Stokesova věta srovnává tok rotace vektorového pole $\vec{F}$ plochou $S$,
definovanou v $\mathbb{R}^3$ a integrál tohoto pole
po uzavřené křivce $s$, ohraničující tuto plochu. Matematický zápis Stokesovy věty má tvar
kde $\vec{F}$ je dané vektorové pole, $\vec{n}$ je jednotkový normálový vektor plochy $S$, $\partial\vec{S}$
je uzavřená hranice plochy $S$ (hladká nebo po částech hladká hraniční křivka $s$, orientovaná tečným vektorem $\d\vec{s}$ jejího délkového elementu $\d s$).
Příklady
Ve výsledcích příkladů s geometrickými nebo fyzikálními veličinami nejsou uváděny příslušné jednotky.
8.9
Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y,z)=(x^2-y,x,0)$ která působí po celé kružnici o poloměru $R$ se středem v bodě $[0,0,0]$ v matematicky kladném směru a jejíž
začátek i konec jsou v bodě $[R,0,0]$.
$W=2\pi R^2$,
Změní se velikost práce, pokud síla bude působit v matematicky záporném směru?
změní: $W=-2\pi R^2$
8.10
Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y,z)=(x^2-y,x,0)$ která působí po obvodu čtverce postupně z bodu $[0,0,3]$ do bodů $[1,0,3]$, $[1,1,3]$, $[0,1,3]$ a zpět do počátečního bodu.
$W=2$,
Změní se velikost práce, pokud síla bude působit v matematicky záporném směru?
změní: $W=-2$
8.11
Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y,z)=(x^3-x^2,x-1,0)$ která působí po obvodu trojúhelníka postupně z bodu $[0,0,1]$ do bodů $[2,0,1]$, $[0,1,1]$ a zpět do počátečního bodu.
$W=1$,
Změní se velikost práce, pokud síla bude působit v matematicky záporném směru?
změní: $W=-1$
8.12
Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y,z)=(x^3-x^2,x-1,0)$ která působí po obvodu trojúhelníka postupně z bodu $[0,0,0]$ do bodů $[2,0,0]$, $[0,1,0]$ a zpět do počátečního bodu.
$W=1$,
Změní se velikost práce, pokud síla bude působit v matematicky záporném směru?
změní: $W=-1$
8.13
Pomocí Stokesovy věty ověřte výpočet práce síly z příkladu
6.38.
$W=\doint_{\partial V}\difrot\vec{F}\cdot\vec{n}\D S$, $\difrot\vec{F}=(0,0,2)$, $\vec{n}=(0,0,-1)$,
$S=\dfrac{\pi}{4}$, $W=-\dfrac{\pi}{2}$
8.14
Pomocí Stokesovy věty ověřte výpočet práce síly z příkladu
6.39.
$W=\doint_{\partial V}\difrot\vec{F}\cdot\vec{n}\D S$, $\difrot\vec{F}=(0,0,2)$, $\vec{n}=(0,0,1)$,
$S=\pi-1$, $W=2(\pi-1)$
8.15
Pomocí křivkového integrálu 2. druhu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y,z)=[y^2,\,(x+y)^2,0]$,
působící po obvodě trojúhelníka ve směru vrcholů v bodech $[3,0,0]$, $[0,3,0]$, $[3,3,0]$.
$W=-18$
8.16
Pomocí křivkového integrálu 2. druhu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y,z)=[y,\,(x+y)^2,0]$,
působící v matematicky záporném směru po křivce $x^2+y^2=1,z=0$.
$W=\pi$
8.17
Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y,z)=(y,-x,z)$, působící nejprve
po křivce $y^2=R^2-x^2$ z bodu $\left[R,0,0\right]$ do bodu $\left[0,R,0\right]$, dále po křivce
$z^2=R^2-y^2$ z bodu $\left[0,R,0\right]$ do bodu $\left[0,0,R\right]$ a nakonec
po křivce $x^2=R^2-z^2$ z bodu $\left[0,0,R\right]$ zpět do výchozího bodu.
