Přechod na menu, Přechod na obsah, Přechod na patičku

Sbírka řešených příkladů z matematické analýzy I
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity
Mgr. Petr Zemánek, Ph.D., Mgr. Petr Hasil, Ph.D.

I. 1. Opakování a úvod do matematické analýzy

nahoru

Základní vzorce

Poznámka 1

Nejde o úplný přehled. Je uvedeno pouze znění základních vzorců bez ohledu na to, kde (ne)jsou definovány. Některé vzorce lze snadno odvodit z ostatních zde uvedených.

Mnohočleny

$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2,$	$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2),$
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b),$	$(a+b)^n = \sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{i}a^{n-i}\cdot b^i.$
$(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3,$

Mocninná funkce

$a^0 = 1,$	$a^r a^s = a^{r+s},$
$a^{-r} = \dfrac{1}{a^r},$	$(a^r)^s = a^{rs}.$
$a^{\tfrac{1}{r}} = \sqrt[r]{a},$

Logaritmus a exponenciála

$\log_a x = y \Leftrightarrow x = a^y,$	$\log\dfrac{a}{b} = \log a - \log b,$
$\log 1 = 0,$	$\log_a a^x = x = a^{\log_a x},$
$\log_a a = 1,$	$\ln x = \lg x = \log_{\operatorname{e}} x, \operatorname{e} = 2,71828\ldots,$
$\log a^b = b \log a,$	$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a} = \dfrac{\ln b}{\ln a}.$
$\log (ab) = \log a + \log b,$

Goniometrické funkce

$\operatorname{tg} x = \dfrac{\sin x}{\cos x},$	$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x,$
$\operatorname{cotg} x = \dfrac{\cos x}{\sin x},$	$\sin^2\dfrac{x}{2} = \dfrac{1-\cos x}{2},$
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1,$	$\cos^2\dfrac{x}{2} = \dfrac{1+\cos x}{2}.$
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x,$

$x$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\sin x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos x$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$

$x$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\operatorname{tg} x$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$-$
$\operatorname{cotg} x$	$-$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$

Zlomky

$\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad \pm cb}{bd},$	$\left(\dfrac{a}{b}\right)^r = \dfrac{a^r}{b^r},$
$\dfrac{a}{b} \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd},$	$\dfrac{ca}{cb} = \dfrac{a}{b},$
$\dfrac{\phantom{a}\frac{a}{b}\phantom{a}}{\frac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc},$	$\dfrac{c}{cb} = \dfrac{1}{b},$
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1} = \dfrac{b}{a},$	$\dfrac{a}{a} = 1.$

Ostatní

Komplexní čísla ( $\mathbb{C}$ )
$i^2 = -1,$

$\overline{a+ib} = a-ib,$

$a^2 + b^2 = (a-ib)(a+ib).$
Kvadratický polynom $P(x) = ax^2+bx+c$
$D=b^2-4ac,$

$x_{1,2}=\tfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a},$

$P(x) = a(x-x_1)(x-x_2).$
Doplnění na čtverec
$ax^2+bx+c = a(x^2+\tfrac{b}{a}x+\tfrac{c}{a}),$

$x^2+px+q = (x+\tfrac{p}{2})^2 -\tfrac{p^2}{4} +q.$

nahoru

Reálná čísla

Definice 2

Buď $A\not =\emptyset$ uspořádaná množina, $B\subseteq A$ , $B\not =\emptyset$ , libovolná. Řekneme, že prvek $a\in A$ je supremum množiny $B$ (píšeme $sup B=a$ ), jestliže

$x\leq a$ pro každé $x\in B$ ;
je-li $y\in A$ takové, že $x\leq y$ pro každé $x\in B$ , pak je $a\leq y$ .

Analogicky se definuje infimum množiny $B$ ( $\inf B$ ).

Je-li $a=\max A$ , pak je $a$ největším prvkem množiny $A$ , tj. pro každý prvek $x\in A$ platí $x\leq a$ . Analogické tvrzení platí pro $\min A$ .

nahoru

Kvadratické rovnice

Rovnice tvaru $ax^2+bx+c=0,$ kde $x \in \mathbb{R},$ nebo $x \in \mathbb{C}$ . Řešíme pomocí vzorců

$D=b^2-4ac, \qquad x_{1,2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$

$D>0 \quad \Rightarrow \quad 2$ různé reálné kořeny,
$D=0 \quad \Rightarrow \quad 1$ dvojnásobný reálný kořen,
$D<0 \quad \Rightarrow \quad 2$ komplexně sdružené komplexní kořeny.

nahoru

Posouvání grafu

Nechť je dána funkce $y = f(x)$ a nenulová reálná čísla $a, b$ .

Uvažujme funkci $\tilde{y} = f(x+a)$ . Tato funkce má vůči původní funkci graf posunutý buď doleva (je-li $a>0$ ) nebo doprava (je-li $a<0$ ), a to o velikost čísla $a$ .
Uvažujme funkci $\hat{y} = f(x)+b$ . Tato funkce má vůči původní funkci graf posunutý buď nahoru (je-li $b>0$ ) nebo dolů (je-li $b<0$ ), a to o velikost čísla $b$ .

Příklad č. 1» Zobrazit zadání «

Určete (jestliže existují) $\sup M$ , $\inf M$ , $\max M$ a $\min M$ , kde

$M=\left\{0,-1,2,5,6,8\right\};$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\max M=\sup M=8$ a $\min M=\inf M=-1$ ;
$M=\left\{\dfrac{1}{n}:~n\in\mathbb{N}\right\};$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\max M=\sup M=1$ , $\inf M=0$ a $\min M$ neexistuje;
$M=\left\{n^2-2n+1: ~n \in\mathbb{Z}\right\};$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\max M$ a $\sup M$ neexistuje, $\min M=\inf M=0$ ;
$M=[0,1).$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\max M$ neexistuje, $\sup M=1$ a $\min M=\inf M=0$ .

Příklad č. 2» Zobrazit zadání «

Dokažte následující tvrzení: „Buď $M\not =\emptyset$ , $M\subseteq\mathbb{R}$ a nechť $a\in\mathbb{R}$ . Pak

$a=\sup M\Leftrightarrow~~$	$1)~x\leq a ~\forall x\in M,$
	$2)~\forall \varepsilon>0~\exists x_1\in M:~x_1>a-\varepsilon.$	“

Řešení» Zobrazit řešení «

„ $\Rightarrow$ “ Buď $a=\sup M$ , pak z definice $x\leq a$ pro $\forall x\in M$ , tj. platí 1). Předpokládejme, že 2) neplatí. Pak existuje $\varepsilon_{0}>0$ tak, že $\forall x\in M$ je $x\leq a-\varepsilon_{0}$ . Tedy $a-\varepsilon_{0}$ je horní závora množiny $M$ a zároveň $a=\sup M$ $\Rightarrow$ $a\leq a-\varepsilon_{0}$ , což je spor. Tedy 2) platí.

„ $\Leftarrow$ “ Nechť platí 1) i 2). Podle definice určitě platí $\sup M\leq a$ . Předpokládejme, že

$\sup M<a.$

Potom položme $\varepsilon=a-\sup M>0$ . Z 2) plyne, že

$\exists x_{1}\in M:~x_{1}>a-\varepsilon=\sup M,$

což je spor. Proto nutně $\sup M=a$ .

Příklad č. 3» Zobrazit zadání «

Za předpokladu existence daných výrazů dokažte:

$\sup\limits_{x\in A}[-f(x)]=-\inf\limits_{x\in A}[f(x)];$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\sup\limits_{x\in A}\left[-f(x)\right]=c\Rightarrow$

$\Rightarrow\left[-f(x)\leq c\ \forall x\in A\right]\wedge \left[\left(b\in\mathbb{R},\ -f(x)\leq b\ \forall x\in A\right) \Rightarrow c\leq b\right]\Rightarrow$

$\Rightarrow\left[f(x)\geq -c\ \forall x\in A\right]\wedge \left[\left(b\in\mathbb{R},\ f(x)\geq -b\ \forall x\in A\right) \Rightarrow -c\geq -b\right]\Rightarrow$

$\Rightarrow\inf\limits_{x\in A}\left[f(x)\right]=-c \Rightarrow \sup\limits_{x\in A}\left[-f(x)\right]=c=-\inf\left[f(x)\right].$
$\inf\limits_{x\in A}[-f(x)]=-\sup\limits_{x\in A}[f(x)];$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\inf\limits_{x\in A}\left[-f(x)\right]=c\Rightarrow$

$\Rightarrow\left[-f(x)\geq c\ \forall x\in A\right]\wedge \left[\left(b\in\mathbb{R},\ -f(x)\geq b\ \forall x\in A\right) \Rightarrow c\geq b\right]\Rightarrow$

$\Rightarrow\left[f(x)\leq -c\ \forall x\in A\right]\wedge \left[\left(b\in\mathbb{R},\ f(x)\leq -b\ \forall x\in A\right) \Rightarrow -c\leq -b\right]\Rightarrow$

$\Rightarrow\sup\limits_{x\in A}\left[f(x)\right]=-c \Rightarrow \inf\limits_{x\in A}\left[-f(x)\right]=c=-\sup\left[f(x)\right].$
$\sup\limits_{x\in A}[f(x)+g(x)]\leq\sup\limits_{x\in A}[f(x)]+\sup\limits_{x\in A}[g(x)];$

Řešení» Zobrazit řešení «

$f(x)\leq \sup\limits_{x\in A}f(x),\ g(x)\leq \sup\limits_{x\in A}g(x)\ \forall x\in A\Rightarrow$

$\hspace{15mm}\Rightarrow f(x)+g(x)\leq \sup\limits_{x\in A}f(x)+\sup\limits_{x\in A}g(x) \forall x\in A\Rightarrow$

$\hspace{15mm}\Rightarrow \sup\limits_{x\in A}\left[f(x)+g(x)\right]\leq \sup\limits_{x\in A}\left[\sup\limits_{x\in A}f(x)+\sup\limits_{x\in A}g(x)\right]$

$\hspace{15mm}\Rightarrow \sup\limits_{x\in A}\left[f(x)+g(x)\right]\leq \sup\limits_{x\in A}f(x)+\sup\limits_{x\in A}g(x).$
$\inf\limits_{x\in A}[f(x)+g(x)]\geq\inf\limits_{x\in A}[f(x)]+\inf\limits_{x\in A}[g(x)];$

Řešení» Zobrazit řešení «

$f(x)\geq \inf\limits_{x\in A}f(x),\ g(x)\geq \inf\limits_{x\in A}g(x)\ \forall x\in A\Rightarrow$

$\hspace{15mm}\Rightarrow f(x)+g(x)\geq \inf\limits_{x\in A}f(x)+\inf\limits_{x\in A}g(x) \forall x\in A\Rightarrow$

$\hspace{15mm}\Rightarrow \inf\limits_{x\in A}\left[f(x)+g(x)\right]\geq \inf\limits_{x\in A}\left[\inf\limits_{x\in A}f(x)+\inf\limits_{x\in A}g(x)\right]$

$\hspace{15mm}\Rightarrow \inf\limits_{x\in A}\left[f(x)+g(x)\right]\geq \inf\limits_{x\in A}f(x)+\inf\limits_{x\in A}g(x).$
v částech iii) a iv) nelze nerovnosti nahradit rovnostmi.

Řešení» Zobrazit řešení «

Tvrzení dokážeme nalezením vhodného protipříkladu. Uvažujme např. funkce $f(x)=\sin x$ a $g(x)=\cos x$ na množině $A=\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ . Pak v iii) obdržíme

$\sup\limits_{x\in A}\left[\sin x+\cos x\right]=\sqrt{2},$

přičemž $\sup_{x\in A}\sin x=1$ a $\sup_{x\in A}\cos x=1$ . V části iv) dostaneme

$\inf\limits_{x\in A}\left[\sin x+\cos x\right]=1,$

přičemž $\inf_{x\in A}\sin x=0$ a $\inf_{x\in A}\cos x=0$ .

