2.3 Úvod do tenzorového počtu
Kromě skalárů a vektorů (tj. tenzorů nultého a prvního řádu) existují složitější algebraické struktury, tedy tenzory vyšších řádů.
Z nich nejběžnější a nejjednodušší jsou tzv. tenzory druhého řádu, které obvykle popisují fyzikální pole
s tzv. smykovými účinky (reprezentovanými nediagonálními prvky v příslušném tenzoru) v mechanice kontinua, například tenzor deformace, tenzor napětí, atd.
Kartézským tenzorem druhého řádu nazveme matici $\tens{T}=(T_{ij}),\,i,j=1,2,\ldots,n$, transformují-li se její prvky $T_{ij}$ při ortogonální transformaci souřadnic
(rotaci v $n$-rozměrném prostoru
) $x_i^\prime=a_{ij}x_j$ (viz příklad 2.21, $a_{ij}$ jsou prvky ortogonální matice) podle vztahu
Tak jako každý obecný vektor $\vec{v}$ je tvořen $n$ skalárními složkami $(v_1,v_2,\ldots,v_n)$, je obecný tenzor druhého řádu $\tens{T}$
tvořen $n$ vektorovými
složkami ($\vec{T}_1,\vec{T}_2,\ldots,\vec{T}_n$), které lze obecně zapsat,
kde každý z vektorů $\vec{T}_j$ je zapsán pomocí $n$ složek. Zapíšeme-li obecně $n$-rozměrný tenzor druhého řádu formou explicitního maticového zápisu, bude obsahovat $n^2$ prvků,
Zapíšeme-li tedy 3-rozměrný (nejběžnější) tenzor druhého řádu formou explicitního maticového zápisu,
je každý ze tří vektorů $\vec{T}_j$ reprezentován jedním sloupcem matice 2.34.
V tomto odstavci opět pro jednoduchost zatím nezavádíme počítání s horními a dolními indexy a dále se zde také budeme pohybovat
pouze v kartézské ortonormální bázi.
Geometrický význam tenzoru druhého řádu z rovnice 2.34 si můžeme přiblížit na příkladu tenzoru napětí. Na těleso konečných rozměrů může, na rozdíl od hmotného bodu, působit síla (síly) takovým způsobem, že v různých bodech tohoto tělesa má vektor síly (výslednice sil) různou velikost a směr. Představme si, že toto těleso se skládá z jednotlivých malých objemových elementů, ohraničených plošnými elementy (pro jednoduchost si představujme malé krychličky s hranami rovnoběžnými s jednotlivými kartézskými osami). Působení síly na každou takovou plošku vybrané krychličky můžeme rozložit na tři nezávislé směry: kolmo (normálově) a rovnoběžně (tangeciálně) ve směru dvou zbývajících os. Protože plošky jsou orientovány také ve třech různých směrech, označíme vždy prvním indexem orientaci každé plošky podle směru její normály a druhým indexem vždy jeden ze tří jednotlivých směrů rozložené síly působící na plošku. Potřebujeme tedy obecně celkem 9 složek.
Symetrické a antisymetrické tenzory
Tenzory druhého řádu (analogicky k symetrickým, respektive antisymetrickým maticím) lze rozložit na součet symetrického a antisymetrického tenzoru druhého řádu. Pro každý prvek $T_{ij},\,i,j=1,\ldots,n$ platí
kde $(S_{ij})$ je $n$-rozměrný symetrický tenzor druhého řádu, určený $n(n+1)/2$ prvky, $(Q_{ij})$ je $n$-rozměrný antisymetrický tenzor druhého řádu, určený $n(n-1)/2$ prvky. U tenzorů vyšších řádů se symetrie nebo antisymetrie vztahuje vždy pouze k určité vybrané dvojici indexů.
Sčítání tenzorů
V následujících pojednáních implicitně předpokládáme, že se jedná vždy o tenzory v prostoru
stejné dimenze $n$. Sčítáme (analogicky ke sčítání matic) jednotlivé prvky se stejnými indexy (záleží na jejich pořadí), sčítat tedy můžeme pouze tenzory stejného řádu, například
kde $\alpha$ a $\beta$ jsou skaláry.
