, $$ sečtěte řadu $$ \left(1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} \right) + \cdots $$

Problém 13.

Rozhodněte, zda řada $$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{10^{ 10 }}} $$ konverguje.

Problém 14.

Konverguje řada $$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{n}\text{?} $$

Problém 15.

Zjistěte, zda konverguje řada $$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(3^{\frac{1}{n} }-1\right). $$

Problém 16.

Konverguje řada $$ \frac{4}{2}+ \frac{4 \cdot 7}{2 \cdot 6} + \frac{4 \cdot 7 \cdot 10}{2 \cdot 6 \cdot 10} + \cdots \text{?} $$

Problém 17.

Rozhodněte, zda řada $$ \frac{1\,000}{1}+ \frac{1\,000 \cdot 1\,001}{1 \cdot 3} + \frac{1\,000 \cdot 1\,001 \cdot 1\,002}{1 \cdot 3 \cdot 5} + \cdots $$ konverguje.

Problém 18.

Dokažte podílové (d'Alembertovo) kritérium.

Problém 19.

Pomocí vhodného kritéria rozhodněte o konvergenci řady $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n^2}}{(n+1)^{n\cdot n}}.$$

Problém 20.

Rozhodněte, zda konverguje řada $$\sum\limits_{n=2}^{\infty} \left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n^2 - n}.$$

Problém 21.

Dokažte odmocninové (Cauchyovo) kritérium.

Problém 22.

Kolik členů je nutné vzít, abychom získali součet řady $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$$ s chybou menší než $0,005$?

Problém 23.

Odhadněte chybu, které se dopustíte, když aproximujete řadu $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^2}$$ prvními deseti jejími členy.

Problém 24.

Pomocí vhodných kritérií rozhodněte o konvergenci řady $$ \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\alpha (\alpha + \gamma)}{\beta (\beta + \gamma)} + \frac{\alpha (\alpha + \gamma) (\alpha + 2\gamma)}{\beta (\beta + \gamma)(\beta + 2\gamma)} + \cdots $$ v závislosti na parametrech $\alpha, \beta, \gamma > 0$.

Problém 25.

Rozhodněte o konvergenci řady $$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{(2n -1)!!}{(2n)!!}\right)^\alpha = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n -1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)}\right)^\alpha $$ v závislosti na reálném parametru $\alpha$.

Problém 26.

Pro obecné parametry $\alpha>0$, $\beta>0$ pomocí Kummerova kritéria vyšetřete konvergenci řady $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \prod_{k=1}^{n}\frac{\alpha+k \ln k}{\beta+(k+1) \ln \left(k+1\right)}. $$

Problém 27.

Nechť $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ je řada s kladnými členy a nechť existují kladná čísla $p_{n}$ pro $n \in \mathbb{N}$ tak, že existuje vlastní limita $$K = \lim\limits_{n\to \infty} \left(p_{n}\,\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-p_{n+1}\right). $$ Rozhodněte, zda platí následující tvrzení.

• Jestliže $K >0$, potom řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ konverguje.
• Jestliže $K <0$ a $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{p_{n}} = +\infty$, potom řada $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ diverguje k $+ \infty$.

Problém 28.

Najděte jednoznačně danou reálnou konstantu $B$, pro kterou následující tvrzení označované jako DeMorganovo—Bertrandovo kritérium platí. Nechť $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ je řada s kladnými členy a nechť čísla $p_{n}$ pro $n \in \mathbb{N}$ jsou taková, že $$\frac{a_{n}}{a_{n+1}} = 1+\frac{1}{n}+\frac{p_{n}}{n\ln n}, \qquad n \in \mathbb{N}.$$ Potom platí:

• Je-li $\liminf_{n \to\infty} p_{n} > B$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ konverguje.
• Je-li $\limsup_{n \to\infty} p_{n} < B$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ diverguje.

Problém 29.

Zvolte reálnou konstantu $A$ tak, aby následující tvrzení označované jako Ermakovo kritérium platilo. Nechť $f$ je nerostoucí a kladná funkce na $[1, \infty)$ taková, že $a_{n} = f(n)$, $n \in \mathbb{N}$, a nechť existuje limita $$M = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{{\mathrm{e}}^x\,f\left({\mathrm{e}}^x\right)}{f(x)} . $$ Potom platí:

• Je-li $M<A$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ konverguje.
• Je-li $M>A$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ diverguje.

Problém 30.

Pomocí Ermakova kritéria (viz předchozí problém) pro kladné $\alpha$ vyšetřete konvergenci řady $$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n \ln^{\alpha} n }. $$

Problém 31.

Ukažte na příkladu, že součtem (člen po členu) dvou divergentních řad může být nenulová konvergentní řada.

Problém 32.

Zjistěte, zda řada $$ \sum\limits_{n=2}^{\infty} (-1)^n \ln \left(1+ \frac{1 }{n \ln n}\right) $$ konverguje. Pokud konverguje, je konvergence relativní, nebo absolutní?

