Přechod na menu, Přechod na obsah, Přechod na patičku
     

I. 3. Derivace funkce



Definice 9
Buď f(x) funkce a x_0\in D(f). Existuje-li

\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

nazýváme tuto limitu derivací funkce f(x) v bodě x_0 a značíme f'(x_0). Je-li tato limita vlastní, hovoříme o vlastní derivaci. Je-li tato limita nevlastní, hovoříme o nevlastní derivaci.

Základní vzorce pro počítání s derivacemi (f a g jsou funkce, k\in\mathbb{R}):

(f\pm g)'=f'\pm g',\quad (k\cdot f)'=k\cdot f',\quad (f\cdot g)'=f'g+fg',\quad \left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2},
(f\circ g)'(x)=\left[f(g(x))\right]'=f'(g(x))\cdot g'(x).

Derivace elementárních funkcí (k,\alpha\in\mathbb{R}, \alpha\not =0, a>0, b>0, b\not =1):

(k)' =0, (\cos x)' =-\sin x,
(x^{\alpha})' =\alpha x^{\alpha-1}, (\operatorname{tg} x)' =\dfrac{1}{\cos^2 x},
(\operatorname{e}^x)' =\operatorname{e}^x, (\operatorname{cotg} x)' =-\dfrac{1}{\sin^2 x},
(a^x)' =a^x\cdot\ln a, (\operatorname{arcsin} x)' =\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}},
(\ln x)' =\dfrac{1}{x}, (\operatorname{arccos} x)' =-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}},
(\log_b x)' =\dfrac{1}{x\cdot \ln b}, (\operatorname{arctg} x)' =\dfrac{1}{1+x^2},
(\sin x)' =\cos x, (\operatorname{arccotg} x)' =-\dfrac{1}{1+x^2}.
Věta 10
Nechť funkce f:~x=f(y) je spojitá a ryze monotónní na intervalu I. Nechť y_0 je vnitřní bod intervalu I a nechť má f v y_0 derivaci f'(y_0). Pak inverzní funkce f^{-1}:~y=f^{-1}(x) má v bodě x_0=f(y_0) derivaci a platí

\left(f^{-1}\right)'(x_0)= \begin{cases} \dfrac{1}{f'(y_0)}=\dfrac{1}{f'\left(f^{-1}(x_0)\right)}, \quad\text{je-li } f'(y_0)\not =0,\\ +\infty, \quad \text{je-li } f'(y_0)=0 \text{ a funkce $f$ je na $I$ rostoucí},\\ -\infty, \quad \text{je-li } f'(y_0)=0 \text{ a funkce $f$ je na $I$ klesající}. \end{cases}

Rovnice tečny ke grafu funkce f(x) v bodě dotyku (x_0,f(x_0)):

t:~y=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0).

Pokud f'(x_0)=\pm\infty a pokud je funkce f v tomto bodě spojitá, pak je tečna v tomto bodě rovnoběžná s osou y a její rovnice tedy je

t:~x=x_0.

Rovnice normály ke grafu funkce y=f(x) v bodě dotyku (x_0,f(x_0)):

n:~y =f(x_0)-\dfrac{1}{f'(x_0)}(x-x_0), \quad \text{je-li} f'(x_0)\not =0,
n:~x =x_0, \quad \text{je-li} f'(x_0)=0.

Pokud f'(x_0)=\pm\infty a pokud funkce f v tomto bodě spojitá, pak je normála v tomto bodě rovnoběžná s osou x a její rovnice tedy je

n:~y=f(x_0).

Příklad č. 149» Zobrazit zadání «

Z definice vypočtěte hodnotu f'(0), kde f(x)=\sin x.

Řešení» Zobrazit řešení «

Z definice platí

f'(0)=(\sin x)'_{x=0}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x - \sin 0}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1.

Příklad č. 150» Zobrazit zadání «

Z definice vypočtěte hodnotu f'(0), kde f(x)= \lvert \sin x \rvert.

Řešení» Zobrazit řešení «
\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{ \left\lvert \sin x \right\rvert - \left\lvert \sin 0 \right\rvert }{x-0} = \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{ \left\lvert \sin x \right\rvert }{x}= \begin{cases} \lim\limits_{x\to 0^{+}}\dfrac{\sin x}{x}=1,\\ \lim\limits_{x\to 0^{-}}\dfrac{-\sin x}{x}=-1, \end{cases} \quad\Rightarrow
\Rightarrow\text{derivace neexistuje.}
Příklad č. 151» Zobrazit zadání «

Z definice vypočtěte hodnotu f'(\sqrt{5}), kde f(x)=\sqrt{x^2-1}.

Řešení» Zobrazit řešení «
\lim\limits_{x\to\sqrt{5}}\dfrac{\sqrt{x^2-1}-2}{x-\sqrt{5}}= \lim\limits_{x\to\sqrt{5}}\dfrac{x^2-1-4}{\left(x-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{x^2-1}+2\right)}=
\hspace*{5mm}= \lim\limits_{x\to\sqrt{5}}\dfrac{\left(x-\sqrt{5}\right)\left(x+\sqrt{5}\right)}{\left(x-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{x^2-1}+2\right)}= \lim\limits_{x\to\sqrt{5}}\dfrac{x+\sqrt{5}}{\sqrt{x^2-1}+2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}.
Příklad č. 152» Zobrazit zadání «

Z definice určete derivaci funkce \sinh x = \dfrac{\operatorname{e}^x-\operatorname{e}^{-x}}{2}.

