Výraz (uvažujeme trojrozměrný případ) $\vec\nabla\varphi=\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x},\frac{\partial \varphi}{\partial y},\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)$
v levé části rovnice 5.7 znamená gradient funkce $\varphi$ (viz také oddíl
5.3), výraz $\d\varphi$ v pravé části rovnice 5.7 je totálním diferenciálem funkce $\varphi$. Pokud rovnice (5.7) platí,
funkci $\varphi$ nazýváme kmenovou funkcí (záporným skalárním potenciálem, kdy skalární potenciál $\phi=-\varphi$) konzervativního vektorového pole $\vec{A}$.
Intenzita $\vec{E}$ obecného konzervativního pole potom bude $\vec{E}=-\vec\nabla\phi$ a odpovídající silové pole $\vec{F}=-\vec\nabla E_p$,
kde $E_p$ je potenciální energie.
O tom, jestli zadané vektorové pole je konzervativní, se přesvědčíme na základě Schwarzovy věty, tedy postupem uvedeným v rovnici
(3.17). Postup můžeme zobecnit na libovolný počet proměnných, tedy
kde $A_j,A_k$ značí $j-$tou a $k-$tou složku vektoru $\vec{A}$, volné indexy $j,k$ nabývají postupně všech hodnot od $1$ do $n$.
Kmenovou funkci potom najdeme (například ve trojrozměrném případě) pomocí integrálu
Příklady
Rozhodněte, zda daný výraz je totálním diferenciálem, v kladném případě určete
odpovídající kmenovou funkci:
5.22
$\left(\sin x+y\right)\d x+\left(x^2+\cos y\right)\d y$
Výraz není totálním diferenciálem.
5.23
$\left(x^2+y\right)\d x+\left(x+y^2\right)\d y$
$\dfrac{x^3}{3}+xy+\dfrac{y^3}{3}-\left(\dfrac{x_0^3}{3}+x_0\,y_0+\dfrac{y_0^3}{3}\right)$
5.24
$xy^2\D x+\left(y^2+x^2y+4\right)\d y$
$\dfrac{x^2y^2}{2}+\dfrac{y^3}{3}+4y-\left(\dfrac{x_0^2\,y_0^2}{2}+\dfrac{y_0^3}{3}+4y_0\right)$
5.25
$\left(x+2xy\right)\d x+\left(\cos y+x^2\right)\d y$
$\dfrac{x^2}{2}+x^2y+\sin y-\left(\dfrac{x_0^2}{2}+x_0^2\,y_0+\sin y_0\right)$
5.26
$y^\prime\left(\dfrac{\ln x}{y^2}-y\right)=\dfrac{1}{xy},\,\,y(1)=2$
$2-\dfrac{\ln x}{y}-\dfrac{y^2}{2}$
5.27
$\left(3x^2-2xy+\dfrac{1}{y}\right)-\left(x^2+\dfrac{x}{y^2}+\dfrac{2}{y^3}\right)y^\prime,\,\,y(0)=1$
$x^3-x^2y+\dfrac{x}{y}+\dfrac{1}{y^2}-1$
5.28
$\left(6x^3y^2+3x^2\right)\d x+\left(3x^4y+\cos y\right)\d y,\,\,y(1)=\dfrac{\pi}{2}$
$\dfrac{3}{2}x^4y^2+x^3+\sin y-\dfrac{3\pi^2}{8}-2$
5.29
$-\dfrac{2x}{x^2+y^2}\D x-\dfrac{2y}{x^2+y^2}\D y,\,\,y(1)=1$
$\ln 2-\ln\left(x^2+y^2\right)$
5.30
$\dfrac{1}{y^2}\D x+\left(-\dfrac{2x}{y^3}+\e^y\right)\d y,\,\,y(0)=1$
$\dfrac{x}{y^2}+\e\left(\e^{y-1}-1\right)$
5.31
$\dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3+y^3}}\D x+\dfrac{3y^2}{2\sqrt{x^3+y^3}}\D y,\,\,y(1)=2$
$\sqrt{x^3+y^3}\pm 3$
Dokažte, že dané silové pole je konzervativní, a určete odpovídající potenciální energii $V$
($k$ je konstanta, $Q_1$ a $Q_2$ jsou konstantní elektrické náboje):
5.32
$\vec{F}=−k\vec{r}$ (pružná síla)
$V=\dfrac{kr^2}{2}=\dfrac{k}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)$
5.33
$\vec{F}=k\dfrac{Q_1Q_2}{r^3}\vec{r}$ (elektrostatická síla)
$V=k\dfrac{Q_1Q_2}{r}=k\dfrac{Q_1Q_2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$
5.34
Nalezněte potenciál vektorového pole $\vec{A}=\left(2xy,x^2\right)$. Je tento potenciál určený jednoznačně?
$\phi=-x^2y+C$
5.35
Intenzita fyzikálního pole je určena vektorem
$\vec{A}=\left[\ln(x-y)+\dfrac{x}{x-y}, -\dfrac{x}{x-y}, 0\right]$. Lze pro toto pole stanovit příslušný potenciál?
