7 Dvojný a trojný integrálDoporučená literatura k této kapitole: Děmidovič (2003), Kvasnica (2004), Bartsch (2008), Rektorys (2009), Plch et al. (2012).
Na integrál funkce $f(x,y)$ dvou proměnných $x,y$ (dvojný integrál), která je spojitá na dvourozměrné oblasti $\mathcal{S}=(a,b)\times(c,d)$, kde $a\le x\le b$ a $c\le y\le d$, je možné aplikovat tzv. Fubiniho (Fubiniovu) větu o výpočtu $n$-rozměrných integrálů pomocí $n$ výpočtů jednoduchých integrálů,
Platí-li v tomto případě $f(x,y)=g(x)\cdot h(y)$, zjednoduší se rovnice (7.1) do výrazu
Definujme nyní jinou oblast $\mathcal{S}$, která již není obdélníkem a je ohraničená přímkami $x=a,\,x=b$, kde $a\leq x\leq b$, a grafy funkcí $\phi_1(x),\,\phi_2(x)$, spojitých na intervalu $\langle a,b\rangle$, tedy $\mathcal{S}=(a,b)\times\left[\phi_1(x),\phi_2(x)\right]$. Integrál funkce $f(x,y)$, spojité na oblasti $\mathcal{S}$, je potom definován jako
Pokud v případě (7.3) na intervalu $\langle a,b\rangle$, nebo na jeho části, platí $\phi_1(x)< y<\phi_2(x)$, potom tato oblast příspívá kladně k celkovému integrálu, v opačném případě [$\phi_2(x)< y<\phi_1(x)$] se jedná o záporný příspěvek k celkovému integrálu (viz obrázek 7.1). Toto můžeme porovnat také s integrálem funkce jedné proměnné na obrázku 1.2, který lze takto pojmout jako dvojný integrál kartézského plošného elementu $\d x\D y$ na oblasti $\mathcal{S}=(a,b)\times\left[0,f(x)\right]$.
Zcela obdobné zásady platí i na třírozměrné oblasti $\mathcal{V}=(a,b)\times(a,b)\times(e,f)$, kde $a\le x\le b$, $c\le y\le d$, $e\le z\le f$. Zde je integrál spojité funkce $f(x,y,z)$ tří proměnných (trojný integrál) definován jako
kde lze opět pořadí integrování zaměnit analogicky k rovnici 7.1. Platí-li v tomto případě $f(x,y,z)=g(x)\cdot h(y)\cdot k(z)$, zjednoduší se rovnice (7.4) do součinu
Obdobně jako v rovnici (7.3) je na třírozměrné oblasti $\mathcal{V}$, která není pravoúhlým kvádrem a je tedy ohraničená způsobem $\mathcal{V}=(a,b)\times\left[\phi_1(x),\phi_2(x)\right]\times\left[\psi_1(x,y),\psi_2(x,y)\right]$, kde $a\le x\le b$ a kde funkce $\phi_1(x),\,\phi_2(x)$ jsou spojité na intervalu $\langle a,b\rangle$ a funkce $\psi_1(x,y),\,\psi_2(x,y)$ jsou spojité na oblasti $\mathcal{S}=(a,b)\times\left[\phi_1(x),\phi_2(x)\right]$, integrál funkce $f(x,y,z)$ spojité na oblasti $\mathcal{V}$ definován jako
Transformaci souřadnic dvojného integrálu lze definovat (viz obrázek 7.2) pomocí vzájemně jednoznačného zobrazení $\Phi$, zadaného transformačními rovnicemi $x=\xi(u,v),\,y=\eta(u,v)$. Pokud $A\subset\mathbb{R}^2(x,y)$ a $B\subset\mathbb{R}^2(u,v)$ jsou uzavřené oblasti (vyznačené v obrázku 7.2 barevnými plochami) a funkce $f(x,y)$ je spojitá na oblasti $A=\Phi(B)$, potom platí
