2.1 Kovariantní a kontravariantní transformace
Působením metrického tenzoru dané soustavy (viz například rovnice 3.4, 3.3, 3.36 a 3.63 v kapitole 2) transformujeme složky vektorových a tenzorových veličin mezi tzv. kovariantní a kontravariantní bází, které rozlišují kvantitativní chování dané geometrické nebo fyzikální entity při změně báze. Abychom zachovali velikost vektoru jako takovou, musí být složky vektorů (například polohy nebo rychlosti), jejichž rozměr je přímo úměrný měřítku báze, kontra-variantní vůči bázovým vektorům, zapisujeme je $\vec{V}=V^i\,\vec{e}_i$. Naopak, složky tzv. duálních vektorů, nazývaných také kovektory (například vektor gradientu, který má rozměr převrácené hodnoty vzdálenosti), musí být ko-variantní vůči změně báze, zapisujeme je $\vec{V}=V_i\,\vec{e}\,^i$. V zápisu se tedy formálně odlišují spodní nebo horní polohou indexů.V ortogonálních souřadných soustavách má tzv. kovariantní metrický tenzor $\tens\eta$ prvky $g_{ij}$ pouze na hlavní diagonále (viz tzv. Laméovy koeficienty, rovnice 3.11). Pro tzv. kontravariantní metrický tenzor $\tens\eta^\prime$ s prvky $g^{ij}$ vždy platí $\tens\eta\tens\eta^\prime =\tens{E}$, tedy $\tens\eta^\prime =\tens\eta^{-1}$, pro jejich prvky vždy platí (Einsteinova sumační konvence) $g_{ij}g^{ij}=\text{dim}\,V$, tedy dimenze příslušného vektorového prostoru $V$. Metrický tenzor je vždy symetrický, platí tedy $g_{ij}=g_{ji},\,g^{ij}=g^{ji}$. Obecné a explicitní vyjádření transformace vektoru $V_i$ z kovariantní do kontravariantní báze lze tedy zapsat způsobem (viz Einsteinova sumační konvence):
Transformaci kovariantního tenzoru druhého řádu $T_{ij}$ do kontravariantní báze zapíšeme následovně:
Analogickým způsobem proběhne transformace tenzorů libovolného vyššího řádu. Smíšený metrický tenzor s prvky $g_{\,i}^j=g_j^i$ je vždy reprezentován jednotkovou maticí.
V trojrozměrném prostoru jsou rozlišovány tzv. axiální vektory (pseudovektory), které se nezrcadlí spolu se souřadnou soustavou (na rozdíl od tzv. polárních neboli pravých vektorů, které se zrcadlí) a které můžeme definovat jako pseudotenzor $V_i$ duální k antisymetrickému tenzoru $T_{jk}$,
kde jednotlivé prvky tenzoru $T_{jk}$ jsou definovány jako $T_{jk}=A_jB_k-A_kB_j$, v $\mathbb{R}^3$ je tedy můžeme považovat za odpovídající složky vektorového součinu $\vec A\times\vec B$. Obdobným způsobem definujeme v plochém čtyřrozměrném prostoročase, jehož metrický (Minkowskiho) tenzor má tvar
antisymetrický pseudotenzor druhého řádu (tzv. Hodgeova dualita, značíme $^\star\tens{T}$), který je duální s antisymetrickým tenzorem druhého řádu a antisymetrický pseudotenzor třetího řádu, který je duální s vektorem
Pro výchozí permutaci Levi-Civitova symbolu v kovariantní bázi (v rámci zde zavedené konvence, srovnej také například Lenc (2001)) platí $\varepsilon_{0123}=1$. Pro výchozí permutaci v kontravariantní bázi pak musí platit $\varepsilon^{0123}=g^{00}g^{11}g^{22}g^{33}\varepsilon_{0123}$, kde $g^{\mu\nu}$ jsou nenulové prvky Minkowskiho metrického tenzoru z rovnice 2.5, a tedy $\varepsilon^{0123}=-1$ (stejným způsobem lze s použitím rovnice 3.4 ovodit, že v plochém trojrozměrném prostoru platí $\varepsilon_{123}=\varepsilon^{123}=1$). Pro podrobnější studium tenzorové algebry doporučuji například Young (1993); Kvasnica (2004); Arfken & Weber (2005)..
