5 Skalární a vektorové funkce více proměnnýchVe výsledcích příkladů s geometrickými nebo fyzikálními veličinami nejsou uváděny příslušné jednotky.Doporučená literatura k této kapitole: Děmidovič (2003), Kvasnica (2004), Bartsch (2008), Rektorys (2009).

5.1 Parciální a směrové derivace, úplný diferenciál

Parciální derivace funkce dvou a více nezávislých proměnných $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ je derivace této funkce podle jedné z těchto proměnných, tj. danou funkci derivujeme jako funkci pouze jediné proměnné, vzhledem ke které počítáme derivaci. Ostatní nezávisle proměnné mají konstantní hodnotu (chovají se jako konstanty). Prostorovou představu (viz obrázek 5.1) si můžeme udělat na příkladu funkce dvou proměnných $f(x,y)$, jejíž geometrický význam můžeme popsat jako plochu, danou předpisem $z=f(x,y)$. Parciální derivace této funkce například podle proměnné $x$, kterou zapisujeme

$ \dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}\quad$ nebo pouze $\quad\dfrac{\partial f}{\partial x}\quad$ nebo také $\quad f_x$,

5.1

vyjadřuje směrnici tečny této plochy, která leží v rovině rovnoběžné s rovinou $xz$ a která je orientována v kladném smyslu osy $x$. Hodnota druhé nezávisle proměnné $y$ je tedy pro celou tuto tečnu konstantní. Zcela obdobně to platí i pro parciální derivace podle ostatních nezávislých proměnných.

Obrazek — Obrázek 5.1 Geometrický význam parciální derivace funkce dvou proměnných $z=f(x,y)$ v bodě $[x_0,y_0]$. Výsek funkce $f(x,y)$ je na obrázku zvýrazněn barevnou plochou. Parciální derivace (v tomto případě podle $x$) funkce dvou proměnných $f(x,y)$ udává směrnici tečny ke křivce, která odpovídá řezu grafem (plochou) funkce $f(x,y)$ rovinou rovnoběžnou s příslušnou osou, v tomto případě rovinou rovnoběžnou s rovinou $xz$, procházející bodem $[x_0,y_0]$. Křivka řezu příslušnou rovinou je na obrázku znázorněna silnou černou čárou, procházející barevnou plochou, její tečna v bodě $[x_0,y_0]$ je znázorněna červeně. Parciální derivace $\partial f/\partial x$ bude v tomto případě odpovídat $\text{tg}\,\varphi$, kde $\varphi=-\varphi^\prime$. Geometrický význam parciálních derivací podle jiných proměnných, případně směrových derivací, je analogický.

Parciální derivace můžeme samozřejmě zobecnit pro zcela libovolný směr, ne pouze pro směry souřadnicových os, které reprezentují směr nárůstu vždy jen jedné určité nezávisle proměnné. V tom případě je nazýváme směrové derivace (nebo derivace v daném směru). Zvolený směr může být definovaný například vektorem $\vec{u}=(u_1,u_2,\ldots,u_n)$, jehož velikost označme $\|\vec{u}\|=u$. Směrová derivace potom v případě funkce dvou proměnných, analogicky k příkladu popsanému v předchozím odstavci, vyjadřuje směrnici tečny této plochy, která leží v rovině rovnoběžné s rovinou vymezenou tímto vektorem a osou $z$ a která je orientována ve směru zvoleného vektoru. Směrovou derivaci spojitě diferencovatelné skalární funkce ve směru vektoru $\vec{u}$ můžeme obecně definovat jako

$$ \dfrac{\d f(x_1,x_2,\ldots,x_n)}{\d u}=\vec{\nabla}f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\cdot\frac{\vec{u}}{u}, $$

5.2

kde symbol (tzv. Nabla operátor) $\vec{\nabla}=\left(\frac{\partial }{\partial x_1},\frac{\partial }{\partial x_2},\ldots,\frac{\partial }{\partial x_n}\right)$ značí v tomto případě vektor parciálních derivací podle všech nezávisle proměnných. Rovnici (5.2) lze tedy explicitně rozepsat,

$$ \dfrac{\d f(x_1,x_2,\ldots,x_n)}{\d u}=\frac{\partial f}{\partial x_1}\frac{u_1}{u} +\frac{\partial f}{\partial x_2}\frac{u_2}{u}+\ldots+\frac{\partial f}{\partial x_n}\frac{u_n}{u}.$$