Řešení» Zobrazit řešení «
(\sinh x)' = \lim\limits_{h\to0} \dfrac{\sinh(x+h) - \sinh x}{h} = \lim\limits_{h\to0} \dfrac{\frac{\operatorname{e}^{x+h}-\operatorname{e}^{-(x+h)}}{2} - \frac{\operatorname{e}^x-\operatorname{e}^{-x}}{2}}{h} =
= \lim\limits_{h\to0} \dfrac{\operatorname{e}^{x+h} - \operatorname{e}^x - \operatorname{e}^{-x-h} + \operatorname{e}^{-x}}{2h} = \dfrac{1}{2} \lim\limits_{h\to0} \left(\dfrac{\operatorname{e}^x\operatorname{e}^h - \operatorname{e}^x}{h} + \dfrac{\operatorname{e}^{-x}\operatorname{e}^{-h} - \operatorname{e}^{-x}}{-h}\right) =
= \dfrac{1}{2} \lim\limits_{h\to0} \left(\operatorname{e}^x \dfrac{\operatorname{e}^h - 1}{h} + \operatorname{e}^{-x} \dfrac{\operatorname{e}^{-h} - 1}{-h}\right) =
= \dfrac{1}{2} \left(\operatorname{e}^x \lim\limits_{h\to0} \dfrac{\operatorname{e}^h - 1}{h} + \operatorname{e}^{-x} \lim\limits_{h\to0} \dfrac{\operatorname{e}^{-h} - 1}{-h}\right)=
= \dfrac{1}{2}\left(\operatorname{e}^x \cdot 1 + \operatorname{e}^{-x} \cdot 1\right) = \dfrac{\operatorname{e}^x + \operatorname{e}^{-x}}{2} =
= \cosh x.
Příklad č. 153» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)\equiv 1.

Řešení» Zobrazit řešení «

Přímo ze základních vzorců obdržíme

\left(1\right)'=0.

Příklad č. 154» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)=6x.

Řešení» Zobrazit řešení «

Přímo ze základních vzorců obdržíme

\left(6x\right)'=6.

Příklad č. 155» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)=x^2.

Řešení» Zobrazit řešení «

Přímo ze základních vzorců obdržíme

\left(x^2\right)'=2x.

Příklad č. 156» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)=\sqrt{x}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Přímo ze základních vzorců obdržíme

\left(\sqrt{x}\right)'=\left(x^{\frac{1}{2}}\right)'=\dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.

Příklad č. 157» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)=\dfrac{1}{x}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Přímo ze základních vzorců obdržíme

\left(\dfrac{1}{x}\right)'=\left(x^{-1}\right)'=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^{2}}.

Příklad č. 158» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)=\sqrt[4]{x^7}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Přímo ze základních vzorců obdržíme

\left(\sqrt[4]{x^7}\right)'=\left(x^{\frac{7}{4}}\right)'=\frac{7}{4}x^{\frac{3}{4}}=\frac{7}{4}\sqrt[4]{x^3}.

Příklad č. 159» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)=x^3+2x-\sin x+2.

Řešení» Zobrazit řešení «

Přímo ze základních vzorců obdržíme

\left(x^3+2x-\sin x+2\right)'=3x^2+2-\cos x.

Příklad č. 160» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)=-2\cos x+4\operatorname{e}^x+\dfrac{1}{3}x^7.

Řešení» Zobrazit řešení «

Přímo ze základních vzorců obdržíme

\left(-2\cos x+4\operatorname{e}^x+\dfrac{1}{3}x^7\right)'=2\sin x+4\operatorname{e}^x+\dfrac{7}{3}x^6.

Příklad č. 161» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)=x\operatorname{e}^x.

Řešení» Zobrazit řešení «

Pomocí vzorce pro derivaci součinu funkcí obdržíme

\left(x\operatorname{e}^x\right)'=1\cdot\operatorname{e}^{x}+x\cdot\operatorname{e}^{x}=(1+x)\operatorname{e}^{x}.

Příklad č. 162» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)=\dfrac{3x-2}{x^2+1}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Derivováním podílu odostaneme

\left(\dfrac{3x-2}{x^2+1}\right)'= \dfrac{3\cdot(x^2+1)-(3x-2)\cdot2x}{(x^2+1)^2}= \dfrac{-3x^2+4x+3}{(x^2+1)^2}.

Příklad č. 163» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)=\dfrac{x\ln x}{\operatorname{arcsin} x+\operatorname{arctg} x}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Kombinací derivování podílu a součinu získáme přímo

\left(\dfrac{x\ln x}{\operatorname{arcsin} x+\operatorname{arctg} x}\right)'= \dfrac{(\ln x+1)(\operatorname{arcsin} x+\operatorname{arctg} x)-x\ln x \left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{1+x^2}\right)}{(\operatorname{arcsin} x+\operatorname{arctg} x)^2}.

Příklad č. 164» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)= x^7+4\sqrt[3]{x^2}+\operatorname{arctg} (3x+1)+\sin{x^2}+2^x+\operatorname{arcsin}{7x}+
+\ln(1+x^2)+x^2 \operatorname{e}^{1-10x}.
Řešení» Zobrazit řešení «

Aplikováním základních vzorců, derivováním složené funkce a součinu dostaneme

\left(x^7+4\sqrt[3]{x^2}+\operatorname{arctg} (3x+1)+\sin{x^2}+2^x+\operatorname{arcsin}{7x}+\right.
\left.\hspace*{10mm}+\vphantom{x^7+4\sqrt[3]{x^2}+\operatorname{arctg} (3x+1)+\sin{x^2}+2^x+\operatorname{arcsin}{7x}+}\ln(1+x^2)+x^2 \operatorname{e}^{1-10x}\right)'=
\hspace*{5mm}= 7x^6+4\left(x^{\frac{2}{3}}\right)'+\dfrac{1}{(3x+1)^2+1}\cdot\left(3x+1\right)'+ \left(\cos{x^2}\right)\cdot\left(x^2\right)'+2^x\ln2+
\hspace*{10mm}+ \dfrac{1}{\sqrt{1-(7x)^2}}\cdot\left(7x\right)'+\dfrac{1}{1+x^2}\cdot\left(x^2\right)'+2x\cdot\operatorname{e}^{1-10x}+
\hspace*{10mm}+x^2\cdot\operatorname{e}^{1-10x}\cdot\left(1-10x\right)'=
\hspace*{5mm}= 7x^6+\dfrac{8}{3}{\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}}+\dfrac{3}{9x^2+6x+2}+2x\cos{x^2}+2^x\ln2+\dfrac{7}{\sqrt{1-49x^2}}+
\hspace*{10mm}+\dfrac{2x}{1+x^2}+2x\operatorname{e}^{1-10x}-10x^2\operatorname{e}^{1-10x}.
Příklad č. 165» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)=(3x^2-2x+10)^{10}.

