Obecná náplň cvičení

Množiny a množiny...

• Množinový kalkul, Vennovy diagramy, jednoduché ukázky a identity. Například: distributivita průniku vůči sjednocení i naopak; konkrétní protipříklad, proč rozdíl není asociativní; důkaz asociativity symetrického rozdílu.
• Pochopení chování symetrického rozdílu si vůbec zaslouží zvláštní pozornost i na více množinách; jak lze třeba zjednodušit výraz (A∪B)Δ(B∪C)Δ(C∪D) bez použití symetrického rozdílu? Jak zjednodušit výraz (AΔB)∩(BΔC)∩(CΔD)∩(DΔA)?
• Je dobré si znovu probrat definici uspořádané dvojice z přednášky - jak se chová a jak snadno dokázat, že rovnost dvojic znamená rovnost po složkách? (nezapomeňte v tom případ (x,x)!).
• Rekurentní posloupnosti, konkrétní ukázky, odhad řešení a využití indukce k důkazu správnosti řešení - pro náměty viz cvičení 2a nahoře.

Tato druhá část cvičení je poměrně jednoduchá a množinový kalkul obvykle nečiní potíže, až na symetrický rozdíl. Je dobré si všimnout a spojit příklady rekurentních posloupností s důkazy matematickou indukcí (které se výhodně používají k ověření vlastností či předpisů pro takto zadané posloupnosti) - viz cvičení 2a.

Upozornění k diagramům

• Pokud se Vennovy diagramy mají používat k důkazům množinových identit, je to v zásadě možné (s patřičným komentářem). Avšak není formálně možné je jednoduše využít vyvrácení množinového vztahu - u vyvrácení vztahu je třeba vždy podat konkrétní protipříklad volby množin, pro které vztah neplatí. Pouhý vybarvený diagram nestačí - proč?