7.4 Geometrické a fyzikální charakteristiky útvarů
Vypočítejte objem
Ve výsledcích příkladů s geometrickými nebo fyzikálními veličinami nejsou uváděny příslušné jednotky.
7.51
elipsoidu o poloosách $a,\,b,\,c$,
$V=\dfrac{4}{3}\pi abc$
7.52
kužele o poloměru podstavy $R$ a výšce $H$,
$V=\dfrac{\pi R^2H}{3}$
7.53
tělesa $\mathcal{A}=\{(x,y,z)\,|\,z\in\langle 0,\,H-x^2-y^2\rangle\}$, kde $H=R^2$,
$V=\dfrac{\pi R^2H}{2}$
7.54
tělesa $\mathcal{A}=\{(x,y,z)\,|\,z\in\langle 0,\,H-x^2-y^2\rangle\}$, ${x^2+y^2}\leq R^2$, $H>R^2$,
$V=\pi R^2\left(H-\dfrac{R^2}{2}\right)$
7.55
anuloidu (toroidu) o poloměru osy toru $R$ a poloměru trubice $a$ (viz popis anuloidu včetně
anuloidovýchsouřadnic v obrázku 7.3), s transformačními vztahy mezi kartézskými a
anuloidovýmisouřadnicemi, $x=(R+r\cos t)\cos\phi,\, y=(R+r\cos t)\sin\phi,\, z=r\sin t$,
$V=2\pi^2Ra^2$
7.56
tělesa $\mathcal{A}=\left\{(x,y,z)\,|\,z\in\left\langle \sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{3}},\,\sqrt{R^2-x^2-y^2}\right\rangle\right\}$,
$V=\dfrac{\pi R^3}{3}$
7.57
tělesa $\mathcal{A}=\left\{(x,y,z)\,|\,z\in\left\langle\dfrac{R}{2},\,\sqrt{R^2-x^2-y^2}\right\rangle\right\}$,
$V=\dfrac{5}{24}\pi R^3$
7.58
tělesa $\mathcal{A}$, jehož povrch vznikne rotací asteroidy z příkladu 6.7 okolo osy $y$,
$V=\dfrac{32}{105}\pi a^3$
7.59
tělesa $\mathcal{A}$, jehož povrch vznikne rotací kardioidy z příkladu 6.16 okolo osy $y$.
$V=\dfrac{8}{3}\pi a^3$
Vypočítejte velikost plochy
Ve výsledcích příkladů s geometrickými nebo fyzikálními veličinami nejsou uváděny příslušné jednotky.
7.60
kulové slupky o poloměru $R$,
$S=4\pi R^2$
7.61
pláště kužele o poloměru podstavy $R$ a výšce $H$,
$S=\pi R\sqrt{R^2+H^2}$
7.63
celého povrchu tělesa z příkladu 7.54,
$S=\dfrac{\pi}{6}\left[(1+4R^2)^{\expover{3}{2}}-1\right]+2\pi R(H-R^2)+\pi R^2$
7.66
pláště anuloidu (toroidu) o poloměru osy toru $R$ a poloměru trubice $a$ (viz příklad 7.55 a obrázek 7.3),
$S=4\pi^2Ra$
7.71
hyperbolického paraboloidu, daného předpisem $z=x^2-y^2$, $x^2+y^2\le 4$,
$S=\dfrac{\pi}{6}\left(17^{\expover{3}{2}}-1\right)\approx 36,\!18$
7.72
hyperbolického paraboloidu, daného předpisem $z=xy$, $x^2+y^2\le 4$.
$S=\dfrac{2\pi}{3}\left(5^{\expover{3}{2}}-1\right)\approx 21,\!32$,
Jaký by musel být poloměr $\rho$ válce, jehož pláštěm je hyperbolický paraboloid ohraničen, aby jeho plocha byla stejná jako v příkladu 7.71?
$\rho=\left[\left(\dfrac{17^{\expover{3}{2}}+3}{4}\right)^{\expover{2}{3}}-1\right]^{\expover{1}{2}}\approx 2,\!44$
Ve vhodně zvolené soustavě souřadnic vypočítejte polohu středu hmotnosti
Ve výsledcích příkladů s geometrickými nebo fyzikálními veličinami nejsou uváděny příslušné jednotky.
7.73
homogenní polokoule o poloměru $R$,
$z_T=\dfrac{3}{8}R$
7.74
homogenního kužele o poloměru podstavy $R$ a výšce $H$,
$z_T=\dfrac{H}{4}$
7.75
homogenního symetrického jehlanu o hraně podstavy $A$ a výšce $H$,
$z_T=\dfrac{H}{4}$
7.79
homogenní plochy z příkladu 7.70
$y_T=-\dfrac{25}{32}\,a$,
a homogenního tělesa z příkladu 7.59,
$y_T=-\dfrac{4}{5}\,a$
7.80
homogenního tělesa, ohraničeného
seshoraplochou $x^2+y^2+z^2=R^2$ a
zespodaplochou $z=\sqrt{x^2+y^2}$,
$z_T=\dfrac{3R}{8\left(2-\sqrt{2}\right)}\approx 0,\!64\,R$
7.82
poloviny homogenního elipsoidu o poloosách $a,\,b,\,c$, s rovinou podstavy, vymezenou poloosami $a,\,b$.
$z_T=\dfrac{3}{8}c$
Vypočítejte moment setrvačnosti vzhledem k ose symetrie
Ve výsledcích příkladů s geometrickými nebo fyzikálními veličinami nejsou uváděny příslušné jednotky.
