6.2 Křivkový integrál 2. druhu
Křivkovým integrálem 2. druhu nazýváme integrál $\dint_{\mathcal{C}}\vec{F}\cdot\D\vec{s}$ obecného vektorového pole $\vec{F}(x,y,z)$ podél křivky $\mathcal{C}$, kde $\d\vec{s}$ je tečný vektor elementu $\d s$ dané křivky (viz odstavec 6.1). Explicitní zápis integrálu 2. druhu v kartézské souřadné soustavě (v $\mathbb{R}^3$) bude mít tvar
$$ \int_{x_1}^{x_2}F_x\D x+\int_{y_1}^{y_2}F_y\D y+\int_{z_1}^{z_2}F_z\D z, $$
6.6
kde $F_x,\,F_y,\,F_z$ jsou jednotlivé složky vektoru $\vec{F}$. Analogicky k rovnici (6.2) bude mít parametrizovaný křivkový integrál 2. druhu tvar
$$ \int_{t_1}^{t_2}\left[F_x(t)\frac{\d x(t)}{\d t}+F_y(t)\frac{\d y(t)}{\d t}+F_z(t)\frac{\d z(t)}{\d t}\right]\d t. $$
6.7
Typickým příkladem integrálu 2. druhu je výpočet vykonané práce jako integrálu vektoru síly $\vec{F}$ podél orientované křivky $\mathcal{C}$.
Příklady
Ve výsledcích příkladů s geometrickými nebo fyzikálními veličinami nejsou uváděny příslušné jednotky.
6.21
Přímým výpočtem v kartézských souřadnicích i pomocí vhodné parametrizace
vypočítejte křivkový integrál druhého druhu $\dint_\mathcal{C}x\D x + y\D y$, kde $\mathcal{C}$ je
kladně orientovaná kružnice s poloměrem $a$.
$0$
6.22
Přímým výpočtem v kartézských souřadnicích i pomocí vhodné parametrizace
vypočítejte křivkový integrál druhého druhu $\dint_\mathcal{C}x^2\D x + y^2\D y$, kde křivka $\mathcal{C}$ je
kladně orientovaná půlkružnice s poloměrem $a$ v 1. a 2. kvadrantu.
$-\dfrac{2a^3}{3}$
6.23
Přímým výpočtem v kartézských souřadnicích i pomocí vhodné parametrizace
vypočítejte křivkový integrál druhého druhu $\dint_\mathcal{C}(x + 1)\D y + y\D x$, kde křivka $\mathcal{C}$ je
kladně orientovaná čtvrtkružnice s poloměrem $a$ v 1. kvadrantu.
$a$
6.24
Vypočítejte křivkový integrál druhého druhu $\dint_\mathcal{C}x\D x+y\D y+(xz−y)\D z$, kde křivka $\mathcal{C}$ je daná parametricky $x=t^2$, $y=2t$, $z=4t^3$, $t\in\langle 0,1\rangle$.
$\dfrac{5}{2}$
6.25
Vypočítejte křivkový integrál druhého druhu $\doint_\mathcal{C}(2−y)\D x+(1+x)\D y$, kde křivka $\mathcal{C}$ je obvod trojúhelníka ve směru vrcholů $A=[0,0]$, $B=[1,1]$, $C=[0,2]$.
$2$
6.26
Vypočítejte práci, kterou vykoná síla $\vec{F}=(y,z,x)$, působící po kladně orientované uzavřené křivce, která je daná průnikem ploch $z=xy$ a $x^2+y^2=1$.
$W=-\pi$
6.27
Vypočítejte práci, kterou vykoná síla $\vec{F}=\left(\dfrac{y}{x},x\right)$, působící po křivce $xy=1$ od bodu $\left[3,\frac{1}{3}\right]$ do bodu $\left[\frac{1}{2},2\right]$.
$W=\ln 6-\dfrac{5}{3}$
6.28
Vypočítejte práci, kterou vykoná síla $\vec{F}=(x−y,x+y)$, působící po dráze $y=x^2$, $x\in\langle 0,2\rangle$.
$W=\dfrac{38}{3}$
6.29
Vypočítejte práci, kterou vykoná síla $\vec{F}=(y,−x,z)$, působící po obvodě trojúhelníka, jehož vrcholy jsou tvořeny průsečíky roviny $3x+2y+6z=6$ se souřadnicovými osami v pořadí $x,y,z$.
$W=-6$
6.30
Vypočítejte práci, kterou vykoná síla $\vec{F}=(yz,xy,yz)$, působící po obvodě trojúhelníka, jehož vrcholy jsou tvořeny průsečíky roviny $2x+3y+4z=12$ se souřadnicovými osami v pořadí $x,y,z$.
$W=22$
6.31
Vypočítejte práci, kterou vykoná síla $\vec{F}=(x^2+y,3y^2,0)$, která působí po uzavřené křivce, sestávající z kladně orientované půlkružnice o poloměru $a$ v 1. a 2. kvadrantu a úsečky (průměru).