Příklady (uvažujeme vždy kartézskou ortonormální bázi daného vektorového prostoru):
Kovariantní metrický tenzor $g_{ij}$ válcové souřadné soustavy v pořadí souřadnicových směrů $r,\phi,z$, je vyjádřen maticí (viz rovnice 3.36)
$$g_{ij}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & r^2 & 0\\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$Obdobný kovariantní metrický tenzor kulové souřadné soustavy v pořadí souřadnicových směrů $r,\theta,\phi$, je vyjádřen maticí (viz rovnice 3.63)
$$ g_{ij}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & r^2 & 0\\0 & 0 & r^2\sin^2\theta \end{pmatrix}.$$Určete:
-
všechny nenulové tzv. Christoffelovy symboly $\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}$ válcové soustavy (určující křivost dané metriky), které jsou obecně definovány předpisem (viz také rovnice 3.12) $$\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}=\frac{1}{2}g^{\rho\lambda}\left(\frac{\partial g_{\nu\lambda}}{\partial x_\mu}+\frac{\partial g_{\mu\lambda}}{\partial x_\nu}-\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_\lambda}\right),$$$\Gamma_{\phi\phi}^r=-r,\,\Gamma_{\phi r}^{\phi}=\Gamma_{r\phi}^{\phi}=\dfrac{1}{r}$
-
všechny nenulové Christoffelovy symboly kulové soustavy, definované rovněž předpisem 3.12,$\Gamma_{\theta\theta}^r=-r,\,\Gamma_{\theta r}^{\theta}=\Gamma_{r\theta}^{\theta}= \Gamma_{\phi r}^{\phi}=\Gamma_{r\phi}^{\phi}=\dfrac{1}{r},\,\Gamma_{\phi\phi}^r=-r\sin^2\theta,\, \Gamma_{\phi\phi}^\theta=-\sin\theta\cos\theta,\,\Gamma_{\phi\theta}^\phi=\Gamma_{\theta\phi}^\phi=\cot\theta$
-
explicitní tvar vektoru rotace vektoru $\vec{A}$ ve válcové soustavě, obecně daný předpisem (viz také rovnice 3.20) $$\vec\nabla\times\vec{A}=\epsilon_{ijk}\,\frac{1}{h_jh_k}\left[\frac{\partial}{\partial x_j}(h_kA_k)\right]\vec{e}_i,$$viz relace 3.45 v kapitole 2
-
explicitní tvar vektoru rotace vektoru $\vec{A}$ v kulové soustavě, obecně daný stejným předpisem.viz relace 3.71 v kapitole 2
Jsou zadány kovariantní tenzor $A_{ij}$ a kovariantní metrický tenzor $g_{ij}$ dané souřadné soustavy, v pořadí souřadnicových směrů $r,\theta,\phi$, ve tvaru
$$ A_{ij}= \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},\quad\quad g_{ij}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & r^2 & 0\\0 & 0 & r^2\sin^2\theta \end{pmatrix}.$$Určete:
- smíšený metrický tenzor $g_{j}^{i}$ a smíšený tenzor $A_{j}^{i}$,$g_{j}^i=$ $\begin{pmatrix}1 &\,\,0 &\,\,0\\0 &\,\,1 &\,\,0\\0 &\,\,0 &\,\,1\end{pmatrix}=\delta_{j}^i,$ $A_{j}^i=$ $\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ \dfrac{a_{21}}{r^2}&\dfrac{a_{22}}{r^2}&\dfrac{a_{23}}{r^2}\\ \dfrac{a_{31}}{r^2\sin^2\theta}&\dfrac{a_{32}}{r^2\sin^2\theta}& \dfrac{a_{33}}{r^2\sin^2\theta} \end{pmatrix},$
- kontravariantní tenzor $A^{ij}$.$A^{ij}=$ $\begin{pmatrix} a_{11}&\dfrac{a_{12}}{r^2}&\dfrac{a_{13}}{r^2\sin^2\theta}\\ \dfrac{a_{21}}{r^2}&\dfrac{a_{22}}{r^4}&\dfrac{a_{23}}{r^4\sin^2\theta}\\ \dfrac{a_{31}}{r^2\sin^2\theta}&\dfrac{a_{32}}{r^4\sin^2\theta}&\dfrac{a_{33}}{r^4\sin^4\theta} \end{pmatrix}.$
Ve čtyřrozměrném prostoru (prostoročase) jsou zadány kovariantní tenzor $A_{\mu\nu}$ a kovariantní metrický tenzor $g_{\alpha\beta}$ dané souřadné soustavy, v pořadí souřadnicových směrů $t,u,v,w$, ve tvaru
$$ A_{\mu\nu}= \begin{pmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} & a_{03}\\a_{10} & a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{20} & a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{30} & a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}, \quad\quad g_{\alpha\beta}= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & w\\0 & 0 & u^2 & 0\\0 & w & 0 & u^2 \end{pmatrix}.$$Určete:
- kontravariantní metrický tenzor $g^{\alpha\beta}$ a smíšený metrický tenzor $g_{\beta}^{\alpha}$,$g^{\alpha\beta}=$ $\begin{pmatrix}-1& 0 & 0 & 0\\ 0 & \dfrac{u^2}{u^2-w^2}& 0 & \dfrac{w}{w^2-u^2}\\ 0 & 0 & \dfrac{1}{u^2} & 0 \\ 0 & \dfrac{w}{w^2-u^2} & 0 & \dfrac{1}{u^2-w^2} \end{pmatrix},$ $g_{\beta}^\alpha=$ $\begin{pmatrix} 1 &\,\,0 &\,\,0 &\,\,0\\ 0 &\,\,1 &\,\,0 &\,\,0\\ 0 &\,\,0 &\,\,1 &\,\,0\\ 0 &\,\,0 &\,\,0 &\,\,1 \end{pmatrix}=\tens{E}=\delta_{\,\beta}^\alpha,$
- smíšený tenzor $A_{\nu}^{\mu}$,$ A_{\,\nu}^{\mu}=$ $\begin{pmatrix} -a_{00}& -a_{01}& -a_{02}& -a_{03}\\ \dfrac{u^2\,a_{10}-w\,a_{30}}{u^2-w^2}& \dfrac{u^2\,a_{11}-w\,a_{31}}{u^2-w^2}&\dfrac{u^2\,a_{12}-w\,a_{32}}{u^2-w^2}&\dfrac{u^2\,a_{13}-w\,a_{33}}{u^2-w^2}\\ \dfrac{a_{20}}{u^2}& \dfrac{a_{21}}{u^2}& \dfrac{a_{22}}{u^2}& \dfrac{a_{23}}{u^2}\\ \dfrac{w\,a_{10}-a_{30}}{w^2-u^2}& \dfrac{w\,a_{11}-a_{31}}{w^2-u^2}& \dfrac{w\,a_{12}-a_{32}}{w^2-u^2}& \dfrac{w\,a_{13}-a_{33}}{w^2-u^2} \end{pmatrix}$