Kontrakce tenzorů
Kontrakcí (úžením) tenzorů rozumíme součet přes každou dvojici dvou stejných indexů v tenzoru $T_{ijk\ldots}$ (kdy nyní budeme samotné tenzory v souladu s obvyklou konvencí zapisovat bez závorky, tedy pomocí jeho prvků). Kontrakcí tenzoru druhého řádu $T_{ij}$, kdy položíme $i=j$, tak bude (Einsteinova sumační konvence) $T_{ii}=T_{11}+T_{22}+T_{33}=\text{tr}(\tens{T})$, tedy skalár (stopa tenzoru druhého řádu). Kontrakcí tenzoru třetího řádu $T_{ijk}$, kdy položíme například $j=k$, bude $T_{ijj}=T_{i11}+T_{i22}+T_{i33}=T_i$, tedy vektor, kontrakcí tenzoru čtvrtého řádu $T_{ijkl}$, kdy položíme například $k=l$, bude $T_{ijkk}=T_{ij11}+T_{ij22}+T_{ij33}=T_{ij}$, tedy tenzor druhého řádu, atd. Každá kontrakce (úžení) tenzoru $T_{ijkl\ldots}$ libovolného řádu (nejméně ovšem druhého řádu se dvěma indexy) snižuje řád tohoto tenzoru o dva.
Násobení tenzorů
Analogicky ke způsobu zápisu vektoru pomocí složky a jednotkového bázového vektoru (v Einsteinově notaci) $\vec{v}=v_i\vec{e}_i$ můžeme tenzor druhého řádu zapsat jako
Rovnice 2.37 vyjadřuje tzv. tenzorový součin kartézských bázových vektorů, tedy tenzorový součin dvou vektorů stejné dimenze, kdy první z nich je sloupcový a druhý řádkový. Tento speciální případ tenzorového součinu se také nazývá dyadický součin (dyadic product). Jedná se tedy o součin matic typu $n\times 1$ a $1\times n$ s výslednou maticí typu $n\times n$, na rozdíl od skalárního součinu, který můžeme obdobně vyjádřit jako součin řádkové a sloupcové matice typu $1\times n$ a $n\times 1$ s výslednou maticí typu $1\times 1$, tedy skalárem. Jednotlivé tzv. bázové tenzory druhého řádu (dyády) $\vec{e}_i\vec{e}_j$ v rovnici 2.37 můžeme v kartézské soustavě (kdy $n=3$) explicitně vyjádřit následujícím maticovým zápisem,
Z rovnice 2.37 zároveň vyplývá, že každý prvek $T_{ij}$ tenzoru druhého řádu můžeme určit (obdobně jako složku $v_i$ vektoru $\vec{v}$ lze určit skalárním součinem, $v_i=\vec{v}\cdot\vec{e}_i$) pomocí dvojitého součinu
kde jednotlivé skalární součiny reprezentují v tomto případě maticové násobení, tj, vektor $\vec{e}_i$ bude řádkový a vektor $\vec{e}_j$ bude sloupcový. Tenzorovým součinem dvou vektorů $\vec{v}$ a $\vec{w}$ je tedy tenzor druhého řádu, pro jehož každý prvek $T_{ij}$ platí
Pro dyadický součin také platí následující identity,
kdy skalární součin opět reprezentuje maticové násobení.
Výsledkem tenzorového součinu tenzorů obecných řádů bude vždy tenzor řádu, odpovídajícího součtu řádů původních tenzorů (jehož dimenze bude odpovídat jejich součinu). Například tenzorovým součinem tenzoru druhého řádu $\tens{P}$ s prvky $P_{ij}$ a tenzoru prvního řádu (vektoru) $\vec{q}$ se složkami $q_k$ bude tenzor třetího řádu $\tens{R}$ s prvky $R_{ijk}$, tenzorovým součinem tenzoru druhého řádu $\tens{P}$ s prvky $P_{ij}$ a tenzoru druhého řádu $\tens{Q}$ s prvky $Q_{kl}$ bude tenzor čtvrtého řádu $\tens{R}$ s prvky $R_{ijkl}$, atd. Tenzorový součin obecných tenzorů $\tens{P},\tens{Q},\tens{R}$ (libovolného řádu) má následující vlastnosti:
-
$ \tens{P}\otimes\tens{Q}\neq\tens{Q}\otimes\tens{P}, $
2.42 -
$ \tens{P}\otimes(\tens{Q}\otimes\tens{R})=(\tens{P}\otimes\tens{Q})\otimes\tens{R}, $
2.43 -
$ \tens{P}\otimes(\alpha\tens{Q}+\beta\tens{R})=\alpha\tens{P}\otimes\tens{Q}+\beta\tens{P}\otimes\tens{R}$,
$(\alpha\tens{P}+\beta\tens{Q})\otimes\tens{R}=\alpha\tens{P}\otimes\tens{R}+\beta\tens{Q}\otimes\tens{R},$
2.44
kdy rovnice 2.42 vyjadřuje obecnou nekomutativitu tenzorového součinu (ve speciálních případech, například pro tenzory nultého řádu nebo pokud $\tens{P}\equiv\tens{Q}$ platit nemusí) a kde rovnice 2.43 a 2.44 vyjadřují asociativitu a linearitu tenzorového součinu.