5.3

Úplným (totálním) diferenciálem obecné skalární funkce $f(\vec{x})=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ více nezávislých proměnných nazýváme funkci

$$ \d f=\frac{\partial f}{\partial x_1}\D x_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\D x_2+\ldots+\frac{\partial f}{\partial x_n}\D x_n=\vec{\nabla}f(\vec{x})\cdot\d\vec{x}. $$

5.4

Pokud totální diferenciál funkce $f(\vec{x})$ existuje v určitém daném bodě, říkáme, že funkce $f(\vec{x})$ je v tomto bodě diferencovatelná. Pokud totální diferenciál funkce $f(\vec{x})$ existuje ve všech bodech této funkce, říkáme, že funkce $f(\vec{x})$ je spojitě diferencovatelná (hladká). Pokud totální diferenciál funkce $f(\vec{x})$ existuje v určitých oblastech této funkce, říkáme, že funkce $f(\vec{x})$ je po částech diferencovatelná.

Totálním diferenciálem vyššího ($n$-tého) řádu funkce $f(x,y)$ dvou nezávislých proměnných $x,y$ bude funkce, daná obecným předpisem

$$ \d^nf(x,y)=\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\frac{\partial^nf}{\partial x^k\,\partial y^{n-k}}\D x^k\D y^{n-k}, $$

5.5

kde výraz v závorce za sumou je tzv. kombinační číslo (viz rovnice (12.1)).

Totálním diferenciálem vyššího ($n$-tého) řádu funkce $f(x_1,x_2,x_3,…,x_{m-1},x_m)$ obecného počtu $m$ {nezávislých} proměnných $x_1,x_2,…,x_m$ bude funkce, daná předpisem

$$ \d^nf(x_1,x_2,…,x_m)=\sum_{k_1+k_2+…+k_m=n} \begin{pmatrix} n \\ k_1,k_2,…,k_m \end{pmatrix} \frac{\partial^nf}{\partial x_1^{k_1}\partial x_2^{k_2}…\partial x_m^{k_m}}\D x_1^{k_1}\D x_2^{k_2}…\D x_m^{k_m},$$

5.6

kde výraz v závorce za sumou je tzv. multinomický koeficient (viz rovnice (12.6)) a kde smysl a užití všech ostatních výrazů a symbolů odpovídá tzv. multinomické větě (12.7).

Příklady

Ve výsledcích příkladů s geometrickými nebo fyzikálními veličinami nejsou uváděny příslušné jednotky.

5.1

Vypočítejte parciální derivace $\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}$ skalární funkce $f(x,y)=x^2+x-y$.

$2x+1,\,-1$

5.2

Vypočítejte parciální derivace $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2},\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ skalární funkce $f(x,y)=x\ln y+x^y$.

$\left(y^2-y\right)x^{y-2},\,-\dfrac{x}{y^2}+x^y\ln^2x$

5.3

Vypočítejte smíšenou parciální derivaci $\dfrac{\partial^3 f}{\partial x\,\partial y\,\partial z}$ skalární funkce $f(x,y,z)=xyz+x^2\sin(xy)+yz$.

$1$

5.4

Vypočítejte smíšenou parciální derivaci $\dfrac{\partial^4 f}{\partial x\,\partial y\,\partial z^2}$ skalární funkce $f(x,y,z)=xy^2z^3+x^2\sin^2(xz)+yz+x+y+z$.

$12yz$

5.5

Dokažte, že ze stavové rovnice ideálního plynu $pV=n\mathcal{R}T$, kde $p$ je tlak, $V$ je objem, $T$ je termodynamická teplota, $n$ je látkové množství, $\mathcal R$ je molární plynová konstanta, vyplývá: $\dfrac{\partial p}{\partial V}\dfrac{\partial V}{\partial T}\dfrac{\partial T}{\partial p}=-1$.

Pomocí parciálních derivací funkcí.