- kontravariantní tenzor $A^{\mu\nu}$.$ A^{\mu\nu}=$ $\begin{pmatrix} a_{00}& \dfrac{u^2a_{10}-w\,a_{30}}{w^2-u^2}& -\dfrac{a_{20}}{u^2}& \dfrac{w\,a_{10}-a_{30}}{u^2-w^2}\\ \dfrac{u^2a_{01}-w\,a_{03}}{w^2-u^2}& \dfrac{u^4a_{11}+w^2a_{33}-u^2w\,\mathcal{S}}{(w^2-u^2)^2}& \dfrac{u^2a_{21}-w\,a_{23}}{u^2(u^2-w^2)}& \dfrac{u^2a_{31}+w^2a_{13}-w\,\mathcal{T}}{(u^2-w^2)^2}\\ -\dfrac{a_{02}}{u^2}& \dfrac{u^2a_{12}-w\,a_{32}}{u^2(u^2-w^2)}& \dfrac{a_{22}}{u^4}&\dfrac{a_{32}-w\,a_{12}}{u^2(u^2-w^2)}\\ \dfrac{w\,a_{01}-a_{03}}{u^2-w^2}& \dfrac{u^2a_{13}+w^2a_{31}-w\,\mathcal{T}}{(u^2-w^2)^2}& \dfrac{a_{23}-w\,a_{21}}{u^2(u^2-w^2)}&\dfrac{a_{33}+w^2a_{11}-w\,\mathcal{S}}{(w^2-u^2)^2} \end{pmatrix}$
kde $\mathcal{T}=u^2a_{11}+a_{33}$ a $\mathcal{S}=a_{13}+a_{31}$.
Kovariantní tenzor elektromagnetického pole $F_{\mu\nu}$ je definován,
$$F_{\mu\nu}=\frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu}-\frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu},$$kde tzv. čtyřpotenciál (čtyřvektor elektromagnetického potenciálu) $ A_\mu=\left(\dfrac{\phi}{c},\,-\vec{A}\right)$. Složka $A_0=\dfrac{\phi}{c}$ vyjadřuje škálovaný skalární potenciál elektrického pole a složky $A_1,A_2,A_3$ tvoří tzv. vektorový (magnetický) potenciál. Kovariantní čtyřvektor souřadnic události zapíšeme jako $x_\mu=(ct,-\vec{r})$. Metrický tenzor (Minkowskiho) plochého čtyřprostoru (prostoročasu) je dán rovnicí 2.5 a formalismus Levi-Civitova symbolu $\epsilon$ je popsán ve vysvětlujícím textu této podkapitoly. Vektory elektrické intenzity a magnetické indukce jsou definovány jako
$$\vec{E}=-\vec{\nabla}\phi-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t},\quad\quad\vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A}. $$Napište:
- explicitní podobu tenzoru $F_{\mu\nu}$ a tenzoru $F^{\mu\nu}$,$F_{\mu\nu}=$ $\begin{pmatrix} 0 &\dfrac{E_x}{c} &\dfrac{E_y}{c} &\dfrac{E_z}{c}\\ -\dfrac{E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y\\ -\dfrac{E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x\\ -\dfrac{E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}$, $F^{\mu\nu}=$ $\begin{pmatrix} 0 &-\dfrac{E_x}{c} &-\dfrac{E_y}{c} &-\dfrac{E_z}{c}\\ \dfrac{E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y\\ \dfrac{E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x\\ \dfrac{E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}$,
