Vyjdeme z druhého Newtonova zákona $$\frac{{\rm d}\vec{p}(t)}{{\rm d}t}=\vec{F}(t)\;\Longrightarrow\; \vec{p}(t_2)-\vec{p}(t_1)=\int\limits_{t^1}^{t_2}\vec{F}(t)\,{\rm d}t, $$ dále budeme používat vztah pro střední hodnotu časově závislé veličiny $X$, resp. $\vec{X}$ (tj. skalární, resp. vektorové) v časovém intervalu $[t_1,\,t_2]$ $$\langle X\rangle_{[t_1,t_2]}=\frac{1}{t_2-t_1}\int\limits_{t_1}^{t_2} X(t)\,{\rm d}t,\;\; \mbox{resp.}\;\;\langle \vec{X}\rangle_{[t_1,t_2]}=\frac{1}{t_2-t_1}\int\limits_{t_1}^{t_2} \vec{X}(t)\,{\rm d}t.$$

1. Změna hybnosti hmotného bodu v daném časovém intervalu je rovna výslednému impulsu sil v tomto intervalu, jimiž na hmotný bod působí jeho okolí. Vzhledem k principu superpozice sil je to totéž jako impuls výslednice, tj. $$\vec{p}(t_2)-\vec{p}(t_1)=\int\limits_{t_1}^{t_2}\vec{F}_0\sin{\omega t}\,{\rm d}t= -\frac{\vec{F}_0}{\omega}(\cos{\omega t_2}-\cos{\omega t_1}). $$
2. Do předchozího výsledku dosadíme $t_1=\frac{2k\pi}{\omega}$, $t_2=\frac{2\ell\pi}{\omega}$, tj. $$\vec{p}\left(\frac{2k\pi}{\omega}\right)-\vec{p}\left(\frac{2\ell\pi}{\omega}\right)= -\frac{\vec{F}_0}{\omega}\left(\cos{2\ell\pi}- \cos{2k\pi}\right)=\vec{0}. $$
3. Při konstantní hmotnosti je zrychlení hmotného bodu $$\vec{a}(t)=\frac{1}{m}\vec{F}_0\sin{\omega t}\;\Longrightarrow\; \vec{v}(t)-\vec{v}(t_0)=\vec{F}_0\int\limits_{t_0}^{t}\sin{\omega t}\,{\rm d}t= -\frac{\vec{F}_0}{m\omega}\left(\cos{\omega t}-\cos{\omega t_0}\right). $$ Abychom závislost rychlosti hmotného bodu na čase určili jednoznačně, museli bychom znát jeho rychlost v některém okamžiku $t_0$.
4. Průměrné zrychlení hmotného bodu v intervalu $[t_1,\,t_2]$ je (při konstantní hmotnosti) $$\langle \vec{a}\rangle_{[t_1,t_2]}=\frac{\vec{F}_0}{m(t_2-t_1)} \int\limits_{t_1}^{t_2}\sin{\omega t}\,{\rm d} t=-\frac{\vec{F}_0}{m\omega}\frac{\cos{\omega t_2}-\cos{\omega t_2}}{t_2-t_1}, $$ velikost průměrného zrychlení je absolutní hodnota ze získaného výrazu, tj. $$|\langle \vec{a}\rangle_{[t_1,t_2]}|=\frac{{F}_0}{m\omega}\left|\frac{\cos{\omega t_2}-\cos{\omega t_2}}{t_2-t_1}\right|.$$
5. Průměrné zrychlení v intervalu $\left[\frac{2k\pi}{\omega},\,\frac{2\ell\pi}{\omega}\right]$ získáme dosazením $t_1=\frac{2k\pi}{\omega}$ a $t_2=\frac{2\ell\pi}{\omega}$do vztahu odvozeného ad d) pro obecný časový interval: $$\langle \vec{a}\rangle_{\left[\frac{2k\pi}{\omega},\frac{2\ell\pi}{\omega}\right]}= -\frac{\vec{F}_0}{2\pi m(k-\ell)}\left(\cos{2\ell\pi}-\cos{2k\pi}\right)=\vec{0}, \quad |\langle \vec{a} \rangle_{\left[\frac{2k\pi}{\omega},\frac{2\ell\pi}{\omega}\right]}|=0 $$