Řešení» Zobrazit řešení «
\left[(3x^2-2x+10)^{10}\right]' = 10(3x^2-2x+10)^{9}\left(3x^2-2x+10\right)'=
= 10(3x^2-2x+10)^{9}(6x-2).
Příklad č. 166» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)=\sqrt{4-x^2}.

Řešení» Zobrazit řešení «

\left(\sqrt{4-x^2}\right)'= \left[\left(4-x^2\right)^{\frac{1}{2}}\right]'= \dfrac{1}{2}\cdot\left(4-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot\left(4-x^2\right)'= -\dfrac{x}{\sqrt{4-x^2}}.

Příklad č. 167» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)=\ln \sin x.

Řešení» Zobrazit řešení «

\left(\ln \sin x\right)'= \dfrac{1}{\sin x}\cdot \cos x=\operatorname{cotg} x.

Příklad č. 168» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)=\sqrt{\sin 3x}.

Řešení» Zobrazit řešení «
\left(\sqrt{\sin 3x}\right)'= \left[\left(\sin 3x\right)^{\frac{1}{2}}\right]'=
\hspace*{20mm}= \dfrac{1}{2}\left(\sin 3x\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot\left(\sin 3x\right)'= \dfrac{1}{2}\left(\sin 3x\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot\cos 3x\cdot\left(3x\right)'=
\hspace*{20mm}= \dfrac{1}{2}\left(\sin 3x\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot\cos 3x\cdot3= \dfrac{3\cos 3x}{2\sqrt{\sin 3x}}.
Příklad č. 169» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x) = \sqrt[5]{x^2} \left(\sqrt{x} - \dfrac{2}{5x^2} + 6 \sqrt[5]{x^3}\right).

Řešení» Zobrazit řešení «
f(x) = x^{\frac{2}{5}} \left(x^{\frac{1}{2}} - \dfrac{2}{5} x^{-2} + 6 x^{\frac{3}{5}}\right) = x^{\frac{9}{10}} - \dfrac{2}{5} x^{-\frac{8}{5}} + 6 x,
f'(x) = \dfrac{9}{10} x^{-\frac{1}{10}} - \dfrac{2}{5} \left(-\dfrac{8}{5}\right) x^{-\frac{13}{5}} + 6 = \dfrac{9}{10\sqrt[10]{x}} + \dfrac{16}{25\sqrt[5]{x^{13}}} + 6 =
= \dfrac{9}{10\sqrt[10]{x}} + \dfrac{16}{25x^2\sqrt[5]{x^{3}}} + 6 = \dfrac{9\sqrt[10]{x^9}}{10x} + \dfrac{16\sqrt[5]{x^2}}{25x^3} + 6.
Příklad č. 170» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x) = x^2 \operatorname{e}^x \sin x.

Řešení» Zobrazit řešení «
f'(x) = [x^2 (\operatorname{e}^x \sin x)]' = 2x (\operatorname{e}^x \sin x) + x^2 (\operatorname{e}^x \sin x)' =
= 2x \operatorname{e}^x \sin x + x^2 (\operatorname{e}^x \sin x + \operatorname{e}^x \cos x) =x\operatorname{e}^x (2\sin x+x\sin x+x\cos x).
Příklad č. 171» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x) = \dfrac{1}{\ln x}.

Řešení» Zobrazit řešení «

f'(x) = (\ln^{-1}x)' = -1 \ln^{-2}x \dfrac{1}{x} = -\dfrac{1}{x\ln^2 x}.

Příklad č. 172» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x) = \operatorname{arccotg} 2x.

Řešení» Zobrazit řešení «

f'(x) = \dfrac{-1}{1+(2x)^2}\cdot 2 = \dfrac{-2}{1+4x^2}.

Příklad č. 173» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x) = (2x+6)4^x.

Řešení» Zobrazit řešení «

f'(x) = 2 \cdot 4^x + (2x+6) 4^x \ln 4 = 2 \cdot 4^x \big[1+(x+3)\ln4\big].

Příklad č. 174» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x) = 7^{\tfrac{\sqrt{x}}{\ln x}}.

Řešení» Zobrazit řešení «
f'(x) = 7^{\frac{\sqrt{x}}{\ln x}} \ln 7 \cdot \dfrac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\ln x - \sqrt{x} \frac{1}{x}}{\ln^2 x} = 7^{\frac{\sqrt{x}}{\ln x}} \ln 7 \cdot \dfrac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\ln x - \frac{1}{\sqrt{x}}}{\ln^2 x} =
= 7^{\frac{\sqrt{x}}{\ln x}} \ln 7 \cdot \dfrac{\ln x - 2}{2\sqrt{x}\ln^2 x}.
Příklad č. 175» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x) = x \sin^2(2x).

Řešení» Zobrazit řešení «
f'(x) = 1 \sin^2 (2x) + x2\sin (2x) \cos (2x) 2 =
= \sin^2 (2x) + 4x\sin (2x) \cos (2x)=\sin^2 (2x) + 2x \sin (4x).
Příklad č. 176» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x) = \dfrac{-2}{\ln \cos x}.

Řešení» Zobrazit řešení «
f'(x) = -2[(\ln \cos x)^{-1}]' = -2(-1)(\ln\cos x)^{-2} \dfrac{1}{\cos x} (-\sin x) =
= -2\dfrac{\sin x}{\cos x (\ln\cos x)^2} = \dfrac{-2\operatorname{tg} x}{\ln^2\cos x}.
Příklad č. 177» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x) = 7^{2x^3+x-9}.

Řešení» Zobrazit řešení «

f'(x) = 7^{2x^3+x-9} \ln 7 (6x^2+1).

Příklad č. 178» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x) = \sqrt{\dfrac{1-x}{x^2+1}}.

Řešení» Zobrazit řešení «
f'(x) = \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{x^2+1}{1-x}} \cdot \dfrac{(-1)(x^2+1)-(1-x)2x}{(x^2+1)^2} =
= \sqrt{\dfrac{x^2+1}{1-x}} \cdot \dfrac{x^2-2x-1} {2(x^2+1)^2}.
Příklad č. 179» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x) = \operatorname{arccotg} \dfrac{2x}{x^2-1}.

