M3100F Matematická analýza III

Přírodovědecká fakulta
podzim 2019
Rozsah
4/2/0. 6 kr. (příf plus uk k 1 zk 2 plus 1 > 4). Doporučované ukončení: zk. Jiná možná ukončení: k.
Vyučující
doc. Mgr. Petr Zemánek, Ph.D. (přednášející)
Mgr. Pavla Musilová, Ph.D. (cvičící)
Garance
doc. Mgr. Petr Zemánek, Ph.D.
Ústav matematiky a statistiky - Ústavy - Přírodovědecká fakulta
Dodavatelské pracoviště: Ústav matematiky a statistiky - Ústavy - Přírodovědecká fakulta
Rozvrh
Po 10:00–11:50 M2,01021, Čt 12:00–13:50 M1,01017
  • Rozvrh seminárních/paralelních skupin:
M3100F/01: Po 12:00–13:50 F1,01014, P. Musilová
Předpoklady
( M2100F Matematická analýza II || M2100 Matematická analýza II ) && ! M3100 Matem. analýza III
Předpokládají se znalosti z kurzů Matematická analýza I a II.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Závěrečná část třísemestrového kurzu základů matematické analýzy, je zaměřena na nekonečné řady, úvod do komplexní analýzy a úvod do funkcionální analýzy. Po úspěšném absolvování tohoto kurzu bude student schopen:
definovat a interpretovat základní pojmy užívané v základních partiích analýzy a vysvětlit souvislosti mezi nimi;
formulovat příslušné matematické věty a tvrzení a vysvětlit metody jejich důkazů;
ovládat efektivní techniky používané v základních oblastech matematické analýzy;
aplikovat získané poznatky při řešení konkrétních příkladů včetně příkladů aplikačního charakteru.
Výstupy z učení
Studenti bude po absolvování předmětu schopni:
definovat a interpretovat pojmy z teorie nekonečných řad a komplexní a funkcionální analýzy;
formulovat příslušná matematická tvrzení a vysvětlit metody jejich důkazů;
analyzovat úlohy související s probíranou tématikou;
orientovat se v základních teoretických a praktických metodách z teorie nekonečných řad a komplexní a funkcionální analýzy;
aplikovat metody matematické analýzy na konkrétní úlohy.
Osnova
  • I. Nekonečné číselné řady: základní pojmy, číselné řady s nezápornými členy, alternující řady, řady s libovolnými členy, kritéria konvergence, absolutní a neabsolutní konvergence, operace s číselnými řadami, Riemannova věta o přerovnání, násobení nekonečných řad.
  • II. Posloupnosti a řady funkcí: bodová a stejnoměrná konvergence, kritéria a příklady stejnoměrné konvergence, derivování a integrování posloupností a řad funkcí, mocninné řady a jejich aplikace, poloměr konvergence, Taylorova řada, Fourierovy řady, Fourierova transformace.
  • III. Úvod do komplexní analýzy: základní pojmy, posloupnosti a nekonečné řady v C, derivace v C, Cauchyho-Riemannovy podmínky, holomorfní funkce, funkce zadané mocninnými řadami, exponenciální funkce, goniometrické funkce, mocniny, odmocniny, komplexní logaritmus, obecná mocnina, integrál v C, Cauchyho věta a její aplikace na výpočet integrálů z reálného oboru, Cauchyho vzorec, vlastnosti holomorfních funkcí, Laurentova řada, singularity holomorfních funkcí, reziduum funkce v bodě, reziduová věta, aplikace reziduové věty na výpočet integrálů.
  • IV. Základy funkcionální analýzy: Hilbertovy prostory, lineární funkcionály, duální prostory, samoadjungované lineární operátory v Hilbertových prostorech, spektrální teorie.
Literatura
  • KALAS, Josef. Analýza v komplexním oboru. 1. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2006. iv, 202. ISBN 8021040459. info
  • DOŠLÁ, Zuzana a Vítězslav NOVÁK. Nekonečné řady. Vyd. 1. Brno: Masarykova univerzita, 1998. 113 s. ISBN 8021019492. info
  • KOLMOGOROV, A. N. a S. V. FOMIN. Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. 1. vyd. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1975. 581 s. info
Výukové metody
Standardní teoretická přednášky doplněné cvičeními.
Metody hodnocení
Přednáška 4 hodiny týdně, cvičení (povinná) 2 hodiny týdně.
Ve cvičeních se budou psát 3 kontrolní písemky, na jejichž základě bude uděleno 0-5 bodů podle následujícího klíče:
    ● 0 bodů bude uděleno v případě nesplnění povinné docházky na cvičení nebo menšího než 30% zisku z celkového bodového úhrnu za kontrolní písemky — v takovém případě je celkové hodnocení předmětu X nebo F
    ● alespoň 1 bod je udělen v případě nejméně 30% zisku z celkového bodového úhrnu za kontrolní písemky
    ● hodnocení 1-5 bodů je rozděleno podle klíče 10-15-35-25-15
V případě zisku alespoň 1 bodu ze cvičení se můžete zúčastnit závěrečné zkoušky, která má dvě části: písemnou a ústní.
V písemné části se prokazuje schopnost praktické aplikace získaných poznatků na konkrétní příklady a dosažení potřebné početní praxe. Zde lze získat max. 25 bodů.
Pro postoupení k ústní části je potřeba mít v součtu písemné části a cvičení alespoň 13 bodů.
V ústní části je pak vedena diskuze na dvě vylosovaná témata. Zde je vyžadována znalost základních pojmů a tvrzení včetně případných souvislostí. Výsledné hodnocení je pak uděleno na základě získaných bodů a znalostí prokázaných v ústní části.
K úspěšnému ukončení: alespoň 13 bodů ze cvičení a písemné části a neprokázání výrazných neznalostí v ústní části. V případě zisku pouze 13-16 bodů musí být znalosti v ústní části nadpůměrné.
Výsledky kontrolních písemek jsou součástí celkového hodnocení.
Další komentáře
Studijní materiály
Předmět je vyučován každoročně.
Nachází se v prerekvizitách jiných předmětů
Předmět je zařazen také v obdobích podzim 2020.