6. Velikost okamžitého zrychlení v závislosti na čase je $$a(t)=\frac{F_0}{m}|\sin{\omega t}|\,{\rm d}t, \quad \langle a \rangle_{\left[\frac{2k\pi}{\omega},\frac{2\ell\pi}{\omega}\right]}= \frac{F_0}{2\pi m(\ell-k)}\int\limits_{\frac{2k\pi}{\omega}}^{\frac{2\ell\pi}{\omega}}|\sin{\omega t}|\,{\rm d}t $$ Integrujeme přes $\ell-k$ period funkce $\sin{\omega t}$. Vzhledem k periodicitě je tento integrál roven $(\ell-k)$-násobku integrálu přes jednu (kteroukoli) periodu, tj. $$\int\limits_{\frac{2k\pi}{\omega}}^{\frac{2\ell\pi}{\omega}}|\sin{\omega t}|\,{\rm d}t=(\ell-k)\int\limits_0^{\frac{2\pi}{\omega}}|\sin{\omega t}|\,{\rm d}t=2(\ell-k)\int\limits_0^{\frac{\pi}{\omega}}\sin{\omega t}\,{\rm d}t=$$ $$=-\frac{2(\ell-k)}{\omega}\left(\cos{\pi}-\cos{0} \right)=\frac{4(\ell-k)}{\omega}.$$ Dosadíme do vztahu pro střední hodnotu velikosti zrychlení, $$\langle a \rangle_{\left[\frac{2k\pi}{\omega},\frac{2\ell\pi}{\omega}\right]}=\frac{2F_0}{\pi m}. $$ Výsledek potvrzuje samozřejmou věc: velikost střední hodnoty veličiny je obecně různá od střední hodnoty velikosti této veličiny.

Hmotnost tělesa se nemůže nikde „ztrácet“, ani „vznikat“. Měnit se může tak, že se od tělesa, které má v okamžiku $t=0$ hmotnost $m_0$, odpojují, resp. se k němu připojují hmotné elementy. Považujme tuto změnu za spojitou. Při ní obecně dochází k vzájemnému působení oddělujících se, nebo připojujících se elementů a původního tělesa. Toto silové působení označme $\vec{f}$. Podle předpokladu zadání je působení okolních objektů na obě části tělesa, tj. jak na původní těleso, tak na oddělující se, nebo připojující se element, nulové. Platí $$\frac{{\rm d}m}{{\rm d}t}\vec{v}+m\frac{{\rm d}\vec{v}}{{\rm d}t}=\vec{f},$$ a (vzhledem k tomu, že okamžitá hmotnost oddělujícího se, nebo připojujícího se elementu je nulová) $$-\frac{{\rm d}m}{{\rm d}t}\vec{v}^{\,\prime}+ 0\cdot\frac{{\rm d}\vec{v}^{\,\prime}}{{\rm d}t}=-\vec{f}, $$ kde $\vec{v}^{\,\prime}=\vec{v}+\vec{u}$ je okamžitá rychlost elementu vzhledem k téže inerciální vztažné soustavě, vzhledem k níž popisujeme pohyb obou částí tělesa, $\vec{u}$ je relativní rychlost elementu vzhledem k původnímu tělesu. (Zatím pro ni nemáme žádný model, obvykle se považuje za konstantní.) $$\frac{{\rm d}m}{{\rm d}t}\vec{v}+m\frac{{\rm d}\vec{v}}{{\rm d}t}=\vec{f}, \quad -\frac{{\rm d}m}{{\rm d}t}(\vec{v}+\vec{u})=-\vec{f}. $$ Sečtením těchto rovnic dostaneme $$m\frac{{\rm d}\vec{v}}{{\rm d}t}-\frac{{\rm d}m}{{\rm d}t}\vec{u}=\vec{0} $$ Zvolíme-li nějaký model změny hmotnosti a model časové závislosti relativní rychlosti, můžeme dostat jak závislost rychlosti na čase, tak časovou závislost síly $\vec{f}$, vyjadřující okamžité vzájemné působení „původního“ tělesa a oddělujícího se, resp. připojujícího se elementu.