Řešení» Zobrazit řešení «
f'(x) = \dfrac{-1}{1+\left(\frac{2x}{x^2-1}\right)^2} \cdot \dfrac{2(x^2-1)-2x\cdot2x}{(x^2-1)^2} = \dfrac{-1}{\frac{(x^2-1)^2+4x^2}{(x^2-1)^2}} \cdot \dfrac{-2x^2-2}{(x^2-1)^2} =
= \dfrac{2x^2+2}{x^4+2x^2+1} = \dfrac{2(x^2+1)}{(x^2+1)^2} = \dfrac{2}{x^2+1}.
Příklad č. 180» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \operatorname{arctg} \dfrac{\sqrt{5}x}{1-x^2}.

Řešení» Zobrazit řešení «
f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot \dfrac{1}{1+\left(\frac{\sqrt{5}x}{1-x^2}\right)^2}\cdot \dfrac{\sqrt{5}(1-x^2)-\sqrt{5}x(-2x)}{(1-x^2)^2} =
= \dfrac{1}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{1}{1+\frac{5x^2}{(1-x^2)^2}} \cdot \dfrac{\sqrt{5}(x^2+1)}{(1-x^2)^2} = \dfrac{1}{\frac{(1-x^2)^2+5x^2}{(1-x^2)^2}} \cdot \dfrac{x^2+1}{(1-x^2)^2} =
= \dfrac{x^2+1}{x^4+3x^2+1}.
Příklad č. 181» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x) = x^5 + 5^x.

Řešení» Zobrazit řešení «

f'(x) = 5x^4 + 5^x \ln 5.

Příklad č. 182» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x) = 5x^5\sqrt[5]{5^x}.

Řešení» Zobrazit řešení «
f'(x) = 5 \cdot 5x^4\sqrt[5]{5^x} + 5x^5\frac{1}{5}(5^x)^{-\frac{4}{5}}5^x\ln 5 = 25 x^4 \sqrt[5]{5^x} + x^5 \sqrt[5]{5^x} \ln 5 =
= x^4 \sqrt[5]{5^x}(25+x\ln 5).
Příklad č. 183» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x) = \ln\ln(x-3) + \operatorname{arcsin}\dfrac{x-5}{2}.

Řešení» Zobrazit řešení «
f'(x) = \dfrac{1}{\ln(x-3)} \cdot \dfrac{1}{x-3} + \dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x-5}{2}\right)^2}}\cdot \dfrac{1}{2} =
= \dfrac{1}{(x-3)\ln(x-3)} + \dfrac{1}{\sqrt{-x^2+10x-21}}.
Příklad č. 184» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x) = \operatorname{arccos}\log_{\frac{2}{3}}x^2.

Řešení» Zobrazit řešení «
f'(x) = \dfrac{-1}{\sqrt{1-\log^2_{\frac{2}{3}}x^2}} \dfrac{1}{x^2 \ln\frac{2}{3}} 2x =
= \dfrac{-2}{x\ln\frac{2}{3}\sqrt{1-\log^2_{\frac{2}{3}}x^2}}.
Příklad č. 185» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x) = \ln^2\cos^3x^5.

Řešení» Zobrazit řešení «
f'(x) = 2 \ln\cos^3x^5 \cdot \dfrac{1}{\cos^3x^5} \cdot 3 \cos^2x^5 (-\sin x^5) 5x^4 =
= -30 \dfrac{\ln\cos^3x^5 \cdot \cos^2x^5 \cdot \sin x^5 \cdot x^4}{\cos^3x^5} =
= -30x^4 \cdot \ln\cos^3x^5 \cdot \operatorname{tg} x^5.
Příklad č. 186» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x) = \sqrt[3]{\ln\cos\dfrac{2x+1}{4}}.

Řešení» Zobrazit řešení «
f'(x) = \dfrac{1}{3} \left(\ln\cos\dfrac{2x+1}{4}\right)^{-\frac{2}{3}} \dfrac{1}{\cos\frac{2x+1}{4}} \left(-\sin\dfrac{2x+1}{4}\right) \dfrac{1}{2} =
= -\dfrac{1}{6} \dfrac{1}{\sqrt[3]{\left(\ln\cos\frac{2x+1}{4}\right)^2}} \operatorname{tg} \dfrac{2x+1}{4}.
Příklad č. 187» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)=x^x.

Řešení» Zobrazit řešení «

Poněvadž se proměnná x vyskytuje v základu i v exponentu, musíme využít exponenciální funkci, tj.

\left(x^x\right)' = \left(\operatorname{e}^{x\ln x}\right)'= \operatorname{e}^{x\ln x}\left(x\ln x\right)'= \operatorname{e}^{x\ln x}\left(1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}\right)=
= \operatorname{e}^{x\ln x}\left(1+\ln x\right)= x^x\left(1+\ln x\right).

Zkuste výsledek porovnat s tím, který byste obdrželi aplikováním vzorce \left(x^{n}\right)'=nx^{n-1} a/nebo \left(a^{x}\right)'=a^{x}\ln a.

Příklad č. 188» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)=x^{x^2}.

Řešení» Zobrazit řešení «
\left(x^{x^2}\right)' = \left(\operatorname{e}^{x^2\ln x}\right)'= \operatorname{e}^{x^2\ln x}\left(x^2\ln x\right)'= \operatorname{e}^{x^2\ln x}\left(2x\cdot\ln x+x^2\cdot\dfrac{1}{x}\right)=
= x^{x^2}\left(2x\cdot\ln x+x\right)= x^{x^2+1}(2\ln x+1)
Příklad č. 189» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)=x^{\sin x}.

Řešení» Zobrazit řešení «
\left(x^{\sin x}\right)' = \left(\operatorname{e}^{\sin x\cdot\ln x}\right)'= \operatorname{e}^{\sin x\cdot\ln x}\left(\sin x\cdot\ln x\right)'=
= \operatorname{e}^{\sin x\cdot\ln x}\left(\cos x\cdot\ln x+\dfrac{\sin x}{x}\right)= x^{\sin x}\left(\cos x\cdot\ln x+\dfrac{\sin x}{x}\right).
Příklad č. 190» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)=(\sin x)^{\ln x}.