Kroneckerovo delta
Tzv. Kroneckerovo delta je matematická funkce, značená symbolem $\delta_{ij}$, určená následujícím způsobem:
Některé důležité vlastnosti funkce Kroneckerovo delta:
Ortonormalitu vektorů $\vec{e}_i,\vec{e}_j$ můžeme vyjádřit jako ${e}_i{e}_j\delta_{ij}.$
$\delta_{ii}=3$.
Kroneckerovo delta $\delta_{ij}$ zaměňuje indexy složek vektorů nebo prvků tenzorů, například
$$ {v}_i\delta_{ij}={v}_j,\quad\quad\text{nebo obecně}\quad\quad T_{ij\,\ldots\,k\,\ldots\,z}\delta_{kl}=T_{ij\,\ldots\,l\,\ldots\,z}. $$2.46Kontrakce (úžení) součinu dvou funkcí $\delta_{ij}\delta_{jk}$ s jedním společným indexem $j$ na výslednou funkci $\delta_{ik}$,úžení součinu dvou funkcí se dvěma společnými indexy $i,j$ na výslednou funkci $\delta_{ij}\delta_{ij}=\delta_{ii}=3$.
Kroneckerovo delta $\delta_{ij}$ redukuje sumaci (tj. odstraňuje jednu sumu), kdy například
$$ \sum_i\sum_jA_{ij}\delta_{ij}=\sum_iA_{ii},\quad\quad\quad\sum_j\sum_kA_{jk}\delta_{jk}\delta_{ij}=\sum_jA_{jj}\delta_{ij}=A_{ij}. $$2.47
Antisymetrický (permutační nebo také Levi-Civitův) symbol
Tzv. antisymetrický (nebo také Levi-Civitův - viz oddíl 2.1) symbol, značený $\varepsilon_{ijk}$, je definován v $\mathbb{R}^3$ způsobem
Některé důležité vlastnosti Levi-Civitova symbolu $\varepsilon_{ijk}$:
Umožňuje stanovit výraz pro determinant obecné čtvercové regulární matice $\tens{A}$ libovolné dimenze (je popsán v rovnici 2.13). Například pro matici $\tens{A}$ dimenze $3\times 3$ potom dostáváme
$$ \det\tens{A}=\sum_{i,j,k}\varepsilon_{ijk}\,A_{i1}\,A_{j2}\,A_{k3}. $$2.49Velmi užitečná při výpočtech (například vektorových identit nebo působení diferenciálních operátorů) je také souvislost mezi Levi-Civitovým symbolem $\varepsilon_{ijk}$ a Kroneckerovou funkcí $\delta_{ij}$. Z definice Levi-Civitova symbolu (2.136) jasně vyplývá, že společným působením dvou symbolů $\varepsilon_{ijk}$ a $\varepsilon_{lmn}$ dostáváme identitu
$$ \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn}=\delta_{il}\delta_{jm}\delta_{kn}+\delta_{im}\delta_{jn}\delta_{kl}+\delta_{in}\delta_{jl}\delta_{km} -\delta_{il}\delta_{jn}\delta_{km}-\delta_{im}\delta_{jl}\delta_{kn}-\delta_{in}\delta_{jm}\delta_{kl}, $$2.50kterou můžeme kompaktním způsobem zapsat pomocí maticového formalismu ve tvaru
$$ \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn}=\det \left(\begin{array}{l} \delta_{il}&\delta_{im}&\delta_{in}\\ \delta_{jl}&\delta_{jm}&\delta_{jn}\\ \delta_{kl}&\delta_{km}&\delta_{kn} \end{array}\right). $$2.51-
Z rovnice (2.51) a ze zúžení součinu Kroneckerových funkcí delta se společnými indexy dále vyplývá, že působení dvou Levi-Civitových symbolů $\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}$ s jedním společným indexem $k$ zjednoduší rovnici (2.50) do podoby
$$ \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}, $$2.52 V případě dvou, případně všech tří společných indexů dostaneme
$$ \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{jkl}=2\delta_{il},\quad\quad\quad\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijk}=6. $$2.53Levi-Civitův symbol můžeme definovat i v $\mathbb{R}^n$ (popsáno také v kapitole 2.1), sudé permutace budou vytvářeny sudým počtem číselných záměn pro $n$ různých indexů, liché permutace lichým počtem číselných záměn. Například sudé permutace symbolu $\varepsilon_{1234}$ budou $\varepsilon_{0123}$, $\varepsilon_{0231}$, $\varepsilon_{0312}$, $\varepsilon_{1032}$, $\varepsilon_{1320}$, $\varepsilon_{1203}$, $\varepsilon_{2130}$, $\varepsilon_{2301}$, $\varepsilon_{2013}$, $\varepsilon_{3210}$, $\varepsilon_{3102}$, $\varepsilon_{3021}$. Ostatních 12 permutací (bez opakování) bude lichých.