1. V této úloze je zvolen model změny hmotnosti tělesa: $$\frac{{\rm d}m}{{\rm d}t}=Km\;\Longrightarrow\;m(t)=m_0{\rm e}^{Kt}, $$ pro $K\gt 0$, resp. $K\lt 0$ se jedná o přírůstek, resp. úbytek hmotnosti. V případě našeho zadání jde o úbytek, tj. $K\lt 0$.
2. Dosazením výsledku a) do rovnice $$m\frac{{\rm d}\vec{v}}{{\rm d}t}-\frac{{\rm d}m}{{\rm d}t}\vec{u}=\vec{0}$$ dostaneme $$\frac{{\rm d}\vec{v}}{{\rm d}t}-K\vec{u}=\vec{0}. $$ Je-li relativní rychlost $\vec{u}$ například konstantní, platí pro časovou závislost $\vec{v}(t)$ vztah $\vec{v}(t)=(Kt)\vec{u}+\vec{v}_0$. Pro časovou závislost $\vec{f}(t)$ pak dostaneme $$\vec{f}(t)=m_0K\,{\rm e}^{Kt}\left[(Kt+1)\vec{u}+\vec{v}_0\right].$$ Za předpokladu, že vzájemné silové působení tělesa a elementu je zanedbatelné, dostaneme $$\frac{{\rm d}m}{{\rm d}t}\vec{v}+m\frac{{\rm d}\vec{v}}{{\rm d}t}=\vec{0}, \quad -\frac{{\rm d}m}{{\rm d}t}(\vec{v}+\vec{u})=-\vec{0}, $$ z druhé z těchto rovnic pak $\vec{v}=-\vec{u}$, což odpovídá situaci, že okamžitá rychlost elementu vzhledem k dané vztažné soustavě je nulová. Z první rovnice a počátečních podmínek pak $m\vec{v}=m_0\vec{v}_0$ a v případě modelu změny hmotnosti podle a) $$\vec{v}(t)=\vec{v}_0\,{\rm e}^{Kt}.$$
3. Považujeme-li „původní“ těleso a všechny elementy, které se od něj oddělují, resp. k němu připojují, za soustavu, jsou síly $\vec{f}$ a $-\vec{f}$ vnitřními silami soustavy a nemají vliv na hybnost. Je tedy $\vec{p}(t)=m\vec{v}=m_0\vec{v}_0=\mbox{konst.}$
4. Zrychlení je derivací rychlosti. Pro model konstantní rychlosti $\vec{u}$ je $\vec{a}(t)=K\vec{u}$, pro případ $\vec{f}=\vec{0}$ je $\vec{a}(t)=K\vec{v}_0\,{\rm e}^{Kt}$.

Funkce $F_x(t)$ je po částech spojitá, je proto integrace schopna.

