Věta, nazvaná podle matematika a fyzika George Greena (1793-1841), dává do souvislosti integrál přes oblast $D\in\mathbb{R}^2$ a integrál
po uzavřené křivce $\mathcal{C}$, ohraničující oblast $D$. Pro vektorové pole $\vec{F}=[F_1(x,y),F_2(x,y)]$, spojitě diferencovatelné v $D(x,y)$,
platí následující formulace Greenovy věty:
kde $\partial\vec{D}$ značí matematicky kladně orientovanou uzavřenou hranici oblasti $D$ (křivku $\mathcal{C}$).
Stokesova věta (viz odstavec 8.2) je zobecněním Greenovy věty pro $\mathbb{R}^3$.
Příklady
Ve výsledcích příkladů s geometrickými nebo fyzikálními veličinami nejsou uváděny příslušné jednotky.
8.1
Pomocí Greenovy věty vypočítejte křivkový integrál
$
\doint_{\mathcal{C}}\ee^x\left[\left(1-\cos y\right)\d x-\left(y-\sin y\right)\d y\right]$,
kde $\mathcal{C}$ je kladně orientovaná uzavřená křivka ohraničující oblast $D$: $0<x<\pi$, $0<y<\sin x$.
$\dfrac{1}{5}\left(1-\e^{\pi}\right)$
8.2
Pomocí Greenovy věty vypočítejte křivkový integrál $
\doint_{\mathcal{C}}y^2\D x+x^2\D y$,
kde $\mathcal{C}$ je kladně orientovaná uzavřená křivka ohraničující oblast $D$: $0<x<3$,
$0<y<2-\dfrac{2}{3}x$.
$2$
8.3
Pomocí Greenovy věty vypočítejte obsah kruhu o poloměru $R$.
Pomocí plošného integrálu i pomocí Greenovy věty vypočítejte obsah elipsy s poloosami $a,\,b$.
Stejným způsobem jako v předešlém příkladě, $S=\pi ab$
8.5
Pomocí plošného integrálu i pomocí Greenovy věty vypočítejte obsah trojúhelníka s vrcholy v bodech $[0,0]$, $[2,1]$, $[1,2]$.
$S=\dfrac{3}{2}$
8.6
Pomocí plošného integrálu i pomocí Greenovy věty vypočítejte obsah plochy, uzavřené křivkou, danou obecnou rovnicí $x^4-a^2\left(x^2-y^2\right)=0$, kde $a$ je konstanta, tzv. Geronovy (Huygensovy) lemniskáty (viz obrázek 8.1, viz také příklad 8.42).
Obrázek 8.1: Geronova (Huygensova) lemniskáta, geometrický význam konstanty $a$ je vyznačen zelenou barvou.
Animace vzniku rotačního tělesa, odvozeného z Geronovy (Huygensovy) lemniskáty.
$S=\dfrac{4a^2}{3}$
8.7
Pomocí plošného integrálu i pomocí Greenovy věty vypočítejte obsah plochy, uzavřené asteroidou z příkladu 6.7.
$S=\dfrac{3\pi}{8}a^2$
8.8
Pomocí plošného integrálu i pomocí Greenovy věty vypočítejte obsah plochy, uzavřené smyčkou křivky, dané obecnou rovnicí $x^3+y^3=3\,axy$ (tzv. Descartova listu, viz obrázek 8.2). Vhodnou parametrizací je například:
$x=x(t),\,y=tx(t)$, kde $t=\tan\phi$.
Obrázek 8.2: Descartův list. Geometrický význam konstanty $a$ je vyznačen zelenou barvou.
Animace vzniku rotačního tělesa, odvozeného z Descartova listu.