Problém 33.

Zjistěte, jestli řada $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2\sqrt{n}+(-1)^n)^3}$$ konverguje absolutně, konverguje relativně, nebo nekonverguje.

Problém 34.

Určete, zda řada $$ \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n \, \frac{n + \sqrt[4]{n^8 + 7n^5 + n}}{\sqrt[5]{n^{11} +5 n^5 + 2} + \sqrt{n^4 + 4n^3 + n}}$$ konverguje absolutně, konverguje relativně, diverguje k $+ \infty$, diverguje k ${-} \infty$, nebo osciluje.

Problém 35.

Pro jaká $\alpha\in \mathbb R$ řada $$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{\mathrm{e}^{\alpha n}}{n} $$ konverguje absolutně?

Problém 36.

Nalezněte $x \in \mathbb{R}$, pro která absolutně konverguje řada $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n\,n\,(x-2)^{2n}}{4^n\,\sqrt{n}}. $$

Problém 37.

Určete všechna $x \in \mathbb{R}$, pro která řada $$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\left( (n+ 5)^4 \left(x-5\right)^2 3^{2n+ 1} \right)^n}{7^{n+1} \text{arctg}\left( n^2 + 8 \right)} $$ konverguje.

Problém 38.

Vyšetřete, kde konverguje mocninná řada $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n-1} n^5}{n!}\, (8x+6)^{3n}. $$

Problém 39.

Určete interval konvergence pro mocninnou řadu $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n^2+1}}{4^{n-1}}\,\left(1-\frac{x}{2}\right)^n. $$

Problém 40.

Pro $p \in \{0, 1, 2\}$ uvažujte mocninnou řadu $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\, (2x-4)^n.$$ Najděte intervaly konvergence $I$ této řady pro jednotlivá $p$.

Problém 41.

Pro $x \in (-1,1)$ nalezněte součet řady $$\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}.$$

Problém 42.

Pro $x \ne 1$ stanovte součet mocninné řady $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} 9^n\, \frac{(x-1)^{2n}}{(n+1)!}.$$

Problém 43.

Pomocí vhodné mocninné řady určete součet nekonečné řady $$\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n\, \frac{n^2}{2^{n-1}}.$$

Problém 44.

Funkci $$\int\limits_{0}^{x} \frac{\sqrt[4]{1+s^4}-1}{s^2}\, \mathrm{d}s$$ v proměnné $x$ vyjádřete jako mocninnou řadu v okolí počátku.

Problém 45.

Je dána funkce $$f(x) = x + (x+1) \sin \left(\frac{\pi}{2} x\right), \qquad x \in \mathbb{R}. $$ Rozviňte tuto funkci do Taylorovy řady se středem v bodě $x_{0} = -1$.

Problém 46.

Určete, kolik nenulových členů Maclaurinova rozvoje funkce $\ln (1+x)$ je potřeba použít k určení čísla $\ln 2$ s chybou menší než $10^{-5}$.

Problém 47.

Určete, kolik nenulových členů Maclaurinova rozvoje funkce $$\ln \,\frac{1+x}{1-x}$$ je potřeba použít k určení čísla $\ln 2$ s chybou menší než $10^{-5}$.

Problém 48.

Vyjádřete číslo $$\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{\mathrm{d}x}{1+x^4}$$ s chybou menší než $10^{-5}$.

Problém 49.

Vyčíslete integrál $$\int\limits_{0}^{1} \ln x \cdot \ln (1-x)\,\mathrm{d}x.$$

Problém 50.

Za použití mocninných řad vyřešte počáteční úlohu $$y^{\prime\prime} - 2xy^{\prime} - 2y = 0, \qquad y(0) = 1, \, y^{\prime}(0) = 0.$$

Problém 51.

Určete Fourierovu řadu funkce $$f (x) = x^2, \qquad x \in [-1, 1]. $$

Problém 52.

Pomocí výsledku předchozího problému nalezněte součty číselných řad $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}, \qquad \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}.$$

Problém 53.

Pro funkci $$f (x) = \begin{cases} -1, \qquad &x \in [-1, 0);\\ x, \qquad &x \in [0, 1] \end{cases}$$ určete její Fourierovy koeficienty na intervalu $[-1, 1]$.

Problém 54.

Uvažujte řadu $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^2}{1+x^2}\,\left(\frac{1}{1+x^2}\right)^n,\qquad x \in \mathbb{R}.$$ Vyšetřete absolutní a stejnoměrnou konvergenci na $\mathbb{R}$.

Problém 55.

Nechť $\{s_n\}_{n=1}^{\infty}$ je prostá posloupnost složená ze všech racionálních čísel intervalu $(0, 1)$. Nechť $$H(x): = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{|x-s_{n}|}{2^n},\qquad x \in (0, 1).$$ Zjistěte, pro jaká $x \in (0, 1)$ existuje derivace $H^{\prime} (x)$, resp. $H^{\prime\prime} (x)$.