Příklad č. 4» Zobrazit zadání «

Dokažte pro libovolné podmnožiny $A$ a $B$ množiny $\mathbb{R}$ a libovolná reálná čísla $a$ , $b$ , $c$ :

$a=\max M\Rightarrow a=\sup M;$

Řešení» Zobrazit řešení «

$a=\max M$ $\Rightarrow \left[x\leq a\ \forall x\in M\right]\ \wedge\ a\in M\Rightarrow$

$\Rightarrow\left[x\leq a\ \forall x\in M\right]\ \wedge \left[\left(b\in\mathbb{R},\ x\leq b\ \forall x\in M\right)\Rightarrow a\leq b\right]\Rightarrow$

$\Rightarrow a=\sup M.$
$A\subseteq B\Rightarrow \sup A\leq \sup B;$

Řešení» Zobrazit řešení «

Označme $a=\sup A$ a $b=\sup B$ . Pak platí

$b=\sup B\Rightarrow x\leq b\ \forall x\in B \Rightarrow x\leq b\ \forall x\in A \Rightarrow a\leq b,$

neboť $a=\sup A$ .
$A\subseteq B\Rightarrow \inf A\geq \inf B;$

Řešení» Zobrazit řešení «

Označme $a=\inf A$ a $b=\inf B$ . Pak platí

$b=\inf B\Rightarrow x\geq b\ \forall x\in B \Rightarrow x\geq b\ \forall x\in A \Rightarrow a\geq b,$

neboť $a=\inf A$ .
$\sup(A\cup B)=\max\,\{\sup A,\sup B\};$

Řešení» Zobrazit řešení «

Označme $a=\sup A$ , $b=\sup B$ , $c=\sup\left(A\cup B\right)$ a $d=\max\left\{\sup A,\sup B\right\}$ . Pak platí

$x\in A\cup B$ $\Rightarrow x\in A\ \vee\ x\in B\Rightarrow \left[x\leq a\ \forall x\in A\right]\ \vee \left[x\leq b\ \forall x\in B\right]\Rightarrow$

$\Rightarrow\left[x\leq a\leq d\ \forall x\in A\right]\ \vee \left[x\leq b\leq d\ \forall x\in B\right]\Rightarrow$

$\Rightarrow x\leq d\ \forall x\in A\cup B\Rightarrow c\leq d.$

Také platí
$d=\max\left\{a,b\right\}\Rightarrow \left(d=a\right)\ \vee\ \left(d=b\right)\overset{\text{podle ii)}}{\Rightarrow} d\leq c\ \vee\ d\leq c\Rightarrow d\leq c.$

To znamená, že

$c=d.$
$\inf(A \cup B)=\min\,\{\inf A,\inf B\};$

Řešení» Zobrazit řešení «

Označme $a=\inf A$ , $b=\inf B$ , $c=\inf\left(A\cup B\right)$ a $d=\min\left\{\inf A,\inf B\right\}$ . Pak platí

$x\in A\cup B$ $\Rightarrow x\in A\ \vee\ x\in B\Rightarrow \left[x\geq a\ \forall x\in A\right]\ \vee \left[x\geq b\ \forall x\in B\right]\Rightarrow$

$\Rightarrow\left[x\geq a\geq d\ \forall x\in A\right]\ \vee \left[x\geq b\geq d\ \forall x\in B\right]\Rightarrow$

$\Rightarrow x\geq d\ \forall x\in A\cup B\Rightarrow c\geq d.$

Také platí
$d=\min\left\{a,b\right\}\Rightarrow \left(d=a\right)\ \vee\ \left(d=b\right)\overset{\text{podle iii)}}{\Rightarrow} d\geq c\ \vee\ d\geq c\Rightarrow d\leq c.$

To znamená, že

$c=d.$
$\sup(A\cap B)\leq\min\,\{\sup A,\sup B\};$

Řešení» Zobrazit řešení «

Označme $a=\sup A$ , $b=\sup B$ , $c=\sup\left(A\cap B\right)$ a $d=\min\left\{\sup A,\sup B\right\}$ . Pak platí

$x\in A\cap B$ $\Rightarrow x\in A\ \wedge\ x\in B\Rightarrow \left[x\leq a\ \forall x\in A\right]\ \wedge \left[x\leq b\ \forall x\in B\right]\Rightarrow$

$\Rightarrow\left[x\leq a\ \forall x\in \left(A\cap B\right)\right]\ \vee \left[x\leq b\ \forall x\in \left(A\cap B\right)\right]\Rightarrow$

$\Rightarrow x\leq d\ \forall x\in \left(A\cap B\right)\Rightarrow c\leq d.$
$\inf(A\cap B)\geq\max\,\{\inf A,\inf B\};$

Řešení» Zobrazit řešení «

Označme $a=\inf A$ , $b=\inf B$ , $c=\inf\left(A\cap B\right)$ a $d=\max\left\{\inf A,\inf B\right\}$ . Pak platí

$x\in A\cap B$ $\Rightarrow x\in A\ \wedge\ x\in B\Rightarrow \left[x\geq a\ \forall x\in A\right]\ \wedge \left[x\geq b\ \forall x\in B\right]\Rightarrow$

$\Rightarrow\left[x\geq a\ \forall x\in \left(A\cap B\right)\right]\ \vee \left[x\geq b\ \forall x\in \left(A\cap B\right)\right]\Rightarrow$

$\Rightarrow x\geq d\ \forall x\in \left(A\cap B\right)\Rightarrow c\geq d.$
$\min\,\{a,b\}=\dfrac{1}{2}(a+b- \left\lvert a-b \right\rvert );$

Řešení» Zobrazit řešení «

Pro $a\geq b$ platí

$\dfrac{1}{2}\left(a+b- \left\lvert a-b \right\rvert \right)=\dfrac{1}{2}\left(a+b-a+b\right)=b=\min\left\{a,b\right\}.$

Pro $a<b$ platí

$\dfrac{1}{2}\left(a+b- \left\lvert a-b \right\rvert \right)=\dfrac{1}{2}\left(a+b+a-b\right)=a=\min\left\{a,b\right\}.$
$\max\,\{a,b\}=\dfrac{1}{2}(a+b+ \left\lvert a-b \right\rvert );$

Řešení» Zobrazit řešení «

Pro $a\geq b$ platí

$\dfrac{1}{2}\left(a+b+ \left\lvert a-b \right\rvert \right)=\dfrac{1}{2}\left(a+b+a-b\right)=a=\max\left\{a,b\right\}.$

Pro $a<b$ platí

$\dfrac{1}{2}\left(a+b+ \left\lvert a-b \right\rvert \right)=\dfrac{1}{2}\left(a+b-a+b\right)=b=\max\left\{a,b\right\}.$
$\left\lvert a \right\rvert =\max\,\{a,-a\}=-\min\,\{a,-a\};$

Řešení» Zobrazit řešení «

Z části viii) a ix) plyne

$\max\left\{a,-a\right\}=\dfrac{1}{2}\left(a-a+ \left\lvert a-\left(-a\right) \right\rvert \right)=\dfrac{1}{2} \left\lvert 2a \right\rvert = \left\lvert a \right\rvert ,$

$-\min\left\{a,-a\right\}=-\dfrac{1}{2}\left(a-a- \left\lvert a-\left(-a\right) \right\rvert \right)=\dfrac{1}{2} \left\lvert 2a \right\rvert = \left\lvert a \right\rvert .$
$\min\,\{a,\max\,\{b,c\}\}=\max\,\{\min\,\{a,b\},\min\,\{a,c\}\};$

Řešení» Zobrazit řešení «

Zvážíme všechny možné varianty. Pro $a\geq b$ a $a\geq c$ platí

$\max\left\{\min\left\{a,b\right\},\min\left\{a,c\right\}\right\}=\max\left\{b,c\right\}= \min\left\{a,\max\left\{b,c\right\}\right\}.$

Pro $a<b$ a $a<c$ platí

$\max\left\{\min\left\{a,b\right\},\min\left\{a,c\right\}\right\}=\max\left\{a,a\right\}=a= \min\left\{a,\max\left\{b,c\right\}\right\}.$

Pro $a\geq b$ a $a<c$ platí

$\max\left\{\min\left\{a,b\right\},\min\left\{a,c\right\}\right\}=\max\left\{b,a\right\}=a= \min\left\{a,\max\left\{b,c\right\}\right\}.$

Pro $a<b$ a $a\geq c$ platí

$\max\left\{\min\left\{a,b\right\},\min\left\{a,c\right\}\right\}=\max\left\{a,c\right\}=a= \min\left\{a,\max\left\{b,c\right\}\right\}.$
$\max\,\{a,\min\,\{b,c\}\}=\min\,\{\max\,\{a,b\},\max\,\{a,c\}\}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Zvážíme všechny možné varianty. Pro $a\geq b$ a $a\geq c$ platí

$\min\left\{\max\left\{a,b\right\},\max\left\{a,c\right\}\right\}=\min\left\{a,a\right\}=a= \max\left\{a,\min\left\{b,c\right\}\right\}.$

Pro $a<b$ a $a<c$ platí

$\min\left\{\max\left\{a,b\right\},\max\left\{a,c\right\}\right\}=\min\left\{b,c\right\}= \max\left\{a,\min\left\{b,c\right\}\right\}.$

Pro $a\geq b$ a $a<c$ platí

$\min\left\{\max\left\{a,b\right\},\max\left\{a,c\right\}\right\}=\min\left\{a,c\right\}=a= \max\left\{a,\min\left\{b,c\right\}\right\}.$

Pro $a<b$ a $a\geq c$ platí

$\min\left\{\max\left\{a,b\right\},\max\left\{a,c\right\}\right\}=\min\left\{b,a\right\}=a= \max\left\{a,\min\left\{b,c\right\}\right\}.$

Příklad č. 5» Zobrazit zadání «

Dokažte:

$\max\left\{x:x=\dfrac{n}{n+1},~n\not =-1,~n\in\mathbb{Z}\right\}=2;$

Řešení» Zobrazit řešení «

Pro $n=-2$ je $x=\frac{-2}{-1}=2$ . Dále platí $\left\lvert \frac{n}{n+1} \right\rvert = \left\lvert 1-\frac{1}{n+1} \right\rvert \leq1+ \left\lvert \frac{1}{n+1} \right\rvert \leq 2$ pro všechna $n\in\mathbb{Z}\setminus\{-1\}.$
$\sup\left\{x:x=\dfrac{n}{n+1},~n\in\mathbb{N}\right\}=1;$

Řešení» Zobrazit řešení «

Platí $\frac{n}{n+1}\leq\frac{n+1}{n+1}\leq 1$ pro $n\in\mathbb{N}$ . Buď nyní $\varepsilon>0$ libovolné. Zvolíme-li $n\in\mathbb{N}$ , $n>\frac{1}{\varepsilon}$

$\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{1}{1+\frac{1}{n}}>\dfrac{1}{1+\varepsilon}=1-\dfrac{\varepsilon}{1+\varepsilon}>1-\varepsilon.$
$\inf\left\{x:x=\dfrac{1}{n^2+1},~n\in\mathbb{Z}\right\}=0;$

Řešení» Zobrazit řešení «

Platí $\frac{1}{n^2+1}\geq 0$ pro $n\in\mathbb{Z}$ . Buď dále $\varepsilon>0$ libovolné. Zvolíme-li $n\in\mathbb{N}$ , $n>\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}$

$\dfrac{1}{n^2+1}\leq\dfrac{1}{\frac{1}{\varepsilon}+1}=\dfrac{\varepsilon}{1+\varepsilon}<\varepsilon.$
$\max\left\{x:x=\dfrac{1}{n^2+1},~n\in\mathbb{Z}\right\}=1;$

Řešení» Zobrazit řešení «

Platí $\frac{1}{n^2+1}\leq 1$ pro $n\in\mathbb{Z}$ . Pro $n=0$ platí $x=\frac{1}{0+1}=1$ .
$\sup\left(A\cup B \cup C\right)=1,~$ $\text{kde}$

$A=\left\{x:x=\dfrac{n^2}{n^2+1},~n\in\mathbb{Z}\right\},$

$B=\left\{x:x=\dfrac{1}{n},~n\in\mathbb{N}\right\},$

$C=\left\{x:x=\dfrac{n-3}{2n+1},~n\geq 0\right\}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Platí $\sup A=1$ , $\sup B=1$ a $\sup C=\frac{1}{2}$ . Z Příkladu 4 části iv) plyne

$\sup\left(A\cup B\cup C\right)$ $=\sup\left[\left(A\cup B\right)\cup C\right]=$

$= \max\left\{\sup\left(A\cup B\right), \sup C\right\}=$

$= \max\left\{\max\left\{\sup A,\sup B\right\}, \sup C\right\}=$

$= \max\left\{\sup A,\sup B, \sup C\right\}=1.$

Příklad č. 6» Zobrazit zadání «

Dokažte, že pro libovolné množiny $A$ , $B$ a $C$ platí tzv. distributivní zákony

$(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C),$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\subseteq:\quad x$ $\in\left(A\cup B\right)\cap C$