1. Pro změnu hybnosti hmotného bodu v časovém intervalu $[t_1,\,t_2]$ platí $$\vec{p}(t_2)-\vec{p}(t_1)=\int\limits_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)\,{\rm d}t. $$ V našem případě se mění jen $x$-ová složka hybnosti, $${p}_x(t_2)-{p}_x(t_1)=\int\limits_{t_1}^{t_2}F_x(t)\,{\rm d}t. $$ Vzhledem k tomu, že hladké části závislosti $F_x(t)$ jsou afinní, můžeme místo integrace snadno využít skutečnosti, že integrál z funkce je číselně roven plošnému obsahu útvaru pod grafem této funkce, opatřenému příslušným znaménkem (nad, resp. pod osou nezávisle proměnné znaménko plus, resp. minus). Dostaneme $${p}_x(7,0)-{p}_x(0,0) = \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 5+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 10+ \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 10-$$ $$-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 10-\frac{1}{2}\cdot 2\cdot (10+5)- \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot 5+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot 15=\frac{5}{3}\,{\rm kg}\,{\rm m}\,{\rm s}^{-1}.$$ $$\vec{p}(7,0)-\vec{p}(0,0)=\left(\frac{5}{3},\,0,\,0 \right)\, {\rm kg}\,{\rm m}\,{\rm s}^{-1}. $$
2. Střední hodnotu $x$-ové složky síly dostaneme vydělením integrálu získaného v předchozím úkolu délkou časového intervalu, tj. $$\langle\vec{F} \rangle_{[0,0;7,0]}=\left(\frac{5}{21},\,0,\,0 \right)\,{\rm N}. $$
3. Střední hodnota zrychlení je $$\langle\vec{a} \rangle_{[0,0;7,0]}=\frac{1}{m}\langle\vec{F} \rangle_{[0,0;7,0]}= \left(\frac{25}{21},\,0,\,0 \right)\,{\rm m}\,{\rm s}^{-2},\;\; |\langle\vec{a} \rangle_{[0,0;7,0]}|=\frac{25}{21}\,{\rm m}\,{\rm s}^{-2}. $$
4. Velikost zrychlení v závislosti na čase je $a(t)=\frac{F(t)}{m}$. Její střední hodnota v daném časovém intervalu je $$\langle {a} \rangle_{[0,0;7,0]}=\frac{1}{7m}\int\limits_{0,0}^{7,0} |F_x(t)|. $$ Hodnotu integrálu dostaneme využitím výpočtu a), když všechny sčítance opatříme kladným znaménkem, tj. $$\langle {a} \rangle_{[0,0;7,0]}=\frac{1}{7\cdot 0,2}\left(\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 5+ \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 10+ \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 10+\right. $$ $$\left.+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 10+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot (10+5)+ \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot 5+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot 15 \right)=\frac{575}{21}\,{\rm m}\,{\rm s}^{-2}.$$

Podle druhého Newtonova zákona platí (je-li výslednice sil působících na hmotný bod zadána v závislosti na čase) $$\frac{{\rm d}\vec{p}(t)}{{\rm d}t}=\vec{F}\;\Longrightarrow\; \vec{p}(t)-\vec{p}(0)=\int\limits_0^t\vec{F}(t)\,{\rm d}t=\vec{I}_{[0,t]}. $$ (Levá i pravá strana poslední rovnosti jsou integrály jakožto funkce horní meze.) Impuls jako funkce horní meze je $$\vec{I}_{[0,t]}=\int\limits_0^t\vec{F}(t)\,{\rm d}t, \quad \vec{F}(t)=\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\vec{I}_{[0,t]}.