Gradient a divergence tenzoru
-
Derivování skalárních funkcí popisuje kapitola 1.1. Význam operátorů gradientu, divergence a rotace a jejich některá působení na tenzory nultého a prvního řádu je podrobně vysvětlen v kapitole 5.3.
-
Gradient (viz odstavec 5.3) tenzoru zvyšuje tzv. řád tenzoru o jedničku, tj. například z vektoru (tenzoru prvního řádu) vytvoří tenzor druhého řádu, z tenzoru druhého řádu tenzor třetího řádu, atd. Například gradient tenzoru $\tens{T}$ druhého řádu můžeme v kartézské souřadné soustavě obecně zapsat,
$$ \vec\nabla\tens{T}= \cfrac{\partial T_{jk}}{\partial x_i}=R_{ijk}, $$2.54s odpovídající reprezentací pomocí matice s 27 prvky. Ve výsledném tenzoru (třetího řádu, týká se ale obecně jakéhokoli řádu) v rovnici (2.54) upozorňujeme na pořadí indexů, kdy první index označuje proměnnou, podle níž se derivuje, další indexy označují příslušný prvek tenzoru.
Napíšeme-li tedy explicitně gradient vektoru (v kartézské souřadné soustavě v $\mathbb{R}^3$), dostáváme
$$ \vec\nabla\vec{A}= \cfrac{\partial A_{i}}{\partial x_j}=T_{ij},\text{ kde }T_{ij}= \begin{pmatrix} \dfrac{\partial A_x}{\partial x} & \dfrac{\partial A_y}{\partial x} & \dfrac{\partial A_z}{\partial x} \\ \dfrac{\partial A_x}{\partial y} & \dfrac{\partial A_y}{\partial y} & \dfrac{\partial A_z}{\partial y} \\ \dfrac{\partial A_x}{\partial z} & \dfrac{\partial A_y}{\partial z} & \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \end{pmatrix} . $$2.55 -
Divergenci tenzoru můžeme chápat jako kontrakci gradientu, kdy například v rovnici (2.54) položíme $i=k$, dostaneme tak namísto tenzoru třetího řádu tenzor prvního řádu (vektor) se složkami $A_j=\partial T_{jk}/\partial x_k$. Divergence (viz také odstavec 5.3) tenzoru tedy snižuje řád tenzoru o jedničku, tj. například z tenzoru druhého řádu vytvoří vektor, z vektoru skalár, atd. Divergenci tenzoru $\tens{T}$ druhého řádu můžeme v kartézské souřadné soustavě v $\mathbb{R}^3$ obecně zapsat,
$$ \vec{\nabla}\cdot\tens{T}=\cfrac{\partial T_{ij}}{\partial x_j} \vec{e}_i=\vec{A}. $$2.56Explicitně rozepsaný výsledný vektor bude mít tvar
$$ \vec{A}=\left(\frac{\partial T_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial T_{xy}}{\partial y}+\frac{\partial T_{xz}}{\partial z},\, \frac{\partial T_{yx}}{\partial x}+\frac{\partial T_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial T_{yz}}{\partial z},\, \frac{\partial T_{zx}}{\partial x}+\frac{\partial T_{zy}}{\partial y}+\frac{\partial T_{zz}}{\partial z}\right). $$2.57$$ \\vec{\nabla}\cdot\tens{T}=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right) \begin{pmatrix} T_{xx} & T_{xy} & T_{xz} \\ T{yx} & T_{yy} & T_{yz} \\ T_{zx} & T_{zy} & T_{zz} \\ \end{pmatrix}^{{T}}, $$2.58kde výsledný vektor je dán rovnicí (2.164).
Pro podrobnější studium tenzorové algebry doporučuji například Young (1993); Kvasnica (2004); Arfken & Weber (2005).