$\Rightarrow x\in \left(A\cup B\right)~\wedge~x\in C\Rightarrow$

$\Rightarrow\left(x\in A~\vee~x\in B\right)~\wedge~x\in C\Rightarrow$

$\Rightarrow\left(x\in A~\wedge~x\in C\right)~\vee \left(x\in B~\wedge~x\in C\right)\Rightarrow$

$\Rightarrow x\in\left(A\cap C\right)\cup\left(B\cap C\right),$

$\supseteq:\quad x$ $\in\left(A\cap C\right)\cup\left(B\cap C\right)$

$\Rightarrow x\in\left(A\cap C\right)~\vee~x\in \left(B\cap C\right)\Rightarrow$

$\Rightarrow\left(x\in A~\wedge~x\in C\right)~\vee \left(x\in B~\wedge~x\in C\right)\Rightarrow$

$\Rightarrow x\in \left(A\cup B\right)~\wedge~x\in C\Rightarrow$

$\Rightarrow x\in\left(A\cup B\right)\cap C.$
$(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap(B\cup C).$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\subseteq:\quad x$ $\in\left(A\cap B\right)\cup C$

$\Rightarrow\left(x\in A~\wedge~x\in B\right)~\vee~x\in C\Rightarrow$

$\Rightarrow\left(x\in A~\vee~x\in C\right)~\wedge \left(x\in B~\vee~x\in C\right)\Rightarrow$

$\Rightarrow x\in\left(A\cup C\right)\cap\left(B\cup C\right),$

$\supseteq:\quad x$ $\in\left(A\cup C\right)\cap\left(B\cup C\right)$

$\Rightarrow\left(x\in A~\vee~x\in C\right)~\wedge \left(x\in B~\vee~x\in C\right)\Rightarrow$

$\Rightarrow\left(x\in A~\wedge~x\in B\right)~\vee x\in C\Rightarrow$

$\Rightarrow x\in\left(A\cap B\right)\cup C.$

Příklad č. 7» Zobrazit zadání «

Určete množiny dané těmito výrazy:

$\left(1,\infty\right)\cap\left(-1,2\right];$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\left(1,\infty\right)\cap\left(-1,2\right]=\left(1,2\right];$
$\left(0,\infty\right)\setminus\left(-1,2\right);$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\left(0,\infty\right)\setminus\left(-1,2\right)=\left[2,\infty\right);$
$\left(\left(-\infty,-2\right)\cup\left[-2,0\right)\right)\cup\left[ 0,\infty\right);$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\left(\left(-\infty,-2\right)\cup\left[-2,0\right)\right)\cup\left[ 0,\infty\right)=\left(-\infty,\infty\right);$
$\left[ -1,5\right]\cap\left[ 5,100\right];$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\left[ -1,5\right]\cap\left[ 5,100\right]=\left\{5\right\};$
$\left[ -1,10\right]\cap\left[ 15,20\right];$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\left[ -1,10\right]\cap\left[ 15,20\right]=\left\{\emptyset\right\};$
$\left[ -1,4\right)';$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\left[ -1,4\right)'=\left(-\infty,-1\right)\cup\left[4,\infty\right);$
$\left[ 1,5\right)\setminus\left(0,5\right].$

Řešení» Zobrazit řešení «

$\left[ 1,5)\setminus(0,5\right]=\left\{\emptyset\right\}.$

Příklad č. 8» Zobrazit zadání «

Vyřešte kvadratickou rovnici $2x^2-x-3=0$ a) v $\mathbb{R}$ , b) v $\mathbb{C}$ .

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejprve spočteme diskriminant dané rovnice

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25.$

Protože $D > 0$ , rovnice má dva reálné kořeny. Ty snadno dopočítáme.

$x_{1,2} = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{D}}{2\cdot2} = \dfrac{1 \pm 5}{4} = \begin{cases} \phantom{-}\frac{3}{2}, \\ -1. \end{cases}$

Rovnice má tedy v $\mathbb{R}$ dva kořeny a to $\frac{3}{2}$ a $-1$ , stejně jako v $\mathbb{C}$ , neboť komplexní čísla jsou nadmnožinou čísel reálných.

Příklad č. 9» Zobrazit zadání «

Vyřešte kvadratickou rovnici $x^2+4x+4=0$ a) v $\mathbb{R}$ , b) v $\mathbb{C}$ .

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejprve spočteme diskriminant dané rovnice

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0.$

Protože $D = 0$ , rovnice má jeden dvojnásobný reálný kořen. Ten snadno dopočítáme.

$x_{1,2} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{D}}{2\cdot1} = -2.$

Rovnice má tedy v $\mathbb{R}$ jeden dvojnásobný kořen a to $-2$ , stejně jako v $\mathbb{C}$ , neboť komplexní čísla jsou nadmnožinou čísel reálných.

Příklad č. 10» Zobrazit zadání «

Vyřešte kvadratickou rovnici $x^2-4x+29=0$ a) v $\mathbb{R}$ , b) v $\mathbb{C}$ .

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejprve spočteme diskriminant dané rovnice

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 29 = -100.$

Protože $D < 0$ , rovnice nemá žádný reálný kořen – má dvojici komplexních kořenů. Ty dopočítáme.

$x_{1,2}$	$= \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{D}}{2\cdot1} = \dfrac{4 \pm \sqrt{-100}}{2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{100i^2}}{2} =$
	$= \dfrac{4 \pm 10i}{2} = \begin{cases} 2+5i, \\ 2-5i. \end{cases}$

Rovnice tedy v $\mathbb{R}$ nemá žádný kořen. V $\mathbb{C}$ jsou jejími kořeny komplexně sdružená čísla $2+5i$ a $2-5i$ .

Příklad č. 11» Zobrazit zadání «

Určete, pro která $x \in \mathbb{R}$ je výraz $-2x^2+x+3$ a) nezáporný, b) kladný.

Řešení» Zobrazit řešení «

Protože jde o kvadratický polynom, je nejjednodušším způsobem načrtnout si jeho graf – parabolu. Jediné informace, které přitom musí být přesné, jsou průsečíky s osou $x$ (kořeny polynomu) a samozřejmě zda je parabola otevřena nahoru, nebo dolů.

Druhou informaci získáme okamžitě ze zadaného výrazu. Protože je vedoucí koeficient ( $-2$ ) záporný, je parabola otevřena dolů.

Kořeny dopočítáme pomocí diskriminantu jako by šlo o kvadratickou rovnici:

$D = 25\quad\Rightarrow \quad x_{1,2} = \begin{cases} \phantom{-}\frac{3}{2}, \\ -1. \end{cases}$

Graf tedy vypadá takto:

Graf

Daný výraz je tedy nezáporný pro $x \in \left[-1,\tfrac{3}{2}\right]$ a kladný pro $x \in \left(-1,\tfrac{3}{2}\right)$

Příklad č. 12» Zobrazit zadání «

Určete, pro která $x \in \mathbb{R}$ je výraz $x^2+4x+4$ a) kladný, b) nezáporný.

Řešení» Zobrazit řešení «

Protože jde o kvadratický polynom, je nejjednodušším způsobem načrtnout si jeho graf - parabolu. Jediné informace, které přitom musí být přesné, jsou průsečíky s osou $x$ (kořeny polynomu) a samozřejmě zda je parabola otevřena nahoru, nebo dolů.

Druhou informaci získáme okamžitě ze zadaného výrazu. Protože je vedoucí koeficient ( $1$ ) kladný, je parabola otevřena nahoru.

Kořeny dopočítáme pomocí diskriminantu jako by šlo o kvadratickou rovnici:

$D = 0\quad\Rightarrow \quad x_{1,2} = -2.$

Graf tedy vypadá takto:

Graf

Daný výraz je tedy kladný pro $x \in (-\infty,-2) \cup (-2,\infty)$ a nezáporný pro $x \in \mathbb{R}$ .

Příklad č. 13» Zobrazit zadání «

Určete, pro která $x \in \mathbb{R}$ je výraz $x^2-4x+29$ a) kladný, b) záporný.

Řešení» Zobrazit řešení «

Druhou informaci získáme okamžitě ze zadaného výrazu. Protože je vedoucí koeficient ( $1$ ) kladný, je parabola otevřena nahoru.

Kořeny dopočítáme pomocí diskriminantu jako by šlo o kvadratickou rovnici:

$D = -100.$

Protože je diskriminant záporný, rovnice nemá žádný reálný kořen a parabola osu $x$ nikde neprotíná. Graf tedy vypadá takto:

Graf

Daný výraz je tedy kladný pro $x \in \mathbb{R}$ a nikdy není záporný, tj. můžeme říct, že je záporný pro $x \in \emptyset$ .

Příklad č. 14» Zobrazit zadání «

Určete definiční obor funkce

$f(x)=\dfrac{1}{x^3-x^2+x-1}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Musí platit

$x^3-x^2+x-1\not =0 \quad\Leftrightarrow\quad \left(x-1\right)\left(x^2+1\right)\not =0 \quad\Leftrightarrow\quad x\not =1.$

Proto

$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}.$

Příklad č. 15» Zobrazit zadání «

Určete definiční obor funkce

$f(x)=\dfrac{2x^2}{x+ \lvert x \rvert }.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Musí platit

$x+ \lvert x \rvert \not =0.$

Nejdříve uvažme $x\geq 0$ , potom

$x+x\not =0 \quad\Leftrightarrow\quad 2x\not =0 \quad\Leftrightarrow\quad x\not =0.$

Pro $x<0$ dostaneme

$x-x\not =0 \quad\Leftrightarrow\quad 0\not =0,$

proto definiční obor je

$D(f)=\left(0,\infty\right).$

Příklad č. 16» Zobrazit zadání «

Určete definiční obor funkce

$f(x)=\sqrt{x^2-5x+6}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Musí platit

$x^2-5x+6\geq0.$

Kořeny tohoto kvadratického polynomu jsou $x_1=2$ a $x_2=3$ . Poněvadž koeficient u druhé mocniny je kladný, má graf této kvadratické funkce podobu

Graf

Proto definiční obor funkce je

$D(f)=(-\infty,2]\cup[ 3,\infty).$

Příklad č. 17» Zobrazit zadání «

Určete definiční obor funkce

$f(x)=\dfrac{\ln x}{2x^2+3x-2}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Z logaritmu dostáváme, že $x>0$ . Dále ve jmenovateli nesmí být nula, tedy v definičním oboru dané funkce nejsou kořeny polynomu $2x^2+3x-2$ . Snadno určíme, že kořeny jsou $x_1 = -2, x_2 = \tfrac{1}{2}$ . Tedy

$D(f) = \left(0,\dfrac{1}{2}\right) \cup \left(\dfrac{1}{2},\infty\right).$

Příklad č. 18» Zobrazit zadání «

Určete definiční obor funkce

$f(x)=\dfrac{3x}{2x-8}+\sqrt{10-x}-\ln(x+2).$

Řešení» Zobrazit řešení «

Zde určíme nejprve definiční obor každé části dané funkce a poté uděláme jejich průnik. V první části, lomeném výrazu, nesmí být ve jmenovateli nula. Tedy nutně $x \neq 4$ . V druhé části musí být pod odmocninou nezáporné číslo, odtud $x \leq 10$ . A konečně, z logaritmu dostáváme, že $x>-2$ . Celkem

$D(f) = (-2,4) \cup (4,10].$

Příklad č. 19» Zobrazit zadání «

Určete definiční obor funkce

$f(x)=\ln(x^2+4x-5) + \dfrac{2x^2}{\sqrt{2x+6}}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Určíme nejprve definiční obor každé části dané funkce a poté uděláme jejich průnik.

V první části musí platit

$x^2+4x-5 > 0.$

Jde o kvadratický polynom jehož grafem je parabola otevřená nahoru (vedoucí koeficient je kladný) a snadno dopočítáme, že jeho kořeny jsou $-5$ a $1$ . Graf tedy vypadá takto:

Graf

Tedy $x \in (-\infty,-5)\cup(1,\infty)$ .

V druhé části nesmí být po odmocninou záporné číslo a zároveň ve jmenovateli není přípustná nula, tj.

$2x+6 > 0\quad\Rightarrow \quad x > -3.$

Celkem

$D(f) = (1,\infty).$

Příklad č. 20» Zobrazit zadání «

Určete definiční obor funkce

$f(x)=\operatorname{arccos}\dfrac{1-2x}{4}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve připomeňme grafy a základní vlastnosti cyklometrických funkcí

Graf Graf Graf Graf

Proto musí platit

$-1\leq\dfrac{1-2x}{4} \leq 1$	$\quad\Leftrightarrow \quad -4\leq 1-2x\ \wedge\ 1-2x\leq 4 \quad \Leftrightarrow$
	$\quad\Leftrightarrow \quad -5\leq -2x\ \hspace{3,8mm} \wedge \hspace{5,6mm}-2x\leq 3 \quad \Leftrightarrow \quad x\leq \dfrac{5}{2}\ \wedge x\geq -\dfrac{3}{2}.$

Proto máme definiční obor

$D(f)=\left[-\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2}\right].$

Příklad č. 21» Zobrazit zadání «

Určete definiční obor funkce

$g(x)=\operatorname{arcsin}\dfrac{x+3}{2} + \sqrt{\dfrac{x+4}{x-2}}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Určíme nejprve definiční obor každé části dané funkce a poté uděláme jejich průnik.