$W=-\dfrac{\pi R^2}{2}$
8.18
Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y,z)=(y^2,z^2,x^2)$,
působící nejprve
po křivce $y^2=R^2-x^2$ z bodu $\left[R,0,0\right]$ do bodu $\left[0,R,0\right]$, dále po křivce
$z^2=R^2-y^2$ z bodu $\left[0,R,0\right]$ do bodu $\left[0,0,R\right]$ a nakonec
po křivce $x^2=R^2-z^2$ z bodu $\left[0,0,R\right]$ zpět do výchozího bodu.
$W=-2R^3$
8.19
Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y,z)=(y,z,x)$, působící po povrchu tělesa z příkladu 7.53
-
nejprve
po křivce $y^2=R^2-x^2$ z bodu $\left[0,-R,0\right]$ v matematicky kladném směru do bodu $\left[R,0,0\right]$, dále po křivce
$z=H-x^2$ z bodu $\left[R,0,0\right]$ do bodu $\left[0,0,H\right]$ a nakonec
po křivce $z=H-y^2$ z bodu $\left[0,0,H\right]$ zpět do výchozího bodu,
$W=-\dfrac{\pi R^2}{4}$
-
nejprve
po křivce $y^2=R^2-x^2$ z bodu $\left[R,0,0\right]$ v matematicky kladném směru do bodu $\left[0,R,0\right]$, dále po křivce
$z=H-y^2$ z bodu $\left[0,R,0\right]$ do bodu $\left[0,0,H\right]$ a nakonec
po křivce $z=H-x^2$ z bodu $\left[0,0,H\right]$ zpět do výchozího bodu,
$W=-\dfrac{\pi R^2}{4}-\dfrac{4}{3}R^3$
-
nejprve
po křivce $y^2=R^2-x^2$ z bodu $\left[0,-R,0\right]$ v matematicky kladném směru do bodu $\left[0,R,0\right]$, dále po křivce
$z=H-y^2$ z bodu $\left[0,R,0\right]$ do bodu $\left[0,0,H\right]$ a nakonec
po křivce $z=H-y^2$ z bodu $\left[0,0,H\right]$ zpět do výchozího bodu.
$W=-\dfrac{\pi R^2}{2}-\dfrac{4}{3}R^3$
8.20
Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y,z)=(y^2,z^2,x^2)$,
působící po povrchu tělesa z příkladu 7.13
-
nejprve po křivce $y^2=R^2-x^2$ z bodu $\left[R,0,0\right]$ v matematicky kladném směru do bodu $\left[0,R,0\right]$, dále
nejkratším možným způsobem z bodu $\left[0,R,0\right]$ do bodu $\left[0,0,H\right]$ a nakonec
opět nejkratším možným způsobem z bodu $\left[0,0,H\right]$ zpět do výchozího bodu,
$W=-\dfrac{R}{3}\left(2R^2+HR+H^2\right)$
-
nejprve po křivce $y^2=R^2-x^2$ z bodu $\left[0,-R,0\right]$ v matematicky kladném směru do bodu $\left[0,R,0\right]$, dále
nejkratším možným způsobem z bodu $\left[0,R,0\right]$ do bodu $\left[0,0,H\right]$ a nakonec
opět nejkratším možným způsobem z bodu $\left[0,0,H\right]$ zpět do výchozího bodu.
$W=-\dfrac{2}{3}H^2R$
8.21
Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y,z)=(y^2,-z^2,x^2)$, působící po povrchu tělesa z příkladu 7.53
-
nejprve po křivce $y^2=R^2-x^2$ z bodu $[0,-R,0]$ v matematicky kladném směru do bodu $[R,0,0]$, dále po křivce
$z=H-x^2$ z bodu $[R,0,0]$ do bodu $[0,0,H]$ a nakonec
po křivce $z=H-y^2$ z bodu $[0,0,H]$ zpět do výchozího bodu,
$W=\dfrac{2}{3}R^3(2H+1)+\dfrac{R^4}{2}-\dfrac{4}{5}R^5=\dfrac{8}{15}R^5+\dfrac{R^4}{2}+\dfrac{2}{3}R^3$
-
nejprve po křivce $y^2=R^2-x^2$ z bodu $[R,0,0]$ v matematicky kladném směru do bodu $[0,R,0]$, dále po křivce
$z=H-y^2$ z bodu $[0,R,0]$ do bodu $[0,0,H]$ a nakonec
po křivce $z=H-x^2$ z bodu $[0,0,H]$ zpět do výchozího bodu.