Příklady
(uvažujeme vždy kartézskou ortonormální bázi daného vektorového prostoru)
Napište explicitní podobu skalárního součinu $\vec{u}\cdot\vec{v}$ s obecným parametrem $a$ a potom tenzorový (dyadický) součin $\vec{u}\otimes\vec{v}$ a $\vec{v}\otimes\vec{u}$ vektorů $\vec{u}=(1,5,-5,2)$ a $\vec{v}=(2,-1,a,4)$ v $\mathbb{R}^4$, kdy oba vektory budou vzájemně kolmé.
-
$\vec{u}\cdot\vec{v}$$\vec{u}\cdot\vec{v}=5(1-a)$
-
$\vec{u}\otimes\vec{v}$$\vec{u}\otimes\vec{v}= \begin{pmatrix} 2&-1&1&4\\10&-5&5&20\\-10&5&-5&-20\\4&-2&2&8 \end{pmatrix}$
-
$\vec{v}\otimes\vec{u}$$\vec{v}\otimes\vec{u}= \begin{pmatrix} 2&10&-10&4\\-1&-5&5&-2\\1&5&-5&2\\4&20&-20&8 \end{pmatrix}$
-
Proveďte kontrakci výsledných tenzorů druhého řádu.Kontrakcí obou tenzorů druhého řádu získáme (shodný) skalární součin obou vektorů, pokud $\vec{u}\perp\vec{v}$, potom $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.
Napište explicitní podobu tenzorového součinu tenzoru druhého řádu $\tens{T}$ a vektoru $\vec{v}$ v $\mathbb{R}^3$,
$$T_{ij}= \begin{pmatrix} 1&1&-1\\2&1&2\\3&1&1 \end{pmatrix},\quad \vec{v}=(4,2,2),$$Složky $y_i$ vektoru $\vec{y}$ jsou dány rovnicí $y_i=b_{ij}z_j$, kde složky $z_i$ vektoru $\vec{z}$ jsou dány rovnicí $z_i=a_{ij}x_j$, $i,j=1,2,3$. Napište explicitně i pomocí Einsteinovy notace transformační rovnice složek vektoru $\vec{y}$ přímo pomocí složek vektoru $\vec{x}$.
$y_1=(b_{11}a_{11}+b_{12}a_{21}+b_{13}a_{31})z_1+(b_{11}a_{12}+b_{12}a_{22}+b_{13}a_{32})z_2+(b_{11}a_{13}+b_{12}a_{23}+b_{13}a_{33})z_3$,
$y_2=(b_{21}a_{11}+b_{22}a_{21}+b_{23}a_{31})z_1+(b_{21}a_{12}+b_{22}a_{22}+b_{23}a_{32})z_2+(b_{21}a_{13}+b_{22}a_{23}+b_{23}a_{33})z_3$,
$y_3=(b_{31}a_{11}+b_{32}a_{21}+b_{33}a_{31})z_1+(b_{31}a_{12}+b_{32}a_{22}+b_{33}a_{32})z_2+(b_{31}a_{13}+b_{32}a_{23}+b_{33}a_{33})z_3$
Upravte následující výrazy ($i,j,\ldots=1,2,3$):
-
$\delta_{ii}\delta_{kk}$,$9$
-
$\delta_{ij}\delta_{ik}\delta_{jl}$,$\delta_{kl}$
-
$\delta_{il}\delta_{jl}\delta_{mm}\delta_{qj}\delta_{qk}$,$3\delta_{ik}$
-
$\delta_{i1}\delta_{j2}\delta_{k3}$,$1$
-
$\delta_{il}\delta_{jj}\delta_{kk}-\delta_{kj}\delta_{jk}\delta_{il}$$6\delta_{il}$
Dokažte, že:
-
$\varepsilon_{ij}\,\varepsilon_{ij}=2!$
-
$\varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{ijk}=3!$
-
$\varepsilon_{ijkl}\,\varepsilon_{ijkl}=4!$
-
Odhadněte výsledek $\varepsilon_{i_1\,i_2\,i_3\,\ldots\,i_n}\,\varepsilon_{i_1\,i_2\,i_3\,\ldots\,i_n}$
-
Napište úplnou podobu tzv. Levi-Civitova tenzoru (daného rovnicí (2.48)).$\varepsilon_{ijk}= \begin{pmatrix} 0&0&0&0&0&1&0&-1&0\\0&0&-1&0&0&0&1&0&0\\0&1&0&-1&0&0&0&0&0 \end{pmatrix}$