Vytvořte text, který podává přehled vybraných témat nastíněných v předmětu Algebra 1, se zřetelem na stručný úvod do daných témat a příklady, které je dobře ilustrují. Vaše práce by měla obsahovat kapitoly: 1) Rovnice v grupě a pologrupě: Uveďte příklady situací, kdy řešení rovnice existuje právě jedno, neexistuje žádné, existuje jich více než jedno. 2) Grupa permutací: uveďte základní pravidla pro počítání s operací skládání permutací. Zmiňte Cayleyho větu. Uveďte příklady zmiňující nekomutativitu této operace. Prozkoumejte nějakou grupu permutací více než tří prvků, přednostně asi grupu permutací čtyřprvkové množiny. 3) Řešení rovnic ve faktorgrupě, řešení rovnic v okruhu zbytkových tříd, netriviální dělitelé nuly. 4) Okruh polynomů, reducibilní a ireducibilní polynom, věta o rozšíření těles, vektorový prostor (vektorové prostory jen okrajově, jen pro určení dimenze a báze rozšířeného tělesa chápaného jako vektorový prostor -- alternativou by bylo tuto kapitolu rozšířit a říci něco o řešitelnosti rovnic ve vektorových prostorech = o systémech lineárních rovnic) 5) Využití algebry v zajímavých důkazech: stupeň rozšíření těles, nemožnost sestrojení některých útvarů jen pomocí pravítka a kružítka, Galoisova teorie.