F5066 Funkce komplexní proměnné

Přírodovědecká fakulta
podzim 2011 - akreditace

Údaje z období podzim 2011 - akreditace se nezveřejňují

Rozsah
2/2/0. 4 kr. Ukončení: z.
Vyučující
prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Dušan Hemzal, Ph.D. (cvičící)
Garance
prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Předpoklady
Základy analýzy v reálném oboru
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Předmět je součástí základního kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Jeho základní cíle jsou:

* Představit studentům základy teorie funkce komplexní proměnné a upozornit na její specifické odlišnosti od teorie funkcí reálné proměnné.
* Ukázat studentům praktické použití teorie (zejména residuové věty a Laplaceovy transformace) pro výpočet komplexních i reáných integrálů a zejména pro fyzikální aplikace (kvantová mechanika, fyzika pevných látek).

Absolvováním kursu získá student tyto znalosti a dovednosti:
* Pochopení základů teorie funkcí komplexní proměnné a jejích principiálních odlišností od teorie funkcí reálné proměnné.
* Praktickou dovednost při výpočtech obsahujících funkce komplexní proměnné, zejména při výpočtech integrálů v komplexním i reálném oboru pomocí Cauchyovy věty a residuové věty.
* Praktickou dovednost při použití výpočtů v oblasti funkcí komplexní proměnné ve fyzikálních aplikacích (residuová věta, Laplaceova transformace).
* Pochopení problematiky odezvových funkcí prostřednictvím Laplaceovy transformace.
Osnova
  • 1.Úvodní pojmy-definice funkce komplexní proměnné, integrál.
  • 2. Holomorfní funkce, Cauchyovy-Riemannovy podmínky
  • 3. Regulární funkce, Taylorova řada.
  • 4. Cauchyova věta a její použití pro výpočet integrálů.
  • 5. Věta o jednoznačnosti, holomorfní prodloužení.
  • 6. Aplikace věty o jednoznačnosti, elementární funkce definované řadami.
  • 7. Fyzikální aplikace Cauchyovy věty (Kramersovy-Kronigovy relace) a věty o jednoznačnosti.
  • 8. Laurentova řada a reziduum.
  • 9. Věta o reziduích a její důsledky.
  • 10. Aplikace věty o reziduích při výpočtu integrálů.
  • 11. Mnohoznačné funkce, prodloužení podél křivek, základní mnohoznačné funkce.
  • 12. Laplaceova transformace.
  • 13. Aplikace Laplaceovy transformace ve fyzice, odezvové funkce.
  • 14. Konformní zobrazení a fyzikální aplikace.
Literatura
  • JEVGRAFOV, Marat Andrejevič. Funkce komplexní proměnné. Translated by Ladislav Průcha. Vyd. 1. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1981, 379 s. URL info
  • JEVGRAFOV, Marat Andrejevič. Sbírka úloh z teorie funkcí komplexní proměnné. Translated by Anna Něničková - Věra Maňasová - Eva Nováková. Vyd. 1. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1976, 542 s. URL info
  • RUDIN, Walter. Analýza v reálném a komplexním oboru. Vyd. 2., přeprac. Praha: Academia, 2003, 460 s. ISBN 8020011250. info
Výukové metody
Přednáška: teoretická výuka kombinovaná s praktickými příklady
Cvičení: teoretické cvičení zaměřené na procvičení základních pojmů a tvrzení, samostatné řešení úloh, včetně úloh komplexnějšího charakteru
Metody hodnocení
Výuka: přednáška, cvičení
Zápočet: písemný (dvě části: (a) úlohy, (b) test).
Průběžné požadavky: Písemné testy. Účast ve cvičeních je povinná (75 %)
Další komentáře
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.
Výuka probíhá každý týden.
Předmět je zařazen také v obdobích podzim 2007 - akreditace, podzim 1999, podzim 2000, podzim 2001, podzim 2002, podzim 2003, podzim 2004, podzim 2005, podzim 2006, podzim 2007, podzim 2008, podzim 2009, jaro 2012, jaro 2013, jaro 2014, jaro 2015, jaro 2016, jaro 2017, jaro 2018, jaro 2020, jaro 2021, jaro 2023, jaro 2025.