- duální tenzor $^\star F_{\mu\nu}$ a duální tenzor $^\star F^{\mu\nu}$,$^\star F_{\mu\nu}=$ $\begin{pmatrix} 0 &-B_x &-B_y &-B_z\\ B_x & 0 &-\dfrac{E_z}{c} &\dfrac{E_y}{c} \\ B_y &\dfrac{E_z}{c} & 0 &-\dfrac{E_x}{c}\\ B_z &-\dfrac{E_y}{c} &\dfrac{E_x}{c} & 0 \end{pmatrix}$, $^\star F^{\mu\nu}=$ $\begin{pmatrix} 0 &B_x & B_y & B_z\\ -B_x & 0 &-\dfrac{E_z}{c} &\dfrac{E_y}{c} \\ -B_y &\dfrac{E_z}{c} & 0 &-\dfrac{E_x}{c}\\ -B_z &-\dfrac{E_y}{c} &\dfrac{E_x}{c} & 0 \end{pmatrix}$,
- tzv. invarianty elektromagnetického pole $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ a $F_{\mu\nu}\,^\star F^{\mu\nu}$,$ F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=-2\left(\dfrac{E^2}{c^2}-B^2\right),\, F_{\mu\nu}\,^\star F^{\mu\nu}=4\,\dfrac{\vec{E}\cdot\vec{B}}{c}$,
- pomocí „čtyřrozměrné“ divergence $$\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\dfrac{\partial F_{\rho\sigma}}{\partial x^\nu}= \dfrac{\partial\,^\star F^{\mu\nu}}{\partial x^\nu}=0$$ odvoďte první pár Maxwellových rovnic,$\dfrac{\partial\,^\star F^{0\nu}}{\partial x^\nu}=\vec\nabla\cdot\vec{B}={0},\, \dfrac{\partial\,^\star F^{i\nu}}{\partial x^\nu}=-\vec\nabla\times\vec{E}-\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t}=\vec{0},\, i=1,2,3,$
- pomocí „čtyřrozměrné“ divergence $$\dfrac{\partial F^{\mu\nu}}{\partial x^\nu}=-\mu_0\,j^\mu,$$ kde $j^\mu$ je kontravariantní čtyřvektor proudové hustoty $j^\mu=(c\rho,\vec{j})$, odvoďte druhý pár Maxwellových rovnic.$\dfrac{\partial F^{0\nu}}{\partial x^\nu}=-\vec\nabla\cdot\vec{E}=-\dfrac{\rho}{\epsilon_0},\, \dfrac{\partial F^{i\nu}}{\partial x^\nu}=\mu_0\epsilon_0\dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t}-\vec\nabla\times\vec{B}=-\mu_0\,\vec{j},\, i=1,2,3,\,c=(\mu_0\epsilon_0)^{-1/2}$.
Kontravariantní tenzor energie-hybnosti $T^{\alpha\beta}$ pro makroskopickou ideální tekutinu je definován
$$T^{\alpha\beta}=\left(\varepsilon+p\right)u^\alpha u^\beta-p\,g^{\alpha\beta}, $$kde $\varepsilon=\rho c^2$ je hustota energie ($\rho$ je hustota hmoty), $p$ je skalární tlak a $u^\mu$ je tzv. čtyřrychlost (čtyřvektor rychlosti), definovaná zde jako tečna k tzv. světočáře $s$, tedy $u^\mu=\d x^\mu/\d s$, kde $s=c\,\tau$. Tzv. vlastní čas $\tau$ v soustavě spojené s pohybujícím se tělesem je pomocí tzv. souřadnicového času $t$ (tj. „normálního“ času pozorovatele) definován jako $t=\gamma\tau$, kde tzv. Lorentzův faktor $\gamma=(1-v^2/c^2)^{-1/2}$ (viz také příklad 9.8 ve skriptu Početní praktikum).
Čtyřvektor události $x^\mu$ a metrický tenzor Minkowskiho prostoročasu $g^{\mu\nu}$ lze odvodit pomocí jejich definice v příkladu 3.4 a v rovnici 2.5.
