EN

PřF:MF002 Stochastická analýza - Informace o předmětu

MF002 Stochastická analýza

Přírodovědecká fakulta
jaro 2019
Rozsah
2/2. 4 kr. (příf plus uk k 1 zk 2 plus 1 > 4). Ukončení: zk.
Vyučující
Mgr. Ondřej Pokora, Ph.D. (přednášející)
Garance
doc. PaedDr. RNDr. Stanislav Katina, Ph.D.
Ústav matematiky a statistiky - Ústavy - Přírodovědecká fakulta
Dodavatelské pracoviště: Ústav matematiky a statistiky - Ústavy - Přírodovědecká fakulta
Rozvrh
Po 18. 2. až Pá 17. 5. Po 12:00–13:50 M4,01024
  • Rozvrh seminárních/paralelních skupin:
MF002/01: Po 18. 2. až Pá 17. 5. St 8:00–9:50 MP1,01014, St 8:00–9:50 M4,01024, O. Pokora
Předpoklady
Diferenciální a integrální počet jedné a více proměnných: derivace, limita, Riemannův integrál, Taylorův rozvoj, pravidla pro derivování a integrování funkcí. Základy lineární algebry: vektorový prostor, báze, norma, skalární součin. Pravděpodobnost a statistika, základy náhodných procesů: axiomatická teorie pravděpodobnosti, jevové pole, pravděpodobnostní prostor, náhodná veličina, normální rozdělení pravděpodobnosti, střední hodnota, rozptyl, korelace, odhady parametrů, intervaly spolehlivosti, definice náhodného procesu, typické příklady náhodných procesů. Základní znalosti práce se statistickým softwarem R: syntaxe příkazů pro aritmetické operace, práce s vektory a maticemi, základní práce s 2D grafikou.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je otevřen studentům libovolného oboru.
Cíle předmětu
Tento kurz seznámí posluchače se základními principy a metodami stochastické analýzy a s modelováním reálných dějů (v ekonomii, finanční matematice, biologii, inženýrství) pomocí Wienerova procesu. Známé metody matematické analýzy jsou zobecněny pro náhodné procesy, speciálně na Wienerův proces a difuzní procesy obecně. V teoretické části kurzu se posluchač naučí zejména rozumět a využívat L2-prostor a L2-konvergenci náhodných veličin, počítat stochastické integrály, řešit stochastické diferenciální rovnice, využívat martingaly a uvědomit si propojení difuzních procesů a parciálních diferenciálních rovnic. V praktické části se posluchač naučí simulovat Wienerův proces a difuzní procesy na počítači, odhadovat parametry pomocí simulačních studií a modelovat reálné děje (vývoj ceny akcie, vývoj membránového potenciálu neuronu, vývoj ukazatele kvality) či oceňovat některé finanční deriváty (evropské a binární bariérové opce).
Výstupy z učení
Po absolvování kurzu bude student schopen:
- popsat Wienerův proces a jeho vlastnosti využít jej při modelování;
- řešit základní typy stochastických diferenciálních rovnic;
- popsat princip ekvivalentní (např. rizikově neutrální) pravděpodobnosti;
- modelovat vývoj ceny akcie a membránového potenciálu neuronu pomocí simulace trajektorií Wienerova procesu;
- aplikovat fundamentální postup oceňování finančních derivátů a spočítat cenu evropské a binární bariérové opce;
Osnova
  • Náhodné procesy a jejich vlastnosti, L2 prostor, Hilbertův prostor.
  • Wienerův proces (Brownův pohyb) a jeho konstrukce.
  • Lineární a kvadratická variace.
  • Itoův a Stratonovičův stochastický integrál.
  • Itoovo lemma, Itoův proces, stochastická diferenciální rovnice.
  • Martingaly, věta o martingalové reprezentaci.
  • Radonova-Nikodymova derivace, Cameronova-Martinova věta, Girsanovova věta.
  • Blackův-Scholesův model, opce, geometrický Brownův pohyb.
  • Markovské procesy se spojitým časem, difúze, Ornsteinův-Uhlenbeckův proces.
  • Stochastická interpretace rovnice difúze a Laplaceovy rovnice, Feynmanova-Kacova věta.
Literatura
  • KARATZAS, Ioannis a Steven E. SHREVE. Brownian motion and stochastic calculus. New York: Springer, 1988. 23, 470. ISBN 0387976558. info
  • ØKSENDAL, Bernt. Stochastic differential equations : an introduction with applications. 6th ed. Berlin: Springer, 2005. xxvii, 365. ISBN 3540047581. info
  • KLOEDEN, Peter E., Eckhard PLATEN a Henri SCHURZ. Numerical solution of SDE through computer experiments. Berlin: Springer, 1994. xiv, 292. ISBN 3540570748. info
  • KARATZAS, Ioannis a Steven E. SHREVE. Methods of mathematical finance. New York: Springer-Verlag, 1998. xv, 415. ISBN 0387948392. info
  • HULL, John. Options, futures & other derivatives. 5th ed. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2003. xxi, 744. ISBN 0130090565. info
  • MELICHERČÍK, Igor, Ladislava OLŠAROVÁ a Vladimír ÚRADNÍČEK. Kapitoly z finančnej matematiky. [Bratislava: Miroslav Mračko, 2005. 242 s. ISBN 8080576513. info
Výukové metody
Přednáška: 2 hod. týdně.
Cvičení: 2 hod. týdně. Na cvičeních se mj. využívá prostředí R, studenti řeší i domácí úlohy a projekt.
Metody hodnocení
Cvičení: povinná účast, domácí úlohy a projekt. Závěrečná zkouška: skládá se z písemné a ústní části, pro úspěšné absolvování je potřeba dosáhnout alespoň 25 % bodů v každé části a alespoň 50 % bodů v součtu (písemná:ústní část váhy cca 2:1).
Další komentáře
Studijní materiály
Předmět je vyučován každoročně.
Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů
Předmět je zařazen také v obdobích jaro 2008 - akreditace, jaro 2011 - akreditace, jaro 2009, jaro 2010, jaro 2011, jaro 2012, jaro 2012 - akreditace, jaro 2013, jaro 2014, jaro 2015, jaro 2016, jaro 2017, jaro 2018.
  • Statistika zápisu (nejnovější)
  • Permalink: https://is.muni.cz/predmet/sci/jaro2019/MF002