5.6

Ukažte, že funkce $u=\dfrac{1}{2a\sqrt{\pi t}}\ee^{-\expover{(x-b)^2}{4a^2t}}$, kde $a,b$ jsou konstanty, vyhovuje rovnici vedení tepla $\dfrac{\partial u}{\partial t}=a^2\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}$.

Pomocí parciálních derivací funkcí.

5.7

Ukažte, že funkce $u=\dfrac{1}{r}$, kde $r=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}$, kde $a,b,c$ jsou konstanty, vyhovuje Laplaceově rovnici $\Delta u=0$ pro $r\ne 0$.

Pomocí parciálních derivací funkcí.

5.8

Vypočítejte derivaci funkce $f(x,y)=\dfrac{x}{y}$ v bodě $[4,-1]$ ve směru vektoru $\vec{u}=(−2,3)$.

$-\dfrac{10}{\sqrt{13}}$

5.9

Vypočítejte derivaci funkce $f(x,y,z)=\cos(xy)+\ln z^2$ v bodě $[\pi,1,1]$ ve směru vektoru $\vec{u}=(1,1,1)$.

$\dfrac{2}{\sqrt{3}}$

5.10

Vypočítejte derivaci funkce $f(x,y)=x^2−y^2$ v bodě $[1,1]$ ve směru vektoru $\vec{u}=(1,−1)$.

$2\sqrt{2}$

5.11

Vypočítejte derivaci funkce $f(x,y)=x+2y$ v bodě $[2,1]$ ve směru vektoru $\vec{u}=(1,2)$.

$\sqrt{5}$

5.12

Vypočítejte derivaci funkce $f(x,y,z)=x+y^2+z^3$ v bodě $[0,1,2]$ ve směru vektoru $\vec{u}=(1,0,1)$.

$\dfrac{13}{\sqrt{2}}$

5.13

Vypočítejte derivaci funkce $f(x,y)=x^3−y^2+2xy$ v bodě $[2,3]$ ve směru vektoru $\vec{u}=(−3,2)$.

$-\dfrac{58}{\sqrt{13}}$

5.14

Nalezněte hodnotu derivace funkce $f(x,y)=x^2−xy−y^2$ ve směru největšího růstu v bodě $[1,-3]$.

$5\sqrt{2}$

5.15

Nalezněte první a druhý diferenciál funkce $f(x)=x\cos x$, vyčíslete v bodě $\pi/4$.

$\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(1-\dfrac{\pi}{4}\right)\d x,\,-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(2+\dfrac{\pi}{4}\right)\d x^2$

5.16

Nalezněte první a druhý diferenciál funkce $f(x,y)=\left(x+y^3\right)^2$, vyčíslete v bodě $[2,3]$.

$58\D x+1566\D y,\,2\D x^2+108\D x\D y+2502\D y^2$

5.17

Nalezněte první a druhý diferenciál funkce $f(x,y)=xy+x\cos y+y^x$, vyčíslete v bodě $[1,\e]$.

$\left(2\e+\cos\e\right)\d x+\left(2-\sin\e\right)\d y,\,\, \e\D x^2+\left(6-2\sin\e\right)\d x\D y- (\cos\e)\D y^2$

5.18

Nalezněte první a druhý diferenciál funkce $f(x,y)=\ln\left(x+y^2\right)$, vyčíslete v bodě $[1,1]$.

$\dfrac{1}{2}\D x+\d y,\,-\dfrac{1}{4}\D x^2-\d x\D y$

5.19

Užitím prvního diferenciálu přibližně vypočítejte hodnotu čísla $1,03\times 1,98$ a porovnejte s hodnotou určenou kalkulačkou.

$2,04$ (kalkulačkou $2,0394$)

5.20

Užitím prvního diferenciálu přibližně vypočítejte hodnotu čísla $\left(\dfrac{3,96}{2,01}\right)^3$ a porovnejte s hodnotou určenou kalkulačkou.

$7,64$ (kalkulačkou $7,64711…$)

5.21

Užitím prvního diferenciálu přibližně vypočítejte hodnotu čísla $\arctan\left(\dfrac{1,01}{0,98}\right)$ a porovnejte s hodnotou určenou kalkulačkou.

$\dfrac{\pi}{4}+0,015\approx 0,8004$ (kalkulačkou $0,80047…$)