Napište:
- explicitní podobu tenzoru $T^{\alpha\beta}$ a tenzoru $T_{\alpha\beta}$,
Pomocí výrazů: $ W=\gamma^2\left(\varepsilon+\dfrac{v^2}{c^2}\,p\right)$, $S^i={\gamma^2}\left(\varepsilon+p\right)v^i$, $\sigma^{ij}=\dfrac{\gamma^2}{c^2}\left(\varepsilon+p\right)v^i v^j+p\,\delta^{ij}$, $\sigma_{ij}=\dfrac{\gamma^2}{c^2}\left(\varepsilon+p\right)v_i v_j+p\,\delta_{ij}$, můžeme zapsat,
$ T^{\alpha\beta}=$ $\begin{pmatrix} W &-\dfrac{S_x}{c} &-\dfrac{S_y}{c} &-\dfrac{S_z}{c}\\ -\dfrac{S_x}{c} & \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz}\\ -\dfrac{S_y}{c} & \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz}\\ -\dfrac{S_z}{c} & \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{pmatrix}, \quad $ $ T_{\alpha\beta}=$ $\begin{pmatrix} W &\dfrac{S_x}{c} &\dfrac{S_y}{c} &\dfrac{S_z}{c}\\ \dfrac{S_x}{c} & \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz}\\ \dfrac{S_y}{c} & \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz}\\ \dfrac{S_z}{c} & \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{pmatrix},$kde $S_i=-S^i$ a $\sigma_{ij}=\sigma^{ij}$ pro $i,j=1,2,3$,
- explicitní podobu těchto tenzorů v soustavě $(0)$, spojené s pohybující se tekutinou,$ T^{\alpha\beta}(0)=T_{\alpha\beta}(0)=$ $\begin{pmatrix} \varepsilon &\,0 &\,\,0 &\,\,0\\ 0 &\,p &\,\,0 &\,\,0\\ 0 &\,0 &\,\,p &\,\,0\\ 0 &\,0 &\,\,0 &\,\,p \end{pmatrix},$
pomocí „čtyřrozměrné“ divergence tenzoru energie-hybnosti $T^{\alpha\beta}$ pro „prach“, tj. soubor částic, které na sebe vzájemně nepůsobí,
$$\dfrac{\partial T^{\alpha\beta}}{\partial x^\beta}=0,$$odvoďte rovnice kontinuity a hybnosti „bezsrážkové“ tekutiny.
$\dfrac{\partial T^{0\beta}}{\partial x^\beta}= \dfrac{\partial\tilde\rho}{\partial t}+\vec{\nabla}\cdot(\tilde\rho\vec{v})=0,\quad \left.\dfrac{\partial T^{i\beta}}{\partial x^\beta}\right|_{i=1,2,3}= \dfrac{\partial\tilde\rho\vec{v}}{\partial t}+ \vec{\nabla}\cdot(\tilde\rho\vec{v}\otimes\vec{v})=0,$kde „bezsrážkovost“ předpokládá $p=0$, hustota $\tilde{\rho}=\gamma^2\rho$, odpovídající soustavě, kde $\vec v\ne 0$, je daná podílem hmotnosti $\tilde m =\gamma m$ (srovnej příklad 9.8 ve skriptu Početní praktikum) a objemu $\tilde V =V/\gamma$ (veličiny $\rho,\,m\text{ a }V$ odpovídají soustavě, kde $\vec v= 0$).
Tenzory v zakřiveném prostoročase
V obecné relativitě (GR) zavádíme a používáme metrické tenzory zakřiveného prostoročasu. Známá Schwarzschildova metrika popisuje geometrii prostoročasu ve velmi silném gravitačním poli, například v blízkosti (sféricky symetrické, nerotující) černé díry. V souladu s již dříve zvolenou konvencí $+---$, metrický tenzor Schwarzschildovy metriky (v pořadí souřadnic $t, r, \theta, \phi$) má kanonický tvar
kde $M_\bullet$ je hmotnost sférického gravitujícího objektu (zdroje gravitace), $G$ je gravitační konstanta a $c$ je rychlost světla (často používané výrazy $1-\frac{2M_\bullet}{r}$ v takzvaném „systému přirozených jednotek“ pokládají hodnoty konstant $G$ a $c$ rovny jedné). Kontravariantní tvar metrického tenzoru $g^{\mu\nu}$ bude vyjádřen pomocí převrácených hodnot výrazů na hlavní diagonále.