$W=-\dfrac{\pi a^2}{2}$
6.32
Vypočítejte práci, kterou by vykonalo tíhové pole při jízdě tobogánem s přesně třemi otáčkami, pokud by tíhové pole vypadalo $\vec{F}_g=−mg(0,0,z)$. Tobogán si lze představit jako válcovou šroubovici, použijte obecné koeficienty.
$W=18\pi^2b^2mg$
6.33
Vypočítejte práci, kterou vykoná síla $\vec{F}=\left(x^2+y, 3y^2, 0\right)$,
která působí v matematicky kladném směru po půlkružnici o poloměru $a$. Půlkružnice má střed v počátku souřadného systému a prochází 2. a 3. kvadrantem roviny $xy$ kartézské souřadné soustavy.
$W=-\dfrac{\pi a^2}{2}-2a^3$.
Je toto silové pole konzervativní?
Pole není konzervativní
6.34
Vypočítejte práci, kterou vykoná síla $\vec{F}=\left(x^2,-y,z\right)$
působící v matematicky kladném směru po křivce dané předpisem $(x-1)^2+y^2=1,\,z=2$, z počátečního bodu $[1,-1,2]$
do koncového bodu $[0,0,2]$.
$W=\dfrac{1}{6}$
Je toto silové pole konzervativní?
Pole je konzervativní
6.35
Vypočítejte práci, kterou vykoná síla $\vec{F}=\left(2x^2-y,x,z\right)$,
která působí v matematicky záporném směru po polovině závitu válcové šroubovice o poloměru $R$ s osou $(0,0,z)$, procházející počátkem souřadnicového systému.
Počáteční bod dráhy působící síly má souřadnice $\left[0,R,\frac{\pi b}{2}\right]$, koncový bod má souřadnice $\left[0,-R,-\frac{\pi b}{2}\right]$.
$W=-\pi R^2$
Je toto silové pole konzervativní?
Pole není konzervativní
6.36
Vypočítejte práci, kterou vykoná síla $\vec{F}=\left(3x-y,x,z\right)$,
která působí v matematicky kladném směru po dráze jednoho závitu válcové šroubovice o poloměru $R$ s osou $(0,0,z)$, procházející počátkem souřadnicového systému.
Počáteční bod dráhy působící síly má souřadnice $\left[0,-R,-\frac{\pi b}{2}\right]$, koncový bod má souřadnice $\left[0,-R,\frac{3\pi b}{2}\right]$,
transformační rovnice šroubovice jsou: $x=R\cos t,\,\,y=R\sin t,\,\,z=bt$.
$W=\pi\left(2R^2+\pi b^2\right)$
Je toto silové pole konzervativní?
Pole není konzervativní
6.37
Vypočítejte práci, kterou vykoná síla $\vec{F}=\left(x^3,y,\,z^3\right)$,
která působí nejprve v matematicky kladném směru po křivce, dané předpisem $x^2+(y-3)^2=4,\,z=5$, z bodu [0,1,5] do bodu [2,3,5] a potom po úsečce do bodu [3,1,5].
$W=\dfrac{81}{4}$
Je toto silové pole konzervativní?
Pole je konzervativní
6.38
Vypočítejte práci, kterou vykoná síla $\vec{F}(x,y)=\left(x-y,x\right)$,
která působí po následující uzavřené křivce: nejprve po úsečce z bodu $[1,\,1]$ do bodu $[1,\,2]$, dále po čtvrtkružnici se středem v bodě $[1,\,1]$
v matematicky záporném směru do bodu $[2,\,1]$ a nakonec po úsečce zpět do výchozího bodu.
$W=-\dfrac{\pi}{2}$
Je toto silové pole konzervativní?
Pole není konzervativní
6.39
Vypočítejte práci, kterou vykoná síla $\vec{F}(x,y)=\left(-y,x\right)$,
která působí po následující uzavřené křivce: nejprve po úsečce z bodu $[0,\,0]$ do bodu $[2,\,1]$, dále po úsečce do bodu [2,\,2]
a nakonec po čtvrtkružnici se středem v bodě $[2,\,0]$ v matematicky kladném směru zpět do výchozího bodu.
$W=2(\pi-1)$
Jak se vykonaná práce změní, pokud působící síla $\vec{F}(x,y)=\left(y,x\right)$?
Práce konzervativní síly po uzavřené křivce by byla nulová.
6.40
Vypočítejte práci, kterou vykoná síla $\vec{F}(x,y)=\left(-y,x\right)$,
která působí po následující uzavřené křivce: nejprve po úsečce z bodu [0, 0] do bodu [1, 0], dále po úsečce do bodu [1, 1]
a nakonec po čtvrtkružnici se středem v bodě [1, 0] v matematicky kladném směru zpět do výchozího bodu.
$W=\dfrac{\pi}{2}$
Jak se vykonaná práce změní, pokud působící síla $\vec{F}(x,y)=\left(y,x\right)$?
Konzervativní síla - práce by byla nulová.