V první části musí platit

$-1$	$\leq \dfrac{x+3}{2} \leq 1,$
$-2$	$\leq x+3 \leq 2,$
$-5$	$\leq x \leq -1,$

tedy $x \in [-5,-1]$ .

V druhé části nesmí být po odmocninou záporné číslo a zároveň ve jmenovateli není přípustná nula. Nulové body jsou přitom $-4$ a $2$ . Ty rozdělují reálnou osu na tři intervali, na nichž výraz pod odmocninou nabývá vždy stejného znaménka. Dosazením zjistíme jaká (přitom číslo $2$ vůbec neuvažujeme, aby ve jmenovateli nebyla nula):

	$(-\infty,-4]$	$[-4,2)$	$(2,\infty)$
$x+4$	$-$	$+$	$+$
$x-2$	$-$	$-$	$+$
$\tfrac{x+4}{x-2}$	$+$	$-$	$+$

Odtud dostáváme, že $x \in (-\infty,-4]\cup(2,\infty)$ .

Celkem

$D(g) = [-5,-4].$

Příklad č. 22» Zobrazit zadání «

Určete definiční obor funkce

$f: y=\operatorname{arccotg} \dfrac{x-1}{\sqrt{1-x}} + \log_{\tfrac{1}{3}}^{-2}(2x+21).$

Řešení» Zobrazit řešení «

Určíme nejprve definiční obor každé části dané funkce a poté uděláme jejich průnik.

V první části jsou jediná omezení odmocnina a zlomek, tedy $x < 1$ .

V druhé části musíme vzít v úvahu jak logaritmus, tak i fakt, že je tento výraz umocněn na záporný exponent, je tedy ve jmenovateli, a proto musí být různý od nuly. Logaritmus je roven nule v jedničce, tj.

$2x+21 \neq 1 \quad \Rightarrow \quad x \neq -10.$

Jako poslední zbývá vyřešit už zmíněný logaritmus, do nějž lze dosazovat pouze kladná čísla, tedy

$2x+21 > 0.$

Celkem

$D(f) = \left(-\dfrac{21}{2},-10\right)\cup\left(-10,1\right).$

Příklad č. 23» Zobrazit zadání «

Určete definiční obor funkce

$f(x)=\ln(1-\operatorname{e}^x).$

Řešení» Zobrazit řešení «

Musí platit

$1-\mathop{e}^x>0\quad\Leftrightarrow\quad 1>\mathop{e}^x.$

Graf funkce $\operatorname{e}^x$ má podobu

Graf

proto je definiční obor

$D(f)=(-\infty,0).$

Příklad č. 24» Zobrazit zadání «

Určete definiční obor funkce

$f(x)=\dfrac{\cos x}{5^{x+1}-3\cdot5^x-50}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Musí platit

$5^{x+1}-3\cdot5^x-50\not =0.$

Položme $y=5^x$ , potom

$5^{x+1}-3\cdot5^x-50\not =0$	$\quad \Leftrightarrow \quad 5y-3y-50\not =0 \quad \Leftrightarrow \quad 2y\not =50\quad \Leftrightarrow$
	$\quad \Leftrightarrow \quad y\not =25 \quad \Leftrightarrow \quad 5^x\not =25\quad \Leftrightarrow$
	$\quad \Leftrightarrow \quad 5^x\not =5^2 \quad \Leftrightarrow \quad x\not =2.$

Proto máme definiční obor

$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{2\}.$

Příklad č. 25» Zobrazit zadání «

Určete definiční obor funkce

$f(x)=\dfrac{3^{x+1}}{\sin x +\cos x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Musí platit

$\sin x+\cos x\not =0$	$\quad \Leftrightarrow \quad \sin x+\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\not =0\quad \Leftrightarrow$
	$\quad \Leftrightarrow \quad 2\sin \dfrac{x+x+\frac{\pi}{2}}{2}\cdot \cos\dfrac{x-x-\frac{\pi}{2}}{2}\not =0\quad \Leftrightarrow$
	$\quad \Leftrightarrow \quad 2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\cdot \cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\not =0\quad \Leftrightarrow$
	$\quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\not =0\quad \Leftrightarrow$
	$\quad \Leftrightarrow \quad \sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\not =0\quad \Leftrightarrow$
	$\quad \Leftrightarrow \quad x+\dfrac{\pi}{4}\not =k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\quad \Leftrightarrow$
	$\quad \Leftrightarrow \quad x\not =-\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\quad \Leftrightarrow$
	$\quad \Leftrightarrow \quad x\not =\dfrac{3\pi}{4}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.$

Proto máme definiční obor

$D(f)=\mathbb{R}\setminus\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\dfrac{3\pi}{4}+k\pi\right\}.$

Příklad č. 26» Zobrazit zadání «

Určete definiční obor funkce

$f(x)=\dfrac{x-\cos x}{2\sin^2x+3\cos x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Musí platit

$2\sin^2x+3\cos x\not =0$	$\quad \Leftrightarrow \quad 2\left(1-\cos^2x\right)+3\cos x\not =0\quad \Leftrightarrow$
	$\quad \Leftrightarrow \quad -2\cos^2x+3\cos x+2\not =0\quad \overset{\cos x=y}{\Leftrightarrow}$
	$\quad \overset{\cos x=y}{\Leftrightarrow} \quad -2y^2+3y+2\not =0\quad \Leftrightarrow$
	$\quad \Leftrightarrow \quad y_1\not =2,\ y_2\not =-\dfrac{1}{2}\ \ \wedge \ \ \cos x=y\quad \Leftrightarrow$
	$\quad \Leftrightarrow \quad \cos x\not =2 \text{ (vždy) },\ \cos x\not =-\dfrac{1}{2}\quad \Leftrightarrow$
	$\quad \Leftrightarrow \quad x\not =\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi \ \wedge \ x\not =\dfrac{4\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.$

Proto máme definiční obor

$D(f)=\mathbb{R}\setminus\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\dfrac{2}{3}\pi+2k\pi,\dfrac{4}{3}\pi+2k\pi\right\}.$

Příklad č. 27» Zobrazit zadání «

Dokažte, že pro $x>0$ platí

$\operatorname{arctg} x=\operatorname{arccotg} \dfrac{1}{x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Položme $u=\operatorname{arctg} x$ a $v=\operatorname{arccotg} \frac{1}{x}$ . Potom platí $u\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ a $v\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ . Musíme ukázat, že $u=v$ . Proto

$\mathop{\operatorname{tg}} u=x\ \wedge\ \mathop{\operatorname{cotg}} v=\dfrac{1}{x}$	$\quad\Leftrightarrow \quad \mathop{\operatorname{tg}} u=x\ \wedge\ \dfrac{1}{\mathop{\operatorname{tg}} v}=\dfrac{1}{x} \quad \Leftrightarrow$
	$\quad\Leftrightarrow \quad \mathop{\operatorname{tg}} u=x\ \wedge\ \mathop{\operatorname{tg}} v=x \quad \Leftrightarrow$
	$\quad\Leftrightarrow \quad \mathop{\operatorname{tg}} u=x=\mathop{\operatorname{tg}} v \quad \Leftrightarrow$
	$\quad\Leftrightarrow \quad u=v.$

Příklad č. 28» Zobrazit zadání «

Načrtněte graf libovolné nekonstantní funkce $f$ a k něm grafy funkcí:

$-f(x),\quad f(-x),\quad f(x)+b,\quad f(x-a),\quad k\cdot f(x),\quad f(m\cdot x).$

Řešení» Zobrazit řešení «

Graf Graf Graf Graf Graf Graf

Příklad č. 29» Zobrazit zadání «

Načrtněte graf funkce

$(\text{i})\,\, y=x^2, \quad (\text{ii})\,\, y=-x^2, \quad (\text{iii})\,\, y=(-x)^2.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Obrázek 1. Řešení (i) a (iii).

Obrázek 2. Řešení (ii).

Příklad č. 30» Zobrazit zadání «

Načrtněte graf funkce

$(\text{i})\,\, y=(x+1)^2, \quad (\text{ii})\,\, y=x^2+1, \quad (\text{iii})\,\, y=(1-x)^3.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Obrázek 3. Řešení (i).

Obrázek 4. Řešení (ii).

Obrázek 5. Řešení (iii).

Příklad č. 31» Zobrazit zadání «

Načrtněte graf funkce

$(\text{i})\,\, y=2-\sqrt{x}, \quad (\text{ii})\,\, y=\dfrac{1}{3-x}-1.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Obrázek 6. Řešení (i).

Obrázek 7. Řešení (ii).

Příklad č. 32» Zobrazit zadání «

Načrtněte graf funkce

$(\text{i})\,\, y=\ln(x-3), \quad (\text{ii})\,\, y=2+m{e}^{1-x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Obrázek 8. Řešení (i).

Obrázek 9. Řešení (ii).

Příklad č. 33» Zobrazit zadání «

Načrtněte graf funkce

$(\text{i})\,\, y=\sin x, \quad (\text{ii})\,\, y=\sin(3x), \quad (\text{iii})\,\, y=\sin\dfrac{x}{5}, \quad (\text{iv})\,\, y=2\sin x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Obrázek 10. Řešení (i).

Obrázek 11. Řešení (ii).

Obrázek 12. Řešení (iii).

Obrázek 13. Řešení (iv).

Příklad č. 34» Zobrazit zadání «

Načrtněte graf funkce

$(\text{i})\,\, y=\sin(x-1), \quad (\text{ii})\,\, y=3+\sin x, \quad (\text{iii})\,\, y=\mathop{\operatorname{tg}}\, (3x).$

Řešení» Zobrazit řešení «

Obrázek 14. Řešení (i).

Obrázek 15. Řešení (ii).

Obrázek 16. Řešení (iii).

Příklad č. 35» Zobrazit zadání «

Načrtněte graf funkce

$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-4x+5.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve upravíme zadání do tvaru

$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-4x+5$	$\quad \Leftrightarrow\quad f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x^2-8x+10\right)\quad \Leftrightarrow$
	$\quad \Leftrightarrow\quad f(x)=\dfrac{1}{2}\left[\left(x-4\right)^2-6\right] \quad \Leftrightarrow$
	$\quad \Leftrightarrow\quad f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x-4\right)^2-3.$

Nyní můžeme využít Příklad 28 a graf funkce $f(x)$ načrtnout díky znalosti grafu funkce $x^2$ , proto

Graf

Příklad č. 36» Zobrazit zadání «

Načrtněte grafy funkcí

$f_1(x)= \lvert x \rvert +1 \quad \text{a} \quad f_2(x)=2 \lvert x-1 \rvert + \lvert x \rvert +2.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Pomocí řešení Příkladu 28 můžeme ze znalosti grafu funkce $\lvert x \rvert$ načrtnout graf funkce $f_1(x)$ , tj.

Graf

Nyní načrtneme graf funkce $f_2(x)$ . Nejdříve určíme nulové body jednotlivých absolutních hodnot, tj. $x_1=-1$ a $x_2=0$ . Tyto body nám rozdělí reálnou osu na tři subintervaly. Proto

$x\in\left(-\infty,0\right]$	$\quad\Rightarrow\quad f_2(x)=-2(x-1)-x+2=-3x+4,$
$x\in\left(0,1\right]$	$\quad\Rightarrow\quad f_2(x)=-2(x-1)+x+2=-x+4,$
$x\in\left(1,\infty\right)$	$\quad\Rightarrow\quad f_2(x)=2(x-1)+x+2=3x.$

Na jednotlivých subintervalech je graf funkce tvořen přímkami, které prochází postupně body $[-1,7]$ , $[0,4]$ , $[1,3]$ a $[2,6]$ , tj.

Graf

Příklad č. 37» Zobrazit zadání «

Načrtněte graf funkce

$f(x)=\log\dfrac{10}{2-x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Je zřejmé, že definiční obor funkce je $D(f)=(-\infty,2)$ . Upravíme zadání funkce, tj.