Řešení» Zobrazit řešení «
\left[(\sin x)^{\ln x}\right]' = \left(\operatorname{e}^{\ln x\cdot \ln\sin x}\right)'= \operatorname{e}^{\ln x\cdot \ln\sin x}\left(\ln x\cdot \ln\sin x\right)'=
= \operatorname{e}^{\ln x\cdot \ln\sin x}\left(\dfrac{1}{x}\cdot \ln\sin x+\ln x\cdot\dfrac{1}{\sin x}\cdot\cos x\right)=
= \left(\sin x\right)^{\ln x}\left(\dfrac{\ln\sin x}{x}+\dfrac{\cos x\cdot\ln x}{\sin x}\right).
Příklad č. 191» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x) = (\ln x)^{\operatorname{tg} x}.

Řešení» Zobrazit řešení «
f'(x) = \left[\operatorname{e}^{\operatorname{tg} x \ln\ln x}\right]' = \operatorname{e}^{\operatorname{tg} x \ln\ln x} (\operatorname{tg} x \ln\ln x)'=
= (\ln x)^{\operatorname{tg} x} \left(\dfrac{1}{\cos^2 x}\ln\ln x + \operatorname{tg} x \dfrac{1}{\ln x} \dfrac{1}{x}\right) =
= (\ln x)^{\operatorname{tg} x} \left(\dfrac{\ln\ln x}{\cos^2 x} + \dfrac{\operatorname{tg} x}{x \ln x}\right).
Příklad č. 192» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)=\sqrt{\dfrac{1-\operatorname{e}^x}{1+\operatorname{e}^x}}.

Řešení» Zobrazit řešení «
\left(\sqrt{\dfrac{1-\operatorname{e}^x}{1+\operatorname{e}^x}}\right)' = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{\frac{1-\operatorname{e}^x}{1+\operatorname{e}^x}}}\cdot \dfrac{-\operatorname{e}^{x}\left(1+\operatorname{e}^{x}\right)-\left(1-\operatorname{e}^{x}\right)\operatorname{e}^{x}}{\left(1+\operatorname{e}^{x}\right)^2}=
= \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1+\operatorname{e}^x}{1-\operatorname{e}^x}}\cdot\dfrac{-2\operatorname{e}^{x}}{\left(1+\operatorname{e}^{x}\right)^2}= \sqrt{\dfrac{\left(1+\operatorname{e}^x\right)^2}{1-\operatorname{e}^{2x}}}\cdot\dfrac{-\operatorname{e}^{x}}{\left(1+\operatorname{e}^{x}\right)^2}=
= \dfrac{-\operatorname{e}^x}{\left(1+\operatorname{e}^x\right)\sqrt{1-\operatorname{e}^{2x}}}.
Příklad č. 193» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)=(x^2+1)^{\operatorname{arctg} x}.

Řešení» Zobrazit řešení «
\left[(x^2+1)^{\operatorname{arctg} x}\right]' = \left(\operatorname{e}^{\operatorname{arctg} x\cdot\ln(x^2+1)}\right)'= \operatorname{e}^{\operatorname{arctg} x\cdot\ln(x^2+1)}\left[\operatorname{arctg} x\cdot\ln(x^2+1)\right]'=
= \operatorname{e}^{\operatorname{arctg} x\cdot\ln(x^2+1)}\left[\dfrac{1}{1+x^2}\cdot\ln(x^2+1)+\operatorname{arctg} x\cdot\dfrac{1}{x^2+1}\cdot 2x\right]=
= (x^2+1)^{\operatorname{arctg} x-1}\left[2x\operatorname{arctg} x +\ln(x^2+1)\right].
Příklad č. 194» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)=\ln \dfrac{\operatorname{e}^x}{x^2+1}.

Řešení» Zobrazit řešení «
\left(\ln \dfrac{\operatorname{e}^x}{x^2+1}\right)' = \dfrac{1}{\frac{\operatorname{e}^x}{x^2+1}}\cdot\dfrac{\operatorname{e}^{x}\left(x^2+1\right)-\operatorname{e}^{x}2x}{\left(x^2+1\right)^2}= \dfrac{x^2+1}{\operatorname{e}^{x}}\cdot\dfrac{\operatorname{e}^{x}\left(x-1\right)^2}{\left(x^2+1\right)^2}=
= {\dfrac {(x-1)^2}{x^2+1}}.
Příklad č. 195» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)=\ln \dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}.

Řešení» Zobrazit řešení «
\left(\ln \dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}\right)' = \dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}\cdot\dfrac{\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot(x+1)-\sqrt{x^2+1}}{(x+1)^2}=
= \dfrac{x(x+1)-x^2-1}{(x^2+1)(x+1)}=\dfrac{x-1}{(x+1)(x^2+1)}.
Příklad č. 196» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)=\ln \sqrt{\dfrac{1-\sin x}{1+ \sin x}}.

Řešení» Zobrazit řešení «
\left(\ln \sqrt{\dfrac{1-\sin x}{1+ \sin x}}\right)'=
\hspace{5mm}=\dfrac{1}{\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}}\cdot \dfrac{-\cos x(1+\sin x)-(1-\sin x)\cos x}{(1+\sin x)^2}=
\hspace{5mm}= \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}\cdot\dfrac{-2\cos x}{(1+\sin x)^2}= \dfrac{-\cos x}{1-\sin^2 x}=-\dfrac{1}{\cos x}.
Příklad č. 197» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)=\ln \dfrac{x+2-2\sqrt{x+1}}{x}.

Řešení» Zobrazit řešení «
\left(\ln \dfrac{x+2-2\sqrt{x+1}}{x}\right)'=
\hspace{5mm}=\dfrac{x}{x+2-2\sqrt{x+1}}\cdot \dfrac{\left(1-\frac{2}{2\sqrt{x+1}}\right)\cdot x-x-2+2\sqrt{x+1}}{x^2}=
\hspace{5mm}= \dfrac{\left(\sqrt{x+1}-1\right)x-x\sqrt{x+1}-2\sqrt{x+1}+2x+2}{x^2\sqrt{x+1}+2x\sqrt{x+1}-2x^2-2x}=
\hspace{5mm}= \dfrac{2+x-2\sqrt{x+1}}{x\left(x+2-2\sqrt{x+1}\right)\sqrt{x+1}}=\dfrac{1}{x\sqrt {x+1}}.
Příklad č. 198» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)=\dfrac{\operatorname{arccos}{x}}{x}+\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{1-\sqrt{1-x^2}}{1+\sqrt{1-x^2}}.

