MAs01 Vybrané partie z matematiky 1

Pedagogická fakulta
podzim 2019
Rozsah
0/0/3. 36 hodin. 6 kr. Ukončení: zk.
Vyučující
Mgr. Helena Durnová, Ph.D. (přednášející)
RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D. (přednášející)
prof. RNDr. Radan Kučera, DSc. (přednášející)
Garance
Mgr. Helena Durnová, Ph.D.
Katedra matematiky – Pedagogická fakulta
Dodavatelské pracoviště: Katedra matematiky – Pedagogická fakulta
Předpoklady
základní předměty bakalářského studia matematiky pro 2.stupeň škol.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je určen pouze studentům mateřských oborů.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Cílem předmětu je prohloubit a rozšířit znalosti studentů z algebry a teorie pravděpodobnosti.
Výstupy z učení
po absolvování předmětu budou studenti schopni: a) prezentovat aplikace teorie grup na nemožnost některých geometrických konstrukcí kružítkem a pravítkem. b) zkonstruovat polynomiální šifrovací kód a pracovat s ním (šifrovací algoritmy). c) znát a prezentovat některé aplikace teorie matic: vlastní čísla matice při řešení systému diferenciálních rovnic; teorie kořist - predátor a asymptotické chování řešení systému diferenciálních rovnic. d) pracovat s popisnou statistikou a základními náhodnými veličinami
Osnova
  • 1. Akce grupy na množině: (homomorfismus grupy G do grupy permutací na nějaké množině X). Stabilizátor, orbita, Burnsidovo lemma a jeho aplikace. Některé aplikace akce grupy v teorii grup.
  • 2. Rozšíření těles: Definice rozšíření, jeho stupeň, multiplikativita stupně. Algebraické vs. transcendentní prvky, minimální polynom algebraického prvku a jeho vlastnosti. Aplikace: nemožnost některých geometrických konstrukcí pravítkem a kružítkem, klasické antické problémy.
  • 3. Kódování a šifrování: Motivace kódování: detekce a oprava chyb vzniklých přenosem signálu. Polynomiální kódy nad Z_2. Konstrukce polynomiálního kódu: pro dané přirozené číslo m. motivace šifrování: posílání zprávy kanálem, který může být odposloucháván. Požadavek podpisu. Řešení: šifrovací algoritmus RS, Rabinův kryptosystém, systém výměny klíčů Diffieho a Helmana, šifrovací algoritmus ElGamal.
  • 4. Matice a jejich aplikace: Matice lineární transformace konečněrozměrného vektorového prostoru, podobné matice; vlastní čísla/vektory. Jordanův kanonický tvar čtvercové matice, charakteristický a minimální polynom čtvercové matice, jejich vzájemný vztah, teorie Perrona a Frobenia pro primitivní matice. Aplikace: iterační procesy: populační modely (dravec-kořist, věkově strukturovaná populace - Leslieho matice), Markovovy procesy.
  • 5. Popisná statistika: charakteristiky znaků, aritmetický průměr, medián a další kvantily, modus, střední hodnota, odchylka, rozptyl, jejich výpočet a význam.
  • 6. Náhodná veličina:. definice, pravděpodobnostní funkce a hustota pravděpodobnosti, distribuční funkce. Základní rozdělení náhodných veličin (rovnoměrné diskrétní i spojité, alternativní, geometrické, binomické, exponenciální, normální) a jejich vlastnosti. Zákon velkých čísel.Centrální limitní věta.
Literatura
  • BUDÍKOVÁ, Marie. Statistika. 1. vyd. Brno: Masarykova univerzita v Brně, 2004, 186 s. ISBN 8021034114. info
  • BUDÍKOVÁ, Marie, Štěpán MIKOLÁŠ a Pavel OSECKÝ. Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika. Sbírka příkladů. 3. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2004, 127 s. ISBN 80-210-3313-4. info
  • ADÁMEK, Jiří. Kódování. 1. vyd. Praha: Státní nakladatelství technické literatury, 1989, 191 s. URL info
Výukové metody
Teoretická přednáška. Samostatná domácí práce.
Metody hodnocení
Zkouška písemná a ústní.
Další komentáře
Předmět je vyučován každoročně.
Výuka probíhá blokově.
Předmět je zařazen také v obdobích podzim 2017, podzim 2018, podzim 2020, podzim 2022, podzim 2023.