$f(x)=\log\dfrac{10}{2-x}$	$\quad\Leftrightarrow\quad f(x)=\log 10-\log(2-x)\quad\Leftrightarrow$
	$\quad\Leftrightarrow\quad f(x)=1-\log\left[-\left(x-2\right)\right]\quad\Leftrightarrow$
	$\quad\Leftrightarrow\quad f(x)=-\log\left[-\left(x-2\right)\right]+1.$

Ještě určíme průsečík s osou $x$ , tj.

$0=-\log\left[-\left(x-2\right)\right]+1$	$\quad\Leftrightarrow\quad 1=\log(2-x) \quad\Leftrightarrow\quad 10=2-x\quad\Leftrightarrow$
	$\quad\Leftrightarrow\quad x=-8.$

Proto s pomocí Příkladu 28 můžeme načrtnou graf funkce $f(x)$ , tj.

Graf

Grafy funkcí na obrázku je potřeba brát pouze ilustrativně (na obrázku je ve skutečnosti přirozený logaritmus $\ln$ ).

Příklad č. 38» Zobrazit zadání «

Načrtněte graf funkce

$f(x)=2\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)-1.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Pro snažší náčrt nejdříve určíme průsečík s osou $x$ , tj.

$2\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)-1=0$	$\quad\Leftrightarrow\quad \sin\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{2}\quad\Leftrightarrow$
	$\quad\Leftrightarrow\quad 3x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\ \text{ nebo }$
	$\hspace{30mm} 3x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\quad\Leftrightarrow$
	$\quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{5\pi}{36}+\dfrac{2k\pi}{3}\ \text{ nebo } x=\dfrac{17\pi}{36}+\dfrac{2k\pi}{3},\ k\in\mathbb{Z}.$

Osa grafu funkce se posune do $y=-1$ , proto určíme i průsečíky s touto osou, tj.

$2\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)-1=-1$	$\quad\Leftrightarrow\quad \sin\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)=0\quad\Leftrightarrow$
	$\quad\Leftrightarrow\quad 3x-\dfrac{\pi}{4}=k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\quad\Leftrightarrow$
	$\quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{3},\ k\in\mathbb{Z}.$

Tedy hledaný graf funkce $f(x)$ má podobu

Graf

Příklad č. 39» Zobrazit zadání «

Načrtněte graf funkce

$y(x)=\dfrac{3}{2}\operatorname{arcsin}\left(-\dfrac{1}{2}x+1\right)-\pi.$

Řešení» Zobrazit řešení «

S pomocí Příkladu 28 dostaneme

Graf

Příklad č. 40» Zobrazit zadání «

Rozhodněte o paritě funkcí (je daná funkce sudá či lichá?)

$f_1(x)=2$ ;

Řešení» Zobrazit řešení «

$f_1(x)=2\quad\Rightarrow\quad f_1(-x)=2\quad\Rightarrow \text{ sudá funkce}$ ,
$f_2(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$ ;

Řešení» Zobrazit řešení «

$f_2(x)$ $=\dfrac{x^2}{1+x^2}\,\,\Rightarrow\,\, f_2(-x)=\dfrac{(-x)^2}{1+(-x)^2}= \dfrac{x^2}{1+x^2} \,\,\Rightarrow \text{ sudá funkce},$
$f_3(x)=\sqrt{x}$ ;

Řešení» Zobrazit řešení «

$f_3(x)$ $=\sqrt{x}\quad\Rightarrow\quad f_3(-x)=\sqrt{-x}\text{ neexistuje}\quad\Rightarrow$

$\hspace{11mm}\quad\Rightarrow \text{ funkce není sudá ani lichá},$
$f_4(x)=\ln\frac{1-x}{1+x}$ ;

Řešení» Zobrazit řešení «

$f_4(x)$ $=\ln\dfrac{1-x}{1+x}\quad\Rightarrow\quad f_4(-x)=\ln\dfrac{1+x}{1-x}=\ln\left(\dfrac{1-x}{1+x}\right)^{-1}=$

$\hspace{47mm}=-\ln\dfrac{1-x}{1+x}\quad\Rightarrow \text{ lichá funkce},$
$f_5(x)=\sin x +\cos x$ ;

Řešení» Zobrazit řešení «

$f_5(x)=\sin x +\cos x\,\Rightarrow$

$\hspace{10mm}\Rightarrow\, f_5(-x)=\sin (-x) +\cos (-x)=-\sin x +\cos x\,\Rightarrow$

$\hspace{10mm}\Rightarrow \text{ funkce není sudá ani lichá},$
$f_6(x)=x\cosh x$ .

Řešení» Zobrazit řešení «

Nyní si připomene definice hyperbolických funkcí a jejich grafy, tj. $\sinh x=\frac{\operatorname{e}^x-\operatorname{e}^{-x}}{2}$ , $\cosh x=\frac{\operatorname{e}^x+\operatorname{e}^{-x}}{2}$ , $\mathop{\mathrm{tgh}} x=\frac{\sinh x}{\cosh x}$ a

Potom dostaneme

$f_6(x)$ $=x\cosh x\quad\Rightarrow\quad f_6(-x)=-x\cosh (-x)=-x\cosh x \quad\Rightarrow$

$\hspace{24mm}\Rightarrow \text{ lichá funkce}.$
Jak se mění parita funkce vzhledem k součtu, rozdílu, součinu a podílu?

Řešení» Zobrazit řešení «

Označme „S“ sudou funkci a „L“ lichou funkci. Pak platí:

$S\pm S, S\cdot S, L\cdot L, \dfrac{S}{S}, \dfrac{L}{L}$

jsou sudé funkce,

$L\pm L, S\cdot L, L\cdot S, \dfrac{S}{L}, \dfrac{L}{S}$

jsou liché funkce.

Příklad č. 41» Zobrazit zadání «

Určete inverzní funkci

$f(x)=\dfrac{x-2}{x+2}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Z rovnice

$y=\dfrac{x-2}{x+2}$

musíme vyjádřit $x$ , potom přeznačením $y\rightsquigarrow x$ dostaneme hledaný předpis pro inverzní funkci. Proto

$y=\dfrac{x-2}{x+2}$	$\quad\Leftrightarrow\quad y(x+2)=x-2 \quad\Leftrightarrow\quad x(y-1)=-2(y+1)\quad\Leftrightarrow$
	$\quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{-2(y+1)}{y-1} \quad\Leftrightarrow\quad f^{-1}(x)=\dfrac{-2(x+1)}{x-1}.$

Příklad č. 42» Zobrazit zadání «

Určete inverzní funkci

$f(x)=1+\log(x+2).$

Řešení» Zobrazit řešení «

Z rovnice

$y=1+\log(x+2)$

musíme vyjádřit $x$ , potom přeznačením $y\rightsquigarrow x$ dostaneme hledaný předpis pro inverzní funkci. Proto

$y=1+\log(x+2)$	$\quad\Leftrightarrow\quad y-1=\log(x+2) \quad\Leftrightarrow\quad 10^{y-1}=x+2\quad\Leftrightarrow$
	$\quad\Leftrightarrow\quad x=10^{y-1}-2 \quad\Leftrightarrow\quad f^{-1}(x)=10^{x-1}-2.$

Příklad č. 43» Zobrazit zadání «

Určete inverzní funkci

$f(x)= \begin{cases} x, & x<1;\\ x^2, &x\in[1,4];\\ 2^x, &x>4. \end{cases}$

Řešení» Zobrazit řešení «

Přímým výpočtem dostaneme výsledek

$f^{-1}(x)= \begin{cases} x, & x<1;\\ \sqrt{x}, &x\in[1,16];\\ \log_2 x, &x>16. \end{cases}$

Příklad č. 44» Zobrazit zadání «

Určete jednotlivé elementární funkce, z nichž se skládá funkce

$F(x)=\sqrt[3]{\sin(x^3+3)}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Složky jsou

$f(x) = \sqrt[3]{x}, \quad g(x) = \sin x, \quad h(x) = x^3+3.$

Daná funkce je z nich složena takto:

$F(x) = f(g(h(x))) = (f \circ g \circ h)(x).$

Příklad č. 45» Zobrazit zadání «

Určete jednotlivé elementární funkce, z nichž se skládá funkce

$F(x)=\log_2\sqrt{\operatorname{tg}(2+x)}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Složky jsou

$f(x) = \log_2 x, \quad g(x) = \sqrt{x}, \quad h(x) = \operatorname{tg} x, \quad l(x) = 2+x.$

Daná funkce je z nich složena takto:

$F(x) = f(g(h(l(x)))) = (f \circ g \circ h \circ l)(x).$

Příklad č. 46» Zobrazit zadání «

Určete jednotlivé elementární funkce, z nichž se skládá funkce

$a) F(x) = \operatorname{cotg} ^5x, \qquad b) G(x) = \cos x^7.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$a)$ Složky jsou

$f(x) = \operatorname{cotg} x, \quad g(x) = x^5.$

Daná funkce je z nich složena takto:

$F(x) = g(f(x)) = (g \circ f)(x).$

$b)$ Složky jsou

$f(x) = \cos x, \quad g(x) = x^7.$

Daná funkce je z nich složena takto:

$F(x) = f(g(x)) = (f \circ g)(x).$

Příklad č. 47» Zobrazit zadání «

Vypočtěte $f(x)$ , jestliže $f\left(\frac{1}{x}\right)=x+\sqrt{1+x^2}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Musíme za $x$ dosadit takovou hodnotu, aby na levé straně rovnice $f(\frac{1}{x})=x+\sqrt{1+x^2}$ zůstala pouze „nějaká“ proměnná, zbytek dostaneme pouze přeznačením. Zvolme $x=\frac{1}{t}$ , potom máme

$f\left(\dfrac{1}{\frac{1}{t}}\right)$	$=f(t)=\dfrac{1}{t}+\sqrt{1+\left(\dfrac{1}{t}\right)^2}=$
	$= \dfrac{\operatorname{sgn} (t)}{ \left\lvert t \right\rvert }+\dfrac{\sqrt{1+t^2}}{ \left\lvert t \right\rvert }=\dfrac{\operatorname{sgn} (t)+\sqrt{1+t^2}}{ \left\lvert t \right\rvert }.$

Nyní položíme $t\rightsquigarrow x$ a dostaneme řešení

$f(x)=\dfrac{\operatorname{sgn}(x)+\sqrt{1+x^2}}{ \lvert x \rvert }.$

Příklad č. 48» Zobrazit zadání «

Vypočtěte $f(x)$ , jestliže $f\left(\frac{x}{x+1}\right)=x^2$ .

Řešení» Zobrazit řešení «

Využijeme postup z Příkladu 47. Musíme najít vhodnou hodnotu $x$ . Proto musíme vyřešit rovnici

$\dfrac{x}{x+1}=t\quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{t}{1-t}.$

Nyní zvolíme $x=\frac{t}{1-t}$ , potom

$f\left(\dfrac{\frac{t}{1-t}}{\frac{t}{1-t}+1}\right)=f(t)=\left(\dfrac{t}{1-t}\right)^2.$

Pro $t\rightsquigarrow x$ jsme našli funkční předpis ve tvaru

$f(x)=\left(\dfrac{x}{1-x}\right)^2.$

Příklad č. 49» Zobrazit zadání «

Vyřešte nerovnici

$\left|\dfrac{2x+1}{x-3}+1\right|\leq1.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve nerovnost upravíme

$\left\|\dfrac{2x+1}{x-3}+1\right\|\leq1$	$\quad\Leftrightarrow\quad \left\|\dfrac{2x+1+x-3}{x-3}\right\|\leq1\quad\Leftrightarrow$
	$\quad\Leftrightarrow\quad \left\|\dfrac{3x-2}{x-3}\right\|\leq1 \quad\Leftrightarrow\quad \left\lvert 3x-2 \right\rvert \leq \left\lvert x-3 \right\rvert .$

Nulové body absolutních hodnot jsou $x_1=\frac{2}{3}$ a $x_2=3$ . Tímto se nám rozdělí reálná osa na tři subintervaly, na kterých budeme muset vyřešit nerovnici zvlášť. Proto

	$x\in\left(-\infty,\dfrac{2}{3}\right]:\ -3x+2\leq -x+3 \ \ \Leftrightarrow\ \ x\geq -\dfrac{1}{2} \ \ \Rightarrow\ x\in\left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3}\right],$
	$x\in\left(\dfrac{2}{3},3\right]:\ 3x-2\leq -x+3 \ \ \Leftrightarrow\ \ x\leq \dfrac{5}{4} \ \ \Rightarrow\ x\in\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{5}{4}\right],$
	$x\in\left(3,\infty\right):\ 3x-2\leq x-3 \ \ \Leftrightarrow\ \ x\leq -\dfrac{1}{2} \ \ \Rightarrow\ x\in\left\{\emptyset\right\}.$

Proto řešením je interval $x\in\left[-\frac{1}{2},\frac{5}{4}\right]$ .

