3.1.1 Diferenciální operátory

• Gradient skalární funkce $f(x,y,z)$ je v kartézské soustavě definován (viz kapitola 5.3 ve skriptu Početní praktikum) jako vektor ve tvaru

  $\vec{\nabla}f=\difgrad f=\tens\xhat\frac{\partial f}{\partial x}+\tens\yhat\frac{\partial f}{\partial y}+ \tens\zhat\frac{\partial f}{\partial z}= \left(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial f}{\partial z}\right)$.

  3.5

  Gradient vyjadřuje v každém bodě skalárního pole směr největšího (nejstrmějšího) nárůstu tohoto pole. Gradient vektoru (vektorového pole) $\vec{A}(x,y,z)$ je definován jako tenzor druhého řádu (viz kapitola 2.3 ve skriptu Početní praktikum) ve tvaru

  $\vec{\nabla}\vec{A}=\difgrad\vec{A}=\left(\tens\xhat\frac{\partial}{\partial x}+\tens\yhat\frac{\partial}{\partial y}+ \tens\zhat\frac{\partial}{\partial z}\right)\left(A_x\tens\xhat+A_y\tens\yhat+A_z\tens\zhat\right) $.

  3.6

  Protože se jedná o tzv. tenzorový součin, kdy se jednotlivé vektory báze násobí jako matice, z nichž první je sloupcová a druhá řádková, je třeba pro určení prvků tenzoru vždy zachovávat jejich pořadí. Pomocí maticového formalismu můžeme tenzor gradientu vektorového pole zapsat jako (viz například Arfken & Weber (2005))

  

  3.7

  Maticový zápis gradientu vektoru je v rovnici 3.7 uspořádán jako tzv. „rozvržení dle jmenovatele“ (denominator layout). Pro podrobnější vysvětlení - viz text pod rovnicí 3.57 v pdf formě skript.

• Divergence vektoru (vektorového pole) $\vec{A}(x,y,z)$ je definována jako skalár (skalární pole)

  $\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\difdiv\vec{A}=\tens{\xhat_i}\cdot\tens{\xhat_j}\,\frac{\partial A_i}{\partial x_j}= \frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$.

  3.8

  Divergence vektoru v ortogonálních soustavách odpovídá stopě tenzoru gradientu vektorového pole, je tedy kontrakcí tohoto tenzoru (viz kapitola 2.3 ve skriptu Početní praktikum). V obecných ortogonálních souřadnicích může být zapsána ve formě

  $\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\left[\frac{\partial}{\partial x_j}(h^kA^k)+\Gamma_{jl}^kh^lA^l\right]\delta_j^k=\frac{\partial}{\partial x_j}(h^jA^j)+\Gamma_{jl}^jh^lA^l$.

  3.9

  S využitím rovnice 2.1 lze tento výraz přepsat rovněž do tvaru

  $\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\left[\frac{\partial}{\partial x_j}(h_kA_k)-\Gamma_{jk}^lh_lA_l\right]\delta_{jk}=\frac{\partial}{\partial x_j}(h_jA_j)-\Gamma_{jj}^lh_lA_l$.

  3.10

  Členy $h_i$ jsou tzv. Laméovy koeficienty (viz kapitola 4 ve skriptu Početní praktikum), často také nazývané škálovací faktory (nezaměňovat se stejnojmennými Laméovými koeficienty v mechanice kontinua), pojmenované po francouzském matematikovi Gabrieli Lamé, kde v příslušném metrickém tenzoru platí

  $h_ih_i=g_{ii},\quad h^ih^i=g^{ii}$

  3.11

  (proto nyní uvažujeme jen ortogonální soustavy, jejichž metrické tenzory mají nenulové prvky pouze na hlavní diagonále). Výraz $\Gamma_{jk}^{l}$ je tzv. Christoffelův symbol (viz kapitola 2.3 ve skriptu Početní praktikum) pojmenovaný po německém matematikovi a fyzikovi Elwin Bruno Christoffelovi, definující tzv. členy křivosti v křivočarých souřadných soustavách,

  $\Gamma_{jk}^{l}=\frac{1}{2}g^{lm}\left(\frac{\partial g_{km}}{\partial x_j}+\frac{\partial g_{jm}}{\partial x_k}- \frac{\partial g_{jk}}{\partial x_m}\right),$

  3.12

  kde indexy $l,\,m$ jsou tzv. volné indexy, které mohou kdykoli nabývat kterékoli z hodnot $1,2,3$, respektive $x,y,z$. Explicitní výraz pro divergenci vektoru v obecné ortogonální soustavě lze zapsat formou (kde $i\ne j\ne k$)

  $\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\frac{1}{h_ih_jh_k}\left[\frac{\partial}{\partial x_i}\left(h_jh_kA_i\right)+\frac{\partial}{\partial x_j}\left(h_kh_iA_j\right)+ \frac{\partial}{\partial x_k}\left(h_ih_jA_k\right)\right]$,

  3.13

  Ta je zcela ekvivalentní kompaktnější formě zápisu,

  $\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial x_i}\left(h_jh_kA_i\right)=\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\sqrt{g}\,h^i\!A^i\right)$.

  3.14

  Složky $h^i\!A^i$ (v literatuře se většinou zkráceně uvádí pouze $A^i$) vektoru $\vec{A}$ odpovídají (viz rovnice 2.1) $h^i\!A^i=g^{ij}(h_jA_j)$, $g$ je determinant metrického tenzoru, který je identický s druhou mocninou příslušného Jakobiánu souřadnicové transformace. Platí tedy

  $\sqrt{\left|\det g_{ij}\right|}=J,\,\,\,\sqrt{\left|\det g^{ij}\right|}=J^{-1}$.