v rovnici (7.7) je Jakobián dvourozměrné souřadnicové transformace. Trojný integrál funkce $f(x,y,z)$ lze transformovat pomocí vzájemně jednoznačného zobrazení $\Psi$ s transformačními rovnicemi $x=\xi(u,v,w),\,y=\eta(u,v,w),\,z=\zeta(u,v,w)$ s obdobně uzavřenými oblastmi $A\subset\mathbb{R}^3(x,y,z)$, $B\subset\mathbb{R}^3(u,v,w)$, kdy funkce $f(x,y,z)$ je spojitá na oblasti $A=\Phi(B)$. Potom analogicky k rovnici (7.7) platí,
v rovnici (7.9) je Jakobián trojrozměrné souřadnicové transformace. Významné a často používané jsou Jakobiány souřadnicových transformací z kartézské do válcové souřadné soustavy, kdy $(u,v,w)=(\rho,\phi,z)$, s transformačními rovnicemi $x=\rho\cos\phi$, $y=\rho\sin\phi$, $z=z$, kde $J=\rho$, a z kartézské do kulové souřadné soustavy, kdy $(u,v,w)=(r,\theta,\phi)$, s transformačními rovnicemi $x=r\sin\theta\cos\phi$, $y=r\sin\theta\sin\phi$, $z=r\cos\theta$, kde $J=r^2\sin\theta$ (srovnej s plošnými a objemovými elementy jednotlivých souřadnicových soustav, odvozenými v kapitole 4).
7.1 Plošný integrál 1. druhu
Plošným integrálem 1. druhu (analogicky ke křivkovému integrálu 1. druhu v odstavci 6.1) nazýváme integrál skalární funkce $\diint_Sf(x,y,z)\D S$, která je spojitá na hladké (po částech hladké) ploše $S$, kde $\d S$ je plošný element plochy $S$. Stanovíme-li například souřadnice $x$ a $y$ jako nezávisle proměnné a souřadnici $z=\varphi(x,y)$ jako závisle proměnnou, můžeme tečné vektory $\vec{t}_x,\vec{t}_y$ k ploše $S$ ve směrech souřadnicových os $x,y$ určit jako parciální derivace všech proměnných (viz odstavec 5.1) podle příslušných nezávislých proměnných, tedy
Vektor $\vec{\nu}$ normály plochy $S$ (tj. vektor kolmý k ploše $S$) určíme jako vektorový součin tečných vektorů $\vec{t}_x\times\vec{t}_y$ (jejichž pořadí ve vektorovém součinu závisí na požadované orientaci normály), jehož velikost (viz rovnice (2.1)) bude $\|\vec{\nu}\|=\|\vec{t}_x\times\vec{t}_y\|$, tedy
Samotný plošný element je vektorem, orientovaným ve směru normálového vektoru $\vec{\nu}$, kde velikost plošného elementu je určena maximální možnou velikostí normálového vektoru $|\vec{\nu}\|_{max}$, to znamená takového, který je zkonstruován jako vektorový součin dvou vzájemně kolmých tečných vektorů (v ortogonálních souřadnicových systémech toto splňují parciální derivace podle dvou vybraných souřadnicových směrů). Ve zvolené kartézské parametrizaci tedy můžeme psát
$\d {S}=\|\vec{\nu}\|\D x\D y= \sqrt{1+\left(\dfrac{\partial\varphi}{\partial x}\right)^2+\left(\dfrac{\partial\varphi}{\partial y}\right)^2}\D x\D y. $
Zjevně tedy platí $\d \vec{S}=\dfrac{\vec{\nu}}{\|\vec{\nu}\|}\D S=\vec{n}\D S$, kde $\vec{n}$ je jednotkový normálový vektor. Explicitní zápis plošného integrálu 1. druhu v ortonormální kartézské bázi na oblasti $\mathcal{S}=(a,b)\times\left[\phi_1(x),\phi_2(x)\right]$ a $z=\varphi(x,y)$, tedy bude (srovnej rovnice (7.1), (7.3)):