Příklad č. 50» Zobrazit zadání «

Dokažte, že aritmetický průměr dvou nezáporných čísel je větší nebo roven jejich průměru geometrickému.

Řešení» Zobrazit řešení «

Jinými slovy máme dokázat, že platí

$\dfrac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab},\quad a\geq 0,~b\geq 0.$

To plyne z této úvahy

$\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\geq 0$	$\quad\Leftrightarrow\quad a-2\sqrt{ab}+b\geq 0\quad\Leftrightarrow$
	$\quad\Leftrightarrow\quad a+b\geq 2\sqrt{ab} \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}.$

Příklad č. 51» Zobrazit zadání «

Pomocí matematické indukce dokažte, že platí Bernoulliova nerovnost

$(1+x)^n\geq 1+nx, \quad \text{kde} ~n\in\mathbb{N},~n>1,~x>-1.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Nerovnost dokážeme pomocí matematické indukce, proto vezme první možnou hodnotu $n$ , tj. $n=2$ , a ukážeme, že je nerovnost splněna, proto

$(1+x)^2\geq 1+2x \quad\Leftrightarrow\quad 1+2x+x^2\geq 1+2x \quad\Leftrightarrow\quad x^2\geq 0. \checkmark$

Uděláme indukční krok, proto předpokládejme, že rovnost platí pro nějaké $n\in\mathbb{N}\setminus\{1\}$ , tj. $(1+x)^n\geq 1+nx$ . Teď ukážeme, že nerovnost platí i pro $n+1$ . Proto

$(1+x)^n$	$\geq 1+nx\ /\cdot (1+x)>0\quad\Rightarrow$
	$\hspace{2mm}\Rightarrow\quad (1+x)^{n+1}\geq \left(1+nx\right)\left(1+x\right)=1+nx+x+nx^2\quad\Rightarrow$
	$\overset{nx^2\geq 0}{\Rightarrow}\quad (1+x)^{n+1}\geq 1+nx+x\quad\Rightarrow$
	$\hspace{2mm}\Rightarrow\quad (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x.$

Tedy i pro $n+1$ je nerovnice splněna. Tím jsme dokázali Bernoulliovu nerovnost.

Příklad č. 52» Zobrazit zadání «

Pomocí matematické indukce dokažte, že pro $n\in\mathbb{N}$ platí

$1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve ověříme, že rovnost platí pro $n=1$ , tj.

$1=\dfrac{1\cdot 2}{2}.\checkmark$

Nechť nyní rovnost platí pro libovolné $n\in\mathbb{N}$ . Pak pro $n+1$ dostaneme

$1+2+\cdots+n+n+1$	$=\dfrac{n(n+1)}{2}+n+1=\dfrac{n(n+1)+2n+2}{2}=$
	$=\dfrac{n^2+3n+2}{2}=\dfrac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2},$

čímž je identita dokázána.

Příklad č. 53» Zobrazit zadání «

Pomocí matematické indukce dokažte, že pro $n\in\mathbb{N}$ platí

$\sum\limits_{i=1}^{n}i^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve ověříme, že rovnost platí pro $n=1$ , tj.

$\sum\limits_{i=1}^{1}i^3=1=\dfrac{1^2(1+1)^2}{4}=\dfrac{1\cdot 4}{4}=1.\checkmark$

Nechť nyní rovnost platí pro libovolné $n\in\mathbb{N}$ . Pak pro $n+1$ dostaneme

$\sum\limits_{i=1}^{n+1}i^3$	$=\sum\limits_{i=1}^{n}i^3+(n+1)^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}+\dfrac{4(n+1)^3}{4}=$
	$=\dfrac{\left(n+1\right)^2\left(n^2+4n+4\right)}{4} =\dfrac{\left(n+1\right)^2\left(n+2\right)^2}{4},$

čímž je identita dokázána.

nahoru

Rozklad na parciální zlomky

Lomená racionální funkce $\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}$ ;
má-li polynom v čitateli stejný, nebo vyšší stupeň než polynom ve jmenovateli, provedeme dělení polynomů - tím získáme polynom a ryze lomenou racionální funkci $\frac{P(x)}{Q(x)}$ (tj., $\operatorname{st} P<\operatorname{st} Q$ );
určíme reálné kořeny polynomu $Q(x)$ (pomocí Hornerova schématu, vzorců, vytýkáním či jinými úpravami) a zapíšeme $Q(x)$ jakou součin lineárních polynomů ve tvaru $x-x_0$ , kde $x_0$ je reálný kořen, a kvadratických polynomů ve tvaru $(x-a)^2+b^2$ , které nemají reálné kořeny;
zapíšeme $\frac{P(x)}{Q(x)}$ pomocí parciální zlomků s neurčitými koeficienty, přičemž jednoduchému reálnému kořenu $x_0$ , tj. členu $x-x_0$ , odpovídá parciální zlomek ve tvaru
$\dfrac{A}{x-x_0},$
jednoduchému komplexnímu kořenu $a+ib$ , tj. členu $(x-a)^2+b^2$ , odpovídá parciální zlomek
$\dfrac{Bx+C}{(x-a)^2+b^2},$
pro $k$ -násobný reálný kořen $x_0$ , tj. pro člen $(x-x_0)^k$ , odpovídá $k$ parciálních zlomků
$\dfrac{A_1}{x-x_0}+\dfrac{A_2}{(x-x_0)^2}+\cdots+\dfrac{A_k}{(x-x_0)^k}$
a pro $k$ -násobný komplexní kořen $a+ib$ , tj. pro člen $[(x-a)^2+b^2]^k$ , odpovídá $k$ parciálních zlomků ve tvaru
$\dfrac{B_1x+C_1}{(x-a)^2+b^2}+\dfrac{B_2x+C_2}{[(x-a)^2+b^2]^2}+\cdots+\dfrac{B_kx+C_k}{[(x-a)^2+b^2]^k};$
metodou neurčitých koeficientů (příp. s pomocí dosazení některých kořenů) určíme všechny neznámé koeficienty v čitatelích parciálních zlomků.

Příklad č. 54» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

$\dfrac{3x^2-5x+8}{x^3-2x^2+x-2}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve musíme rozložit jmenovatele na součin, tj. učit kořeny. K tomu můžeme využít tzv. Hornerovo schéma (viz později) nebo některou z elementárních úprav, proto

$x^3-2x^2+x-2=x^2\left(x-2\right)+x-2=\left(x^2+1\right)\left(x-2\right).$

Proto rozklad na parciální zlomky musí vypadat takto

$\dfrac{3x^2-5x+8}{x^3-2x^2+x-2}=\dfrac{Ax+B}{x^2+1}+\dfrac{C}{x-2}.$

Pro další výpočet musíme obě strany rovnice vynásobit jmenovatelem původního zlomku, proto

$3x^2-5x+8$	$=\left(Ax+B\right)\left(x-2\right)+Cx^2+C,$
$3x^2-5x+8$	$=Ax^2-2Ax+Bx-2B+Cx^2+C.$

Pro určení jednotlivých koeficientů lze využít dosazení jednotlivých kořenů (zde pouze $x=2$ ), ovšem takovým způsobem dostaneme všechny hledané koeficienty pouze v případě jednoduchých reálných kořenů. Druhou možností je tzv. metoda neurčitých koeficientů, kdy porovnáváme koeficienty u jednotlivých mocnin $x$ , tj.

$x^2$	$:$	$\ 3$	$=A+C,$
$x^1$	$:$	$\ -5$	$=-2A+B,$
$x^0\text{ (koeficienty bez x)}$	$:$	$\ 8$	$=-2B+C.$

Tím jsme obdrželi soustavu tří rovnic o třech neznámých, kterou lze vyřešit přímo (metodami známých ze střední školy nebo pomocí matic). Řešením jsou hodnoty $A=1$ , $B=-3$ a $C=2$ . Tedy hledaný rozklad je tvaru

$\dfrac{3x^2-5x+8}{x^3-2x^2+x-2}=\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{x-3}{x^2+1}.$

Při hledání je možné použít i kombinaci obou popsaných metod - část koeficientů získat dosazením kořenů a zbytek metodou neurčitých koeficientů, kde bude nutné již vyřešit nižší počet rovnic.

Příklad č. 55» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

$\dfrac{1}{x^3+1}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Rozložením jmenovatele (buď se znalostí vhodného vzorce nebo z faktu, že $x=-1$ je kořen tohoto polynomu, a dále pomoci dělení dvou polynomů) obdržíme $x^3+1=(x+1)\left(x^2-x+1\right)$ . Proto rozklad musí vypadat takto

$\dfrac{1}{x^3+1}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{Bx+C}{x^2-x+1},$

což vede k rovnici

$1=Ax^2-Ax+A+Bx^2+Bx+Cx+C.$

Pomocí metody neurčitých koeficientů dostaneme soustavu

$x^2$	$:\ 0$	$=A+B,$
$x^1$	$:\ 0$	$=-A+B+C,$
$x^0$	$:\ 1$	$=A+C,$

jejímž řešením je trojice $A=\frac{1}{3}$ , $B=-\frac{1}{3}$ a $C=\frac{2}{3}$ . Proto máme

$\dfrac{1}{x^3+1}=\dfrac{\frac{1}{3}}{x+1}+\dfrac{-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}{x^2-x+1}.$

Příklad č. 56» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

$\dfrac{1}{x^3(x+1)}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Jmenovatel je již ve tvaru požadovaného součinu, proto rozklad musí vypadat takto

$\dfrac{1}{x^3(x+1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{C}{x^3}+\dfrac{D}{x+1},$

z čehož obdržíme rovnici

$1=Ax^3+Ax^2+Bx^2+Bx+Cx+C+Dx^3.$

Tedy metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu

$x^3$	$:\ 0$	$=A+D,$
$x^2$	$:\ 0$	$=A+B,$
$x^1$	$:\ 0$	$=B+C,$
$x^0$	$:\ 1$	$=C,$

jejímž řešením je čtveřice $A=1$ , $B=-1$ , $C=1$ a $D=-1$ . Proto hledaný rozklad je tvaru

$\dfrac{1}{x^3(x+1)}=\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}.$

Příklad č. 57» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

$\dfrac{x^2-2}{x^4-2x^3+2x^2}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Jmenovatel upravíme do tvaru

$x^4-2x^3+2x^2=x^2\left(x^2-2x+2\right),$

proto parciální zlomky musí být ve tvaru

$\dfrac{x^2-2}{x^4-2x^3+2x^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{Cx+D}{x^2-2x+2}.$

Úpravou dostaneme rovnici

$x^2-2=Ax^3-2Ax^2+2Ax+Bx^2-2Bx+2B+Cx^3+Dx^2,$

což nám metodou neurčitých koeficientů dá soustavu rovnic

$x^3$	$:$	$\ 0$	$=A+C,$
$x^2$	$:$	$\ 1$	$=-2A+B+D,$
$x^1$	$:$	$\ 0$	$=2A-2B,$
$x^0$	$:$	$\ -2$	$=2B.$

Řešením soustavy je čtveřice $A=-1$ , $B=-1$ , $C=1$ a $D=0$ , proto hledaný rozklad je tvaru

$\dfrac{x^2-2}{x^4-2x^3+2x^2}=-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{x}{x^2-2x+2}.$

Příklad č. 58» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

$\dfrac{x^3+3x^2+4}{x^3+x-2}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Poněvadž jsou stupně obou polynomů (alespoň) stejné, musíme nejdříve zadaný podíl upravit tak, abychom dostali ryzí racionální lomenou funkci, tj.

$\bigl($	$x^3+3x^2+4\bigr):\left(x^3+x-2\right)=1+\dfrac{3x^2-x+6}{x^3+x-2}.$
	$-\underline{\left(x^3+x-2\right)}$
	$\phantom{-x^3-}3x^2-x+6$

Nyní musíme rozložit jmenovatele $x^3+x-2$ na součin. Má-li polynom celočíselné kořeny, musí to být dělitelé absolutního členu. Má-li polynom racionální kořen (tj. ve tvaru zlomku), je čitatel zlomku tvořen dělitelem absolutního člene polynomu a jmenovatel tohoto kořene je dělitelem koeficientu u nejvyšší mocniny polynomu. Tuto skutečnost využijeme při aplikování Hornerova schématu, kde postupujeme takto:

Nejprve sepíšeme do tabulky koeficienty studovaného polynomu. (Přitom nesmíme zapomenout na možné nulové koeficienty.)