7.83
homogenní koule o hmotnosti $M$ a poloměru $R$,
$J=\dfrac{2}{5}MR^2$
7.84
homogenního válce o hmotnosti $M$ a poloměru $R$,
$J=\dfrac{MR^2}{2}$
7.85
homogenního kužele o hmotnosti $M$, poloměru podstavy $R$ a výšce $H$,
$J=\dfrac{3}{10}MR^2$
7.90
homogenního elipsoidu o hmotnosti $M$ a poloosách $a,\,b,\,c$, rotujícího okolo poloosy $c$,
$J=\dfrac{M}{5}(a^2+b^2)$
7.91
homogenního tělesa, jehož povrch vznikne rotací asteroidy z příkladu 6.7 okolo osy $y$,
$J=\dfrac{64}{143}Ma^2$
7.92
homogenního tělesa, jehož povrch vznikne rotací kardioidy z příkladu 6.16 okolo osy $y$,
$J=\dfrac{24}{35}Ma^2$
7.93
homogenního tělesa, ohraničeného seshora plochou $z=H-2\left(x^2+y^2\right)$ a zespoda plochou $z=0$. Výsledek vyjádřete jako funkci hmotnosti daného tělesa a délky $R=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{H/2}$ v rovině $z=0$,
$J=\dfrac{MR^2}{3}$
7.94
prázdné uzavřené válcové nádoby, tj. sestávající z pláště a obou podstav, vytvořené z materiálu zanedbatelné tloušťky s konstantní plošnou hustotou $\sigma$, s poloměrem $R$ a výškou $H=R$.
Výsledek vyjádřete v jednotkách celkové hmotnosti nádoby $M$ a poloměru $R$,
$J=\dfrac{3}{4}MR^2$
7.95
prázdné uzavřené kuželové nádoby, tj. sestávající z pláště a podstavy, vytvořené z materiálu zanedbatelné tloušťky s konstantní plošnou hustotou $\sigma$, s poloměrem $R$ a výškou $H$.
Výsledek vyjádřete v jednotkách celkové hmotnosti nádoby $M$ a poloměru $R$,
$J=\dfrac{MR^2}{2}$
7.96
prázdné uzavřené nádoby, tvořené celým pláštěm tělesa (tj. sestávající z vlastního pláště i podstavy) z příkladu 7.53, vytvořené z materiálu zanedbatelné tloušťky s konstantní plošnou hustotou $\sigma$.
Výsledek vyjádřete v jednotkách celkové hmotnosti nádoby $M$ a poloměru podstavy $R$,
$J=M\dfrac{\left(1+4R^2\right)^{3/2}\left(\dfrac{3}{5}R^2-\dfrac{1}{10}\right)+\dfrac{1}{10}+3R^4}{\left(1+4R^2\right)^{3/2}-1+6R^2}$
7.97
prázdné uzavřené nádoby, tvořené celým pláštěm tělesa (tj. sestávající z vlastního pláště i podstavy) z příkladu 7.56, vytvořené z materiálu zanedbatelné tloušťky s konstantní plošnou hustotou $\sigma$.
Výsledek vyjádřete v jednotkách celkové hmotnosti nádoby $M$ a poloměru podstavy $R$.
$J=\dfrac{\left(9\sqrt{3}+20\right)MR^2}{\left(\sqrt{3}+2\right)24}$
7.98
Odvoďte moment setrvačnosti homogenní polokruhové desky zanedbatelné tloušťky s poloměrem $R$, rotující
-
okolo osy, procházející jejím středem, kolmé k rovině desky,$J=\dfrac{MR^2}{2}$
-
okolo osy, ležící v rovině desky, procházející její základnou (průměrem),$J=\dfrac{MR^2}{4}$
-
okolo osy, ležící v rovině desky, procházející jejím středem hmotnosti rovnoběžně s její základnou.pomocí Steinerovy věty: $z_T=\dfrac{4}{3\pi}R$, $J=\dfrac{MR^2}{4}-\left(\dfrac{4}{3\pi}\right)^2MR^2\approx\dfrac{7}{100}MR^2$
Výsledek vyjádřete v jednotkách hmotnosti desky $M$ a poloměru $R$.
7.99
Odvoďte moment setrvačnosti homogenní desky zanedbatelné tloušťky, jejíž okraj má tvar asteroidy z příkladu 6.7, rotující okolo osy procházející jejím středem kolmo k její rovině. Výsledek vyjádřete v jednotkách hmotnosti desky $M$ a délky poloosy $a$.
$J=\dfrac{7}{32}Ma^2$
7.100
Odvoďte moment setrvačnosti $J_k$ duté koule o poloměru $R$ s kulovou koncentrickou dutinou o poloměru $H$,
s konstantní hustotou $\rho$.
Výsledek vyjádřete v jednotkách hmotnosti $M$ duté koule, jejího poloměru $R$ a poloměru dutiny $H$.
$J_k=\dfrac{2}{5}M\dfrac{R^5-H^5}{R^3-H^3}$,
Pomocí limitního přechodu (případně jiným způsobem) následně odvoďte moment setrvačnosti $J_s$ homogenní kulové slupky s poloměrem $R$.
$J_s=\dfrac{2}{3}MR^2$
7.101
Odvoďte moment setrvačnosti homogenní krychle o hraně $A$, rotující
-
okolo osy, procházející jejím středem a středy dvou protilehlých stran,$J=\dfrac{MA^2}{6}$
-
okolo osy, procházející jejím středem a středy dvou protilehlých hran,$J=\dfrac{MA^2}{6}$
-
okolo osy, procházející hranou krychle (vypočítejte přímou integrací a ověřte pomocí Steinerovy věty).$J=\dfrac{2}{3}MA^2$
Výsledek vyjádřete v jednotkách hmotnosti $M$ krychle a délky její hrany $A$.