Nalezneme-li vhodné parametry $u,\,v$ (např. $\theta,\,\phi$ na kulové ploše), můžeme funkci $f$ i plochu $S$ parametrizovat pomocí transformačních rovnic $x=\xi(u,v),\,y=\eta(u,v),\,z=\zeta(u,v)$ (viz rovnice (7.9)). Tečné vektory $\vec{t}_u,\,\vec{t}_v$ k dané ploše $S$ v souřadnicových směrech $u,\,v$ (viz obrázek 5.1) stanovíme jako parciální derivace funkce dané plochy (viz odstavec 5.1) podle příslušných směrů, tedy
Normálový vektor $\vec{\nu}\,^\prime$ (který nebude totožný s vektorem $\vec{\nu}$ z rovnice (7.12), bude mít sice stejný směr ale různou délku) určíme opět jako vektorový součin tečných vektorů $\vec{\nu}\,^\prime=\vec{t}_u\times\vec{t}_v$, jeho velikost $\|\vec{\nu}\,^\prime\|=\|\vec{t}_u\times\vec{t}_v\|$. Analogicky k rovnici (7.13) dostáváme:
Plošný integrál 1. druhu v parametrickém vyjádření bude mít explicitní tvar
Vzájemná souvislost mezi rovnicemi (7.13) a (7.16) je dána rovnicí (7.8), z níž vyplývá: $\vec{\nu}\D x\D y =\vec{\nu}\,^\prime J(u,v)\D u\D v$ a zároveň $\|\vec{\nu}\|\D x\D y=\|\vec{\nu}\,^\prime\|J(u,v)\D u\D v$, kde $J(u,v)$ je Jakobián souřadnicové transformace, daný rovnicí (7.8).
Například pro kulovou plochu o poloměru $R$ se středem v počátku souřadnic, s kartézskou rovnicí $z(x,y)=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$, s vnější normálou, bude mít rovnice (7.13) podobu
jejím zintegrováním v mezích $x\in\left\langle-R,R\right\rangle$, $y\in\left\langle-\sqrt{R^2-x^2},\sqrt{R^2-x^2}\right\rangle$ dostáváme $S=2\pi R^2$, což je obsah části kulové plochy nad rovinou $z=0$. Parametrizovaná rovnice (7.16) bude mít podobu
její integrací podle proměnných $\theta\in\left\langle 0,\pi\right\rangle$ a $\phi\in\left\langle 0,2\pi\right)$ dostáváme $S=4\pi R^2$. Vzhledem k tomu, že Jakobián, odpovídající rovnici (7.8) bude v tomto případě $R^2\sin\theta\cos\theta$, snadno se z rovnic (7.36), (7.38) přesvědčíme o platnosti vztahu $\|\vec{\nu}\|\D x\D y=\|\vec{\nu}\,^\prime\|J(\theta,\phi)\D\theta\D\phi$.
Pomocí plošného integrálu 1. druhu lze určit některé geometrické a fyzikální charakteristiky dané plochy: Položíme-li $f=1$, výsledkem bude celková velikost plochy $S$. Položíme-li $f=\sigma$ (plošná hustota), dostáváme $\sigma\D S=\d m$, tedy hmotnost elementu plochy $S$, výsledkem integrace bude celková hmotnost $m$ dané plochy,
Pokud položíme například $f=z\sigma$, dostáváme tzv. statický moment $S_z$ dané plochy vzhledem k ose $z$, jeho vydělením hmotností dostáváme $z$-ovou souřadnici středu hmotnosti $z_T$ plochy (obdobně pro ostatní souřadnicové směry), tedy
Položíme-li $f=r^2\sigma$, kde $r$ je vzdálenost obecného bodu plochy od zvolené přímky v prostoru (osy $o$), dostáváme moment setrvačnosti $J_o$ dané plochy vzhledem k této ose. Momenty setrvačnosti plochy $S$ např. vzhledem k jednotlivým kartézským souřadnicovým osám potom budou
Příklady
Ve výsledcích příkladů s geometrickými nebo fyzikálními veličinami nejsou uváděny příslušné jednotky.