$x^3$ $x^2$ $x^1$ $x^0$

$1$ $0$ $1$ $-2$
Tabulku rozšíříme o jeden sloupec, do něhož budeme psát kandidáty na kořeny.

$kand.$ $1$ $0$ $1$ $-2$

$2$
První (vedoucí) koeficient polynomu sepíšeme do řádku s kandidátem na kořen.

$kand.$ $\textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{1}$ $0$ $1$ $-2$

$2$ $\textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{1}$
Nyní nastupuje hlavní část - doplnění zbylých polí druhého řádku tabulky.

$kand.$ $1$ $\textcolor[rgb]{0.00,1.00,0.00}{0}$ $1$ $-2$

$\textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{2}$ $\textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{1}$ $\textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{2} \cdot \textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{1}+ \textcolor[rgb]{0.00,1.00,0.00}{0} = 2$
Tím dostaneme tabulku

$kand.$ $1$ $0$ $1$ $-2$

$\textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{2}$ $1$ $2$ $\textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{2} \cdot 2 + 1 = 5$ $\textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{2} \cdot 5 - 2 = 8$
Protože poslední číslo v druhém řádku je různé od nuly, číslo $2$ není kořenem studovaného polynomu $x^3+x-2$ . (Poznamenejme, že tato pozice obsahuje funkční hodnotu studovaného polynomu v testovaném čísle.)
Druhý řádek tabulky vymažeme (v zápise na papír ho škrtáme a rozšíříme tabulku o volný řádek) a otestujeme v něm dalšího kandidáta na kořen.

$kand.$ $1$ $0$ $1$ $-2$

$1$ $1$ $1$ $2$ $0$
Poslední pozice druhého řádku je nulová, což znamená, že studovaný polynom nabývá v čísle $1$ hodnoty $0$ . Číslo $1$ je tedy kořenem polynomu $x^3+x-2$ . Ostatní čísla (tj. mimo prvního a posledního) v druhém řádku tabulky navíc udávají koeficienty polynomu vzniklého vydělením studovaného polynomu kořenovým činitelem právě nalezeného kořene.

$kand.$ $1$ $0$ $1$ $-2$

$1$ $1$ $1$ $2$ $0$

$-$ $x^2$ $x^1$ $x^0$ $-$
Shrňme si předchozí postup do jediné tabulky.

$-$ $x^3$ $x^2$ $x^1$ $x^0$

$kand.$ $1$ $0$ $1$ $-2$

$\textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{2}$ $\textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{1}$ $\textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{2} \cdot \textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{1}+ \textcolor[rgb]{0.00,1.00,0.00}{0} = 2$ $5$ $8$

$1$ $1$ $1$ $2$ $0$

$-$ $x^2$ $x^1$ $x^0$ $-$

Tímto postupem jsme dostali $x^3+x-2=\left(x-1\right)\left(x^2+x+2\right)$ . Proto rozklad musí být

$\dfrac{3x^2-x+6}{x^3+x-2}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{Bx+C}{x^2+x+2},$

z čehož dostaneme rovnici

$3x^2-x+6=Ax^2+Ax+2A+Bx^2-Bx+Cx-C,$

neboli

$x^2$	$:$	$\ 3$	$=A+B,$
$x^1$	$:$	$\ -1$	$=A-B+C,$
$x^0$	$:$	$\ 6$	$=2A-C.$

Řešením této soustavy je čtveřice $A=2$ , $B=1$ a $C=-2$ , proto hledaný rozklad je ve tvaru

$\dfrac{x^3+3x^2+4}{x^3+x-2}=1+\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{x-2}{x^2+x+2}.$

Příklad č. 59» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

$\dfrac{x+1}{x^5+3x^3+2x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve upravíme jmenovatele, tj. $x^5+3x^3+2x=x\left(x^4+3x^2+2\right)$ . S využitím substituce $y=x^2$ dostaneme kvadratickou rovnici $y^2+3y+2$ s řešeními $y_1=-1$ a $y_2=-2$ . Proto jmenovatele můžeme rozložit do tvaru $x\left(x^2+1\right)\left(x^2+2\right)$ . Hledaný rozklad tedy musí být ve tvaru

$\dfrac{x+1}{x^5+3x^3+2x}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{x^2+2}+\dfrac{Dx+E}{x^2+1},$

z čehož dostaneme rovnici

$x+1=$	$Ax^4+3Ax^2+2A+Bx^4+Bx^2+Cx^3+Cx+$
	$+Dx^4+2Dx^2+Ex^3+2Ex.$

Odtud metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu rovnic

$x^4$	$:\ 0$	$=A+B+D,$
$x^3$	$:\ 0$	$=C+E,$
$x^2$	$:\ 0$	$=3A+B+2D,$
$x^1$	$:\ 1$	$=C+2E,$
$x^0$	$:\ 1$	$=2A$

a její řešení $A=\frac{1}{2}$ , $B=\frac{1}{2}$ , $C=-1$ , $D=-1$ a $E=1$ . Tím jsme získali rozklad na parciální zlomky

$\dfrac{x+1}{x^5+3x^3+2x}=\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x-2}{x^2+2}+\dfrac{1-x}{x^2+1}.$

Příklad č. 60» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

$\dfrac{x-4}{x^4+8x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Upravíme jmenovatele do tvaru $x^4+8x=x\left(x^3+8\right)$ a s pomocí Hornerova schématu

	$1$	$0$	$0$	$8$
$-2$	$1$	$-2$	$4$	$0$

zjistíme, že $x=-2$ je také kořenem a další rozklad je ve tvaru $x^4+8x=x\left(x^3+8\right)=x\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)$ , proto rozklad bude mít podobu

$\dfrac{x-4}{x^4+8x}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+2}+\dfrac{Cx+D}{x^2-2x+4}.$

Odtud dostaneme rovnici

$x-4=$	$Ax^3-2Ax^2+4Ax+2Ax^2-4Ax+8A+Bx^3-2Bx^2+4Bx+$
	$+ Cx^3+2Cx^2+Dx^2+2Dx.$

Metodou neurčitých koeficientů získáme soustavu

$x^3$	$:$	$\ 0$	$=A+B+C,$
$x^2$	$:$	$\ 0$	$=-2A+2A-2B+2C+D,$
$x^1$	$:$	$\ 1$	$=4A-4A+4B+2D,$
$x^0$	$:$	$\ -4$	$=8A$

s řešeními $A=-\frac{1}{2}$ , $B=\frac{1}{4}$ , $C=\frac{1}{4}$ a $D=0$ . Proto hledaný rozklad je ve tvaru

$\dfrac{x-4}{x^4+8x}=-\dfrac{1}{2x}+\dfrac{\dfrac{1}{4}}{x+2}+\dfrac{\dfrac{1}{4}x}{x^2-2x+4}.$

Příklad č. 61» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

$\dfrac{2x^4-x^3+x^2+3x+3}{x^2-1}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve získáme ryzí racionální funkci, tj.

	$\bigl(2x^4-x^3+x^2+3x+3\bigr):\left(x^2-1\right)=2x^2-x+3+\dfrac{2x+6}{x^2-1}.$
$-$	$\underline{\left(2x^4+2x^2\right)\hspace{24mm}}$
	$\hspace{8mm}-x^3+3x^2+3x+3$
	$\underline{\hspace{4mm}-\left(-x^3+x\right)\hspace{19mm}}$
	$\hspace{20mm}3x^2+2x+3$
	$\underline{\hspace{14mm}-\left(3x^2-3\right)\hspace{11mm}}$
	$\hspace{31mm}2x+6$

Poněvadž platí $x^2-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$ , bude rozklad ve tvaru

$\dfrac{2x+6}{x^2-1}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x-1},$

což vede k rovnici

$2x+6=Ax-A+Bx+B.$

S využitím metody neurčitých koeficientů obdržíme soustavu

$x^1$	$:\ 2$	$=A+B,$
$x^0$	$:\ 6$	$=B-A$

s řešením $A=-2$ a $B=4$ . Řešením je tedy rozklad

$\dfrac{2x^4-x^3+x^2+3x+3}{x^2-1}=2x^2-x+3-\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{4}{x-1}.$

Příklad č. 62» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

$\dfrac{2x-1}{2x^4+x^3+x^2}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Úpravou jmenovatele obdržíme $2x^4+x^3+x^2=x^2\left(2x^2+x+1\right)$ , proto musí být rozklad ve tvaru

$\dfrac{2x-1}{2x^4+x^3+x^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{Cx+D}{2x^2+x+1},$

což vede na rovnici

$2x-1=2Ax^3+Ax^2+Ax+2Bx^2+Bx+B+Cx^3+Dx^2.$

Pomocí metody neurčitých koeficientů obdržíme soustavu

$x^3$	$:$	$\ 0$	$=2A+C,$
$x^2$	$:$	$\ 0$	$=A+2B+D,$
$x^1$	$:$	$\ 2$	$=A+B,$
$x^0$	$:$	$\ -1$	$=B$

a její řešení $A=3$ , $B=-1$ , $C=-6$ a $D=-1$ . Proto hledaný rozklad je ve tvaru

$\dfrac{2x-1}{2x^4+x^3+x^2}=\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{6x+1}{2x^2+x+1}.$

Příklad č. 63» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

$\dfrac{-5x+2}{x^4-x^3+2x^2}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Upravíme jmenovatele do tvaru součinu, tj. $x^4-x^3+2x^2=x^2\left(x^2-x+2\right)$ , proto bude rozklad mít podobu

$\dfrac{-5x+2}{x^4-x^3+2x^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{Cx+D}{x^2-x+2}.$

Odtud dostaneme rovnici

$-5x+2=Ax^3-Ax^2+2Ax+Bx^2-Bx+2B+Cx^3+Dx^2,$

což nás metodou neurčitých koeficientů přivede k soustavě

$x^3$	$:$	$\ 0$	$=A+C,$
$x^2$	$:$	$\ 0$	$=-A+B+D,$
$x^1$	$:$	$\ -5$	$=2A-B,$
$x^0$	$:$	$\ 2$	$=2B$

s řešením $A=-2$ , $B=1$ , $C=2$ a $D=-3$ . Proto hledaný rozklad je ve tvaru

$\dfrac{-5x+2}{x^4-x^3+2x^2}=-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2x-3}{x^2-x+2}.$

Příklad č. 64» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

$\dfrac{2x^2+4x+9}{x^3+3x^2+3x+2}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

S pomocí Hornerova schématu dostaneme

	$1$	$3$	$3$	$2$
$-2$	$1$	$1$	$1$	$0$

proto platí $x^3+3x^2+3x+2=\left(x+2\right)\left(x^2+x+1\right)$ . Tedy rozklad bude ve tvaru

$\dfrac{2x^2+4x+9}{x^3+3x^2+3x+2}=\dfrac{A}{x+2}+\dfrac{Bx+C}{x^2+x+1},$

což vede k rovnici

$2x^2+4x+9=Ax^2+Ax+A+Bx^2+2Bx+Cx+2C.$

Metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu

$x^2:~2=A+B,\\ x^1:~4=A+2B+C,\\ x^0:~9=A+2C$

s řešením $A=3$ , $B=-1$ a $C=3$ . Hledaný rozklad je tedy tvaru

$\dfrac{2x^2+4x+9}{x^3+3x^2+3x+2}=\dfrac{3}{x+2}+\dfrac{-x+3}{x^2+x+1}.$

Příklad č. 65» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

$\dfrac{9x^3-4x+1}{x^4-x^2}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Upravíme jmenovatele do tvaru $x^4-x^2=x^2\left(x^2-1\right)=x^2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$ , proto rozklad bude ve tvaru

$\dfrac{9x^3-4x+1}{x^4-x^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{C}{x+1}+\dfrac{D}{x-1}.$

Odtud dostaneme rovnici ve tvaru

$9x^3-4x+1=Ax^3-Ax+Bx^2-B+Cx^3+Dx^3+Dx^2.$

Metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu

$x^3$	$:$	$\ 9$	$=A+C+D,$
$x^2$	$:$	$\ 0$	$=B-C+D,$
$x^1$	$:$	$\ -4$	$=-A,$
$x^0$	$:$	$\ 1$	$=-B$

s řešením $A=4$ , $B=-1$ , $C=2$ a $D=3$ . Proto hledaný rozklad je ve tvaru

$\dfrac{9x^3-4x+1}{x^4-x^2}=\dfrac{4}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{3}{x-1}.$

Příklad č. 66» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

$\dfrac{x^2-x+10}{(x^2-3x+10)^2}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Jmenovatele již nelze nijak rozložit, proto rozklad musí být v tomto tvaru

