M8300 Parciální diferenciální rovnice

Přírodovědecká fakulta
jaro 2026
Rozsah
4/2/2. 10 kr. Doporučované ukončení: zk. Jiná možná ukončení: k.
Vyučováno kontaktně
Vyučující
doc. Phuoc Tai Nguyen, PhD (přednášející)
Tuan Dat Tran (cvičící)
Garance
doc. Phuoc Tai Nguyen, PhD
Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Dodavatelské pracoviště: Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Rozvrh
Po 16. 2. až Pá 22. 5. St 14:00–15:50 M4,01024, Čt 10:00–11:50 MZAS,02015
  • Rozvrh seminárních/paralelních skupin:
M8300/01: Po 16. 2. až Pá 22. 5. Út 18:00–19:50 M6,01011, T. Tran
Předpoklady
! M8110 Parciální diferenc. rovnice && !NOW( M8110 Parciální diferenc. rovnice )
The main pre-requisites are basic concepts in Calculus of one and several variables, Functional Analysis, Measure Theory and Integration, and Theory of ordinary differential equations. It is recommended to start with courses M7300 Global analysis, M7120 Spectral analysis I and M8120 Spectral analysis II before entering this course.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je otevřen studentům libovolného oboru.
Anotace
Kurz si klade za cíl prozkoumat základní aspekty teorie parciálních diferenciálních rovnic (PDR). Zabývá se různými typy lineárních i nelineárních rovnic vznikajících ve fyzice a biologii, včetně rovnic prvního řádu a rovnic druhého řádu typu eliptického a parabolického. Jsou představeny klasické i moderní metody založené na funkcionální analýze a teorii operátorů s aplikacemi v teorii PDR. Konkrétní příklady slouží k ilustraci použitelnosti těchto metod.
Výstupy z učení
Student bude po absolvování předmětu schopen:
- ovládat techniky řešení parciálních diferenciálních rovnic prvního řádu,
- rozumět vlastnostem řešení jednoduchých rovnic druhého řádu, jako jsou Laplaceova rovnice, tepelná rovnice a vlnová rovnice,
- porozumět teorii eliptických a parabolických rovnic druhého řádu,
- používat různé metody k řešení rovnic druhého řádu.
Klíčová témata
- Základní značení a motivace.
- Parciální diferenciální rovnice (PDR) prvního řádu: metoda charakteristik.
- Laplaceova a Poissonova rovnice: harmonické funkce, věty o průměru, fundamentální řešení, Greenova funkce, Poissonovo jádro, energetická metoda.
- Rovnice vedení tepla: fundamentální řešení, počáteční úlohy, Duhamelův princip, princip maxima, energetická metoda.
- Vlnové rovnice: vzorce pro řešení, oblasti závislosti a energetická metoda.
- Lebesgueovy prostory: definice, Hölderova nerovnost, úplnost, dualita, konvoluce.
- Sobolevovy prostory: slabá derivace, aproximace hladkými funkcemi, spojitá vnoření, kompaktní vnoření.
- Eliptické rovnice druhého řádu: slabá řešení, Lax-Milgramova věta, lokální a globální výsledky regularity, princip maxima, vlastní čísla a vlastní funkce.
- Parabolické rovnice druhého řádu: slabá řešení, Galerkinova metoda, regularita, princip maxima.
- Spektrální metody: metoda a aplikace při řešení PDR.
- Fourierova metoda: definice a základní vlastnosti, aplikace při řešení PDR.
- Teorie pologrup: definice a vlastnosti, aplikace.
- Nelineární rovnice: úvod do vybraných nelineárních rovnic, metody existence a vlastnosti řešení.
Studijní zdroje a literatura
    doporučená literatura
  • Gilbarg, David and Trudinger, Neil S. Elliptic partial differential equations of second order. Reprint of the 1998 edition Classics Math. Springer-Verlag, Berlin, 2001. xiv+517 pp.
  • BREZIS, Haïm. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. New York: Springer, 2011, xiii, 599. ISBN 9780387709130. info
  • Partial differential equations. Edited by Jürgen Jost. New York: Springer-Verlag, 2002, xi, 325. ISBN 0387954287. info
    neurčeno
  • Evans, Lawrence C. Partial differential equations. Second edition Grad. Stud. Math., 19 American Mathematical Society, Providence, RI, 2010. xxii+749 pp.
Přístupy, postupy a metody používané ve výuce
Přednášky, cvičení, domácí úlohy
Způsob ověření výstupů z učení a požadavky na ukončení
- Hodnocení a klasifikace: Závěrečná známka se skládá z domácích úkolů (20 %), průběžné (písemné) zkoušky (30 %) a závěrečné zkoušky (písemné a ústní) (50 %).
- Klasifikační stupnice: A (90–100 %), B (80–89 %), C (70–79 %), D (60–69 %), E (50–59 %) a F (méně než 50 %).
- Způsobilost přistoupit k závěrečné zkoušce vyžaduje odevzdání alespoň 50 % zadaných domácích úkolů.
- Bonusové body jsou udělovány za aktivní účast na přednáškách a cvičeních.
Vyučovací jazyk
Angličtina
Odkaz a informace vyučujících
Výuka probíhá v angličtině. Mezi cílové dovednosti studia patří schopnost používat anglický jazyk pasivně i aktivně ve vlastní odbornosti a také v potenciálních oblastech aplikací matematiky. Hodnocení ve všech případech může probíhat v češtině i v angličtině, dle volby studenta.
Další komentáře
Předmět je vyučován každoročně.
Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů
Předmět je zařazen také v obdobích jaro 2020, jaro 2021, jaro 2022, jaro 2023, jaro 2024, jaro 2025.
  • Statistika zápisu (nejnovější)
  • Permalink: https://is.muni.cz/predmet/sci/jaro2026/M8300