Pokud ano, nalezněte jej. Bude tento potenciál určen jednoznačně?
$\phi=-x\ln(x-y)+C$
5.36
Dokažte, že dané centrální silové pole $\vec{F}=-k\,\vec{r}\,r$ je konzervativní a určete odpovídající potenciální energii
$V$ v bodě $x,y,z=[X_0,Y_0,Z_0]$, pokud její hodnota v bodě $x,y,z=[0,0,0]$ je rovna $V_0$.
Veličina $k$ je konstanta, $\vec{r}$ je polohový vektor, $r$ je jeho velikost.
$V(X_0,Y_0,Z_0)=\dfrac{k}{3}\left(X_0^2+Y_0^2+Z_0^2\right)^{3/2}+V_0$
5.37
Dokažte, že dané centrální silové pole
$\vec{F}=-\dfrac{k\,\vec{r}}{r}$, definované pro $r\geq 1$,
je konzervativní a určete odpovídající potenciální energii $V$ v bodě $x,y,z=[X_0,Y_0,Z_0]$,
pokud její hodnota v minimální definované vzdálenosti od bodu $x,y,z=[0,0,0]$ je rovna $V_0$.
Veličina $k$ je konstanta, $\vec{r}$ je polohový vektor, $r$ je jeho velikost.
$V(X_0,Y_0,Z_0)=k\left(\sqrt{X_0^2+Y_0^2+Z_0^2}-1\right)+V_0$
5.38
Dokažte, že dané silové pole $\vec{F}=-k\dfrac{\vec{r}}{r^3}$, definované pro $r\geq 1$,
je konzervativní a určete odpovídající potenciální energii $V$ v bodě $x,y,z=[2,2,1]$,
pokud hodnotu potenciální energie ve vzdálenosti $r=1$ od bodu $x,y,z=[0,0,0]$ stanovíme jako $E_0=0$.
Veličina $k=1,\!5$ je obecná konstanta, $r$ je velikost polohového vektoru $\vec{r}=(x,y,z)$.
$V(2,2,1)=k\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{X_0^2+Y_0^2+Z_0^2}}\right)+E_0=1$
5.39
Dokažte, že centrální silové pole $\vec{F}$, definované pro $r\geq 1$,
je konzervativní a určete potenciální energii $V$ pole
v bodě $x,y,z=[X_0,Y_0,Z_0]$, pokud stanovíme její hodnotu v minimální definované vzdálenosti od bodu $x,y,z=[0,0,0]$ je jako nulovou:
-
$\vec{F}=-k\,\vec{r}\ln r$,
$V(X_0,Y_0,Z_0)=\dfrac{k}{2}\left[\left(X_0^2+Y_0^2+Z_0^2\right) \left(\ln\sqrt{X_0^2+Y_0^2+Z_0^2}-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\right]$
-
$\vec{F}=-k\,\vec{r}\ln r^2$,
$V(X_0,Y_0,Z_0)=\dfrac{k}{2}\left\{\left(X_0^2+Y_0^2+Z_0^2\right)
\left[\ln\left(X_0^2+Y_0^2+Z_0^2\right)-1\right]+1\right\}$
-
$\vec{F}=-k\,\vec{r}\ln r^3$.
$V(X_0,Y_0,Z_0)=\dfrac{k}{2}\left\{\left(X_0^2+Y_0^2+Z_0^2\right)
\left[\ln\left(X_0^2+Y_0^2+Z_0^2\right)^{\expover{3}{2}}-\dfrac{3}{2}\right]+\dfrac{3}{2}\right\}$
Veličina $k$ je konstanta, $\vec{r}$ je polohový vektor, $r$ je jeho velikost.
5.40
Dokažte, že dané silové pole
$\vec{F}=-k\left(x,y,z\right)\ln r^{-2}$, definované pro $r\ge 1$,
je konzervativní a určete odpovídající potenciální energii $V$ v bodě $x,y,z=[X_0,Y_0,Z_0]$,
pokud potenciální energie ve vzdálenosti $r=1$ od bodu $x,y,z=[0,0,0]$ je rovna $E_0$.
Veličina $k$ je konstanta, $r$ je velikost polohového vektoru $\vec{r}=(x,y,z)$.
$V(X_0,Y_0,Z_0)=-\dfrac{k}{2}\left\{\left(X_0^2+Y_0^2+Z_0^2\right)\left[\ln\left({X_0^2+Y_0^2+Z_0^2}\right)-1\right]+1\right\}+E_0$
5.41
Dokažte, že dané centrální silové pole $\vec{F}=-k\,\vec{r}\ee^r$ je konzervativní a určete odpovídající potenciální energii
$V$ v bodě $x,y,z=[X_0,Y_0,Z_0]$, pokud hodnota potenciální energie v bodě $x,y,z=[0,0,0]$ je rovna $-V_0=-k$.
Veličina $k$ je konstanta, $\vec{r}$
je polohový vektor, $r$ je jeho velikost.
$V(X_0,Y_0,Z_0)=V_0\ee^{\sqrt{X_0^2+Y_0^2+Z_0^2}}\left(\sqrt{X_0^2+Y_0^2+Z_0^2}-1\right)$