M6140 Topologie

Přírodovědecká fakulta
podzim 2025
Rozsah
2/1/0. 3 kr. (příf plus uk k 1 zk 2 plus 1 > 4). Ukončení: zk.
Vyučováno kontaktně
Vyučující
prof. RNDr. Jiří Rosický, DrSc. (přednášející)
Garance
doc. Lukáš Vokřínek, PhD.
Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Dodavatelské pracoviště: Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Rozvrh
Po 10:00–11:50 M3,01023
  • Rozvrh seminárních/paralelních skupin:
M6140/01: Út 13:00–13:50 M5,01013, J. Rosický
Předpoklady
M3100 Matem. analýza III || M3100F Matem. analýza III
Matematická analýza: metrické prostory, spojité funkce
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Přednáška seznamuje s jednou ze základních oblastí moderní matematiky. Zavádí topologické prostory, čímž přirozeně zobecňuje známé pojmy metrického prostoru a spojitého zobrazeni. Prezentuje axiomy oddělitelnosti, pojmy souvislosti a kompaktnosti. Vysvětluje pojem homotopie a zavádí fundamentální grupu včetně jejího využití. Konečně zavádí uniformní prostory a stejnoměrně spojitá zobrazení.
Výstupy z učení
Pochopení pojmu spojitosti formalizovaného pomocí topologických a uniformních prostoru;
porozumění pojmům oddělitelnosti, souvislosti a kompaktnosti;
schopnost vidět topologické pozadí teorie spojitých reálných funkcí a metrických prostorů;
představa o pojmu homotopie včetně fundamentální grupy a jejího využití k důkazu Brouwerovy věty o pevném bodě a základní věty algebry.
Osnova
  • 1. Topologické prostory: definice, příklady
  • 2. Spojitost: spojitá zobrazení, homeomorfismy
  • 3. Základní topologické konstrukce: podprostory, kvocienty, součiny, součty
  • 4. Axiomy oddělitelnosti: T0-prostory, T1-prostory, Hausdorffovy prostory, regulární prostory, normální prostory
  • 5. Reálné funkce: úplně regulární prostory, Urysohnovo lemma, Tietzeho věta
  • 6. Kompaktní prostory: kompaktnost, základní vlastnosti, Tichonovova věta
  • 7. Kompaktifikace: lokálně kompaktní prostory, jednobodová kompaktifikace, Čechova-Stoneova kompaktifikace
  • 8. Souvislost: souvislé prostory, komponenty, součin souvislých prostorů, obloukově souvislé prostory, lokálně souvislé prostory, kontinua, 0-dimenzionální prostory
  • 9. Uniformní prostory: definice, základní vlastnosti, stejnoměrně spojitá zobrazení, kompaktní uniformní prostory, metrizovatelnost, uniformizovatelnost
  • 10. Homotopie: definice, základní vlastnosti, jednoduše souvislé prostory, fundamentální grupa, Brouwerova věta v dimenzi 2, základní věta algebry
  • 11. Brouwerova věta: komplexy, triangulace, Spernerovo lemma, Brouwerova věta
Literatura
    povinná literatura
  • L. Vokřínek, Topologie
    doporučená literatura
  • M. Muger, Topology for the Working Mathematician, Radboud Universiteit, 2020
  • PULTR, Aleš. Podprostory euklidovských prostorů. Vyd. 1. Praha: SNTL - Státní nakladatelství technické literatury, 1986, 253 s. info
  • PULTR, Aleš. Úvod do topologie a geometrie. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 231 s. info
Výukové metody
Přednáška: teoretická výuka založená na zadané literatuře doplněná příklady a aplikacemi.
Cvičení: teoretické cvičení zaměřené na procvičení základních pojmů a tvrzení.
Metody hodnocení
Přednáška zakončena ústní zkoušku. Zkouška proběhne prezenčně. Účast na přednášce žádoucí. Domácí práce zadávána, odevzdávána ve cvičení.
Další komentáře
Studijní materiály
Předmět je vyučován každoročně.
Předmět je zařazen také v obdobích jaro 2008 - akreditace, jaro 2011 - akreditace, jaro 2000, jaro 2001, jaro 2002, jaro 2003, jaro 2004, jaro 2005, jaro 2006, jaro 2007, jaro 2008, jaro 2009, jaro 2010, jaro 2011, jaro 2012, jaro 2012 - akreditace, jaro 2013, jaro 2014, jaro 2015, jaro 2016, jaro 2017, jaro 2018, jaro 2019, jaro 2020, podzim 2020, podzim 2021, podzim 2022, podzim 2023, podzim 2024.
  • Statistika zápisu (nejnovější)
  • Permalink: https://is.muni.cz/predmet/sci/podzim2025/M6140