$$ Z druhého Newtonova zákona samotného dostaneme zderivováním levé strany, tj. hybnosti $$\frac{{\rm d}m(t)}{{\rm d}t}\vec{v}(t)+m(t)\frac{{\rm d}v(t)}{{\rm d}t}= \vec{F}(t),$$ $$\frac{{\rm d}m(t)}{{\rm d}t} \left(\vec{v}(0)+\int\limits_0^t\vec{a}(t)\,{\rm d}t\right)+m(t)\vec{a}(t)=\frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \vec{I}_{[0,t]},$$ kam jsme dosadili vyjádření rychlosti pomocí zadaného zrychlení $\vec{a}(t)$ a zadané počáteční rychlosti $\vec{v}(0)$ a vyjádření síly $\vec{F}(t)$ pomocí zadaného impulsu $\vec{I}(t)=\vec{I}_{[0,t]}$. Ve složkách pak \begin{eqnarray*} \frac{{\rm d}m(t)}{{\rm d}t}\left(v_x(0)+\int\limits_0^t a_x(t)\,{\rm d}t\right)+m(t)a_x(t)=\frac{{\rm d}I_x(t)}{{\rm d}t},\\ \frac{{\rm d}m(t)}{{\rm d}t}\left(v_y(0)+\int\limits_0^t a_y(t)\,{\rm d}t\right)+m(t)a_y(t)=\frac{{\rm d}I_y(t)}{{\rm d}t},\\ \frac{{\rm d}m(t)}{{\rm d}t}\left(v_z(0)+\int\limits_0^t a_z(t)\,{\rm d}t\right)+m(t)a_z(t)=\frac{{\rm d}I_z(t)}{{\rm d}t}. \end{eqnarray*} Dostali jsme tři diferenciální rovnice pro jednu neznámou funkci $m(t)$. Proto je třeba uvažovat o slučitelnosti zadaných veličin. Konkrétně, je-li řešení všech tří rovnic stejné, jsou veličiny zadány slučitelně. Dosadíme konkrétní zadání: \begin{eqnarray*} \frac{{\rm d}m(t)}{{\rm d}t}\left(2+\int\limits_0^t (6t^2+12t+6)\,{\rm d}t\right)+m(t)(6t^2+12t+6)=4t+4,\\ \frac{{\rm d}m(t)}{{\rm d}t}\left(5+\int\limits_0^t (4t+7)\,{\rm d}t\right)+m(t)(4t+7)=2,\\ \frac{{\rm d}m(t)}{{\rm d}t}\left(-2+\int\limits_0^t (-2)\,{\rm d}t\right)+m(t)(-2))=0. \end{eqnarray*} Nejjednodušší je třetí rovnice, kterou vyřešíme. Její úpravou dostaneme $$\frac{{\rm d}m}{m}=-\frac{{\rm d}t}{t+1}\;\Longrightarrow\; \ln{m}=-\ln{(t+1)}+K,$$ kde $K$ je integrační konstanta. Pomocí počáteční podmínky $m(0)=1$ dostaneme $K=0$, odtud $$m(t)=\frac{1}{t+1}.$$ Dosazením se snadno přesvědčíme, že toto řešení vyhovuje dvěma zbývajícím rovnicím.

Postupně uplatníme empiriciky zjištěné Keplerovy zákony za předpokladu, že uvažujeme o planetě jako o „testovacím“ objektu, na který působí jediný okolní objekt, a tím je Slunce.

1. První Keplerův zákon připouští i pohyb planety po kružnici, v jejímž středu je Slunce.
2. Velikost plochy opsané za dobu $\Delta t$ průvodičem planety vzhledem ke Slunci je dána obsahem elementárního trojúhelníka, jehož strany jsou tvořeny průvodičem $\vec{r}$ planety vzhledem ke Slunci, průvodičem $\vec{r}+\Delta\vec{r}$ a vektorem posunutí $\Delta\vec{r}$, tj. poloviční velikostí vektorového součinu $\vec{r}\times\Delta{\vec{r}}$. Tzv. plošná rychlost pak je $$\vec{w}=\frac{1}{2}\lim_{t\rightarrow 0} \vec{r}\times\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}= \frac{1}{2}\vec{r}\times{\vec{v}}, $$ kde $\vec{v}$ je rychlost planety vzhledem ke Slunci, tj. vzhledem ke Galileiově vztažné soustavě. Podle druhého Keplerova zákona je velikost plošné rychlosti konstantní. Pohyb planety po kružnici je tedy rovnoměrný. Gravitační síla, jíž působí Slunce na planetu, realizuje dostředivou sílu, tj. $$\vec{F}_g=\frac{mv^2}{r}\left(\frac{-\vec{r}}{r}\right)=(m\omega^2 r) \left(\frac{-\vec{r}}{r}\right), $$ kde $m$ je hmotnost planety. (Pracujeme v přiblížení, v němž je Galileiova vztažná soustava inerciální.)
3. Podle třetího Keplerova zákona je podíl $$\frac{r^3}{T^2}=\frac{r^3\omega^2}{4\pi^2}=K,\;\;\mbox{kde $K$ je konstanta}.$$ Odtud $$\omega^2=\frac{4\pi^2K}{r^3}\;\Longrightarrow\;F_g=\frac{4\pi K m}{r^2},$$ $$\vec{F}_g=-\frac{4\pi^2Km}{r^2}\vec{r}^{\,0},$$ kde $\vec{r}^{\,0}$ je jednotkový vektor ve směru průvodiče $\vec{r}$.