M7160 Obyčejné diferenciální rovnice II

Přírodovědecká fakulta
jaro 2011
Rozsah
2/1/0. 3 kr. (příf plus uk k 1 zk 2 plus 1 > 4). Ukončení: zk.
Vyučující
prof. Alexander Lomtatidze, DrSc. (přednášející)
Garance
doc. RNDr. Josef Kalas, CSc.
Ústav matematiky a statistiky - Ústavy - Přírodovědecká fakulta
Rozvrh
Út 12:00–13:50 MS1,01016
  • Rozvrh seminárních/paralelních skupin:
M7160/01: Út 14:00–14:50 MS1,01016, A. Lomtatidze
Předpoklady
M5160 Obyč. diferenciální rovnice I
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí jedné i více proměnných, integrální počet, číselné a funkční posloupnosti a řady, metrické prostory, komplexní funkce reálné proměnné. Lineární algebra: Systémy lineárních rovnic, determinanty, lineární prostory, lineární transformace a matice, kanonický tvar matice. Diferenciální rovnice: Lineární i nelineární systémy obyčejných diferenciálních rovnic, existence, jednoznačnost a vlastnosti řešení, základy teorie stability, autonomní rovnice.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
  • Matematika (program PřF, M-MA, směr Matematická analýza)
  • Matematika (program PřF, N-MA, směr Matematická analýza)
Cíle předmětu
Teorie diferenciálních rovnic patří mezi základní oblasti matematické analýzy. Kurs je zaměřen na systémy nelineárních diferenciálních rovnic s Carathéodorovskou pravou stranou. Je studována zejména otázka existence řešení Cauchyovy úlohy, prodloužitelnosti řešení a existence tzv. globálních řešení. Dále jsou vyšetřovány vlastnosti množiny řešení Cauchyovy úlohy a otázka spojité závislosti řešení na parametrech. Po úspěšném absolvování tohoto kurzu bude student schopen: definovat a interpretovat základní pojmy užívané ve výše uvedených oblastech; formulovat příslušné matematické věty a tvrzení a vysvětlit metody jejich důkazů; ovládat efektivní techniky používané v těchto oblastech; aplikovat získané poznatky při řešení konkrétních příkladů; analyzovat vybrané úlohy souvicející s probíranou tématikou.
Osnova
  • Carathéodoryho třída funkcí
  • O absolutní spojitosti funkcí
  • Cauchyova úloha
  • Carathéodoryho věta pro diferenciální rovnice n-tého řádu
  • Prodloužitelnost řešení Cauchyovy úlohy
  • Horní a dolní řešení Cauchyovy úlohy
  • O množině řešení Cauchyovy úlohy
  • Existence horního a dolního řešení
  • Věta o diferenciální nerovnosti
  • Věta o integrální nerovnosti
  • Globální řešení Cauchyovy úlohy
  • Jednoznačnost řešení Cauchyovy úlohy
  • Korektnost Cauchyovy úlohy
  • Struktura množiny řešení Cauchyovy úlohy
Literatura
  • HARTMAN, Philip. Ordinary differential equations. 2nd ed. Philadelphia, Pa.: SIAM, 2002. xx, 612 s. ISBN 0-89871-510-5. info
  • KALAS, Josef a Miloš RÁB. Obyčejné diferenciální rovnice. 2. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2001. 207 s. ISBN 8021025891. info
  • KIGURADZE, Ivan. Okrajové úlohy pro systémy lineárních obyčejných diferenciálních rovnic. 1. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 1997. 183 s. ISBN 80-210-1664-7. info
  • KURZWEIL, Jaroslav. Obyčejné diferenciální rovnice : úvod do teorie obyčejných diferenciálních rovnic v reálném oboru. 1. vyd. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1978. 418 s. info
  • CODDINGTON, Earl A. a Norman LEVINSON. Theory of ordinary differential equations. New York: McGraw-Hill, 1955. 429 s. info
Výukové metody
přednášky a cvičení
Metody hodnocení
Výuka: přednáška 2 hod. týdně, cvičení 1 hod. týdně. Zkouška: písemná a ústní.
Informace učitele
Předmět je ukončen zkouškou, která má dvě části - ústní a písemnou. Požadavky na úspěšné zakončení předmětu: Písemná část zkoušky představuje zpracování zadaného tématu jako přípravu k části ústní. V průběhu ústní zkoušky je požadováno pochopení zavedených pojmů, porozumění vyloženým větám a schopnost jejich formulace. Je vyžadována znalost jednodušších důkazů a myšlenkových postupů složitějších důkazů.
Další komentáře
Studijní materiály
Předmět je vyučován jednou za dva roky.
Předmět je zařazen také v obdobích jaro 2011 - akreditace, podzim 2000, podzim 2002, podzim 2004, podzim 2006, podzim 2008, jaro 2014, jaro 2016, jaro 2018, jaro 2020, jaro 2022.