Řešení» Zobrazit řešení «
\left(\dfrac{\operatorname{arccos}{x}}{x}+\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{1-\sqrt{1-x^2}}{1+\sqrt{1-x^2}}\right)'= \dfrac{-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot x-\operatorname{arccos} x}{x^2}+
\hspace{5mm}+ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1+\sqrt{1-x^2}}{1-\sqrt{1-x^2}}\cdot \dfrac{-\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot\left(1+\sqrt{1-x^2}\right)- \left(1-\sqrt{1-x^2}\right)\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}}{\left(1+\sqrt{1-x^2}\right)^2}=
\hspace{2mm}= -\dfrac{1}{x\sqrt{1-x^2}}-\dfrac{\operatorname{arccos} x}{x^2}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+x+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}-x}{1-1+x^2}=
\hspace{2mm}= -\dfrac{1}{x\sqrt{1-x^2}}-\dfrac{\operatorname{arccos} x}{x^2}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}}{x^2}=
\hspace{2mm}= -\dfrac{1}{x\sqrt{1-x^2}}-\dfrac{\operatorname{arccos} x}{x^2}+\dfrac{1}{x\sqrt{1-x^2}}=-\dfrac{\operatorname{arccos} x}{x^2}.
Příklad č. 199» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)=(x-2)\sqrt{1+\operatorname{e}^x}-\ln\dfrac{\sqrt{1+\operatorname{e}^x}-1}{\sqrt{1+\operatorname{e}^x}+1}.

Řešení» Zobrazit řešení «
\left[(x-2)\sqrt{1+\operatorname{e}^x}-\ln\dfrac{\sqrt{1+\operatorname{e}^x}-1}{\sqrt{1+\operatorname{e}^x}+1}\right]'= \sqrt{1+\operatorname{e}^{x}}+(x-2)\cdot\dfrac{\operatorname{e}^{x}}{2\sqrt{1+\operatorname{e}^{x}}}-
\hspace{10mm}- \dfrac{\sqrt{1+\operatorname{e}^{x}}+1}{\sqrt{1+\operatorname{e}^{x}}-1}\cdot \dfrac{\frac{\operatorname{e}^{x}}{2\sqrt{1+\operatorname{e}^{x}}}\left(\sqrt{1+\operatorname{e}^{x}}+1\right)- \left(\sqrt{1+\operatorname{e}^{x}}-1\right)\frac{\operatorname{e}^{x}}{2\sqrt{1+\operatorname{e}^{x}}}}{\left(\sqrt{1+\operatorname{e}^{x}}+1\right)^2}=
\hspace{2mm}= \sqrt{1+\operatorname{e}^{x}}+\dfrac{(x-2)\operatorname{e}^{x}}{2\sqrt{1+\operatorname{e}^{x}}}-\dfrac{\frac{\operatorname{e}^{x}}{2}+\frac{\operatorname{e}^{x}}{2\sqrt{1+\operatorname{e}^{x}}}- \frac{\operatorname{e}^{x}}{2}+\frac{\operatorname{e}^{x}}{2\sqrt{1+\operatorname{e}^{x}}}}{1+\operatorname{e}^{x}-1}=
\hspace{2mm}= \sqrt{1+\operatorname{e}^{x}}+\dfrac{(x-2)\operatorname{e}^{x}}{2\sqrt{1+\operatorname{e}^{x}}}-\dfrac{\frac{2\operatorname{e}^{x}}{2\sqrt{1+\operatorname{e}^{x}}}}{\operatorname{e}^{x}}=
\hspace{2mm}= \sqrt{1+\operatorname{e}^{x}}+\dfrac{(x-2)\operatorname{e}^{x}}{2\sqrt{1+\operatorname{e}^{x}}}-\dfrac{1}{\sqrt{1+\operatorname{e}^{x}}}=
\hspace{2mm}= \dfrac{1+\operatorname{e}^{x}+\frac{x\operatorname{e}^{x}}{2}-\operatorname{e}^{x}-1}{\sqrt{1+\operatorname{e}^{x}}}=\dfrac{x\operatorname{e}^x}{2\sqrt{1+\operatorname{e}^x}}.
Příklad č. 200» Zobrazit zadání «

Zderivujte

f(x)=\operatorname{arcsin}\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}.

Řešení» Zobrazit řešení «
\left(\operatorname{arcsin}\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}\right)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{1-x}{1+x}}}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\cdot \dfrac{-1\cdot(1+x)-(1-x)\cdot1}{(1+x)^2}=
= \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{\frac{1+x-1+x}{1+x}}}\cdot\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}\cdot\dfrac{-2}{(1+x)^2}=
= -\sqrt{\dfrac{1+x}{2x}}\cdot\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}\cdot\dfrac{1}{(1+x)^2}=
= -\dfrac{1}{(1+x)\sqrt{2x-2x^2}}.
Příklad č. 201» Zobrazit zadání «

Určete první a druhou derivaci funkce

f(x)=x^2\sin\sqrt{x}.

Řešení» Zobrazit řešení «
\left(x^2\sin\sqrt{x}\right)' = 2x\sin\sqrt{x}+\dfrac{x^2}{2\sqrt{x}}\cos\sqrt{x},
\left(x^2\sin\sqrt{x}\right)'' = \left(2x\sin\sqrt{x}+\dfrac{x^2}{2\sqrt{x}}\cos\sqrt{x}\right)'=
= 2\sin\sqrt{x}+\dfrac{2x}{2\sqrt{x}}\cos\sqrt{x}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{2}\sqrt{x}\cos\sqrt{x}- \dfrac{1}{2}x^{\frac{3}{2}}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\sin\sqrt{x}=
= 2\sin\sqrt{x}+\dfrac{7}{4}\sqrt{x}\cos \sqrt{x}-\dfrac{1}{4}x\sin\sqrt{x}.
Příklad č. 202» Zobrazit zadání «

Určete první a druhou derivaci funkce

f(x)=\operatorname{tg}^2 x.