$\dfrac{x^2-x+10}{(x^2-3x+10)^2}=\dfrac{Ax+B}{x^2-3x+10}+\dfrac{Cx+D}{(x^2-3x+10)^2},$

což vede na rovnici

$x^2-x+10=Ax^3+3Ax^2+10Ax+Bx^2-3Bx+10B+Cx+D.$

Metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu rovnic

$x^3$	$:$	$\ 0$	$=A,$
$x^2$	$:$	$\ 1$	$=3A+B,$
$x^1$	$:$	$\ -1$	$=10A-3B+C,$
$x^0$	$:$	$\ 10$	$=10B+D$

s řešením $A=0$ , $B=1$ , $C=2$ a $D=0$ . Proto hledaný rozklad je tvaru

$\dfrac{x^2-x+10}{(x^2-3x+10)^2}=\dfrac{1}{x^2-3x+10}+\dfrac{2x}{(x^2-3x+10)^2}.$

Příklad č. 67» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

$\dfrac{1}{x^6+2x^4+x^2}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve upravíme jmenovatele do tvaru

$x^6+2x^4+x^2=x^2\left(x^4+2x^2+1\right)=x^2\left(x^2+1\right)^2.$

Proto bude rozklad ve tvaru

$\dfrac{1}{x^6+2x^4+x^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{Cx+D}{x^2+1}+\dfrac{Ex+F}{\left(x^2+1\right)^2},$

z čehož obdržíme rovnici

$1=$	$Ax^5+2Ax^3+Ax+Bx^4+2Bx^2+B+Cx^5+Cx^3+$
	$+Dx^4+Dx^2+Ex^3+Fx^2.$

Metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu

$x^5$	$:\ 0$	$=A+C,$
$x^4$	$:\ 0$	$=B+D,$
$x^3$	$:\ 0$	$=2A+C+E,$
$x^2$	$:\ 0$	$=2B+D+F,$
$x^1$	$:\ 0$	$=A,$
$x^0$	$:\ 1$	$=B$

a řešení $A=0$ , $B=1$ , $C=0$ , $D=-1$ , $E=0$ a $F=-1$ . Tedy hledaný rozklad je ve tvaru

$\dfrac{1}{x^6+2x^4+x^2}=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x^2+1}-\dfrac{1}{(x^2+1)^2}.$

Příklad č. 68» Zobrazit zadání «

Rozložte na parciální zlomky

$\dfrac{5x^7+12x^6+24x^5+19x^4+8x^3+4x^2+3x+1}{x^8+3x^7+5x^6+5x^5+3x^4+x^3}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Pomocí vytýkání upravíme jmenovatele do tvaru

$x^8+3x^7+5x^6+5x^5+3x^4+x^3=x^3\left(x^5+3x^4+5x^3+5x^2+3x+1\right).$

S využitím Hornerova schématu

	$1$	$3$	$5$	$5$	$3$	$1$
$-1$	$1$	$2$	$3$	$2$	$1$	$0$

můžeme psát

$x^8+3x^7+5x^6+5x^5+3x^4+x^3=x^3\left(x^5+3x^4+5x^3+5x^2+3x+1\right)=\\ = x^3\left(x+1\right)\left(x^4+2x^3+3x^2+2x+1\right)=x^3\left(x+1\right)\left(x^2+x+1\right)^2.$

Proto rozklad bude ve tvaru

$\dfrac{5x^7+12x^6+24x^5+19x^4+8x^3+4x^2+3x+1}{x^8+3x^7+5x^6+5x^5+3x^4+x^3}$	$= \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{C}{x^3}+\dfrac{D}{x+1}+$
	$+ \dfrac{Ex+F}{x^2+x+1}+\dfrac{Gx+H}{\left(x^2+x+1\right)^2},$

což vede na rovnici

	$5x^7+12x^6+24x^5+19x^4+8x^3+4x^2+3x+1=$
	$= Ax^7+3Ax^6+5Ax^5+5Ax^4+3Ax^3+Ax^2+Bx^6+3Bx^5+5Bx^4+$
	$+ 5Bx^3+3Bx^2+Bx+Cx^5+3Cx^4+5Cx^3+5Cx^2+3Cx+C+$
	$+ Dx^7+2Dx^6+3Dx^5+2Dx^4+Dx^3+Ex^7+2Ex^6+2Ex^5+Ex^4+$
	$+ Fx^6+2Fx^5+2Fx^4+Fx^3+Gx^5+Gx^4+Hx^4+Hx^3.$

Pomocí metody neurčitých koeficientů dostaneme soustavu

$x^7$	$:$	$\ 5$	$=A+D+E,$
$x^6$	$:$	$\ 12$	$=3A+B+2D+2E+F,$
$x^5$	$:$	$\ 24$	$=5A+3B+C+3D+2E+2F+G,$
$x^4$	$:$	$\ 19$	$=5A+5B+3C+2D+E+2F+G+H,$
$x^3$	$:$	$\ 8$	$=3A+5B+5C+D+F+H,$
$x^2$	$:$	$\ 4$	$=A+3B+5C,$
$x^1$	$:$	$\ 3$	$=B+3C,$
$x^0$	$:$	$\ 1$	$=C$

s řešením $A=-1$ , $B=0$ , $C=1$ , $D=4$ , $E=2$ , $F=3$ , $G=6$ a $H=-1$ . Proto hledaný rozklad je ve tvaru

	$\dfrac{5x^7+12x^6+24x^5+19x^4+8x^3+4x^2+3x+1}{x^8+3x^7+5x^6+5x^5+3x^4+x^3}=$
	$\hspace{20mm}= -\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{4}{x+1}+\dfrac{2x+3}{x^2+x+1}+\dfrac{6x-1}{(x^2+x+1)^2}.$

nahoru

Tisková verze

Mgr. Petr Zemánek, Ph.D., Mgr. Petr Hasil, Ph.D. |
ÚMS, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita |
Návrat na úvodní stránku webu, přístupnost |

| Technická spolupráce:
| Servisní středisko pro e-learning na MU
| Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, 2012

Technické řešení této výukové pomůcky je spolufinancováno Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Nahoru

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

$a=\max M$	$\Rightarrow \left[x\leq a\ \forall x\in M\right]\ \wedge\ a\in M\Rightarrow$
	$\Rightarrow\left[x\leq a\ \forall x\in M\right]\ \wedge \left[\left(b\in\mathbb{R},\ x\leq b\ \forall x\in M\right)\Rightarrow a\leq b\right]\Rightarrow$
	$\Rightarrow a=\sup M.$

$x\in A\cup B$	$\Rightarrow x\in A\ \vee\ x\in B\Rightarrow \left[x\leq a\ \forall x\in A\right]\ \vee \left[x\leq b\ \forall x\in B\right]\Rightarrow$
	$\Rightarrow\left[x\leq a\leq d\ \forall x\in A\right]\ \vee \left[x\leq b\leq d\ \forall x\in B\right]\Rightarrow$
	$\Rightarrow x\leq d\ \forall x\in A\cup B\Rightarrow c\leq d.$

$x\in A\cup B$	$\Rightarrow x\in A\ \vee\ x\in B\Rightarrow \left[x\geq a\ \forall x\in A\right]\ \vee \left[x\geq b\ \forall x\in B\right]\Rightarrow$
	$\Rightarrow\left[x\geq a\geq d\ \forall x\in A\right]\ \vee \left[x\geq b\geq d\ \forall x\in B\right]\Rightarrow$
	$\Rightarrow x\geq d\ \forall x\in A\cup B\Rightarrow c\geq d.$

$x\in A\cap B$	$\Rightarrow x\in A\ \wedge\ x\in B\Rightarrow \left[x\leq a\ \forall x\in A\right]\ \wedge \left[x\leq b\ \forall x\in B\right]\Rightarrow$
	$\Rightarrow\left[x\leq a\ \forall x\in \left(A\cap B\right)\right]\ \vee \left[x\leq b\ \forall x\in \left(A\cap B\right)\right]\Rightarrow$
	$\Rightarrow x\leq d\ \forall x\in \left(A\cap B\right)\Rightarrow c\leq d.$

$x\in A\cap B$	$\Rightarrow x\in A\ \wedge\ x\in B\Rightarrow \left[x\geq a\ \forall x\in A\right]\ \wedge \left[x\geq b\ \forall x\in B\right]\Rightarrow$
	$\Rightarrow\left[x\geq a\ \forall x\in \left(A\cap B\right)\right]\ \vee \left[x\geq b\ \forall x\in \left(A\cap B\right)\right]\Rightarrow$
	$\Rightarrow x\geq d\ \forall x\in \left(A\cap B\right)\Rightarrow c\geq d.$

$\sup\left(A\cup B \cup C\right)=1,~$	$\text{kde}$
	$A=\left\{x:x=\dfrac{n^2}{n^2+1},~n\in\mathbb{Z}\right\},$
	$B=\left\{x:x=\dfrac{1}{n},~n\in\mathbb{N}\right\},$
	$C=\left\{x:x=\dfrac{n-3}{2n+1},~n\geq 0\right\}.$

$\sup\left(A\cup B\cup C\right)$	$=\sup\left[\left(A\cup B\right)\cup C\right]=$
	$= \max\left\{\sup\left(A\cup B\right), \sup C\right\}=$
	$= \max\left\{\max\left\{\sup A,\sup B\right\}, \sup C\right\}=$
	$= \max\left\{\sup A,\sup B, \sup C\right\}=1.$

$\subseteq:\quad x$	$\in\left(A\cup B\right)\cap C$
	$\Rightarrow x\in \left(A\cup B\right)~\wedge~x\in C\Rightarrow$
	$\Rightarrow\left(x\in A~\vee~x\in B\right)~\wedge~x\in C\Rightarrow$
	$\Rightarrow\left(x\in A~\wedge~x\in C\right)~\vee \left(x\in B~\wedge~x\in C\right)\Rightarrow$
	$\Rightarrow x\in\left(A\cap C\right)\cup\left(B\cap C\right),$
$\supseteq:\quad x$	$\in\left(A\cap C\right)\cup\left(B\cap C\right)$
	$\Rightarrow x\in\left(A\cap C\right)~\vee~x\in \left(B\cap C\right)\Rightarrow$
	$\Rightarrow\left(x\in A~\wedge~x\in C\right)~\vee \left(x\in B~\wedge~x\in C\right)\Rightarrow$
	$\Rightarrow x\in \left(A\cup B\right)~\wedge~x\in C\Rightarrow$
	$\Rightarrow x\in\left(A\cup B\right)\cap C.$

$\subseteq:\quad x$	$\in\left(A\cap B\right)\cup C$
	$\Rightarrow\left(x\in A~\wedge~x\in B\right)~\vee~x\in C\Rightarrow$
	$\Rightarrow\left(x\in A~\vee~x\in C\right)~\wedge \left(x\in B~\vee~x\in C\right)\Rightarrow$
	$\Rightarrow x\in\left(A\cup C\right)\cap\left(B\cup C\right),$
$\supseteq:\quad x$	$\in\left(A\cup C\right)\cap\left(B\cup C\right)$
	$\Rightarrow\left(x\in A~\vee~x\in C\right)~\wedge \left(x\in B~\vee~x\in C\right)\Rightarrow$
	$\Rightarrow\left(x\in A~\wedge~x\in B\right)~\vee x\in C\Rightarrow$
	$\Rightarrow x\in\left(A\cap B\right)\cup C.$

$f_3(x)$	$=\sqrt{x}\quad\Rightarrow\quad f_3(-x)=\sqrt{-x}\text{ neexistuje}\quad\Rightarrow$
	$\hspace{11mm}\quad\Rightarrow \text{ funkce není sudá ani lichá},$

$f_4(x)$	$=\ln\dfrac{1-x}{1+x}\quad\Rightarrow\quad f_4(-x)=\ln\dfrac{1+x}{1-x}=\ln\left(\dfrac{1-x}{1+x}\right)^{-1}=$
	$\hspace{47mm}=-\ln\dfrac{1-x}{1+x}\quad\Rightarrow \text{ lichá funkce},$

$f_6(x)$	$=x\cosh x\quad\Rightarrow\quad f_6(-x)=-x\cosh (-x)=-x\cosh x \quad\Rightarrow$
	$\hspace{24mm}\Rightarrow \text{ lichá funkce}.$

$kand.$	$\textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{1}$	$0$	$1$	$-2$
$2$	$\textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{1}$

$kand.$	$1$	$\textcolor[rgb]{0.00,1.00,0.00}{0}$	$1$	$-2$
$\textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{2}$	$\textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{1}$	$\textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{2} \cdot \textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{1}+ \textcolor[rgb]{0.00,1.00,0.00}{0} = 2$