V kartézských souřadnicích i pomocí vhodné parametrizace vypočítejte obsah plochy $S\in\mathbb{R}^2$, ohraničené následujícími křivkami:
V kartézských souřadnicích i pomocí vhodné parametrizace vypočítejte plošné integrály 1. druhu:
Pomocí vhodné parametrizace, případně v kartézských souřadnicích, vypočítejte obsah plochy $S\in\mathbb{R}^3$:
$S=\left\{x^2+z^2=a^2,\,z\ge 0\right\}$
-
$|x|\le|y|\le a$$2a^2(\pi-2)$
-
$|x|>|y|$$4a^2$
Vypočítejte obsah části zemského povrchu, ohraničeného v jednom směru dvěma sousedními poledníky (například 15. a 16.) a ve druhém směru dvěma sousedními rovnoběžkami:
-
0. (rovníkem) a 1.,cca $12\,364\km^2$
-
49. a 50.,cca $8\,030\km^2$
-
89. a 90. (pólem).cca $108\km^2$
Obsahy jednotlivých ploch udejte v $\km^2$. Poloměr Země, $R=6371\km$, považujte za konstantu.
Spirálová plocha s konstantní plošnou hustotou $\sigma$ je zadaná parametricky ve tvaru $x=u\cos v,\,y=u\sin v,\,z=v,\,u\in\langle 0,a\rangle,\,v\in\langle 0,2\pi\rangle$.
-
hmotnost této plochy,$\pi\sigma\left[a\sqrt{1+a^2}+\ln\left(a+\sqrt{1+a^2}\right)\right]$
-
polohu jejího těžiště,$\left(0,0,\pi\right)$
-
moment setrvačnosti vzhledem k její geometrické ose.$\dfrac{\pi\sigma}{4}\left[\left(2a^3+a\right)\sqrt{1+a^2}-\ln\left(a+\sqrt{1+a^2}\right)\right]$
Vypočítejte následující parametry plochy z příkladu 7.14, pokud její plošná hustota bude $\sigma=x^2z$:
-
hmotnost této plochy,$\dfrac{\pi}{20}HR^3\sqrt{R^2+H^2}$
-
polohu jejího těžiště,$z_T=\dfrac{H}{3}$
-
moment setrvačnosti vzhledem k její geometrické ose.$\dfrac{\pi}{42}HR^5\sqrt{R^2+H^2}$
Vypočítejte následující parametry plochy z příkladu 7.15, pokud její plošná hustota bude $\sigma=x^2+y^2$:
-
hmotnost této plochy,$\dfrac{1}{2\sqrt{3}}$
-
polohu jejího těžiště,$\left(\dfrac{2}{5},\,\dfrac{2}{5},\,\dfrac{1}{5}\right)$
špičkoudolů, o poloměru horní vodorovné plochy $R=3\m$ a výšce $H=4\m$ je dimenzován tak, aby odolal celkové tlakové síle $10^6\N$. Je dimenzován dostatečně, nedostatečně, nebo je přibližně na hranici konstrukční odolnosti ? Uvažujte hodnoty konstant $\rho=1000\kg\m^{-3},\,g=9,81\m\s^{-2}$. Vliv atmosférického tlaku zanedbejte.
špičkoudolů je naplněna speciální kapalinou, v níž tlak roste s hloubkou jako $p=\rho_0 gh^2$, kde $\rho_0$ je hustota kapaliny na hladině a $h$ je hloubka daného místa v nádobě. Poloměr horní vodorovné plochy nádoby $R=0,\!5\m$ a výška nádoby $H=1\m$. Určete tlakovou sílu, které musí nádoba odolat. Uvažujte hodnoty konstant $\rho_0=1000\kg\m^{-3},\,g=9,81\m\s^{-2}$. Vliv atmosférického tlaku zanedbejte.