Christoffelovy symboly $\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}$ Schwarzschildovy metriky (popisující křivost prostoročasu), které jsou obecně vyjádřeny jako (viz také rovnice 3.12, zde ovšem rozlišíme kovariantní a kontravariantní čtyřvektory polohy $x_\mu=(ct,-\vec{r})$ a $x^\mu=(ct,\vec{r})$)
budou (zapíšeme pouze nenulové členy)
Můžeme rovněž zkonstruovat Christoffelovy symboly se spodními indexy (někdy v literatuře nazývané Christoffelovy symboly prvního typu, zatímco výše uvedené se nazývají Christoffelovy symboly druhého typu), kdy snížení indexů provedeme pomocí $\Gamma_{\rho\mu\nu}=g_{\rho\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$,
Pomocí Christoffelových indexů můžeme zkonstruovat Riemannův (křivostní) tenzor čtvrtého řádu $R^\alpha_{\,\,\,\mu\beta\nu}$ jako zásadní matematický nástroj v GR teorii, který reprezentuje slapové síly, které pociťuje
částice (těleso), pohybující se po geodetice (nejkratší spojnici dvou bodů v libovolně zakřiveném prostoročase). Jeho obecný výraz je $R^\alpha_{\,\,\,\mu\beta\nu}=\partial_\beta\Gamma^\alpha_{\mu\nu}-\partial_\nu\Gamma^\alpha_{\mu\beta}+\Gamma^\alpha_{\beta\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\nu}-\Gamma^\alpha_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\beta}$, (kde zjednodušený výraz $\partial_\alpha$ nadále znamená $\frac{\partial}{\partial^\alpha}$) zahrnující první dva lineární členy (parciální derivace) a poslední dva členy jako nelineární součiny Christoffelových symbolů. Pomocí substituce $\frac{2GM_\bullet}{c^2}=r_\text{s}$ (takzvaný Schwarzschildův poloměr nebo také poloměr horizontu událostí), nenulové členy Riemannova tenzoru Schwarzschildovy metriky budou
Pomocí kontrakce $R^\alpha_{\,\,\,\mu\alpha\nu}$ Riemannova tenzoru zkonstruujeme symetrický Ricciho (křivostní) tenzor $R_{\mu\nu}=R_{\nu\mu}$, který odráží míru lokální deformace daného metrického tenzoru ve srovnání s Eukleidovským (nebo pseudo-Eukleidovským) prostorem. Z definice tenzorové kontrakce můžeme zkonstruovat Ricciho tenzor přímo použitím Christoffelových symbolů jako $R_{\mu\nu}=\partial_\rho\Gamma^\rho_{\mu\nu}-\partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\rho}+\Gamma^\rho_{\rho\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\nu}-\Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\rho}$. V případě Schwarzchildovy metriky bude Ricciho tenzor $R_{\mu\nu}=0$.
Každému bodu Riemannovské variety (libovolně zakřiveného topologického prostoru, na kterém je možné měřit vzdálenosti bodů a úhly tečných vektorů) můžeme přiřadit jedno reálné číslo, dané geometrií metriky v okolí tohoto bodu, takzvaný Ricciho skalár $R$, definovaný jako $R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$. Výše popsaný matematický formalismus nám nyní umožní sestavit kompletní Einsteinovy rovnice pole (pro jednoduchost zde vynecháme kosmologickou konstantu $\Lambda$)
kde celá levá strana je často označována jako Einsteinův tenzor $G_{\mu\nu}$ a kde $T_{\mu\nu}$ je tenzor energie-hybnosti (viz příklad 3.5). Ruční
počítání takto rozsáhlých tenzorů bývá velmi pracné a náchylné k chybám či opomenutím, v současnosti existuje řada programů, umožňujících analytické i numerické počitání s tenzory v libovolné metrice (například MATHEMATICA, Pythonovské aplikace a podobně).