$W=\dfrac{2}{3}R^3(2H-1)-\dfrac{R^4}{2}-\dfrac{4}{5}R^5=\dfrac{8}{15}R^5-\dfrac{R^4}{2}-\dfrac{2}{3}R^3$
8.22
Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty dokažte, že práce síly $\vec{F}(x,y,z)=(z^2,x^2,y^2)$
působící v matematicky kladném směru po křivce dané průnikem ploch $S_1=\{x^2+y^2+z^2=R^2\}$ a $S_2=\{x-z=0\}$, je nulová.
Úlohu lze řešit jak v kulovém tak v pootočeném válcovém souřadném systému (transformace bází).
8.23
Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y,z)=(z^3,x^2,y)$
působící po obvodu rovnoběžníka z výchozího bodu $[0,0,0]$ ve směru bodů $[A,0,A]$, $[A,A,A]$, $[0,A,0]$ a zpět do výchozího bodu.
$W=A^3-A^2$
8.24
Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y,z)=(z^3,x^2,y)$ působící po obvodu trojúhelníka z výchozího bodu $[0,0,0]$ ve směru bodů $[A,0,0]$, $[0,B,C]$ a zpět do výchozího bodu.
$W=\dfrac{A^2B}{3}-\dfrac{AC^3}{4}$
8.25
Pomocí křivkového integrálu i Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y,z)=(y^2,xz,y^2)$ působící po obvodu plochy dané předpisem $S=\big\{(x,y,z)\big|x^2+y^2\le R^2,\,z=6\big\},$
po vykonání 1 okruhu z bodu $[R,0,6]$ do stejného bodu, v matematicky záporném směru.
$W=-6\pi R^2$
8.26
Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y,z)=(z^2,x^2,y^2)$
působící po obvodu plochy dané předpisem $S=\big\{(x,y,z)\big|x^2+y^2+(z-R)^2=R^2,\,x,y,z\in\langle 0,R\rangle\big\},$
ve směru bodů $[0,0,0]$, $[R,0,R]$, $[0,R,R]$ a zpět do bodu $[0,0,0]$.
$W=2R^3\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)$
8.27
Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y,z)=(z^2,x^2,y^2)$ působící po obvodu plochy dané předpisem $S=\big\{(x,y,z)\big|x^2+(y-R)^2+z^2=R^2,\,x\in\langle -R,0\rangle,\,y,z\in\langle 0,R\rangle\big\},$
ve směru bodů $[-R,R,0]$, $[0,R,R]$, $[0,0,0]$ a zpět do bodu $[-R,R,0]$.
$W=2R^3\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{\pi}{4}\right)$
8.28
Pomocí křivkového integrálu 2. druhu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y,z)=(z^2,x^2,y^2)$ působící po obvodu plochy dané předpisem:
$S=\big\{(x,y,z)\big|x^2+(y+R)^2+z^2=R^2$,
$x\in\langle -R,0\rangle,\,y\in\langle -R,0\rangle,z\in\langle 0,R\rangle\big\},$
ve směru bodů $[-R,-R,0]$, $[0,-R,R]$, $[0,0,0]$ a zpět do bodu $[-R,-R,0]$.
$W=2R^3\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{3}\right)$
8.29
Pomocí křivkového integrálu 2. druhu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y,z)=(xz,-yz,0)$ působící po plášti válce o poloměru $R$, jehož osa prochází bodem $[-R,0,0]$ a splývá s vektorem $(0,0,z)$.
Síla působí po uzavřené trajektorii z počátečního bodu $[0,0,0]$ ve směru bodů $[-R,R,0]$, $[-R,R,H]$, $[0,0,H]$ a zpět do bodu $[0,0,0]$.
$W=0$
8.30
Pomocí křivkového integrálu 2. druhu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y,z)=(xz^2,xz^2,yz^2)$ působící po povrchu válce o poloměru $R$, jehož osa prochází bodem $[R,0,0]$ a splývá s vektorem $(0,0,z),\,z\in\langle 0,H\rangle$.
Síla působí po uzavřené trajektorii z počátečního bodu $[R,R,H]$ po hraně pláště válce do bodu $[0,0,H]$, dále po úsečce do bodu $[2R,0,H]$,
a opět po hraně pláště válce zpět do bodu $[R,R,H]$
$W=\dfrac{\pi R^2H^2}{2}$