Řešení» Zobrazit řešení «
\left(\operatorname{tg}^2 x\right)' = \left(\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\right)'= \dfrac{2\cdot\sin x\cdot\cos x\cdot\cos^2 x-\sin^2 x\cdot 2\cdot\cos x\cdot(-\sin x)}{\cos^4 x}=
= \dfrac{2\cdot\sin x\cdot\cos x\cdot\left(\cos^2 x+\sin^2 x\right)}{\cos^4 x}= \dfrac{2\cdot\sin x}{\cos^3 x},
\left(\operatorname{tg}^2 x\right)'' = \left(\dfrac{2\cdot\sin x}{\cos^3 x}\right)'= \dfrac{2\cdot\cos x\cdot\cos^3 x-2\cdot\sin x\cdot3\cdot\cos^2 x\cdot(-\sin x)}{\cos^6 x}=
= \dfrac{2\cdot\cos^4 x+6\cdot\sin^2 x\cdot\cos^2 x}{\cos^6 x}=
= \dfrac{2\cdot\cos^2x+6\cdot\sin^2x}{\cos^4x}.
Příklad č. 203» Zobrazit zadání «

Určete hodnotu derivace dané funkce v bodě x_0.

f(x) = 3x^2+2x-8, \quad x_0=-1.

Řešení» Zobrazit řešení «
f'(x) = 6x+2,
f'(-1) = 6(-1)+2 = -4.
Příklad č. 204» Zobrazit zadání «

Určete hodnotu derivace dané funkce v bodě x_0.

f(x) = \ln\operatorname{tg} x, \quad x_0=\dfrac{\pi}{12}.

Řešení» Zobrazit řešení «
f'(x) = \dfrac{1}{\operatorname{tg} x} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 x} = \dfrac{1}{\frac{\sin x}{\cos x}\cos^2 x} =
= \dfrac{1}{\sin x \cos x} = \dfrac{2}{2\sin x \cos x} = \dfrac{2}{\sin 2x},
f'(\dfrac{\pi}{12}) = \dfrac{2}{\sin \frac{\pi}{6}} = \dfrac{2}{\frac{1}{2}} = 4.
Příklad č. 205» Zobrazit zadání «

Určete funkční hodnotu dané funkce v bodě x_0 a dále v tomto bodě určete hodnotu první a druhé derivace této funkce.

f(x) = \sqrt{3x^4 + 1}, \quad x_0=-1.

Řešení» Zobrazit řešení «
f'(x) = \dfrac{1}{2} (3x^4+1)^{-\frac{1}{2}}12x^3 = \dfrac{6x^3}{\sqrt{3x^4+1}},
f''(x) = \dfrac{18x^2\sqrt{3x^4+1} - 6x^3 \frac{6x^3}{\sqrt{3x^4+1}}}{3x^4+1},
f(-1) = \sqrt{3+1} = 2,
f'(-1) = \dfrac{-6}{2} = -3,
f''(-1) = \dfrac{18 \cdot 2 - \frac{36}{2}}{4} = \dfrac{9}{2}.
Příklad č. 206» Zobrazit zadání «

Určete funkční hodnotu dané funkce v bodě x_0 a dále v tomto bodě určete hodnotu první a druhé derivace této funkce.

f(x) = x \sin 2x, \quad x_0=\dfrac{\pi}{4}.

Řešení» Zobrazit řešení «
f'\left(x\right) = 1 \sin 2x + x \cos 2x 2 = \sin 2x + 2x \cos 2x,
f''\left(x\right) = 2\cos 2x + 2 \cos 2x + 2x \left(-\sin 2x\right) 2 = 4 \cos 2x - 4x \sin 2x,
f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\pi}{4} 1 = \dfrac{\pi}{4},
f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 1+0 = 1,
f''\left(\dfrac{\pi}{4}\right) =0-4\dfrac{\pi}{4}1 = -\pi.
Příklad č. 207» Zobrazit zadání «

Pomocí inverzní funkce určete derivaci funkce \operatorname{arccos} x.

Řešení» Zobrazit řešení «
(\operatorname{arccos} x)' = \dfrac{1}{\cos'(\operatorname{arccos} x)} = \dfrac{1}{-\sin(\operatorname{arccos} x)} =
= \dfrac{-1}{\sqrt{1-\cos^2(\operatorname{arccos} x)}} = \dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}.
Příklad č. 208» Zobrazit zadání «

Pomocí inverzní funkce určete derivaci funkce \sqrt[3]{x}.

Řešení» Zobrazit řešení «

(\sqrt[3]x)' \left\bracevert\begin{matrix} \sqrt[3]x = y \end{matrix}\right\bracevert = \dfrac{1}{(y^3)'} = \dfrac{1}{3y^2} = \dfrac{1}{3(\sqrt[3]x)^2} = \dfrac{1}{3(\sqrt[3]{x})^2} = \dfrac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}}.

Příklad č. 209» Zobrazit zadání «

Určete rovnici tečny a normály funkce

f(x)=\sqrt{x^2-3x+11}

v bodě x_0=2.

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve musíme spočítat funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x_0=2, tj.

f'(x)=\dfrac{2x-3}{2\sqrt{x^2-3x+11}}\overset{x=2}{\rightsquigarrow}\dfrac{1}{6}, \qquad f(x)=\sqrt{x^2-3x+11}\overset{x=2}{\rightsquigarrow}3.

Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme

t:~y-3 =\dfrac{1}{6}\left(x-2\right), \qquad n:~y-3 =-6(x-2),
y =\dfrac{x}{6}+\dfrac{8}{3}, \qquad y =-6x+15.
Příklad č. 210» Zobrazit zadání «

Určete rovnici tečny a normály funkce

f(x)=\operatorname{arctg} \sqrt{x^2-1}

v bodě x_0=\sqrt{2}.