  3.15

  Obecně platí, že divergencí tenzoru řádu $n$ je tenzor řádu $n-1$, divergencí tenzoru druhého řádu tak bude vektor. Kompaktní forma zápisu divergence tenzoru druhého řádu bude mít tvar

  $\nabla_jA^{ij}=A_i$.

  3.16
  Explicitní zápis divergence tenzoru druhého řádu v kartézském systému (prakticky se jedná o maticové násobení vektoru s transponovanou maticí; při skalárním součinu dvou vektorů se také jedná o maticové násobení dvou vektorů, kdy druhý z vektorů je transponovaný, tedy sloupcový (viz kapitola 2.3 ve skriptu Početní praktikum), bude vypadat (viz Arfken & Weber (2005))
  

  3.17

• Rotací vektoru (vektorového pole) $\vec{A}(x,y,z)$ v kartézské soustavě nazýváme vektor

  $\vec\nabla\times\vec{A}=\tens\xhat\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)+ \tens\yhat\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)+ \tens\zhat\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)$.

  3.18

  Obecný výraz pro vektor rotace $\vec\nabla\times\vec{A}$ vektoru $\vec{A}$ v libovolné ortogonální souřadné soustavě lze definovat způsobem

  $\vec\nabla\times\vec{A}=\epsilon_{ijk}\,\frac{1}{h_jh_k}\left[\nabla_j(h_kA_k)\right]\tens{\xhat_i}= \epsilon_{ijk}\,\frac{1}{h_jh_k}\left[\frac{\partial}{\partial x_j}(h_kA_k)-\Gamma_{jk}^lh_lA_l\right]\tens{\xhat_i}$.

  3.19

  V rovnici 3.19 výraz $\epsilon_{ijk}$ (kde všechny tři indexy $i,j,k$ mohou odpovídat postupně všem třem souřadnicovým směrům) odpovídá antisymetrickému, (tzv. Levi-Civitovu, viz rovnice 2.50 ve skriptu Početní praktikum) symbolu, který nabývá hodnoty $+1$ pro sudé permutace indexů, $-1$ pro liché permutace indexů a $0$ pokud se dva nebo více indexů opakuje.

  Díky symetrii indexů ve složkách vektoru rotace a díky úplné antisymetričnosti Levi-Civitova $\epsilon$-symbolu, se výrazy $\Gamma_{jk}^lA_l$ v rovnici 3.19 vyruší, celý výraz se tak zjednoduší do podoby

  $\vec\nabla\times\vec{A}=\epsilon_{ijk}\,\frac{1}{h_jh_k}\left[\frac{\partial}{\partial x_j}(h_kA_k)\right]\tens{\xhat_i}$.

  3.20

  V kartézské soustavě, kde $h_1,h_2,h_3=1$, bude rovnice 3.20 odpovídat rovnici 3.18. Zapíšeme-li vektor rotace znovu po složkách, dostáváme

  $\vec\nabla\times\vec{A}=\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z},\, \frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x},\,\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)$.

  3.21

• Laplacián (Laplaceův operátor) je definován jako divergence gradientu, tedy $\vec{\nabla}\cdot\vec{\nabla}$ (používá se pro něj symbol $\Delta$), jedná se tedy o skalární operátor, který může působit na skalární funkce, vektory (po jednotlivých složkách), tenzory (po jednotlivých prvcích), aniž by měnil jejich řád (t.j. skalár zůstává skalárem, vektor vektorem, atd.). V kartézské soustavě má laplacián zcela jednoduchý tvar: analogicky k rovnici 3.8, kde složky vektoru $\vec{A}$ nahradíme složkami vektoru gradientu, můžeme psát

  $\Delta=\vec{\nabla}\cdot\vec{\nabla}=\difdiv\difgrad =\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$.

  3.22

3.1.2 Plochy, objemy

Označme $S_k$ souřadnicovou plochu (viz kapitola 4.1 ve skriptu Početní praktikum) s konstantní hodnotou souřadnice $x_k$,ohraničenou souřadnicovými křivkami $x_i,x_i+\Delta x_i,x_j,x_j+\Delta x_j$, $i\ne j\ne k$. V kartézské soustavě půjde např. o plochu s konstantní hodnotou $z=z_0$, ohraničenou přímkami $x=x_0,x=x_0+\Delta x,y=y_0,y=y_0+\Delta y$. Výpočet velikosti takové plochy je zde samozřejmě zcela triviální, půjde o obdélník (čtverec) s obsahem $\Delta x\Delta y$. Obecný vztah pro výpočet velikosti takové plochy bude mít tvar

kde $J^\prime_{ij}$ je druhá odmocnina absolutní hodnoty determinantu (minoru) příslušné submatice metrického tenzoru. V uvedeném případě by se jednalo o determinant $J^\prime_{ij}=\sqrt{|g_{ii}g_{jj}-g_{ij}g_{ji}|}$. Integrand rovnice 3.23 definujeme jako plošný element $\d S_k=J^\prime_{ij}\D x_i\D x_j$. V kartézské soustavě budou determinanty všech tří submatic $J^\prime_{ij}=1$. Dále, označíme-li $V$ objem, vymezený souřadnicovými plochami s konstantními souřadnicemi $x_i,x_i+\Delta x_i,x_j,x_j+\Delta x_j,x_k,x_k+\Delta x_k$, $i\ne j\ne k$, obecný vztah pro výpočet velikosti takového objemu bude mít tvar

3.1.3 Vektory polohy, rychlosti a zrychlení

V kartézské soustavě je zápis vektorů velmi jednoduchý, polohový vektor $\vec{r}$, vektor rychlosti $\vec{v}$ a vektor zrychlení $\vec{a}$ budou mít postupně tvar,

kde $\dot x=\d x/\d t$, $\dot y=\d y/\d t$ a $\dot z=\d z/\d t$.