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve musíme spočítat funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x_0=\sqrt{2}, tj.

f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2-1}\cdot\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}\overset{x=\sqrt{2}}{\rightsquigarrow} \dfrac{\sqrt{2}}{2},\ f(x)=\operatorname{arctg} \sqrt{x^2-1}\overset{x=\sqrt{2}}{\rightsquigarrow}\dfrac{\pi}{4}.

Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme

t:~y-\dfrac{\pi}{4} =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(x-\sqrt{2}\right), \qquad n:~y-\dfrac{\pi}{4} =-\dfrac{2}{\sqrt{2}}\cdot\left(x-\sqrt{2}\right),
y =\dfrac{\sqrt{2}}{2}x-1+\dfrac{\pi}{4}, \qquad y =-\dfrac{2}{\sqrt{2}}x+2+\dfrac{\pi}{4}.
Příklad č. 211» Zobrazit zadání «

Určete rovnici tečny a normály funkce

f(x)=4-x^2

v dotykovém bodě x_0, jenž je průsečíkem grafu funkce f(x) s kladnou částí osy x.

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve určíme bod x_0. Funkce f(x) má s osou x průsečíky v bodech, které jsou řešením kvadratické rovnice f(x)=0. Tato řešení jsou \pm2, proto x_0=2. Nyní spočítáme funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x_0=2, tj.

f'(x) =-2x\overset{x=2}{\rightsquigarrow}-4,
f(x) =4-x^2\overset{x=2}{\rightsquigarrow}0.

Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme

t:~y-0 =-4\left(x-2\right), \qquad n:~y-0 =\dfrac{1}{4}\cdot\left(x-2\right),
y =-4x+8, \qquad y =\dfrac{1}{4}x-\dfrac{1}{2}.
Příklad č. 212» Zobrazit zadání «

Určete rovnici tečny a normály funkce

f(x)=x\operatorname{e}^{-\frac{x^2}{2}}

v bodě x_0=1.

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve musíme spočítat funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x_0=1, tj.

f'(x)=\operatorname{e}^{-\tfrac{x^2}{2}}+x\operatorname{e}^{-\tfrac{x^2}{2}}\left(-\dfrac{2x}{2}\right)\overset{x=1}{\rightsquigarrow} 0, \qquad f(x)=x\operatorname{e}^{-\tfrac{x^2}{2}}\overset{x=1}{\rightsquigarrow}\operatorname{e}^{-\tfrac{1}{2}}.

Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme

t:~y-\operatorname{e}^{-\frac{1}{2}} =0\left(x-1\right), \qquad n:~x =1,
y =\operatorname{e}^{-\frac{1}{2}}, \qquad x =1.
Příklad č. 213» Zobrazit zadání «

Určete rovnici tečny a normály funkce

f(x) = x^2 \log_2(x^2-7).

v bodě x_0=-3.

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve musíme spočítat funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x_0=-3, tj.

f'(x) =2x \log_2(x^2-7) + \dfrac{2x^3}{(x^2-7)\ln2} \overset{x=-3}{\rightsquigarrow} -6-\dfrac{27}{\ln2},
f(x) =x^2 \log_2(x^2-7) \overset{x=-3}{\rightsquigarrow} 9.

Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme

t:\ y-9 = \left(-6-\dfrac{27}{\ln2}\right)(x+3),
y =-\left(6+\dfrac{27}{\ln2}\right)x + 9 - 3 \left(6+\dfrac{27}{\ln2}\right),
n:\ y-9 = \dfrac{1}{6+\frac{27}{\ln2}} (x+3),
y =\dfrac{\ln2}{6\ln2+27}x + 9 + 3 \dfrac{\ln2}{6\ln2+27}.
Příklad č. 214» Zobrazit zadání «

Určete rovnici tečny a normály funkce

f(x) = \dfrac{1-x}{x^2-3}.

v bodě x_0=-2.

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve musíme spočítat funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x_0=-2, tj.

f'(x) =\dfrac{x^2-2x+3}{(x^2-3)^2} \overset{x=-2}{\rightsquigarrow} 11,
f(x) =\dfrac{1-x}{x^2-3} \overset{x=-2}{\rightsquigarrow} 3.

Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme

t:~y-3 = 11(x+2),
y =11x+25,
n:~y-3 = -\dfrac{1}{11}(x+2),
y =-\dfrac{x}{11}+\dfrac{31}{11}.
Příklad č. 215» Zobrazit zadání «

Určete rovnici tečny a normály funkce

f(x) = 2x+\sin x.

v bodě x_0=\pi.

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve musíme spočítat funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x_0=\pi, tj.

f'(x) =2+\cos x \overset{x=\pi}{\rightsquigarrow} 1,
f(x) = 2x+\sin x \overset{x=\pi}{\rightsquigarrow} 2\pi.

Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme

t:~y-2\pi = 1(x-\pi),
y =x+\pi,
n:~y-2\pi = -1(x-\pi),
y =-x+3\pi.
Příklad č. 216» Zobrazit zadání «

Určete rovnici tečny a normály funkce

f(x) = (x^2+1)\sqrt{x^2-4x+11}.

v bodě x_0=-1.

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve musíme spočítat funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x_0=-1, tj.

f'(x) =\dfrac{3x^3-10x^2+23x-2}{\sqrt{x^2-4x+11}} \overset{x=-1}{\rightsquigarrow} -\dfrac{19}{2},
f(x) = (x^2+1)\sqrt{x^2-4x+11} \overset{x=-1}{\rightsquigarrow} 8.

Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme

t:~y-8 = -\dfrac{19}{2}(x+1),
y =-\dfrac{19}{2}x-\dfrac{3}{2},
n:~y-8 = \dfrac{2}{19}(x+1),
y =\dfrac{2}{19}x+\dfrac{154}{19}.

nahoru

Tisková verze

Kapitola ve formátu PDF (Adobe Acrobat)

Mgr. Petr Zemánek, Ph.D., Mgr. Petr Hasil, Ph.D. |
ÚMS, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita |
Návrat na úvodní stránku webu, přístupnost |
Stránky Přírodovědecké fakulty MU
| Technická spolupráce:
| Servisní středisko pro e-learning na MU
| Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, 2012

Technické řešení této výukové pomůcky je spolufinancováno Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.